Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2012/13

Transkript

1 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 0/3 Příklad (5 bodů) Studijníprogram: atematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Načrtněte množinu omezenou křivkami Varianta A y =x+, y = 4x+4 a vypočtěte její plošný obsah. Příklad (5 bodů) Rozhodněte(ařádnězdůvodněte),zdafunkce f(x, y)=x xy+ y nabývánamnožině = {[x, y] R ; x + y }svénejmenšíanejvětšíhodnoty.pokudano,vypočtěteje. Příklad 3(5 bodů) Nechť X,..., X n jenáhodnývýběrzrozděleníshustotou { θ xexp{ x /(θ)} x >0, f(x; θ)= kde θ >0jeneznámýparametr. 0 jinak, (i)najdětemaximálněvěrohodnýodhadˆθ n parametru θ. (ii)spočítejtehustotu X,určetepřesnérozdělenínˆθ n azjistěteeˆθ n avarˆθ n. (iii)určeteasymptotickérozděleníˆθ n pro n. Příklad 4(5 bodů) Uvažujteaktiva0,,.Aktivum0jebezrizikovésvýnosem r 0 =6,výnosyaktiv,jsou náhodnéveličinysestřednímihodnotami r =0ar =8(vševprocentech),srozptyly σ =4aσ =.Kovariancemezivýnosyje σ =.Předpokládejme,žeinvestorinvestuje bohatstvívevýši W=. (i) Najděte portfolio P skládající se pouze z rizikových aktiv(tj. aktiv, ) a poskytující očekávanývýnos r P =9%. (ii) Najděte portfolio P skládající se ze všech tří aktiv minimalizující riziko a poskytující očekávanývýnos r P =9%.(Rizikemsezderozumísměrodatnáodchylkavýnosuportfolia.)

2 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 0/3 Studijní program: atematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Varianta A řešení Příklad (5 bodů) VýpočetplochymůžemeprovéstpomocíFubiniovyvěty.Integrálzf(x,y)=přesdanoumnožinu (= plocha množiny) existuje. A 0 A. způsob Vypočteme x-ovésouřadnicebodů A a A,vnichžsekřivkyomezujícímnožinu protnou.dostaneme x = x =/.Průmět x množiny doosy xjeroven( /,).Užitímtěchtoskutečností dostáváme ( / ) x+ ( ) x dxdy= dy dx+ x+ / dy dx=. x /. způsob Vypočteme y-ovésouřadnicebodů A a A,vnichžsekřivkyomezujícímnožinu protnou.dostaneme y, = ±.Jetedyprůmět y množiny doosy yroven(, ).Užitímtěchto skutečností dostáváme y +4 4 dxdy= dx dy=. y

3 Příklad (5 bodů) 0 Funkce fjespojitána R,tedyinamnožině.nožina jeomezenáauzavřenávr.podlevěty, která říká, že funkce spojitá na kompaktní množině nabývá na ní své největší a nejmenší hodnoty, mátedyfunkce fna maximumaminimum.body,podezřelýmiznabýváníextrémů,jsoujednak kritickébodyfunkce f,ležícív 0,jednakbodyhranicemnožiny. Kritickébodyuvnitř : Zrovnic f f (x,y)=x y=0, x (x,y)=y x=0 y dostáváme,žejedinýkritickýboduvnitř jebod[0,0].je f(0,0)=0. Vyšetření fnahranici : V rohových bodechmnožiny,tj.[,0],[,0],[0,]a[0, ],jefunkčníhodnotafunkce frovna. Zbývávyšetřitsituacinamnožinách H = {[x,y]; x (0,), y= x}, H = {[x,y]; x (0,), y= x }, H 3 = {[x,y]; x (,0), y=+x}ah 4 = {[x,y]; x (,0), y= x}.snadno zjistíme, že další podezřelé body jsou body[/, /] a[ /, /], resp.[ /, /] a[/, /]. Funkční hodnoty v těchto bodech jsou rovny /4 resp. 3/4. Zprovedenýchvýpočtůplyne,žefunkce fnabývásvéhominimana vbodě[0,0]ajemin f= f(0,0) = 0afunkce f nabývásvéhomaximana vbodech[,0],[,0],[0,]a[0, ]aje max f=.

4 Příklad 3(5 bodů) (i) Věrohodnostnífunkce: L(θ)=θ n ( n { X i )exp θ Logaritmická věrohodnost: l(θ) = log X i nlog θ θ Skórovástatistika: U(θ)= l(θ) = n θ θ + θ X i X i } X i Skórováfunkce: U i (θ)= θ + X i θ Věrohodnostnírovnice: U(ˆθ n )=0 aodtudihned ˆθ n = n Jedinýmřešenímvěrohodnostnírovniceje ˆθ n = n n X i.jetomaximálněvěrohodnýodhad, neboť l(θ) je spojitá a není omezená zdola. (ii) Spočítámehustotunáhodnéveličiny Y = X,kde X máhustotu f(x;θ).jelikožp[x <0]=0, transformacejeprostá.inversnítransformacíje x= y,jakobiánje y.náhodnáveličina Y má hustotu g(y;θ) = (θ) exp{y/(θ)}. JejírozděleníjetedyExp(/(θ)), středníhodnotaey = EXi =θ,rozptylvar Y=var Xi =4θ. Protože X i jsounezávisléanˆθ n = n X i,mámeihned ( ) nˆθ n Γ θ,n, Eˆθ n = n nex i = θ, a varˆθ n = 4n nvar X i = θ n. (iii) Jelikož ˆθ n jemaximálněvěrohodnýodhadajsousplněnypodmínkyregularity,jehoasymptotické rozděleníje D n(ˆθ n θ) N(0,/I(θ)),kdeFisherovamírainformaceje I(θ)=E U i(θ) θ = EXi /θ3 /θ =/θ.ámetedy n(ˆθn θ) D N(0,θ ). X i

5 Příklad 4(5 bodů) Portfolio je soubor finančních aktiv. Je reprezentováno podíly(alokací, diverzifikací), které investor investujedojednotlivýchaktiv.označíme-li x=(x,...,x N ) T tytopodíly,pakpřiinvestovaném bohatstvívevýšimusíplatit x + +x N =. (i)označmeváhyvporfoliu x a x.usíplatit x + x =.Ztohovyplývá,žeproočekávaný výnos portfolia platí atedy x = x =/. r P =0x +8x =0x +8( x )=x +8=9, (ii)označmeváhyvporfoliu x 0, x a x.usíplatit x 0 + x + x =.Očekávanývýnosportfoliaje tedy r P =6x 0 +0x +8x =6+4x +x. Požadujemeočekávanývýnosportfolia r P =9,takžezposlednírovnicedostaneme x = (3 4x ). Jsou-livýnosyrizikovýchaktiv R a R,jerozptylvýnosuportfolia(podosazeníza x ) var(x R +x R )=x var(r )+x x cov(r,r )+x var(r )=4x +x x +x = 9 9x +8x. To je konvexní funkce, minimum získáme tak, že položíme první derivaci rovnu nule. Derivací posledníhovýrazuje6x 9,takže x =9/6.Zpětnýmisubstitucemidopředchozíchrovnicdostaneme x =3/8, x 0 =/6.