Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Transkript

1 / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky úbytky Z. Rcionální čísl počet dílů určitého celku všechn čísl se djí vyjádřit ve tvru zlomku Q Zpište jko zlomek: všechn čísl periodická. Ircionální čísl nedjí se zpst ve tvru zlomku I. Reálná čísl umožňují vyjádřit výsledky objemů, fyzikálních stvů těles jejich změny celá číselná os 6. Komplení čísl C - jsou čísl reálná čísl imginární, která slouží k vyjádření odmocnin ze záporných čísel N N Z Q Z Q R Nejčstěji se řeší příkldy v oboru reálných čísel. R. ROČNÍK

2 Číselné množiny / Obecné zákony pro reálná čísl: Dlší znčení: R... kldná reálná čísl > 0 R 0... R -... záporná reálná čísl < 0 R Znky dělitelnosti: rozdíl součtu cifer n sudých místech lichých místech je dělitelný jedenácti nebo roven nule. Příkldy n procvičení:. Vypočti: Vypiš prvočísl od do 0. Rozlož n prvočinitele ROČNÍK

3 Číselné množiny /. Urči nejmenší společný násobek čísel n (,,8) n(8,) n(6,,). Urči nejmenší společný násobek čísel n (7,0) 6. Nejmenší společný násobek čísel 8, 0, m je 70. Určete nejmenší číslo m splňující tuto podmínku. 7. Urči největšího společného dělitele čísel D (8,7,0) D (9,6,88) 8. Tjná zpráv má méně než 000 znků. Lze jí odeslt buď jko sedm depeší se stejným počtem znků, nebo jko osm depeší se stejným počtem znků, nebo jko devět depeší se stejným počtem znků, nebo jko deset depeší se stejným počtem znků. Počet znků zprávy je: A/ 00 B/ 60 C/ 80 D/ 0 E/ Ve výsledku násobení * * jsou dvě číslice nhrzeny hvězdičkmi. Kterou číslici nhrzuje první hvězdičk zlev? 0. Vypočti -(-7)--(-7-) (-).(-) -. hodin 0 minut je: A/ dne B/ dne C/ dne D/ dne E/ dne 7 8. ROČNÍK

4 Číselné množiny /. Uspořádej vzestupně podle velikosti, Vzestupné uspořádání čísel,9,,9,,9,,9, 6 je: A/,9 <, 9 <, 9 <,9 < 6 B/,9 <, 9 < 6 <,9 <,9 C/,9 <,9 <, 9 < 6 <,9 D/, 9 < 6 <,9 <, 9 <,9 E/,9 <, 99 <,9 < 6 <, Zpiš v zákldním tvru Předpokládejme, že je číslice desítkové soustvy. Číslo je dělitelné třemi právě tehdy, když je: A/, nebo 9 B/ C/, nebo, nebo 8 D/ z množiny {0,, 6, 9} E/ z množiny {, 6, 9} 6. Vypočti: : 8 : 6 7 :. ROČNÍK

5 Číselné množiny / OPAKOVÁNÍ ZE ZŠ NAJDI VÝROK ) Průměrná hmotnost dvou melounů je, kg, průměrná hmotnost jiných tří melounů je,8 kg. Průměrná hmotnost všech pěti melounů je: A/,6 kg FOR B/,60 kg TU C/,6 kg ER D/,68 kg ERB E/,7 kg FO ) Které z následujících tvrzení pltí? A/ Součet dvou lichých čísel jednoho sudého čísl je číslo liché. RI B/ Součet tří lichých čísel je číslo sudé. TI C/ Součet druhé mocniny lichého čísl dvojnásobku sudého čísl je číslo sudé. NI D/ Součin sudého čísl druhé mocniny lichého čísl je číslo liché. TA E/ Součin dvou lichých čísel je číslo liché. RA ) Výbor má méně než 8 členů. Dvě třetiny členů výboru obsdí tři čtvrtiny židlí v místnosti. Počet členů výboru je: A/ S B/ 6 T C/ 9 RE D/ RET E/ L ) Ve výrzu lze změnit jedno z pěti znmének n opčné tk, by hodnot nového výrzu byl 8. Jde o znménko před číslem: A/ 8 TO B/ 97 FO C/ 86 NU D/ 7 HU E/ 9 MU ) Nůž soustruhu se posouvá rychlostí 0, mm z jednu otáčku. Soustruh vykonává 90 otáček z minutu. Soustružení tyče dlouhé, m bude trvt: A/ 00min RTU B/ 66min 0s MA C/ h 6min NA D/ 980s STU 6) 7 Nejmenší přirozené číslo m, pro které je hodnot výrzu m rovn 0 60 celému číslu, je: A/ m NAM B/ m NUM C/ m TA D/ m 0 LA E/ m 60 NA 7) N trhu byly dv stánky s borůvkmi. U prvního stánku stál litr borůvek 0 Kč, u druhého kg borůvek 60 Kč. Hmotnost litru borůvek je 60 g. kg borůvek byl: A/ u prvního stánku levnější si o Kč. PES B/ u druhého stánku levnější si o Kč. JES C/ u prvního stánku levnější si o,0 Kč. PE D/ u druhého stánku levnější si o,0 Kč. ES E/ stejně drhý u obou stánků. NES 8) Tři společně podnikjící kmrádi dostli z vykonnou práci Kč, z čehož odvedli % dň Kč zpltili z mteriál. Zbytek peněz si podle počtu odprcovných dní rozdělili v poměru : :. Byly to částky: A/ 00 Kč, 600 Kč, Kč. NA. B/ 00 Kč, 0 0 Kč, Kč. T. C/ 80 Kč, 0 0 Kč, 0 70 Kč. TA. D/ 6 80 Kč, 80 Kč, 70 Kč. LA. TAJENKA: ROČNÍK

6 6/ MNOŽINY Zákldní pojmy: Množin, podmnožin Množinové operce rovnost, doplněk, průnik, sjednocení rozdíl množin Opkování:. Číselné množiny Množin: souhrn předmětů prvky množiny, které mjí určitou společnou vlstnost... je prvkem mn. A... není prvkem mn. A Určení množiny: výčtem prvků... chrkteristickou vlstností... množinovými opercemi ) Podmnožin množiny: b) Rovnost množin: c) Doplněk množiny: B - doplněk množiny B v množině A d) Průnik množin: e) Sjednocení množin:. ROČNÍK

7 Množiny 7/ f) Rozdíl množin: A {,0,,, } A,0,,, B {,,} B,, B A Příkldy: A B ) Jsou dány množiny A, B, C, určete: A {,0,,,7}, B {,,7,9}, C N A {,b,c,d}, B {,c}, C {b,d,e} A B A B A B A C A B B C B A A B B C A C B C B C B C C B A B B A A C b) Určete výčtem prvků množiny: A { Z; - < } B { R; - 0} C { Z; > 0} Poté určete: A B A C B C A B A C B C A B C B c) Určete výčtem prvků množiny: D { Z; - < < } E { N; \} d) Urči chrkteristickou vlstností F {,,6,8, } G {,,,7, }. ROČNÍK

8 Množiny 8/ Test:. Které z následujících čísel neptří do množiny rcionálních čísel? ) /7 c) druhá odmocnin z čísl b) druhá odmocnin z čísl d) druhá mocnin čísl. Kterým symbolem znčíme množinu všech rcionálních čísel? ) M b) N c) Q d) R. Kterým symbolem znčíme množinu všech přirozených čísel? ) M b) N c) Q d) R. Čemu je roven průnik nekonečné množiny A prázdné množiny B ) libovolná nekonečná množin c) prázdná množin b) nekonečná množin A d) množin C, jejímiž prvky jsou A B. Čemu je rovno sjednocení nekonečné množiny A prázdné množiny B ) libovolná nekonečná množin c) prázdná množin b) nekonečná množin A d) množin C, jejímiž prvky jsou A B 6. Co je větší - množin přirozených čísel nebo množin reálných čísel? ) množin přirozených čísel c) jsou stejně velké b) množin reálných čísel d) nelze rozhodnout 7. Jsou dány množiny A{,,} B{,,}. Určete množinu C, jeli CA-B ) C{,,} c) C{} b) C{,,} d) C{} 8. Které z následujících čísel není komplením číslem? ) i c) I b) d) žádná z možností. ROČNÍK

9 9/ INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA Zákldní pojmy: Intervl, dělení intervlů Definice bsolutní hodnoty, vlstnosti bsolutní hodnoty Opkování: Číselné množiny, zobrzení čísel n reálné ose, množinové operce Intervl: Druhy intervlů: podmnožin reálných čísel OMEZENÉ dolní mez, b horní mez NEOMEZENÉ krjní mez je. ROČNÍK

10 Intervly, bsolutní hodnot 0/ Absolutní hodnot: vždy kldné číslo Vlstnosti bsolutní hodnoty:. Vypočti:. Vypočti pro > 0: Vypočti pro < 0:. Odstrň bsolutní hodnoty pomocí definice vypočti:. ROČNÍK

11 Intervly, bsolutní hodnot / Znázornění n číselné ose: bsolutní hodn reálného čísl je rovn vzdálenosti tohoto čísl n číselné ose od počátku nelze!! počátek je-li rovnost body je-li nerovnost - intervly. Znázorni n číselné ose:. Zpiš množiny pomocí intervlů znázorni n číselné ose: 6. Jsou dány intervly I, I. Zpiš znázorni n číselné ose sjednocení průnik intervlů. 7. Jsou dány intervly: Urči. ROČNÍK

12 Intervly, bsolutní hodnot /. ROČNÍK, >,,,, < R I R I R I R I R I,,,,, < < < < R I N I R I R I R I,, 0,, 0, < R I Z I R I R I R I

13 / VÝROKOVÁ LOGIKA Zákldní pojmy: Výrok, prvdivostní hodnot Negce, logické operce, tbulk prvdivostních hodnot Výrok: oznmovcí vět, u které je možno rozhodnout o její prvdivosti Prvdivostní hodnot: p.h. prvd... p.h. neprvd... p.h. příkldy výroků: Operce s výroky: prcujeme se výroky A: Venku prší B: Venku je teplo NEGACE popření prvdivosti výroku... A... KONJUNKCE - součsně A B... (A B) DISJUNKCE nebo A B... (A B) IMPLIKACE z A plyne B A B... (A B) EKVIVALENCE A právě tehdy, když B A B... (A B) Tbulk prvdivostních hodnot: Tutologie výrok, který je vždy prvdivý Určete, zd se jedná o tutologii:... A B. ROČNÍK

14 Výroková logik / Kvntifikátory:. Množství v českém jzyce vyjdřujeme mnoh způsoby: Mám nejvýše jblek. Negce: Negce: Mám spoň jblek.. Mtemtické kvntifikátory: EXISTENČNÍ KVANTIFIKÁTOR: OBECNÝ KVANTIFIKÁTOR:... eistuje!... eistuje právě jeden ( )... pro všechn (pro kždé) ( ). Příkldy výroků: A: Pro všechn reálná čísl pltí, že 0 A { R; 0} p.h. A : B: Eistuje lespoň jedno celé číslo, které je sudé. B { Z; n N;. n} p.h. B : Příkldy:. Urči, které z vět jsou výroky Dobrý den! Odmturuji? Číslo n(n) je liché Nejvyšší hor Čech je Sněžk Mám rád zmrzlinu Pythgorov vět. Úhlopříčky čtverce nejsou nvzájem kolmé.. Urči prvdivostní hodnoty výroků Mtemtik je věd Kždý čtverec je -úhelník Kždý -úhelník je čtverec 6 (-).(-)- Obsh -úhelníku je S.v Kždé číslo, které je dělitelné, je dělitelné Kždé číslo, které je dělitelné, je dělitelné. Utvoř negci výroků ) < b) -9>0 c) Součin dvou záporných čísel je kldný.. ROČNÍK

15 Výroková logik / d) Vltv je delší než Dunj. e) Rovnice má kořen. f) Mám ostrý nůž. g) Objem krychle je V.. Neguj výroky ) Dný trojúhelník má lespoň jednu strnu delší než cm. b) Rovnice má lespoň tři řešení. c) Nejvýše tři rovnice mjí kldný kořen. d) Právě čtyři trojúhelníky mjí stejný obsh. e) Číslo A číslo B jsou prvočísl. f) Dný počet je větší než 7 nebo menší než. g) Jestliže je číslo sudé, je dělitelné dvěm. h) Nedívám se z okn počítám. i) Koupím slám když nebude šunk. j) Eistuje reálné číslo větší nebo rovno pěti. k) Pro všechn přirozená čísl pltí: >0. l) Z : 0 m) k Z : k je sudé n) R : 0 o) R : /. ROČNÍK

16 Výroková logik 6/. Utvořte A B, A B, B A, B A ) A: Číslo <0 B: Číslo < A B A B B A B A b) A: Číslo končí nulou B: Číslo je sudé A B A B B A B A c) A: b B: b A B A B B A B A d) A: Trojúhelník je prvoúhlý B: Pro strny trojúhelníku pltí b c A B A B B A B A 6. Vytvoř negce výroků: ) Přijde Petr nebo Pvel. b) Když přijde Petr, přijde Jn. c) Krel přijde právě tehdy, když přijde Pvel. 7. Njdi kvntifikátor npiš negci výroků: ) V krbici je nejvýše 6 čokolád. b) Je nás méně než. c) Pdne 7 brnek. d) Kždý trojúhelník je prvoúhlý. e) V množině N eistuje číslo sudé. f) Pro kždé reálné číslo pltí, 0. g) Přijdu v 6.. ROČNÍK

17 Výroková logik 7/. ROČNÍK 8. Rozhodni, zd jde o tutologii: [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A B A B A B A B A B A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A B A B A B A B A B A A B A B A B A B A B A B

18 8/ Vennovy digrmy: Schémt, která slouží ke grfickému znázornění množin. Pomocí Vennov digrmu ověř: (A B) A B (A-B)(A B) B. Pomocí Vennov digrmu zjednoduš: (A B) (A-B) (A-B) (A B). Pomocí Vennov digrmu řeš slovní úlohy: ) Ve městě jsou výstvy obrzů. V jednom dni nvštívilo první z nich 0 osob, druhou z nich 6 osob, z nichž nvštívilo jen druhou. Kolik osob nvštívilo jen první výstvu?. ROČNÍK

19 Vennovy digrmy 9/ b) Ve škole jsou zájmové kroužky: fotogrfický, motoristický, šchový. Kždý žák ve třídě chodí do některého z nich. Do fotogrf. chodí 6, do motor. 7 do šchového žáků. 8 chodí do fotogrf. i motor. součsně. 6 do fotogrf. i šchového, do motorist. i šchového. žáci chodí n v šechny tři kroužky. Kolik žáků je ve třídě.dvnáct žáků ze 7.B chodí n sportovní potápění 0 n softbll. Ve třídě je žáků, z toho jich 7 nesportuje vůbec. Kolik softblistů chodí tké n sportovní potápění? c) Dvnáct žáků ze 7. B chodí n sportovní potápění 0 n softbll. Ve třídě je žáků, z toho jich 7 nesportuje vůbec. Kolik softblistů chodí tké n sportovní potápění? d) V ozdrvovně se 7 lidí léčí s stmtem, z nich spolu s dlšími 0 nvíc má problémy s obezitou, 8 pcientů přijelo kvůli obtížím páteře mnželé Novákovi mjí všechny uvedené obtíže. Kolik lidí je v ozdrvovně, jestliže víme, že dlší pcienti s obtížemi páteře nemjí jiné problémy? e) Z 00 dotázných lidí 66 uvedlo, že mjí dom televizor. 06 lidí sleduje pouze Českou televizi. Pouze primu sleduje 0 lidí. Všechny tři televize sleduje 0 lidí. Lidé, kteří sledují Novu, sledují všechny tři stnice. Kolik je lidí sledujících Českou televizi zároveň Primu?. ROČNÍK

20 0/ VÝRAZY Zákldní pojmy: Algebrický výrz, definiční obor výrzu, úprvy výrzů, operce s výrzy Lomené výrzy Vzorce pro.. mocninu Opkování: Úprvy jednoduchých výrzů, podmínky řešitelnosti Výrzy: ČÍSELNÝ VÝRAZ konstnt,,.7, ALGEBRAICKÝ VÝRAZ proměnná, konstnt, vzorce, y, S r, LOMENÉ VÝRAZY proměnná ve jmenovteli Definiční obor výrzu Množin všech hodnot, pro které má výrz smysl Lomené výrzy nesmíme dělit 0 Výrzy s odmocninou pod odmocninou nesmí být záporné číslo Úprvy výrzů: Doszování do výrzu dosdíme z proměnnou konkrétní čísl Rozkld výrzu vytýkáním, postupným vytýkáním, pomocí vzorce Lomené výrzy krácení rozšiřování rozkld výrzu n součin o o - sčítání odčítání převedení n společného jmenovtele o - násobení dělení. ROČNÍK

21 Výrzy / Příkldy:. Číselné výrzy:. : 6 7 : 6 : 8 : 0, 8. Algebrické výrzy: ) Sčítání, odčítání mnohočlenů t r r 6 0,7t ( k 8c ) ( c) ( 9k c) t [ t ( t ) ] ( 8 7t) [ ( 0,m m) m] m m Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,.,., str ROČNÍK

22 Výrzy / b) Násobení mnohočlenů ( 6 ) ( 0, ) ( ) ( b ) ( ) ( b ) ( 7 0,) ( 0,) [ ( ) ] ( ) 8 Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,.7, str. 8 9 c) Zjednodušte výrz stnovte hodnotu výrzu m m m m m 7 m ověřte pro m. 7t t t t t ( 6 t) ověřte pro t -. k ( k ) ( k ) ověřte pro k -. v v v 7v v v v ověřte pro v. Sbírk úloh pro SŠ cvičení., str.. ROČNÍK

23 Výrzy / d) Dělení mnohočlenů Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,.,.,.7, str. e) Vypočtěte ( ) ( 7 - y ) Sbírk úloh pro SŠ cvičení.9,., str. - f) Vypočtěte pomocí vzorce (m n ) : (mn) (8 -) : (-) ( ) : () ( -) : (-) ( 8) : () (n -7) : (n-) Sbírk úloh pro SŠ cvičení.0, str. g) Nhrďte, by pltil rovnost: ( ) b ( - b) - ( - y) - 0 y ( y) 9y( - ) m 0 mn ( - ) - y 9 Sbírk úloh pro SŠ cvičení., str. 6 h) Rozložte n součin (kde je třeb užijte vzorec) b b. ROČNÍK

24 Výrzy / y y 9 y bb -8b 6 b -8 bc 7 6b b y y u 9v uv y y 7. ( y) y Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,.,.,.8, str Lomené výrzy: ) Určete podmínky výrzu y ( ) Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,., str. b) Zkrťte zlomky 8y y y 7 6y y b b Sbírk úloh pro SŠ cvičení.,.,.6, str - 6. ROČNÍK

25 Výrzy /. ROČNÍK c) Sečtěte zlomky 6 6 m m m m ( ) Sbírk úloh pro SŠ cvičení.9,.0,., str 7-0 d) Násobte zlomky q p q p q p pq p 6 6 by b y y y y

26 Výrzy 6/. ROČNÍK ( ) ( ) ( ) 6 Sbírk úloh pro SŠ cvičení. -.6, str 0 - e) Dělte zlomky b b b : b b b : b b b b b b : 7 6 : Sbírk úloh pro SŠ cvičení.8,.9,.0, str -

27 7/ Zákldní pojmy: Prvidl pro počítání s mocninmi Zápis čísl.0 n Prvidl pro počítání s odmocninmi Mocniny s rcionálním eponentem Opkování: Úprvy výrzů, vzorce pro.. mocninu MOCNINY A ODMOCNINY Mocniny: n... zákld mocniny n eponent 0 (0 0 není definovné) Vzorce: Žádné věty nepltí pro sčítání odčítání mocnin. Zápis čísl.0 n přehlednější zápis, zjednodušené počítání Hmotnost Země: kg kg Hmotnost elektronu: 9,.0 - kg kg Násobení dělení: Sčítání odčítání:. ROČNÍK

28 Mocniny, odmocniny 8/ ) Npiš ve tvru.0 n spočti: ) 0, : 6 00 b) 0,006 8 : c) d) e) 0, ( 0,00000) f) 00.0,.0 0,8.00 ) Převeďte vyjádřete ve tvru n 0, kde,0), n Z : ) 9,km cm b) 8,6mm m c) d),cm,m m cm Odmocniny: n n R; 0, n N zákld odmocniny n odmocnitel n n n 0 0 0, Vzorce: n. b... n n... b b n n n b. n m n m ( )... m n m. n... m n m n... mocniny s rcionálním eponentem pn pm n Částečné odmocňování: m Žádné věty nepltí pro sčítání odčítání odmocnin ROČNÍK

29 Mocniny, odmocniny 9/. ROČNÍK Usměrňování zlomků: odstrnění odmocniny ze jmenovtele ) (. 7 7 ) ) ) ) ) ) 7) 8) Příkldy:. Uprvte npište podmínky, z kterých má výrz smysl: b d c d c b d c b : d c b : y z y z y

30 Mocniny, odmocniny 0/. ROČNÍK. Vypočtěte: ( ) ( ) ( ) Uprvte výsledek částečně odmocněte: 9 7, 0 0, >. Převeďte n mocniny s rcionálním eponentem uprvte. Výsledek zpište ve tvru odmocniny:, 0 > 0, : 6 > b b b, 0 >

31 Mocniny, odmocniny /. ROČNÍK 0, >. Zjednodušte: ( ), 0, 0 6. Vypočítejte:

32 Mocniny, odmocniny / Test: ) Celým číslem je číslo: A/,00 ( ) ) Hodnot výrzu A/ 0,0 6 B/ je: C/ 0,06 D/ - ( ) B/ C/ D/ 0 E/ E/ 0,0 8 0 ) Výrz je pro kždé 0 roven: A/ B/ 6 C/ D/ ) Pro čísl 0 0 0,, pltí: E/ 6 A/ D/ B/ E/ C/ ) Jestliže pro kldné číslo pltí k, pk pltí číslo k je rovno: A/ 8 7 B/ 8 C/ 6 D/ 8 E/ y z z 6) Výrz : y y je z podmínek 0, y 0, z 0 roven: 8 z A/ y z B/ y C/ y z y D/ z z y E/ 7) Vzestupné uspořádání čísel ,,,6 je: 00 A/ < < 600 < 800 B/ 00 < < < 00 C/ < < < 600 D/ 00 < 800 < < ) Číslice n místě jednotek čísl.... je A/0 B/ C/ D/ 6 E/ ROČNÍK