FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Transkript

1 FUNKCE Gmnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiál z matematik pro nižší gmnázia Autoři projektu Student na prahu. století - vužití ICT ve vučování matematik na gmnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republik Prostějov 9

2 Funkce - NG Úvod Vtvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vučována v osnovách a tematických plánech na gmnáziích nižšího a vššího stupně. Mohou ho však vužít všechn střední a základní škol, kde je vučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vbavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tto materiál pro student s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuk. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Funkce - NG Obsah Funkce... 5 Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost... 5 Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost... Varianta A... Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost... 8 Varianta B... 8 Funkce,Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost... Varianta C... Přímá a nepřímá úměrnost... Přímá a nepřímá úměrnost... 9 Varianta A... 9 Přímá a nepřímá úměrnost... Varianta B... Přímá a nepřímá úměrnost... Varianta C... Kvadratické funkce... 5 Kvadratické funkce... Varianta A... Kvadratické funkce... 5 Varianta B... 5 Kvadratické funkce... 7 Varianta C... 7 Goniometrické funkce... 9 Goniometrické funkce... 5 Varianta A... 5 Goniometrické funkce... 5

4 Funkce - NG Varianta B... 5 Goniometrické funkce Varianta C... 55

5 Funkce - NG 5 Funkce Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost Pravoúhlá soustava souřadnic O. Zavedením pravoúhlé (os jsou na sebe kolmé) soustav souřadnic O má každý bod jednoznačné určení místa v rovině. O počátek soustav souřadnic, os Souřadnice bodů jsou uváděn v hranatých závorkách, první hodnota (.souřadnice) je -ová, druhá hodnota (.souřadnice) je -ová. 8 7 [;7] 6 5 [-;] [6;] O [5;-] [-;-]

6 6 Funkce - NG II.kvadrant [-;+] O 5 6 III.kvadrant [-;-] I.kvadrant [+;+] IV.kvadrant [+;-] Délk jednotek na osách soustav souřadnic nemusí být stejné. Funkce je předpis, kd každému z množin přiřadíme právě z množin obr.a) obr.b) Obrázk: a) je funkcí, protože každému z definičního oboru je přiřazeno právě jedno z oboru hodnot b) není funkcí, protože číslu z definičního oboru jsou přiřazen různé hodnot. je nezávislá proměnná (libovolně ji z vbíráme) je závislá proměnná (závisí na zvoleném, zapisujeme ).

7 Funkce - NG 7 Zadání funkce: ) předpisem: např.:,, ) výčtem funkčních hodnot (obvkle tabulkou), např.: nebo: ) grafem: Grafem funkce je množina všech bodů v rovině se souřadnicemi volené z definičního oboru a -ová souřadnice bodu je funkčních hodnot., kde je číslo, ted funkční hodnota oboru Vlastnosti funkcí: Funce je rostoucí : jestliže se zvětšují hodnot proměnné, zvětšují se i jejich funkční hodnot (obr.). Funkce je klesající: jestliže se zvětšují hodnot proměnné, zmenšují se jejich funkční hodnot (obr.). Funce je nerostoucí : jestliže se zvětšují hodnot proměnné, zmenšují se nebo jsou rovn jejich funkční hodnot. Funkce je neklesající : jestliže se zvětšují hodnot proměnné, zvětšují se nebo jsou rovn i jejich funkční hodnot.

8 8 Funkce - NG Funkce je konstantní, kdž je funkční hodnota stále stejná (obr. ). obr.) obr.) obr.) Funkce nemusí mít žádnou z těchto vlastností (viz. obr.a) ). Lineární funkce Pokud je definiční obor R, grafem je přímka, pokud je definičním oborem podmnožina R, potom je grafem část přímk (polopřímka, úsečka, bod, ) Má tvar rovnice: kdb, šlo b o funkci konstantní Přímá úměrnost je zvláštním případem lineární funkce (viz. kapitola Přímá a nepřímá úměrnost). Je-li: Posunutí grafu po ose v závislosti na q : =, =, =,

9 Funkce - NG 9 f f - f - f Dané graf sestrojené v jedné soustavě souřadnic jsou rovnoběžk, protože lineární koeficient k je vžd stejný, ted k=(-,8) a je zřejmý posun po ose dík q. Tvar grafu funkce (rostoucí, klesající, prudce rostoucí, prudce klesající) v závislosti na koeficientu k v rovnici lineární funkce : = =,

10 Funkce - NG =-,8 = ; ; ; : f f f5 - f - f Pomocí grafů lineárních funkcí lze řešit i soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých grafick. Každou rovnici z dané soustav si upravíme na tvar rovnice lineární funkce, sestrojíme do jedné soustav souřadnic jejich graf a včteme řešení. Pokud jde o dvě přímk rovnoběžné, úloha nemá řešení, pokud jde o různoběžk, řešením je jejich průsečík, jehož souřadnice včteme na ose a ose, pokud jde o přímk splývající, úloha má nekonečně mnoho řešení a v tom případě vjádříme jednu neznámou pomocí druhé a zapíšeme obecné řešení. Např.

11 Funkce - NG Jak. Tak i. Rovnici upravíme: 6 5 = =-+5 - řešení : =; = Řešení - Řešením soustav je prázdná množina, jedna rovnice je až na absolutní člen násobkem druhé rovnice a grafick se toto projeví jako rovnoběžk obr.a). Řešením soustav reálným násobkem druhé, grafick oba graf splývají obr.b). a) 6 5 je nekonečně mnoho bodů, jedna rovnice je celá b) 6 5 f=f jedna rovnice je násobkem druhé =- =-+ = nemá řešení Soustava nemá řešení nekonečně mnoho řešení Řešením je uspořádaná dvojice

12 Funkce - NG Nepřímá úměrnost Dána rovnicí Grafem je křivka zvaná hperbola Tabulka: ,5 -,,,5 -, -, ,5 Graf:

13 Funkce - NG , -,,, 5,, ,

14 Funkce - NG Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost Varianta A Sestroj graf funkce f: g:, U daných funkcí urči obor hodnot. Příklad: f: jde o přímou úměrnost, obor hodnot určím dosazením krajních bodů intervalu do dané funkce, ted :, odtud ted 8 7 f

15 Funkce - NG 5 Funkce g: jde o nepřímou úměrnost, oborem hodnot jsou všechna reálná čísla kromě. Hodnotu funkce nikd nenabude, pouze se k nule pro jdoucí k a funkční hodnota přibližuje. Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

16 6 Funkce - NG Příklad k procvičení: ) Sestroj graf funkce f: ) Sestroj graf funkce f: krajní bod úsečk nenáleží do grafu funkce.

17 Funkce - NG 7 ) Sestroj graf funkce g: ) Sestroj graf funkce h: Řešení:

18 8 Funkce - NG Funkce, Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost Varianta B Sestroj graf lineární funkce =7. Potom z něj zjisti všechna, pro která platí Příklad: Sestrojíme graf funkce. Pomocí pravoúhlého pravítka (pokud nesestrojujeme graf na milimetrový papír) zjistíme bod na grafu, který má funkční hodnotu případně 7. Na ose včteme, pro která je tato hodnota. (Jedná se o pravoúhlou soustavu souřadnic, proto souřadnice zjišťujeme kolmicemi na os.) 9 8 = Hodnot nabývá tato funkce v bodě, hodnot 7 v bodě. Ted.

19 Funkce - NG 9 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Hodnot nabývá tato funkce v bodě, hodnot 7 v bodě. Příklad k procvičení: ) Sestroj graf funkce a z něj včti, kd je ) Sestroj graf funkce a z něj včti, kd je ) Sestroj graf funkce a z něj včti, kd je ) Sestroj graf funkce a z něj včti, kd je

20 Funkce - NG Funkce,Df, Hf, vlastnosti, lineární funkce, nepřímá úměrnost Varianta C Řeš grafick soustavu souřadnic Příklad: Z obou rovnic vjádříme pomocí a sestrojíme graf: f g řešení : =; =- - Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

21 Funkce - NG Příklad k procvičení: ) Řeš grafick soustavu rovnic ; ) Řeš grafick soustavu rovnic ; ) Řeš grafick soustavu rovnic ; ) Do jedné soustav souřadnic sestroj graf :

22 Funkce - NG Přímá a nepřímá úměrnost Pravoúhlá soustava souřadnic O. Zavedením pravoúhlé (os jsou na sebe kolmé) soustav souřadnic O má každý bod jednoznačné určení místa v rovině. O počátek soustav souřadnic, os Souřadnice bodů jsou uváděn v hranatých závorkách, první hodnota (.souřadnice) je -ová, druhá hodnota (.souřadnice) je -ová. 8 7 [;7] 6 5 [-;] [6;] O [5;-] [-;-]

23 Funkce - NG souřadnice bodů v pravoúhlé soustavě souřadnic O A[;] B[-;5] C[6,5;-] D[-;] 8 7 B 6 5 A D O C -5 Přímá úměrnost: Jedno lízátko stojí Kč. Kolik Kč zaplatím za,,, lízátka? Vjádřeno tabulkou: (ks) (Kč) Kolikrát víc koupím lízátek, tolikrát víc zaplatím. Je vidět, že cena = počet kusů krát. Vjádřeno rovnicí:, kde =;;;;5;6;7;8

24 Funkce - NG Vjádřeno grafem: 7 (Kč) = (ks.lízátek) Přímá úměrnost: Kolikrát je větší, tolikrát je větší. Kolikrát je menší, tolikrát je menší. Přímá úměrnost se dá vjádřit rovnicí, tabulkou a grafem. Např. Rovnice: =,8 Tabulka: 5,8,6,,

25 Funkce - NG 5 Graf: graf přímé úměrnosti: =,8 5,5,5,5,5,5 O 5 6 Bod grafu leží na přímce procházející počátkem soustav souřadnic. Všechn bod ležící na této přímce vhovují dané rovnici přímé úměrnosti. Nepřímá úměrnost: Např. Jeden traktor zoře sám pole za 6 hodin. Jak dlouho budou pole orat,, 5, 8, 6 traktorů? Kolikrát bude víc traktorů, tolikrát méně je potřeba času na zorání pole. Veličin jsou nepřímo úměrné. Vjádřeno tabulkou: (traktorů) (hod.) 6 8,

26 6 Funkce - NG (hod.) 8 = 6/ 6 8 Hodnot os Y 6 (traktorů) O Je zřejmé, že počet hodin potřebných na zorání pole je 6 děleno počet traktorů, tad, Nepřímá úměrnost Kolikrát se zmenší, tolikrát se zvětší a naopak, kolikrát se zvětší, tolikrát se zmenší. Rovnice:, Všechn bod nepřímé úměrnosti leží na křivce, která se jmenuje hperbola. Nepřímá úměrnost se dá vjádřit rovnicí, tabulkou a grafem. Př. Rovnice: Tabulka:,,5,5

27 Funkce - NG 7 5 graf nepřímé úměrnosti : = / O Trojčlenka: Pomocí trojčlenk lze řešit úloh, v nichž ze tří známých údajů o dvou veličinách, které jsou buď přímo nebo nepřímo úměrné, řešíme čtvrtý údaj. Př. čokolád stojí 7 Kč, kolik Kč stojí čokolád Máme tři údaje o dvou veličinách, potřebujeme znát, kolik zaplatíme za čokolád. Řekneme si: kolikrát víc čokolád koupím, tolikrát víc zaplatím. přímá úměrnost, dám v zápisu šipku od a druhou při přímé úměrnosti stejným směrem. Po směru šipek sestavuji rovnici, její levou a pravou stranu.

28 8 Funkce - NG Ted Za čokolád se zaplatí 6 Kč. Př. Pojede-li auto průměrnou rchlostí 5 km/h, pojede hodin. Jak dlouho pojede, pojede-li rchlostí 8 km/h? Kolikrát pojede auto rchleji, tolik méně bude trvat cesta.nepřímá úměrnost, šipku nakreslíme opět směrem od, ale vzhledem k tomu, že jde o nepřímou úměrnost, druhá šipka má směr opačný.. A opět po šipkách vtváříme rovnici Auto pojede,5 hodin.

29 Funkce - NG 9 Přímá a nepřímá úměrnost Varianta A Dopočítejte chbějící souřadnici bodu v úměrnostech Příklad: Přímá úměrnost má rovnici Nepřímá úměrnost má rovnici Výsledek řešení: přímá úměrnost: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

30 Funkce - NG Příklad k procvičení: ) Určete chbějící souřadnice bodů v dané úměrnosti a) b) ) 8 kg jablek stojí Kč, kolik stojí 7 kg těchto jablek? ) dělníci vkonají danou práci za 8 hodin. Jak dlouho tatáž práce bude trvat dělníkům? ) Určete, které bod leží na dané úměrnosti a) b) 5) Dopočítej souřadnice daného bodu v zadané přímé úměrnosti a) b) C 6) Dopočítej souřadnice daného bodu v zadané nepřímé úměrnosti a) b)

31 Funkce - NG Přímá a nepřímá úměrnost Varianta B Napiš rovnici přímé i nepřímé úměrnosti, která prochází bodem Příklad: Přímá úměrnost má rovnici Výsledkem je Nepřímá úměrnost má rovnici Výsledkem je Výsledek řešení: Nepřímá úměrnost: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

32 Funkce - NG Příklad k procvičení: ) Napište rovnici přímé úměrnosti, která prochází bodem ) Napište rovnici nepřímé úměrnosti, která prochází bod ) Čerpadlo o výkonu 5 l/s včerpá ze zatopeného sklepa vodu za hodin a 5 minut. Jak výkonné musí čerpadlo být, ab bla voda včerpána za hodinu? ) Vichřice má rchlost 6m/s. Jak daleko dorazí za půl hodin? 5) Měřítko map je. Kolik ve skutečnosti představuje úsečka dlouhá na mapě 8 cm? 6) Měřítko map je. Jak dlouhá je vzdálenost na mapě, je-li skutečná vzdálenost, km? 7) Měřítko technického výkresu je. Jaká je skutečná délka součástk, je-li na obrázku dlouhá cm? 8) Tři dělníci b práci vkonali za 7 dnů. Po dnech k nim přibli další dva dělníci. Jak dlouho celkem bude trvat práce?

33 Funkce - NG Přímá a nepřímá úměrnost Varianta C pole vsází sazenicemi žen za dnů. Jak dlouho b trvala tato práce na takových polích pro 9 žen? Příklad: pole. žen dní pole 9 žen.. dní Šipkou vžd od! Pole jsou s počtem pracovních dnů přímo úměrné (čím víc polí je nutno obdělat, tím víc dní je třeba), proto šipka stejným směrem. Počet pracujících žen je s dobou na práci nepřímo úměrný (čím víc žen, tím méně dní je potřeba na práci). Ted opačný směr šipek.! Vžd posuzujeme úměrnost vzhledem k veličině, kterou hledáme a šipkou začínáme směrem od! Ted vzniklá rovnice: Tři pole b 9 žen obdělávalo dní. Výsledek řešení: Tři pole b 9 žen obdělávalo dní. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

34 Funkce - NG Příklad k procvičení: ) Měřítko plánu je :5. Jaká bude plocha čtverce na plánku, jestliže jeho skutečná plocha je ) 5 zedníků postaví za 8 dní zdi. Kolik zdi postaví 8 zedníků za 6 dní? ) Napiš rovnici k funkci dané tabulkou:, 8 6, ) Napiš rovnici úměrnosti, která náleží k zadanému grafu:, 9,6 7,,8, ) Napiš rovnici nepřímé úměrnosti, jejíž graf prochází bodem 6) Napiš rovnici přímé úměrnosti, jejíž graf prochází bod a

35 Funkce - NG 5 Kvadratické funkce Kvadratické funkce má tvar, a je jeho koeficien lineární člen, b je jeho koeficient c absolutní člen Grafem kvadratické funkce je parabola. Př. f: ,5,5 8 8,5, f obr.) -

36 6 Funkce - NG g: ,5,5 - -9/ - -/ -/6 -/6 -/ - -9/ - obr.) g -5 Z grafů funkcí je zřejmé, že pokud je koeficient kvadratického členu kladný, je parabola otevřená nahoru, pokud je kvadratický koeficient záporný, je parabola otevřená dolů. -6

37 Funkce - NG 7 Vsktuje-li se v rovnici i absolutní člen, grafick se funkce projeví posunem grafu ve směru os o daný absolutní člen. Např. posun f : z obr. ): 8 Rovnice funkce tpu ose : nám posouvá vrchol parabol po ose do bodu m na

38 8 Funkce - NG

39 Funkce - NG 9 Vrcholový tvar rovnice funkce (ze zápisu se dají včíst souřadnice vrcholu parabol): Např.: f Pokud je rovnice v obecném tvaru, ted tvar, upravíme ji na tvar vrcholový. Kvadratický a lin.člen upravíme na.mocninu rozdílu nebo součtu. Např.: f:

40 Funkce - NG Průsečík s osami: S osou : =: (viz. kapitola kvadratické rovnice) S osou : =: Rovnice s absolutní hodnotou: Pokud je celá rovnice funkce v absolutní hodnotě, nabývají vžd hodnot Tede graf (nebo jeho část) nacházející se pod osou se překlopí nad osu pomocí osové souměrnosi s osou souměrnosti. Např.:

41 Funkce - NG Kvadratické funkce Varianta A Sestroj graf funkce f: Příklad: Již ze zápisu vidíme, že vrchol bude v počátku soustav souřadnic a parobka bude otevřená dolů. Setrojíme tabulku a poté graf: ,5, ,5 -, Výsledek řešení:parabola V

42 Funkce - NG Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) Sestroj graf funkce g: ) Sestroj graf funkce f: ) Sestroj graf funkce g: ) Sestroj graf funkce f:

43 Funkce - NG

44 Funkce - NG

45 Funkce - NG 5 Kvadratické funkce Varianta B Sestroj graf funkce Příklad: Výsledek řešení: Grafem parabola otevřená dolů

46 6 Funkce - NG Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce

47 Funkce - NG 7 Kvadratické funkce Varianta C Sestroj graf funkce Příklad: Sestrojíme nejdříve graf bez absolutní hodnot. Převedeme na vrcholový tvar: Potom překlopíme graf nacházející se pod osou nad osu. Výsledek řešení: Grafem je parabola s vrcholem, která se překlopí nad osu podle osové souměrnosti s osou souměrnosti.

48 8 Funkce - NG Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce ) Sestroj graf funkce

49 Funkce - NG 9 Goniometrické funkce V pravoúhlém trojúhelníku platí vztah mezi poměr délek stran a velikostmi úhlů. Těmto vztahům, zákonitostem, říkáme goniometrické funkce. odvěsna k úhlu, přilehlá k úhlu. (a = protilehlá odvěsna k úhlu, přilehlá k úhlu, b = protilehlá (= nejdelší strana pravoúhlého leží proti pravému úhlu). Hodnot goniometrických funkcí se dají najít v tabulkách nebo na kalkulačce. A ted lze graf goniometrických funkcí:

50 5 Funkce - NG Graf funkce =sin : ( ,7,,5,6,766,866,9,985, =sinus α,8,6,, α ( )

51 Funkce - NG 5 Graf funkce =cos : ,985,9,866,766,6,5,,7, =cos α,8,6,, α ( )

52 5 Funkce - NG Graf funkce =tg α ,985,9,866,766,6,5,,7 8 7 =tg α 6 5 α ( )

53 Funkce - NG 5 Goniometrické funkce Varianta A Uspořádej vzestupně Příklad: Na kalkulačce najdeme Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) Urči úhel, je-li hodnota ) Urči úhel ) V pravoúhlém trojúhelníku je velikost stran, cm;,8 cm;,5 cm. Urči velikost nejmenšího úhlu (připomenutí-proti menší straně leží menší úhel). ) V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepon c=7 cm a strana b=9,7 cm. Urči úhel

54 5 Funkce - NG Goniometrické funkce Varianta B V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je délka odvěsn b= cm a úhel přepon a druhé odvěsn. Urči délku Příklad: Výsledek řešení ; = Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je délka odvěsn b= cm a úhel Urči délku přepon a druhé odvěsn. ) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je délka odvěsn a= cm a odvěsn b=7 cm.urči délku přepon a vnitřních úhlů. ) V obdélníku jsou délk stran 8 cm a 7, cm. Jaký úhel svírá úhlopříčka s delší stranou? ) Poloměr kružnice opsané obdélníku je cm.jeho kratší strana měří 5cm. Jaký úhel svírá úhlopříčka s delší stranou?

55 Funkce - NG 55 Goniometrické funkce Varianta C Rovnoramenný malířský žebř má délku ramen,8 m. Rozpětí ramen žebříku na zemi je maimálně, m. Jaký úhel v tomto případě svírají ramena žebříku? Příklad: Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklad k procvičení: ) V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c je délka odvěsn a=8 cm a velikost úhlu.urči výšku tohoto. ) O zeď je pod úhlem opřen žebřík. Jak vsoko sahá, je-li dlouhý ) Graf přímé úměrnosti prochází bodem Jaký úhel svírá graf s osou? ) V kosočtverci je vnitřní úhel a kratší úhlopříčka má délku Urči stranu kosočtverce a jeho delší úhlopříčku.