Martin Michálek. Konvergence Fourierových ad v L p prostorech BAKALÁ SKÁ PRÁCE. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁ SKÁ PRÁCE Martin Michálek Konvergence Fourierových ad v L p prostorech Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalá ské práce: Studijní program: Studijní obor: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Matematika Obecná matematika Praha 20

2 Cht l bych na tomto míst velmi pod kovat doc. Miroslavu Zelenému, vedoucímu mé práce, za velmi vst ícný p ístup, podn tné rady a za as, který mi v noval ke konzultacím. Zárove bych cht l pod kovat svým rodi m, za to, ºe m vºdy podporují v mých zájmech.

3 Prohla²uji, ºe jsem tuto bakalá skou práci vypracoval samostatn a výhradn s pouºitím citovaných pramen, literatury a dal²ích odborných zdroj. Beru na v domí, ºe se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona. 2/2000 Sb., autorského zákona v platném zn ní, zejména skute nost, ºe Univerzita Karlova v Praze má právo na uzav ení licen ní smlouvy o uºití této práce jako ²kolního díla podle Ÿ60 odst. autorského zákona. V Praze dne Martin Michálek

4 Název práce: Konvergence Fourierových ad v L p prostorech Autor: Martin Michálek Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalá ské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D., katedra matematické analýzy Abstrakt: Hlavní otázkou, kterou si klademe v této práci, je, zda posloupnost áste ných sou t Fourierovy ady konverguje v n jakém smyslu k funkci, z níº byla ada vytvo ena. V na²em p ípad se budeme zabývat konvergencí Fourierových ad lebesgueovsky integrovatelných funkcí a konvergenci uvaºujeme ve smyslu L p prostor pro p [, ). P ípad p = 2 se dá rozhodnout za pouºití vlastností ortogonální báze Hilbertova prostoru. Na²ím cílem bude analyzovat konvergenci p edev²ím pro ostatní uvaºovaná p. Je proto pot ebné vyuºít n které hlub²í výsledky z teorie Banachových (speciáln L p ) prostor. Klí ová slova: Fourierovy ady, periodické funkce, L p prostory itle: Convergence of Fourier series in L p spaces Author: Martin Michálek Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D., Department of Mathematical Analysis Abstract: he main question of this thesis is whether the partial sums of Fourier series converge in some sense to the function from which the series was derived. In our case we will analyze the convergence of Fourier series of Lebesgue integrable functions and the convergence will be meant in the sense of L p spaces for p [, ). he case p = 2 could be concluded from properties of orthogonal basis in Hilbert spaces. Our intention is to analyze the problem especially for the other p [, ). herefore we need to use some results from the theory of Banach (particularly L p ) spaces. Keywords: Fourier series, periodic functions, L p spaces

5 Obsah Základní pojmy a poznatky 2. L p prostory Prostory n, L p ( n ) a periodické funkce Fourierovy ady 6 2. rigonometrické polynomy a s ítací jádra Konvergence Fourierových ad v norm a omezenost operátor S N Konvergence Fourierových ad v L p (), p Konvergence Fourierových ad v L p ( n ), p Otázka konvergence Fourierových ad v prostoru L ( n )

6 . Základní pojmy a poznatky V této kapitole p ipomeneme n které pojmy a shrneme d leºitá tvrzení (p edev²ím z funkcionální analýzy a teorie L p prostor ), s nimiº budeme dále hojn pracovat.. L p prostory V celé této ásti textu zna í trojice (X, S, µ) prostor s mírou. Pro teorii Fourierových ad je vhodné uvaºovat funkce s hodnotami v oboru komplexních ísel. Pro p [, ) ozna me L p (X) mnoºinu Sm itelných funkcí f : X C, pro n º platí: f p dµ <, X kde integrál bereme v Lebesgueov smyslu. Mnoºina L p (X) tvo í vektorový prostor nad t lesem komplexních ísel vzhledem ke standardním operacím s ítání funkcí a násobení funkce komplexním íslem. Denujme zobrazení L p z prostoru L p (X) do reálných ísel následovn : ( f L p = X ) f p p dµ. oto zobrazení zavádí seminormu na prostoru L p (X). Vektorový prostor L p (X) faktorizujeme podle podprostoru K = {f L p (X): f = 0 µ skoro v²ude}, ímº sjednotíme funkce z L p (X) s nulovou seminormou do jedné t ídy ekvivalence faktorprostoru. Obdrºíme tak lineární prostor L p (X)/K = L p (X) s normou, kterou zna íme L p (X) nebo stru n ji p, jestliºe nem ºe dojít k nejednozna nostem. Poznámka.. A koliv je prostor L p (X) prostorem t íd ekvivalencí, dále v textu jiº nebudeme explicitn rozli²ovat mezi funkcemi f L p (X) a jim p íslu²nými t ídami ekvivalencí {g L p (X): f g K} L p (X) ani mezi prostory L p (X) a L p (X). vrdíme-li nap íklad, ºe posloupnost funkcí {f n } konverguje v prostoru L p (X) k funkci f L p (X), myslíme tím, ºe posloupnost t íd ekvivalencí reprezentovaných funkcemi f n konvergují v norm prostoru L p (X) ke t íd ekvivalence reprezentované funkcí f. Coº nám o funkcích f, f 2,..., f dává informaci: lim n X f f n p dµ = 0. Pí²eme-li nap íklad, ºe prostor v²ech spojitých funkcí C([0, ]) je podprostorem L ([0, ]), míníme tím podprostor t íd ekvivalencí reprezentovaných práv spojitými funkcemi. Následující v ty uvád jí nejd leºit j²í vlastnosti L p prostor. D kazy k nim m ºeme nalézt nap. v kapitolách 3 a 6 knihy [3]. ) V ta.2. Bu te (X, S, µ), p, L p (X) a p jako vý²e. Pak prostor (L p (X), p je Banach v prostor. 2

7 V ta.3. Nech µ je kone ná míra na X. Potom prostor S = {s: s je jednoduchá funkce} je hustý v prostoru L p (X) pro p [, ). (P ipome me, ºe s nazveme jednoduchou funkcí, jestliºe existuje n N, komplexní ísla α,..., α n a m itelné mnoºiny A,..., A n takové, ºe s(x) = n j= α jχ Aj (x).) V ta.4 (duální prostor k L p ). Nech < p < a µ je σ-kone ná míra na X. Nech Φ je spojitý lineární funkcionál na L p (X), potom existuje práv jeden prvek g L q (X) (p i emº q = p ) takový, ºe pro v²echna f p Lp (X) platí Φ(f) = fgdµ. Dále budeme pot ebovat n které záv ry z funkcionální analýzy týkající se Banachových prostor. D kazy p íslu²ných v t lze nalézt ve druhé kapitole [4]. am také lze nalézt denice a základní vlastnosti spojitých (omezených) lineárních operátor a duálních prostor. V ta.5 (princip stejnom rné omezenosti). Nech X je Banach v prostor, Y normovaný lineární prostor a bu G libovolný systém spojitých lineárních zobrazení L: X Y. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: existuje K > 0 takové, ºe L K pro v²echna L G, pro kaºdé x X existuje M takové, ºe Lx M pro v²echna L G. V ta.6 (banachovsky adjungované zobrazení/duální operátor). Nech X a Y jsou Banachovy prostory a : X Y je spojité lineární zobrazení. Ozna me X, resp. Y duální prostory k X, resp. k Y (prvky duálního prostoru zna íme téº s hv zdi kou). Denujme zobrazení : Y X p edpisem (y )(x) = y ( x). Potom je spojité lineární zobrazení a navíc mají operátory a stejnou normu. Následující tvrzení je d sledkem úplnosti p íslu²ných prostor (p ípadn Hahn- Banachovy v ty). Ukazuje, ºe spojitý lineární operátor je jiº charakterizován svojí restrikcí na hustý podprostor. V ta.7. Nech X a Y jsou Banachovy prostory, M je hustý podprostor prostoru X a : M Y je omezený lineární operátor. Potom existuje práv jeden lineární operátor : X Y spl ující (x) = (x) pro x M a X = M. X Zobecn nou verzi následující v ty m ºeme nalézt v první kapitole knihy []. V ta.8 (Riesz-horin). Nech (X, S, µ) je prostor s mírou a p, q, r, je trojice koecient z (, ) spl ující p < q < r. Bu lineární operátor denovaný na mnoºin jednoduchých funkcí na X, s oborem hodnot v prostoru Sm itelných funkcí z X do C. Nech existují kladné reálné konstanty M a M 2, ºe pro v²echny jednoduché funkce s na X platí (s) L p M s L p a (s) L r M 2 s L r. 3

8 Potom pro v²echny jednoduché funkce s na X máme (s) L q M θ M θ 2 s L q, kde θ = r(q p) q(r p)..2 Prostory n, L p ( n ) a periodické funkce eorie Fourierových ad se zabývá rozvojem periodických funkcí do nekone ných trigonometrických ad. V této práci budeme formulovat záv ry pro periodické funkce více reálných prom nných s hodnotami v C, pot ebujeme proto zobecnit n které základní pojmy. Mnoºinu v²ech nezáporných celých ísel budeme zna it N 0. Pro n N zna íme symbolem R n n-rozm rný euklidovský prostor s prvky x = (x,..., x n ), kde x i R pro i =,..., n. Vícerozm rné prom nné budeme pro lep²í p ehlednost ozna ovat tu nými písmeny. Prostor R n je vzhledem ke s ítání prvk (po sloºkách) grupou. Na prostoru R n zavádíme operaci skalárního sou inu standardním zp - sobem: pro x, y R n denujeme x y = x y + +x n y n, dále denujeme normu prvku x R n p edpisem x = (x x 2 n) 2. Mnoºinu v²ech ntic celých ísel zna íme Z n. Podgrupu {2πm: m Z n } grupy R n zna íme symbolem 2πZ n. Symbolem n zna íme faktorgrupu R n /2πZ n. akºe n m ºeme reprezentovat grupou prvk z mnoºiny [0, 2π) n, na níº denujeme s ítání následovn : pro x, y [0, 2π) n, x + y = ( (x + y ) mod 2π,..., (x n + y n ) mod 2π ). Na n pomocí kvocientového zobrazení q : R n [0, 2π) n, q(x) = (x mod 2π,..., x n mod 2π) p irozeným zp sobem zavádíme topologii, jejíº otev ené mno- ºiny budou tvaru q(g), kde G je otev ená v R n. Vzhledem k této topologii je prostor n metrizovatelný a kompaktní. Systém borelovských mnoºin na n se shoduje s borelovskými mnoºinami na [0, 2π) n, takºe se jeví p irozené zavést na n m itelné mnoºiny a míru stejn jako na [0, 2π) n. Geometricky si prostor n m ºeme p edstavit jako n-rozm rný torus. Denice. Bu n N a f : R n C. ekneme, ºe f je 2π-periodická funkce, jestliºe pro v²echna x R n a pro libovolné t 2πZ n platí f(x) = f(x + t). Poznámka.9. Ve²keré d leºité informace o periodické funkci získáváme ze znalosti jejích hodnot na [0, 2π) n. Je p irozené ztotoº ovat periodické funkce s funkcemi na n, s nimiº budeme dále pracovat. Standardním postupem zmín ným v oddílu. obdrºíme vektorový prostor t íd ekvivalencí L p ( n ) s normou p. ) Poznámka.0. Vzhledem k V t.2 je (L p ( n ), p Banach v prostor. Pozorování.. Zd razn me, ºe norma konstantní jednotkové funkce není rovna jedné: p n p dx = p (2π) n. 4

9 Díky invariantnosti Lebesgueovy míry vzhledem k posunutí plyne snadno z v ty o substituci následující tvrzení. Lemma.2. Nech f L ( n ) a t n. Potom f(x)dx = f(x t)dx. n n Pozorování.3. Bu te p (, + ) a q = p. Aplikací Hölderovy nerovnosti p na funkce f L p ( n ), g = L q ( n ) dostáváme f L ( n ) a f q (2π) n f p (2π) n f p. Pozorování.4. Nech f L p ( n ). Z denice integrálu p es n, z p edchozího pozorování (jeº nám dává integrovatelnou majorantu) a z Fubiniovy v ty plyne: f(x)dx =... f(x)dx dx 2... dx n. n V následujícím lemmatu zavádíme operaci, kterou nazýváme konvoluce. D kazy této a dal²ích zde nedokázaných v t lze nalézt v knihách [] i [2]. Lemma.5. Bu p [, + ). Nech f L p ( n ) a g L ( n ). Potom funkce zadaná p edpisem (f g)(t) = f(t x)g(x)dx je denovaná skoro v²ude (2π) n n na a náleºí prostoru L p ( n ). Navíc platí f g = g f a f g p (2π) n f p g f p g. (.) 5

10 2. Fourierovy ady 2. rigonometrické polynomy a s ítací jádra Denice. Periodickou funkci P : n C tvaru P (x) = m Z n a m e im x, kde a m C, a m 0 jen pro kone n mnoho m Z n, nazýváme trigonometrickým polynomem. Zna ení. Mnoºinu {m Z n : a m 0} z p edchozí denice p íslu²ící polynomu P budeme zna it sp P. rigonometrické polynomy tvo í vektorový prostor, jeº budeme zna it ( n ). Denice. Pro f L ( n ) a m Z n denujme m-tý Fourier v koecient p edpisem f(m) = f(x)e im x dx. (2π) n n Denice. Nech f L ( n ). Formální sumu S[f](x) f(m)e m Z im x nazýváme Fourierovou adou funkce n f. P íklad 2.. Bu m = (m,..., m n ) Z n. Víme, ºe e iτ = pro v²echna τ R, navíc funkce x e im x náleºí prostoru L ( n ). Potom z Pozorování.4 dostáváme: e im x dx = e im x e imnxn dx dx 2... dx n n n = e im x dx e imnxn dx n { (2π) n pokud m = 0, = 0 pokud m 0. Uvaºujme nyní trigonometrický polynom P (x) = k sp P a ke ik x. Pak pro m Z n platí P (m) = a k e i(k m) x dx (2π) n k sp P n { a m pro m sp P, = 0 pro m / sp P. Vidíme tedy, ºe Fourierovou adou trigonometrického polynomu je op t tentýº trigonometrický polynom. Denice. Bu n N a N N 0. rigonometrický polynom D (n,n) (x) = m Z n m j N e im x nazýváme nrozm rným tvercovým Dirichletovým jádrem stupn N. 6

11 rigonometrický polynom F (n,n) (x) = (N + ) n ( N ) ( N ) D (,k )(x ) D (,kn)(x n ) k =0 nazýváme nrozm rným Fejérovým jádrem stupn N. Poznámka 2.2. Obdobn lze zavést kruhové Dirichletovo jádro, jeº denujeme p edpisem D (n,r) (x) = e im x. m Z n m R Ob Dirichletova jádra pro n = splývají. Pozorování 2.3. Nech N N 0, n = a x \{0}, potom D (,N) (x) = N m= N e imx = e inx ei(2n+)x e ix = ei 2 (2N+)x e i 2 (2N+)x e i 2 x e i 2 x = sin k n=0 ( (N + 2 )x) sin( x 2 ). (2.) Uvaºujme nyní obecné n N, n 2, zaxujme m { N, N+,..., 0,..., N}, pak e im x = e im x e i(m 2,...,m n) (x 2,...,x n), m {m } Z n m j N m {m } Z n m j N se teme-li p edchozí výrazy p es m { N, N +,..., 0,..., N}, obdrºíme m Z n m j N e im x = (m 2,...,m n) Z n m j N N m = N e im x. Aplikací matematické indukce tedy m ºeme získat jiné vyjád ení Dirichletova jádra: D (n,n) (x) = D (,N) (x ) D (,N) (x n ). (2.2) Dle identit (2.) a (2.2) je tvercové Dirichletovo jádro reálnou funkcí. Z denice z ejm vyplývá D (,N) (x) 2N +, tudíº z rovnosti (2.2) plyne jednoduchý odhad: D (n,n) (x) (2N + ) n. (2.3) Pozorování 2.4. Nech n N a N N 0. Obdobn jako v p edchozím pozorování lze skoro v²ude vyjád ít polynom F (,N) ve tvaru ( F (,N) (x) = sin N+ N + sin x 2 tudíº F (,N) nabývá pouze nezáporných reálných hodnot (pro x = 0 plyne nezápornost z denice). 7 2 x ) 2,

12 Jednorozm rné Fejérovo jádro nabývá pouze nezáporných reálných hodnot. Pouºitím P íkladu 2. tedy dostáváme F(,N) N = D (,N) (x)dx = 2π. (N + ) k=0 Po ítejme F(n,N) =... F(,N) (x ) F (,N) (x n ) dx dx 2... dx n = F(,N) n = (2π)n. Poznámka 2.5. Fejérova jádra libovolného stupn jsou tedy stejn omezené. Ukáºeme si, ºe tuto vlastnost postrádají Dirichletova jádra. Jak pozd ji uvidíme, bude tento fakt hrát d leºitou roli v otázce konvergence Fourierových ad v norm prostoru L ( n ). P íklad 2.6 (Lebesgueovy konstanty). (P íklad je zárove e²ením cvi ení 3..8 monograe []). Odhadujme normu D (n,n). Vzhledem k Pozorování.4 a rovnosti (2.2) z Pozorování 2.3 se sta í zam it na p ípad n =. Postupným vyuºitím identity (2.), sudosti Dirichletova jádra a odhadu sin( x) x na intervalu [0, π] 2 2 máme D(,N) = 2π 0 π 4 0 sin ( N + 2) x sin( x) dx = 2 2 sin ( N + 2) x x dx. π 0 sin ( N + 2) x sin( x 2 ) dx Poslední integrál odhadneme zdola sou tem N integrál p es intervaly délky π (tj. integrál p es vlastní podmnoºinu [0, 2π]). Následn shora odhadneme N+/2 jmenovatele jednotlivých integrand horními mezemi integrál π sin ( N + 2) x N x dx (j+)π N+ 2 sin ( N + 2) x jπ x dx 0 N N+ 2 N + 2 (j + )π (j+)π N+ 2 jπ N+ 2 (N sin + ) x 2 dx. M jme j {0,..., N }. Funkce x sin ( ( ) N + 2) x nem ní na intervalu jπ, (j+)π znaménko, a tedy N+ N+ 2 2 (j+)π N+ 2 jπ (N sin + ) (j+)π ( x 2 dx = N+ 2 sin N + ) xdx jπ 2 N+ 2 N+ 2 = N + [cos(j + )π cos jπ] = 2 N Souhrnem dostáváme N D(,N) N (j + )π N + = 8 π 2 N j= j. 8

13 Následující v ta uvádí posta ující podmínky k tomu, aby ur itá posloupnost funkcí odvozená z funkce f L p ( n ) konvergovala k f v prostoru L p ( n ). M ºeme podotknout, ºe Dirichletova jádra dle P íkladu 2.6 nespl ují podmínku (i). Obecn j²í zn ní i s d kazem lze nalézt v první kapitole [] (nutno poznamenat, ºe v citované monograi zavádí autor konvoluci bez konstanty p ed integrálem). V ta 2.7. Nech {k N } je posloupnost funkcí z L ( n ), které pro v²echna N N spl ují podmínky (i) existuje konstanta M > 0 nezávislá na N, ºe (ii) n k N = (2π) n, (iii) pro v²echna δ (0, π) 2π δ lim N δ k N M, 2π δ k N (x) dx = 0. δ Potom pro libovolnou f L p ( n ), kde p [, ), platí lim k N f f N p = 0. D sledek 2.8. Bu p [, ), n N a f L p ( n ). Pak lim F (n,n) f f p = 0. N D kaz. Sta í ov it, ºe posloupnost {F (n,n) } N= spl uje v²echny t i podmínky V ty 2.7. Podmínka (i) plyne z Pozorování 2.4. Z denice Fejérova jádra máme pro x = (x,..., x n ) n F n,n (x) = F,N (x )... F,N (x n ), a tedy pouºitím Fubiniovy v ty a P íkladu 2. (p ípadn Pozorování 2.4) dostáváme n F n,n (x)dx = (2π) n, z ehoº plyne platnost podmínky (ii). Dle Pozorování 2.4 platí pro x \{0} ( sin N+ F n,n (x) = x 2 (N + ) n sin x 2 ) 2... ( sin N+ x ) 2 2 n. sin xn 2 Zvolme 0 < δ < π, potom pro j {,..., n} obdrºíme odhad ( 2π δ sin N+ x ) 2 ( ) 2 2π δ 2 δ sin x dx dx 2 δ sin δ = (2π 2δ) 2 Celkem 2π δ δ 2π δ F n,n (x) dx δ a tedy i podmínka (iii) je spln na. (N + ) n (2π 2δ)n sin 2n δ 2 9 sin 2 δ 2 0, N,.

14 D sledek 2.9. Bu p [, ). Mnoºina trigonometrických polynom je hustá v prostoru L p ( n ). D kaz. Sta í si rozmyslet, ºe pro libovolné f L p ( n ) a N N je (F (n,n) f)(t) = a (2π) n m e im (t x) f(x)dx n m sp F (n,n) = a m e im t e im x f(x)dx (2π) n m sp F n (n,n) trigonometrický polynom a aplikovat p ede²lý poznatek. (Pro p ehlednost jsme v rovnostech psali a m místo F (n,n) (m)). 2.2 Konvergence Fourierových ad v norm a omezenost operátor S N Hlavním zdrojem, podle n hoº byly zpracovány tento následující dva oddíly, je monograe []. Dále se jiº budeme zabývat pouze konvergencí Fourierových ad v norm prostoru L p ( n ). Nejprve si ov²em musíme vyjasnit, v jakém smyslu tuto konvergenci uvaºujeme. Denice. Bu N N 0, p [, + ) a f L p ( n ). rigonometrický polynom S (n,n) [f](x) = m Z n m j N f(m)e im x (2.4) nazýváme N tým áste ným tvercovým sou tem Fourierovy ady funkce f. V²ude tam, kde n N je pevn xované, budeme psát S N [f] místo S (n,n) [f] (stejnou úmluvu m jme i pro zna ení Dirichletova a Fejérova jádra). Pozorování 2.0. Pro f L p ( n ) m ºeme Ntý áste ný sou et psát také ve tvaru S N [f](x) = (D N f) (x), nebo S N [f](x) = m Z n m j N = (2π) n f(t)e im (x t) dt (2π) n n n f(t) m Z n m j N e im (x t) dt = (D N f)(x). Z denice áste ného sou tu a Fourierova koecientu plyne linearita operátoru S N : L p ( n ) L p ( n ). Pouºitím p edchozí identity a nerovnosti (.) z Lemmatu.5 získáme odhad S N [f] p = D N f p D N f p. (2.5) 0

15 Pro v²echna N N 0 konverguje integrál z funkce D N, z ehoº vyplývá omezenost operátoru S N. Jako v p ípad Dirichletova jádra, m ºeme i zde uvaºovat kruhovou alternativu áste ných sou t S N [f](x) = m Z n m N ( ) f(m)e im x = DN f (x). Denice. Bu p [, + ) a f L p ( n ). ekneme, ºe Fourierova ada funkce f konverguje k f v prostoru L p ( n ), jestliºe platí: lim f S N[f] N p = 0. (2.6) Poznámka 2.. Platí-li (2.6) pro v²echny f L p ( n ), budeme íkat, ºe prostor L p ( n ) zaru uje konvergenci v norm. Hlavní problém, kterým se ve zbytku práce budeme zabývat, je, zda prostor L p ( n ) pro p [, ) zaru uje konvergenci v norm. Uvidíme, ºe krom p ípadu p = dostaneme na tuto otázku kladnou odpov. Zmínili jsme se zatím o tvercových a kruhových áste ných sou tech, obdobných symetrických sou t ov²em m ºeme denovat více. Je tedy na míst se ptát, zda konvergence v norm záleºí na tom, jaký typ áste ných sou t uvaºujeme. Pokud se zajímáme pouze o p ípad n =, jsou v²echny symetrické áste né sou ty shodné. Ve více dimenzích v²ak mohou pro p 2 existovat funkce z prostoru L p ( n ), jejichº kruhové áste né sou ty nespl ují rovnost (2.6). Zna ení. Normu lineárního operátoru S : L p ( n ) L p ( n ) zna íme S p. P ipome me, ºe je denována p edpisem S p = sup{ S[f] p : f L p ( n ), f p = }. V ta 2.2. Nech p [, + ) a n N. Potom prostor L p ( n ) zaru uje konvergenci v norm, práv kdyº existuje kladná reálná konstanta K taková, ºe pro v²echna N N 0 S N p K. (2.7) D kaz. Nech prostor L p ( n ) zaru uje konvergenci v norm. Volme f L p ( n ) libovoln. Potom tudíº lim sup N lim sup N S N [f] p = lim sup S N [f] f + f p N f p = f p <, S N [f] f p + lim sup N sup S N [f] p <. N N 0 V Pozorování 2.0 jsme ukázali omezenost operátor S N, m ºeme tedy aplikovat princip stejnom rné omezenosti, jeº nám p esn postuluje záv r dokazované implikace. Nech naopak existuje K > 0 kladné takové, ºe pro v²echna N N 0 platí (2.7). Bez újmy na obecnosti m ºeme p edpokládat, ºe K >. M jme libovolnou

16 funkci f L p ( n ) a zvolme ε > 0. Podle D sledku 2.9 existuje trigonometrický polynom P, pro n jº f P p ε. Pouºitím P íkladu 2. dostáváme S 2K N[P ] = P pro v²echna N N 0 = max m sp P m. Pro libovolné N N 0 postupným vyuºitím p ede²lých poznatk, linearity S N a nerovnosti (2.7) máme: S N [f] f p S N [f] P p + f P p = S N [f P ] p + f P p K ε 2K + ε 2K < ε. Jelikoº íslo ε a funkce f byly brány libovoln, zaru uje L p ( n ) konvergenci v norm. Poznámka 2.3. První odhad norem operátor áste ných sou t plyne z nerovnosti (2.5). V P íkladu 2.6 jsme ukázali, ºe normy D N nejsou stejn omezeny, a tedy nerovnost (2.5) nem ºeme pouºít k d kazu na²eho úst edního tvrzení (V ty 2.2). 2.3 Konvergence Fourierových ad v L p (), p V této ásti odvodíme stejnou omezenost operátor S N pro p ípad n =. Pokud nebude e eno jinak, bereme p (, ). Denice. Nech Q (). Polynom Q(x) = i m Z sgn(m) Q(m)e imx = i m sp Q imx sgn(m) Q(m)e nazveme konjugovaným polynomem k polynomu Q. Operátor Q Q budeme nazývat operátorem konjugace. Rieszovu projekci polynomu Q denujme p edpisem P + [Q](x) = m= Q(m)e imx = m sp Q N Q(m)e imx. Poznámka 2.4 (d leºitá). Z linearity operátoru f f(m) plyne linearita vý²e denovaných operátor. Na operátory Q Q a P + budeme nahlíºet jako na operátory mezi prostory () uvaºované jako podprostory L p (). Lemma 2.5. Nech f, g L () a N N 0. Potom (i) N f(m)e imx = e inx 2N m= N t f(t)e int m=0 f( )e in( ) (m)e imx, kde f( )e in( ) ozna uje funkci (ii) Ozna me S N [g](x) = N N 0. 2N m=0 ĝ(m)e imx, potom S N p = S N p pro v²echna 2

17 D kaz. Nejprve dokaºme (i). Nech m { N,..., N}. Po ítejme f(m) = f(t)e imt dt = f(t)e int e imt e int dt 2π 2π = f( )e in( ) (m + N). Vyuºitím p ede²lé rovnosti dostáváme N m= N f(m)e imx = e inx = e inx N m= N N m= N f(m)e i(m+n)x 2N f( )e in( ) (m + N)e i(m+n)x = e inx f( )e in( ) (m)e imx. Pokra ujme d kazem ásti (ii). Volme N N 0 pevné. Z ásti (i) plyne rovnost S N [f] = e inx S N [f( )ein( ) ]. Vezmeme-li f L (), platí pro v²echna k Z e ik( ) f( ) p = p e ikt f(t) p dt = e ikt p f(t) p dt = f p p. (2.8) Je-li navíc f p, potom e ik( ) f( ) p a z denice normy lineárního operátoru platí m=0 S N [f] p = e inx S N[f( )e in( ) ] p = S N [f( )e in( ) ] p S N p. Máme-li naopak g L p ( n ) spl ující g p, potom S N[g] p = e inx S N [g( )e in( ) ] p S N p. Nyní sta í v obou p ede²lých nerovnostech p ejít k supremu p es v²echny funkce z L p () s normou nep esahující, ehoº vyplyne rovnost S N p = S N p. V ta 2.6. Prostor L p () zaru uje konvergenci v norm, práv kdyº existuje konstanta C > 0 taková, ºe pro kaºdý trigonometrický polynom Q platí Q p C Q p. (2.9) Jinými slovy L p () zaru uje konvergenci v norm, práv kdyº je operátor konjugace omezený vzhledem k L p norm. D kaz. Za n me pozorováním. Z denice Rieszovy projekce plyne P + [Q] = 2 (Q + i Q) 2 Q(0), Q = 2iP + [Q] + iq i Q(0), tudíº omezenost operátoru konjugace je ekvivalentní omezenosti operátoru P + (sta í aplikovat normu na ob rovnosti, uv domit si, ºe podle denice Fourierova koecientu a Pozorování.3 platí Q(0) Q 2π Q p ). P ejd me k d kazu ekvivalence. Zaru uje-li L p () konvergenci v norm, potom dle V ty 2.2 existuje K > 0, ºe pro v²echna N N 0 je S N p K. Z ásti (ii) 3

18 Lemmatu 2.5 máme konstantou K stejn omezeny i normy operátor S N. Nech Q (), volme N N tak, aby sp Q { N,..., N}. Potom P + [Q] = N m= Q(m)e imt = S N[Q] Q(0). Op t pouºijeme vý²e uvedený vztah mezi nultým Fourierovým koecientem a L p normou funkce Q a obdrºíme P + [Q] p S N[Q] p + Q(0) p (K + p 2π) Q p. Konstanta K nezávisí na N ani na Q, takºe operátor P + je omezený. Z pozorování uvedeného v úvodu d kazu vyplývá omezenost operátoru konjugace. Nech naopak existuje konstanta C taková, ºe pro v²echny polynomy P platí (2.9). Z úvodního pozorování plyne omezenost Rieszovy projekce. Vezm me N N 0, Q () a po ítejme Potom sup N 0 S N[Q](x) = m=0 Q(m)e imx = P + [Q] + Q(0) m=2n+ Q(m)e imx Q(2N + j)e i(2n+j)x j= = P + [Q] + Q(0) e 2iNx Q( )e 2iN( ) (j)e ijx j= = P + [Q] + Q(0) e 2iNx P + [ Q( )e 2iN( ) ]. ( S N(Q) p sup P + [Q] p + N 0 Q(0) + [ ] ) P+ Q( )e 2iN( ) p p ( P + p + p 2π) Q p + P + p Q p (2C + p 2π) Q p, kde v záv re ném odhadu vyuºíváme téº identity (2.8). Spojité operátory S N restringované na hustý podprostor () jsou stejn omezené. V ta.7 zaru uje jejich stejnou omezenost na celém L p () (roz²í ením restringovaných operátor na celé L p () jiº musíme obdrºet operátory S N ). Podle ásti (ii) Lemmatu 2.5 máme S N p (2C + p 2π), kde C nezávisí na N. akºe podle V ty 2.2 zaru uje L p () konvergenci v norm. Postupnými ekvivalencemi jsme tedy p evedli otázku konvergence v norm na omezenost operátoru konjugace. Lemma 2.7. Nech p [2, ) a nech je operátor konjugace omezený vzhledem k L p norm. Potom je omezený i vzhledem k norm prostoru L q, kde p + q = (p a q jsou sdruºené exponenty). D kaz. V tomto lemmatu vyuºijeme vlastností duálních operátor a charakteristiku z V ty.4. Bu L: L p () L p () jednozna n ur ené spojité roz²í ení operátoru konjugace a L duální operátor k L. Ukáºeme, ºe operátor L se 4

19 shoduje s operátorem konjugace na (). Z V ty.6 o duálním operátoru a z omezenosti operátoru L totiº vyplývá omezenost L, a tedy i L. udíº je-li zobrazení Q Q restrikcí L, musí jiº být omezené vzhledem k L q norm. Nech Q (), potom Q a L (Q) reprezentují spojité lineární funkcionály na L p (). M ºeme pouºít V tu.7 a ov ovat rovnost funkcionál Q a L (Q) pouze na () L p (). Zvolme proto R () a po ítejme ( (L (Q))(R) = Q(L(R)) = Q( R) = Q(t) i sgn(m) )dt R(m)e imt m Z ( = i sgn(m)q(t) )dt R(m)e imt m Z = i sgn(m) Q(t) R(m)e imt dt m Z = i sgn(m) m Z = i sgn(m) m Z = i sgn(m) m Z = = ( ) Q(t) R(x)e im(t x) dx dt 2π R(x)e imx ( 2π R(x) Q( m)e imx dx ( R(x) i sgn(m) )dx Q( m)e imx m Z ( R(x) i sgn( m) )dx Q(m)e imx m Z = ( Q)(R). ) Q(t)e imt dt dx V²echny sumy mají pouze kone n mnoho nenulových len, takºe jsme mohli zam nit sumu a integrál v rovnostech mezi 2. a 3. a mezi 6. a 7. ádkem. Zám na dvou integra ních znamení mezi 4. a 5. ádkem plyne z Fubiniovy v ty a spojitosti Q a R na kompaktu. Lemma 2.8. Nech P je trigonometrický polynom, potom existují trigonometrické polynomy Q, R: R spl ující P = Q + ir. D kaz. Pro libovolné c C, t, k Z a c = a + ib (a,b R) platí ce ikt = (a + ib)( eikt + e ikt + i eikt e ikt ) 2 2i = a eikt + e ikt b eikt e ikt + i(a eikt e ikt + b eikt + e ikt ) 2 2i 2i 2 = a cos(kt) b sin(kt) + i(a sin(kt) + b cos(kt)). Pro obecný polynom f takto provedeme rozloºení kaºdého jeho mono lenu a p íslu²né reálné polynomy se teme do polynom Q a R. 5

20 V ta 2.9. Bu k N. Potom existuje konstanta C 2k > 0 taková, ºe pro v²echna P () platí P 2k C 2k P 2k. D kaz. P edpokládejme nejprve, ºe P nabývá pouze reálných hodnot (P = P ) a ºe navíc platí P (0) = 0. Potom P (t) = i m>0 P (m)e imt + i m>0 P ( m)e imt, p i emº sumy obsahují pouze kone n mnoho nenulových len. Po ítejme P ( m) = P (t)e imt dt = P (t)e 2π 2π imt dt = P (t)e 2π imt dt = P (m). akºe i polynom P (t) = i m>0 ( ) P (m)e imt P (m)e imt = i 2iI( P (m)e imt ) m>0 = 2 m>0 I( P (m)e imt ) nabývá téº pouze reálných hodnot. V²imn me si, ºe P (t) + i P (t) = m Z P (m)e imt + m Z sgn(m) P (m)e imt = m>0 2 P (m)e imt je polynom obsahující pouze kladné mocniny e it, speciáln tedy P + i P (0) = 0. Zvolme k N. Polynom (P (t) + i P (t)) 2k téº obsahuje pouze kladné mocniny e it (násobíme mezi sebou polynomy s kladnými frekvencemi). Z denice nultého Fourierova koecientu tedy (P (t) + i P (t)) 2k dt = 0. Ekvivalentn podle binomické v ty 2k ( 2k )i j P (t) 2k j P (t) j dt = 0. j Reálná ást výrazu vlevo musí být nulová, navíc P i P nabývají pouze reálných hodnot, takºe: k ( ( ) 2k )( ) j P (t) 2k 2j P (t) 2j dt = R (P (t) + 2j P (t)) 2k dt = 0. (2.0) 6

21 Jelikoº P 2k dt = tak rovnost (2.0) m ºeme napsat ve tvaru Potom platí odhad P 2k dt = P 2k 2k, ( ) k+ P 2k = k ( 2k )( ) j P (t) 2k 2j P 2k (t) 2j dt. 2j P 2k k ( ) 2k P (t) 2k 2j 2k 2j P (t) 2j dt k j= ( ) 2k P 2k 2j P 2j 2j 2k 2k, kde poslední nerovnost získáme z Hölderovy nerovnosti pro sdruºené exponenty 2k a 2k. 2k 2j 2j Ozna me ρ = P 2k P 2k. P edchozí nerovnost pak lze vyjád it ve tvaru ρ 2k k j= ( ) 2k ρ 2k 2j. 2j Porovnáme-li asymptotické chování pravé a levé strany nerovnosti, kdyº ρ, nutn jiº musí být ρ < C 2k pro n jakou konstantu C 2k > 0. Neboli P 2k C 2k P 2k pro k N a speciální polynomy P. Postupn tento výsledek zobecníme pro libovolný trigonometrický polynom P. Nejprve si uv domme, ºe kdyº P (0) 0, tak p echodem k polynomu P 0 = P P (0) obdrºíme odhad P 2k = ( P0 2k C 2k P 0 2k C 2k P 2k + ) P (0) 2k ( + 2π)C 2k P 2k, nebo P (0) P 2π P 2k (pouºíváme Pozorování. a.3). Pokud P je obecný trigonometrický polynom, potom dle Lemmatu 2.8 existují reálné trigonometrické polynomy Q, R takové, ºe P = Q + ir. Z linearity operátoru konjugace dostáváme P = Q + i R. Dále platí P 2k Q 2k + R 2k ( + 2π)C 2k Q 2k + ( + 2π)C 2k R 2k (2 + 4π)C 2k P 2k, p i emº první nerovnost je trojúhelníková, druhá plyne z p ede²lých odhad a poslední z následujícího pozorování: P 2k = P (t) 2k dt = Q(t) + ir(t) 2k dt 2k ( = Q(t) 2 + R(t) 2) k dt Q 2k 2k + R 2k 2k. D sledek Nech p (, + ), potom prostor L p () zaru uje konvergenci v norm. 7

22 D kaz. Dle V t 2.6 a 2.9 zaru uje L 2k () konvergenci v norm pro v²echna k N. Podle V ty 2.2 existuje konstanta C 2k, ºe pro v²echna f L 2k () a N N platí S N (f) 2k C 2k f 2k. Speciáln tato nerovnost platí pro v²echny jednoduché funkce. Je-li p (2, )\{2k : k N}, potom existuje k N, pro které platí 2k < p < 2k + 2. Volme N N a aplikujme V tu.8 s trojicí koecient 2k < p < 2k + 2 a s restrikcí operátoru S N na podprostor jednoduchých funkcí. Jelikoº pro hrani ní koecienty jsme jiº odhad odvodili (nezávisle na N), tak existuje konstanta C p téº nezávislá na N, ºe pro v²echny jednoduché funkce s platí S N (s) p C p s p. (2.) Mnoºina jednoduchých funkcí tvo í hustý podprostor L p (). Díky jednozna nosti spojitého roz²í ení operátoru (V ta.7) obdrºíme nerovnost (2.) i pro ostatní funkce z L p (). akºe dle V ty 2.2 zaru uje L p () konvergenci v norm, p i emº máme toto tvrzení dokázané jiº pro p [2, ). Je-li p (, 2), pouºijeme p edchozího výsledku pro sdruºený koecient q = p p > 2. Dále z V ty 2.6 vyplývá omezenost operátoru konjugace vzhledem k Lq norm. Vyuºitím duality (Lemmatu 2.7) získáme omezenost operátoru konjugace i vzhledem k L p norm. Znovu aplikujeme V tu 2.6, ímº získáme dokazované tvrzení pro koecient p ze zbylého intervalu. 2.4 Konvergence Fourierových ad v L p ( n ), p Nyní jiº m ºeme zobecnit hlavní výsledek této práce i na funkce z L p ( n ). Velmi d leºitou roli hraje fakt, ºe uvaºujeme tvercové áste né sou ty. o nám totiº umoºní uplatnit matematickou indukci. V ta 2.2. Nech p (, ) a n N, potom prostor L p ( n ) zaru uje konvergenci v norm. D kaz. Jak jsme se jiº zmínili, povedeme d kaz matematickou indukcí. P edchozí D sledek 2.20 nám poslouºí jako d kaz induk ního p edpokladu pro n =. Nech tvrzení platí pro v²echna p irozená ísla men²í neº n +. Vzhledem k hustot goniometrických polynom v prostoru L p ( n ) a k V tám.7 a 2.2 nám sta í nalézt konstantu K > 0, takovou, ºe pro v²echna N N a v²echny P ( n+ ) platí S(n+,N)[P ] p K P p. (2.2) Nech N N a P ( n ), pak Ozna me si Q(x) = P (x) = m sp P e im x P (m). (m,...,m n) Z n m n+ N e im x P (m) N-tý áste ný sou et P vzhledem k poslední prom nné (p ipome me, ºe existuje pouze kone n mnoho nenulových len této sumy). 8

23 Pro pevné (x,..., x n ) n ozna me P (x,...,x n) polynom daný p edpisem x n+ P (x,..., x n, x n+ ). Pak z denice Q dostáváme vyjád ení Ntého áste ného sou tu polynomu P (x,...,x n) v bod x n+ : S (,N) [P (x,...,x n)](x n+ ) = (D (,N) P (x,...,x n))(x n+ ) = Q(x,..., x n, x n+ ). (2.3) Pro x n+ ozna me Q xn+ polynom (x,..., x n ) Q(x,..., x n, x n+ ). Potom pro v²echna x j, j =,..., n +, platí rovnost (S (n+,n) [P ])(x,..., x n, x n+ ) = (S (n,n) [Q xn+ ])(x,..., x n ), (2.4) která téº vyplývá z toho, ºe Q je Ntým áste ným sou tem P vzhledem k poslední prom nné. Z induk ního p edpokladu plyne existence konstant K a K n p íslu²ících dimenzi a n, které vyhovují nerovnosti (2.7). Celkem kde jsme vyuºili S(n+,N) [P ] p = (S(n+,N) [P ])(x) L p ( n+ ) p dx n+ = (S (n,n) [Q xn+ ])(x,..., x n ) p d(x,..., x n )dx n+ n = S(n,N) [Q xn+ ] p dx L p ( n ) n+ Kn p Q xn+ p dx L p ( n ) n+ = Kn p Q xn+ (x,..., x n ) p d(x,..., x n )dx n+ n = Kn p S (,N) [P (x,...,x n)](x n+ ) p dx n+ d(x,..., x n ) n = Kn p S(,N) [P (x,...,x n)] p d(x n L p (),..., x n ) KnK p p P (x,...,x n)(x n+ ) p dx n+ d(x,..., x n ) n = K p nk p P p L p ( n+ ), m itelnost funkcí P, Q, P (x,...,x n), Q xn+, jeº plyne ze spojitosti t chto funkcí, rovnosti (2.4) p i p echodu mezi. a 2. ádkem, induk ní p edpoklad pro dimenzi n mezi 4. a 5. ádkem, rovnosti (2.3) a Fubiniovu v tu (lze pouºít díky omezenosti P a Q) mezi 5. a 6. ádkem, induk ní p edpoklad pro dimenzi mezi 7. a 8. ádkem. Konstanty K a K n nezávisejí na výb ru polynomu P ani p irozeného ísla N a zárove platí (2.2) pro K = K K n. 9

24 2.5 Otázka konvergence Fourierových ad v prostoru L ( n ) V tomto oddíle se zam íme na e²ení vybraných cvi ení z knihy [] (oddílu 3.5), jeº se váºou ke zkoumané problematice. Dosud jsme se vyhýbali p ípadu, kdy p =. Z následujícího pozorování vyplyne, ºe normy jednotlivých operátor S N : L ( n ) L ( n ) je moºné zdola odhadnout prvky posloupnosti jdoucí k nekone nu. Proto neexistuje konstanta, jeº by ísla S N shora omezovala, a tedy podle V ty 2.2 existuje funkce f L ( n ), pro níº neplatí (2.6). Pozorování Nech M, N N. Podle Pozorování 2.4 spl uje F (n,m) (dále jen F M ) rovnost F M = (2π) n, a tedy dle denice normy operátoru plyne odhad [ S N S N M] (2π) F = n (2π) D n N F M. Vyuºitím trojúhelníkové nerovnosti a D sledku 2.8 D N F M D N DN F M D N 0, M, tudíº S N (2π) lim D n N F M M = (2π) D N n. Podle identity (2.), Fubiniovy v ty a P íkladu 2.6 platí D(n,N) = D (,N) (x ) D (,N) (x n ) dx... dx n = ( ) n D (,N) n 8 N, N. π j V dal²ím p íklad dokonce zkonstruujeme takovou funkci g, jejíº áste né sou ty jdou v norm prostoru L () do nekone na. Z toho poté jiº snadno plyne divergence posloupnosti { S N [g] g } N=. Nejprve ov²em uvedeme pomocné tvrzení. Lemma (i) Bu te M, N N, F M a D N jednorozm rná jádra, potom { FM (x) pro M N, (D N F M )(x) = F N (x) + M N (M+)(N+) k N k eikx pro M > N. j= (ii) Pro dostate n velká N N platí k e ikx 4 N log N. (2.5) π k N 20

25 D kaz. Za neme d kazem ásti (i). Je-li M N, potom z ejm (D N F M )(x) = S N [F M ](x) = F M (x). Pokud M > N, tak z denice Fejérova jádra (D N F M )(x) = 2π V²imn me si, ºe z ehoº plyne N k= j (N + )D N (x) = M + = M + D N (x t) M + M (D N D j )(x) N M D j (t)dt (D N D j )(x) + M N M + D N(x) = N + M + F N(x) + M N M + D N(x) = M + + N M M + = F N (x) + j e ikx = F N (x) + M N M + D N(x) ( M N (M + )(N + ) N k= N N D j (x) = Dohromady tedy dostáváme tudíº = N k e ikx = (N + )D N (x) ) N D j (x). N (N + k )e ikx, k= N N (N + )e ikx k= N N k= N (D N F M )(x) = F N (x) + k e ikx. M N (M + )(N + ) N (N + k )e ikx k= N N k= N k e ikx. Dále dokáºeme (ii). Podle p ede²lé ásti platí pro v²echna x N k= N k e ikx = (N + ) ( D N (x) F N (x) ) (N + ) D N (x) (N + ) F N (x), 2

26 k N k e ikx dx (N + ) D N (x) dx (N + ) F N (x) dx = (N + ) D N (N + ) F N. Podle P íkladu 2.6 tedy k e ikx 8(N + ) π k N N j= j 2π(N + ) 8(N + ) π log N 2π(N + ) = 8 N log N 2π(N + ), π kde ve druhé nerovnosti vyuºíváme známý dolní odhad Ntého áste ného sou tu harmonické ady. Pro dostate n velká N jiº musí platit nerovnost (2.5). P íklad V Pozorování 2.22 jsme vid li, ºe pro dostate n velká M jsou hodnoty D N F M blízko D N. Nabízí se tedy za vhodného kandidáta na funkci g vzít adu Fejérových jader (dostate n rychle rostoucích ád ), která budeme regulovat koecienty tak, aby g byla t ídy L a zárove, aby posloupnost norem áste ných sou t divergovala. Ukáºeme si, ºe funkce denována p edpisem g(x) = 2 j F Nj (x), kde N j = 2 22j, spl uje vý²e uvedené poºadavky. Z Pozorování 2.4 plyne, ºe suma vpravo konverguje absolutn pro v²echna x \{0}, tedy skoro v²ude vzhledem k Lebesgueov mí e. V²ude, kde je denovaná, nabývá g nezáporných reálných hodnot (coº také vyplývá z Pozorování 2.4), a proto pouºitím Leviho v ty dostaneme: g(x) dx = 2 j F Nj (x)dx = 2 j F Nj (x)dx = 2 j F Nj = 2π. akºe g L (). Zdola budeme odhadovat normy áste ných sou t. Nech N N je dostate n velké, aby platila ást (ii) Lemmatu V²imn me si, ºe S N [g](x) = D N (x t) 2 j F Nj (t)dt = 2 j (D N F Nj )(x), 2π kde poslední rovnost plyne z Lebesgueovy v ty o zám n sumy a integrálu, jelikoº pro v²echna x, t, K N platí K 2 j D N (x t)f Nj (t) 2 j D N (x t) F Nj (t) (2N + )g(t) 22

27 a funkce vpravo, jak jsme jiº ukázali, je integrovatelná majoranta. Nech κ N je nejmen²í takové, ºe N κ > N. Potom dle Lemmatu 2.23 (i) κ S N [g](x) = 2 j F j (x) + + j=κ 2 j F N (x) j=κ 2 j N j N (N j + )(N + ) k N k e ikx. Potom S N [g] 2 j N j N κ k e ikx (N j=κ j + )(N + ) 2 j F j (x) k N 2 j F N (x), j=κ N j N p i emº si uv domme, ºe len j=κ 2 j (N j je pouze multiplikativní konstantou. Z obdobných úvah jako p i výpo tu normy funkce g plyne existence +)(N+) konstanty L > 0 nezávislé na N spl ující κ 2 j F j (x) + 2 j F N (x) L. V následujících odhadech pouºijeme druhou ást Lemmatu S N [g] 2 j N j N (N j + )(N + ) k e ikx L j=κ j=κ 4 N π N + log N 4 π N N + log N j=κ j=κ+ k N 2 j N j N N j + L 2 j N j N N j + L. Pro v²echna j κ + platí N j = 2 22j κ κ 2N κ 2N, tudíº pro ta samá j platí N j N 2 N j. Navíc N j + 2N j, takºe dohromady N j N N j + N 2 j 2N j 4. udíº S N [g] π N N + log N j=κ+ 2 j L = π N log N L. N + 2 κ Z denice κ plyne nerovnost 2 22κ = N κ N. 23

28 Pro N > 2 m ºeme dvakrát aplikovat rostoucí funkci logaritmus na ob strany nerovnosti, kterou následn snadno upravíme do tvaru 2 κ log N 2 log log 2, log 2 takºe kone n S N [g] log 2 2π N N + log N log log N log 2 L. Posloupnost vpravo roste nade v²echny meze (vidíme navíc, pro bylo t eba volit tak rychle rostoucí posloupnost {N j }), a tedy lim S N[g] N =. Z toho jiº plyne, ºe Fourierova ada funkce g nekonverguje v norm prostoru L k funkci g. Kdyby tomu tak bylo, potom by platilo lim sup S N [g] lim S N[g] g N N + lim g N = g, coº je spor s neomezeností áste ných sou t. Obdobná funkce, a to g(x,..., x n ) = g(x ), nám poslouºí k vylou ení konvergence v norm L ( n ), sta í si totiº rozmyslet, ºe S(n,N) [ g] = (2π) n S(,N) [g]. 24

29 Literatura [] Grafakos Loukas, Classical Fourier Analysis. Springer, 2nd edition, [2] Katznelson Yitzhak, An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press, 3rd edition, [3] Rudin Walter, Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 2. vydání, [4] Luke² Jaroslav, Zápisky z funkcionální analýzy. Karolinum, Praha,. vydání,