Matematická analýza III. Jan Malý
|
|
- Kryštof Dostál
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematická analýza III Jan Malý
2
3 Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 4. Kontrolní otázky 1 Kapitola 2. Diferenciální po et funkcí více prom nných Derivace Derivace vy²²ích ád Inverzní zobrazení a implicitní funkce Implicitní variety 16 Kapitola 3. Extrémy funkcí více prom nných Lokální extrémy Globální extrémy Vázané extrémy 19 Kapitola 4. Pokro ilý integrální po et Riemann v integrál Lebesgue v integrál Po ítání jednorozm rných integrál Funkce Gamma 29 Kapitola 5. Vícerozm rné integrály Vícerozm rné integrály 31 Kapitola 6. K ivkový integrál Plochy a k ivky K ivkový a plo²ný integrál prvého druhu K ivkový integrál druhého druhu Elementy teorie pole 38 Kapitola 7. Plo²ný integrál Plo²ný integrál kodimenze V ta o divergenci 4 Kapitola 8. Obecn j²í plo²ný integrál a Stokesova v ta Integrování p es variety Stokesova v ta Praktické hledání parametrizace a ur ování orientace 45 3
4 Doporu ená literatura: [MAFII] J. Kopá ek: Matematická analýza pro fyziky II. Matfyzpress Praha [MAFIII] J. Kopá ek: Matematická analýza pro fyziky III. Matfyzpress Praha 22. [PMFII] J. Kopá ek a kol.: P íklady z matematiky pro fyziky II. Matfyzpress Praha 23. [PMFIII] J. Kopá ek a kol.: P íklady z matematiky pro fyziky III. Matfyzpress Praha 22. 4
5 KAPITOLA 1 Eukleidovský prostor 1. Eukleidovský prostor K vy²et ování funkcí více prom nných nás motivuje p edev²ím pot eba zkoumat funkce závislé na více veli inách (nap. na ase a teplot ). pot eba zkoumat funkce závislé na více m eních jedné veli iny (takové úlohy mohou vést k práci na prostorech velké dimenze). pot eba zkoumat funkce závislé na prostorové prom nné. Prostorová prom nná je formáln po ád jedna prom nná, ale pokud chceme popsat závislost na poloze bodu v prostoru vzorcem, nejefektivn j²í moºnost je vyuºít vyjád ení bodu v n jaké sou adnicové soustav. Popis závislosti je pak funkce závislá na sou adnicích bodu, kterých je jiº více. Sou adnice m ºeme voli nekone n mnoha zp soby. Ov²em, pokud zadání úlohy, kterou e²íme, nezávisí na volb sou adnic, výsledek by na ní také nem l záviset. Pokud má tedy obecný bod x sou adnice [x 1, x 2, x 3 ], m ºeme uvaºovat nap. funkci f(x) = x 1 sin(x 2 x 3 ). Na takovou funkci pohlíºíme jako na funkci jedné vektorové prom nné f(x) i t í reálných prom nných f(x 1, x 2, x 3 ), podle toho, který p ístup nám momentáln lépe vyhovuje. Prostor R n, denovaný jako lineární prostor, který vznikne kartézským sou inem reálných os, se nazývá eukleidovský prostor. Prvky eukleidovského prostoru se nazývají body nebo vektory. Skalár bude pro nás reálné íslo. Pokud pot ebujeme zd raznit vektorový charakter objektu, zna íme jej jiným fontem, nap. u v ti²t ném textu nebo nebo u v ru n psaném textu. Hranice mezi pouºitím pojm bod a vektor není p esná a ur uje se spí²e citem. Termín vektor up ednost ujeme, pokud zacházíme s prvky R n jako s prvky vektorového lineárního prostoru. Intuitivn, bod je veli ina, která má polohu, zatímco vektor má sm r a velikost (nebo délku? Stejn této veli in budeme íkat norma). Typická vektorová veli ina je rychlost, uv domte si, ºe nulová rychlost i s ítání (skládání) rychlostí má dobrý názorný smysl, ale nulový bod a s ítání bod p sobí um le. Je²t se k tématu vrátíme v druhé kapitole. Na vektory lze pohlíºet i jako na matice o jednom ádku nebo jednom sloupci. Za primární budeme povaºovat sloupcový zápis, který vede k svislým vektor m. Abychom odli²ili na²e vektory od vodorovných vektor a neztratili typograckou výhodu psaní do ádku, domluvíme se, ºe vektor, jehoº so adnice jsou napsány vodorovn v hranatých závorkách, je ve skute nosti svislý, tedy maticí bychom ho násobili zleva. P ipome me, ºe v R n, jokoº v kaºdém lineárním prostoru, m ºeme vektory s ítat a násobit skalárem. Od nepam ti matematiky vzru²ovala otázka násobení vektor mezi sebou. V dvourozm rném prostoru na²li operaci sou inu, p i níº sou inem dvou dvourozm rných vektor je op t dvourozm rný vektor a R 2 s touto operací spl uje axiomy komutativního t lesa. Tyto vlastnosti totiº spl uje algebraická struktura komplexních ísle. Ve vy²²í dimenzi nic tak dokonalého neexistuje. Vektory m ºeme násobit po sloºkách, to ale není p íli² zajímavé a pro vektory jako prvky prostoru to nemá fyzikální význam. Uºite n j²í jsou vektorový sou in v dimenzi 3 kvaterniony v dimenzi 4, maticové sou iny v dimenzi n 2, kuriozitou je Caleyova algebra v dimenzi 8. Kaºdý z t chto sou in postrádá aspo n kterou z vlastností komutativního t lesa. Pak se jest pouºívají sou iny, jejichº výstup má vy²²í dimenzi neº vstupy (tenzorové, vn j²í). Sou in, který brzy zavedeme, má naprosto fundamentální význam. Jeho výstup má dimenzi niº²í neº vstupy, totiº je to skalární sou in, neboli výstup má dimenzi jedna Definice (Skalární sou in). Standardní skalární sou in n-rozm rných vektor x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jako íslo x y = n x i y i. i=1 5
6 ekn me, ºe vektory x a y jsou navzájem kolmé, jestliºe x y = Definice (Vzdálenost, norma). Standardní eukleidovská vzdálenost bod x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n je dána vzorcem ρ(x, y) = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2. Normu bodu x = [x,..., x n ] R n denujeme p edpisem x = x x2 n. (Norma bodu je vlastn jeho vzdálenost od po átku.) Pak zápis vzdálenosti bod x a y m ºeme zjednodu²it na ρ(x, y) = y x. V dimenzi jedna se norma redukuje na oby ejnou absolutní hodnotu Poznámka. Vzorec pro vzdálenost bod se nedá odvodit, není z eho! D leºité je, ºe kdyº m íme vzdálenost podle tohoto vzorce, dostáváme výsledky v souladu s na²imi zku²enostmi z reálného sv ta V ta (Vlastnosti skalárního sou inu). Pro v²echna x, y, z R n, λ R platí (1) x y = y x, (2) (λx) y = λ(x y), (3) (x + y) z = x z + y z, (4) x = x x > V ta (Vztah normy a skalárního sou inu). (1) x = x x, (2) x y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2) = 1 4( x + y 2 x y 2), (3) 2 x y x 2 + y 2, (4) x y x y (Cauchy-Bu akovského nerovnost). D kaz. Z (3) dostaneme (4) trikem: 2 x x y y x x 2 + y 2 = 2. y 1.6. V ta (Vlastnosti normy). Pro v²echna x, y R n, λ R platí (1) x = x =, (2) λx = λ x, (3) x + y x + y V ta (Vlastnosti vzdálenosti). Pro v²echna x, y, z R n platí (1) ρ(x, y) = x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost) Definice (Úhel). Úhel mezi vektory x = [x 1,..., x n ] a y = [y 1,..., y n ] R n denujeme jako íslo α [, π] které vyhovuje rovnici x y = x y cos α Poznámka. Op t, jako v p ípad vzdálenosti, vzorec pro úhel mezi vektory je denice a nemá smysl se ho pokou²et odvodit. V²imn te si, ºe vektory svírají pravý úhel α = π/2 podle denice 1.8, práv kdyº jsou navzájem kolmé podle denice 1.1! 6
7 2. Obecn j²í pohled na prostor Prostor z reálného sv ta vnímáme po jisté abstrakci jako mnoºinu, v níº rozeznáváme body p ímky, roviny, dovedeme m it úhly a pom ovat vzdálenosti. Zna ný význam má grupa shodných zobrazení: pevné p edm ty se p emís ují pomocí shodných zobrazení a práv p emíst ní m ítka nám umoº uje pom ovat vzdálenosti. Zvolíme-li jednotku délky, m ºeme vzdálenosti nejen pom ovat (srovnávat), ale i m it. Zavedení sou adnic vná²í do geometrického prostoru dodate nou strukturu. Pokud bychom se tomu cht li vyhnout, m ºeme volit alternativní cestu axiomatického budování prostoru. P i ní vycházíme z abstraktní mnoºiny, na níº uvaºujeme strukturu, která je svázaná axiomy. Eukleides (365-3 p ed n. l.) vycházel ve své axiomatice z pojm jako bod, p ímka, rovnob ºnost apod. (Paradoxn zde uvádíme Eukleid v p ístup jako protiváhu k práci s eukleidovským prostorem bod, které mají sou adnice. Zavedení sou adnic se p ipisuje Descartovi ( ); na toho pamatujeme termíny kartézské sou adnice a kartézský sou in.) Efektivn j²í cestou k axiomatickému budování prostoru je vycházet z algebraických operací. Axiomatický p ístup je snaº²í u prostoru vektor, neº u prostoru bod. Lineární prostor uº jsme m li v lineární algeb e. V holém lineárním prostoru neumíme m it úhly (ani pravý). Abychom dali smysl úhl m, m ºeme strukturu obohatit o skalární sou in, tak vznikne unitární prostor. Axiomatická stavba prostoru bod je t º²í a zmíníme se o ní jen informativn. Tzv. anní prostor je zaloºený na operaci anní kombinace. Bod m x 1,..., x m a ísl m λ 1,..., λ m p i adí tato operace bod i=1 λ ix i, jestliºe je spln na podmínka λ i = 1. Nap íklad 1 2 x + 1 2y je bod, který leºí p esn v p lce mezi x a y. Mnoºina v²ech anních kombinací dvou r zných bod je p ímka. Podobn ze t í bod m ºeme dostat rovinu apod. Anní prostor nezveme geometrickým, pokud trojici bod umíme p i adit úhel. Axiomy anního prostoru a geometrického prostoru se zde nebudeme zabývat. Ostatn, z kaºdého anního prostoru lze vyrobit lineární prostor volbou po átku. V matematice se vyplácí studovat struktury na r zných stupních obecnosti. Obecn j²í struktury asto zahrnují víc model, na n º se dá aplikovat teorie. Nap íklad poznatky získané pro obecný pojem t leso se dají aplikovat jak na reálná, tak na komplexní ísla. Mén obecné, konkrétn j²í struktury jsou zase bohat²í. Na holém lineárním prostoru nemáme k dispozici ani skalární sou in, ani relaci kolmosti vektor. M ºeme si doplnit skalární sou in, který nám vytvo í normu. V n kterých úlohách (zvlá²t v nekone n rozm rném p ípad ) je v²ak t eba zavést normu jinak neº skalárním sou inem. Jindy pot ebujeme uvaºovat vzdálenost bod, která není odvozená od normy. K abstraktním prostor m pot ebujeme modely, nap. proto, abychom vid li, ºe námi denované struktury existují (mohlo by se nám teoreticky stát, ºe se pustíme do studia soustavy axiom, která v sob obsahuje spor). Jeden typ abstraktního prostoru m ºe mít víc r zných model. (Nap. R 2 a R 3. jsou r zné modely lineárního prostoru.) Struktury, které zde budeme uvaºovat, se dají v t²inou modelovat na R n Definice (Unitární prostor). Lineární prostor X se nazývá unitární prostor, jestliºe je vybaven operací skalární sou in, která kaºdé uspo ádané dvojici (x, y) X X p i adí íslo x y R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y, z X, λ R) (1) x y = y x, (2) (λx) y = λ(x y), (3) (x + y) z = x z + y z, (4) x = x x >. Jestliºe X je unitární prostor, normu na X denujeme p edpisem (1) x := x x Nech X je unitární prostor. Zobrazení A : X X se nazývá unitární, jestliºe A je lineární izomorsmus a zachovává skalární sou in, tedy platí vzorec (Ax) (Ay) = x y, x, y X. Unitární zobrazení v R 2 jsou nap íklad oto ení kolem po átku nebo osová symetrie (kdyº osa soum rnosti prochází po átkem) Definice (Normovaný lineární prostor). Lineární prostor X se nazývá normovaný lineární prostor, zkracujeme NLP, jestliºe je vybaven unární operací norma, která kaºdému vektoru x X p i adí nezáporné íslo x R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y X, λ R) 7
8 (1) x = x =, (2) λx = λ x, (3) x + y x + y. Vzálenost bod x a y na NLP denujeme p edpisem (2) ρ(x, y) := y x. Kaºdý unitární prostor je vybaven normou. (Ov te, ºe norma na unitárním prostoru spl uje axiomy normy!) Tudíº na unitárním prostoru je dána vzdálenost Poznámka. Vzniká otázka, zda na kaºdém NLP lze zavést skalární sou in tak, aby se stal unitárním prostorem a platil vzorec (1). Návod, jak po ítat skalární sou in z normy nám dává vzorec 1.5 (2). Pomocí tohoto vzorce m ºeme na kaºdém NLP zavést pokus o skalární sou in. (Vzorec má dv pravé strany, pokud se nerovnají, je to pro nás varování.) Problém je, ºe tato operace nemusí obecn spl ovat axiomy skalárního sou inu. O tom, zda tvorba skalárního sou inu z normy vzorcem 1.5 (2) povede k úsp chu rozhoduje test rovnob ºníkovým pravidlem x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Pokud lineární prostor, by normovaný, není vybaven skalárním sou inem, nemá smysl mluvit o kolmosti i úhlech! 2.4. Definice (Metrický prostor). Abstraktní mnoºina X se nazývá metrický prostor, zkracujeme MP, jestliºe je vybavena operací vzdálenost (neboli metrika), která kaºdé uspo ádané dvojici bod (x, y) X X p i adí nezáporné íslo ρ(x, y) R a spl uje axiomy (pro v²echna x, y, z X) (1) ρ(x, y) = x = y, (2) ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) (trojúhelníková nerovnost). Otev enou kouli v metrickém prostoru se st edem a X a polom rem r > denujeme jako mnoºinu Speciáln v NLP máme B(a, r) := {x X : ρ(x, a) < r}. B(a, r) = {x X : x a < r}. Nech a X a U X. ekneme, ºe U je okolí bodu a, jestliºe existuje r > tak, ºe B(a, r) U. ekneme, ºe U je redukované okolí bodu a, jestliºe existuje r > tak, ºe B(a, r) \ {a} U. (Význam pojmu okolí v literatu e není jednotný, n kte í auto i nap. pouºívají slovo okolí ve smyslu koule.) 2.5. Poznámka. Holý metrický prostor nemá lineární strukturu, ba ani po átek. I kdybychom po átek nebo dokonce lineární struktoru doplnili, není zaru eno, ºe vzdálenost od po átku bude spl ovat axiomy normy Definice (Podprostory). Nech X je lineární prostor. Mnoºina Y X se nazývá anní podprostor, jestliºe kaºdá anní kombinace prvk Y je prvkem Y (a pohlíºíme pak na Y jako na anní prostor s p edpisem anní kombinace p evzatým z p vodního prostoru). Nech X je metrický prostor. Mnoºina Y X se nazývá metrický podprostor, pokud na ni pohlíºíme jako na metrický prostor s p edpisem metriky p evzatým z p vodního prostoru, tj. vzdálenost prvk x, y Y v Y je stejná jako jejich vzdálenost v X Poznámka. Rozmanitost podprostor je jedním z motiv p echodu k chud²ím strukturám. P ímka procházející po átkem v R 2 je lineární podprostor. P ímka, která neprochází po átkem, jiº není lineární podprostor. Se teme-li dva body na této p ímce, dostaneme bod leºící mimo ni. Tato p ímka je ale stále anní podprostor. Obecn, mnoºina v²ech anních kombinací d + 1 bod je anní podprostor dimenze nejvý²e d. Kruºnice není anní podprostor R 2, je to ale metrický podprostor. 3. Spojitost a limita S eukleidovským prostorem jsme jiº pracovali v lineární algeb e. Jaký je rozdíl mezi algebrou a analýzou? V algeb e se studují operace: unární, binární, ternární atd. Po et operand je kone ný. V analýze navíc uznáváme nekone nární operace, k ur ení výstupu je t eba znát nekone ný po et vstup. P íklad: Algebra: kone ná suma. Analýza: nekone ná suma. Algebraickou analogií základnímu pojmu analýzy limita posloupnosti je triviální algebraická operace poslední prvek seznamu. 8
9 3.1. Definice (Limita posloupnosti). ekneme, ºe posloupnost {x (k) } k=1 prvk Rd má limitu a R d, pí²eme lim k x(k) = a nebo x (k) a, jestliºe [ ] ε > m N k N k m = x (k) a < ε. Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní. Limitu m ºeme denovat i pro posloupnosti prvk NLP nebo dokonce MP. V metrických prostorech nemá smysl výraz typu x a a nahrazujeme ho tedy výrazem ρ(x, a) Pozorování. (a) Posloupnost nemusí mít nutn limitu. Pokud ji ale má, je ur ena jednozna n. (b) Má-li posloupnost limitu a, má i kaºdá její podposloupnost limitu a. (c) Limita sou tu je sou et limit. Jestliºe x (k) x a λ k jsou reálná ísla, λ k λ, pak λ k x (k) λx. Jestliºe x (k) x a y (k) y, potom x (k) y (k) x y. (d) lim k x (k) = x, práv kdyº pro v²echna i = 1,..., d platí lim k x (k) i = x i, tj. posloupnost má limitu po sou adnicích. V dal²ím se budeme zabývat chováním zobrazení (funkcí) více prom nných. Nech n, d N a R n. Zobrazení f : R d se také nazývá vektorová funkce nebo vektorové pole. Pro d = 1 íkáme ast ji funkce, m ºeme pouºívat i skalární funkce i skalární pole Definice (Limita funkce). Nech R n a a R n. Nech f : R d je zobrazení a M. ekneme, ºe zobrazení f má v bod a limitu L R d vzhledem k mnoºin M, pí²eme jestliºe je spln no: ε > δ > x M lim f(x) = L, x a x M [ ] < x a < δ = f(x) L < ε. Obecn ji, podmínku M lze oslabit na existuje redukované okolí U bodu a tak, ºe M U, pak v denici je t eba psát x M. Vsuvku vzhledem k mnoºin M vynecháváme, jestliºe je aspo redukované okolí bodu a a M =. Pak také zna íme jednodu²e lim x a f(x). Pojem limity lze zobecnit na zobrazení mezi metrickými prostory (X, ρ X ) a (Y, ρ Y ), výrazy x a, f(x) L v tom p ípad nahrazujeme ρ X (x, a), ρ Y (f(x), L) Pozorování. (a) Zobrazení nemusí mít nutn limitu. Pokud ji ale má, je ur ena jednozna n... za p edpokladu, ºe M protíná kaºdé redukované okolí a. (b) Má-li zobrazení limitu L vzhledem k M, má ji i vzhledem ke kaºdé M M. (c) Limita sou tu je sou et limit. Limita sou inu je sou in limit (pro d = 1 nebo skalární sou in). (d) lim x a f(x) = L, práv kdyº pro v²echna i = 1,..., d platí lim k f i (x) = L i, tj. zobrazení má limitu po sou adnicích. (e) Jestliºe g : R má limitu v bod a vzhledem k M a f : R d, f g na pr niku M s redukovaným okolím a, pak f má limitu v bod a vzhledem k M Heineho v ta. Zobrazení f : R d má v a R n limitu L vzhledem k M, práv kdyº pro kaºdou posloupnost {x (k) } k=1 bod mnoºiny M \ {a} platí x (k) a = f(x (k) ) L Poznámka. Heineho v ta je p esným vyjád ením intuitivního popisu limity kdyº x jde k a, tak f(x) jde k L Definice (Spojitost). ekneme, ºe zobrazení f : R d je spojité v bod a vzhledem k M, jestliºe lim f(x) = f(a). x a x M Obecn ji, podmínku M lze oslabit na existuje okolí U bodu a tak, ºe M U. 9
10 Vsuvku vzhledem k M vynecháváme, je-li okolí a a M =. ekneme, ºe zobrazení f je spojité na, jestliºe f je spojité v kaºdém bod vzhledem k ; v tom p ípad nepoºadujeme, aby bylo okolí svých bod Poznámka. Podle na²í denice je nap. funkce spojitá na uzav eném intervalu a, b, pokud je spojitá v kaºdém vnit ním bod oboustrann, v bod a zprava a v bod b zleva. Uvaºujte Dirichletovu funkci D : R R, která p i adí kaºdému racionálnímu íslu x hodnotu 1 a kaºdému iracionálnímu íslu x hodnotu. Potom D je spojitá na mnoºin Q v²ech racionálních ísel, ale není spojitá v ºádném bod mnoºiny Q. To proto, ºe spojitost na mnoºin se rozumí vzhledem k této mnoºin, ale spojitost v bod se rozumí vzhledem k okolí Pozorování. (a) Sou et nebo sou in spojitých funkcí je spojitá funkce. (b) Zobrazení je spojité, práv kdyº je spojité po sou adnicích. (c) Funkce, která bodu x p i adí jeho i-tou sou adnici x i, je spojitá. (d) Funkce x x je spojitá. (e) Jestliºe f : R d má v a limitu L, E R d obsahuje f() {L} a g je funkce spojitá na E, pak sloºená funkce g f má v a limitu g(l) Poznámka. Podle pozorování 3.9(c) platí nap íklad toto: Jestliºe f je nezáporná funkce na a lim f(x) = L, pak lim f(x) = L. x a x a Metodika po ítání limit funkcí více prom nných. Po ítáme-li limitu lim f(x), x a kde f je funkce dvou prom nných denovaná na redukovaném okolí a, zkusíme nejprve spo ítat limitu funkce jedné prom nné L = lim f(x 1, a 2 ), x 1 a 1 která je totéº jako lim f(x) pro M = {x : x x a 2 = a 2 }. x M Pokud tato limita neexistuje, nem ºe ani existovat zadaná limita. Pokud limita L existuje, máme dv moºnosti. Chceme-li dokázat, ºe f má v a limitu L = L, snaºíme se odhadnout f L funkcí g, o níº víme, ºe má v a limitu. Nap íklad pro limitu najdeme odhad lim f(x), f(x) = x 1x 2 2 x x x2 2 f(x) x 2 x a pouºijeme znalost, ºe lim x x =. Pokud naopak chceme dokázat, ºe funkce nemá limitu, zkusíme najít mnoºinu M tak, ºe lim f(x) L x a x M (nebo neexistuje). Také se m ºe stát, ºe funkce má limitu nekone no (zkuste denovat!) Pak samoz ejm nemá ºádnou limitu L R Cvi ení. Denujte na R 2 operaci a ukaºte, ºe spl uje axiomy skalárního sou inu Cvi ení. Uvaºujte na R 2 normy (a) Ov te axiomy normy. 4. Kontrolní otázky (x, y) x 1 y 1 + 2x 2 y 2 x 1 = x 1 + x 2, x = max{ x 1, x 2 } 1
11 (b) Srovnávejte s eukleidovskou normou x i navzájem a pokuste se ur it p esnou konstantu. Nap. x 1 2 x (c) Jaký tvar mají koule? (d) Spl uje operace (x, y) 1 2 ( x + y 2 p x 2 p y 2 p) axiomy skalárního sou inu pro p = 1, resp. p =? 4.3. Cvi ení. Denujte na R 2 vzdálenost ρ s bod jako délku nejkrat²í lomené áry, která je spojuje a je sloºena jen z úse ek, které sm ují do pevného bodu a. Ukaºte, ºe tato vzdálenost spl uje axiomy metrického prostoru ale vzdálenost od po átku nespl uje vlastnosti normy. Výjimku tvo í volba a =, kdy vzdálenost od po átku je norma, ale neplatí obecn vztah ρ s (x, y) = y x Otázka. Které veli iny z reálného sv ta krom eukleidovské vzdálenosti p ipomínají svými vlastnostmi metriku? (Cena ºelezni ní jízdenky, geodetická vzdálenost, vzdálenost beroucí v úvahu sí cest i prostupnost terénu.) Vzdálenost musí být symetrická, takºe modely beroucí v úvahu námahu p i stoupání do kopce nevedou k metrice Otázka. Vymyslete si sv j vlastní metrický prostor Otázka. Nakreslete schéma, které srovnává podle obecnosti následující struktury: lineární prostor, NLP, geometrický prostor, R n, metrický prostor, unitární prostor, anní prostor Cvi ení. Najd te deni ní obor funkce x x 1 x 2 a zd vodn te její spojitost. (a) (b) 4.8. Cvi ení. Pro jsou následující funkce nespojité? f(x) = f(x) = { 1, x 1 >,, x 1. { x1 x, x,, x =. 11
12
13 KAPITOLA 2 Diferenciální po et funkcí více prom nných 1. Derivace 1.1. Definice (Lineární zobrazení, lineární forma, duál). Nech X, Y jsou lineární prostory. P ipome me, ºe zobrazení T : X Y se nazývá lineární, jestliºe pro v²echna x, y X, λ R platí (1) T (x + y) = T x + T y, (2) T (λx) = λt x. Pokud cílový prostor je R, lineární zobrazení : X R se nazývá lineární forma nebo lineární funkcionál (druhému z termín dáváme p ednost v nekone né dimenzi). V kone né dimenzi zna íme L(X, Y ) lineární prostor v²ech lineárních zobrazení X do Y a X je lineární prostor v²ech lineárních forem na X. Prostor X se nazývá duál k X. Pokud prostor X je nekone n rozm rný, vyºadujeme na X a Y strukturu NLP a symbol L(X, Y ) se rezervuje pro prostor v²ech spojitých lineárních zobrazení X do Y. Podobná úmluva platí i pro duál X. Zatím se v²ak budeme v novat jen kone n rozm rným prostor m Zna ení. Vektory kanonické báze prostoru R n budeme zna it e i, i = 1,..., n. Tedy e 1 = [1,,..., ], e 2 = [, 1,,..., ],..., e n = [,...,, 1]. Prostor v²ech matic o d ádcích a n sloupcích budeme zna it R d n. Speciáln pro d = 1 dostáváme (R n ), prostor v²ech vodorovných n-rozm rných vektor. Poznamenejme, ºe prostor (R n ) je skute n duál k R n ve smyslu p edchozí denice. Totiº, jestliºe (a 1,..., a n ) (R n ), potom n x a i x i, x R n i=1 je lineární forma na R n a obrácen, kaºdá lineární forma na R n se dá takovým zp sobem vyjád it. Podobn, je-li A R d n, potom x Ax, x R n je lineární zobrazení R n do R d a obrácen, kaºdé lineární zobrazení R n do R d lze takto reprezentovat n jakou maticí A R d n. Nebude-li hrozit nedorozum ní, nebudeme rozli²ovat mezi lineárním zobrazením a jeho maticí Definice (Derivace). Nech je okolí bodu x a f : R d je zobrazení. (a) Prvek b R d nazveme parciální derivací f v bod x podle i-té prom nné a zna íme D i f(x) nebo f x i (x), jestliºe b je oby ejná derivace v x i zobrazení Tedy s f(x 1,..., x i 1, s, x i+1,..., x n ). f(x + te i ) f(x) D i f(x) = lim. t t (b) Nech v R n je vektor. Prvek b R d nazveme derivací f v bod x ve sm ru v a zna íme D v f(x), jestliºe b je oby ejná derivace v nule zobrazení Tedy t f(x + tv). f(x + tv) f(x) D v f(x) = lim. t t (Parciální derivace podle i-té prom nné je tedy derivace ve sm ru e i.) (c) Prvek A R d n nazveme totálním diferenciálem f v bod x a zna íme f (x), jestliºe f(x + h) f(x) Ah lim =. h h 13
14 V této denici jde o limitu funkcí více prom nných, protoºe h R n. ekneme, ºe funkce f je diferencovatelná v bod x, jestliºe má v x totální diferenciál Dal²í terminologie a zna ení. Totální diferenciál se také nazývá derivace, silná derivace nebo Fréchetova derivace. P esn ji m ºeme rozli²ovat, ºe derivace je lineární zobrazení a totální diferenciál je matice, která toto zobrazení reprezentuje. Pro d = 1 je totální diferenciál vodorovný vektor, zatímco v t²inou pracujeme s prostorem svislých vektor Vodorovný vektor m ºeme postavit operací transpozice. Transponovaný totální diferenciál funkce f v bod x se nazývá gradient a zna í f(x) Pozorování. Nech f je diferencovatelná v bod x. Potom f je diferencovatelná ve v²ech sm rech, totiº pro v R n je f (x)v (maticový sou in) derivace f ve sm ru v. Speciáln, f má v²echny parciální derivace v bod x a D i f(x) je i-tý sloupec matice f (x) (resp. pro d = 1 je to i-tá sou adnice vodorovného vektoru f (x)). Tedy D i f(x) = f (x)e i Pozorování. Pro derivování skalární funkce f : R platí vzorce (1) D i (f + g) = D i f + D i g, (2) D i (λf) = λd i f, (3) D i (fg) = fd i g + gd i f V ta. Nech je okolí bodu a R n. Nech f : R má v bod a totální diferenciál. Pak f je spojitá v a V ta. Nech je okolí bodu a R n. Nech f : R má v bod a spojité parciální derivace. Pak f má v a totální diferenciál P íklady. Funkce f(x) = x1x2 x dodenovaná nulou v po átku má v nule parciální derivace, ale 2 není v nule spojitá a nemá tam totální diferenciál. Funkce { x 2 f(x) = 2, x 1 >,, x 1 má v nule totální diferenciál, ale není spojitá na ºádném okolí nuly a na ºádném okolí nuly nemá parciální derivace. (Tyto výroky je t eba chápat následovn : pro kaºdé okolí nuly U platí, ºe není pravda, ºe by f byla spojitá na U). Funkce f(x) = x je spojitá v nule, ale nemá tam parciální derivace. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovaná nulou v po átku má v nule v²echny derivace ve sm ru nulové, p esto nemá x 2 1 +x6 2 v nule totální diferenciál a není tam spojitá. Funkce f(x) = x1x3 2 dodenovaná nulou v po átku má x 2 1 +x4 2 v nule v²echny derivace ve sm ru nulové a je tam spojitá, p esto nemá v nule totální diferenciál V ta (O derivování sloºené funkce neboli etízkové pravidlo). Nech R n je okolí x R n, f : R d má v x totální diferenciál A, U R d je okolí bodu y = f(x) a g : U R m má v y totální diferenciál B. Potom sloºené zobrazení g f má v x totální diferenciál BA (maticový sou in). Speciáln, pro kaºdé i = 1,..., m, j = 1,..., n platí (g i f) x j (x) = d k=1 g i y k (y) f k x j (x). 2. Derivace vy²²ích ád Derivace vy²²ích ád získáme podobn jako v jednorozm rném p ípad iterováním derivací prvního ádu. Nap. D i D j f(a) denujeme jako D i g, kde funkce g je D j f. Aby D i D j f(a) mohla mít smysl, je nutné, aby D j f(x) m la smysl na okolí bodu a. Zna íme také nap. 2 f x i x j (x) = D i D j f(x). Exponent 2 u horního derivátka zna í, ºe jde o derivaci druhého ádu. Za rozumných p edpoklad m ºeme zam nit po adí derivování V ta (o zám nnosti parciálních derivací). Nech je okolí bodu a R n a f : R má v parciální derivace D i f, D j f, D i D j f. Jestliºe D i D j f je spojitá v a, potom D j D i f(a) existuje a D j D i f(a) = D i D i f(a). 14
15 2.2. P íklad. Uvaºujme funkci f(x) = x1x3 2 x 2 f (, x 2 ) = x 2, x 1 f (x 1, ) =, x 2 dodenovanou v po átku nulou. Máme 2 f (, ) = 1, x 2 x 1 f 2 (, ) =. x 1 x Definice. Nech funkce f je denovaná na okolí bodu a a p je polynom. ekneme, ºe p je Taylor v polynom stupn k funkce f v bod a, jestliºe p je polynom stupn k a f(x) p(x) lim x a x a k =. Funkce f m ºe mít v bod a nejvý²e jeden Taylor v polynom stupn k V ta (Taylorova). Nech je okolí bodu a R n a f : R má v a spojité parciální derivace aº do ádu k. Potom n f f(a) + (a)(x i a i ) n k f (a)(x i1 a i1 )... (x ik a ik ) x i k! x i1... x ik i=1 je Taylor v polynom f v bod a. i 1,...,i k =1 3. Inverzní zobrazení a implicitní funkce Uvaºujme zobrazení f : R d, kde R n je otev ená mnoºina. Místo f má spojité parciální derivace budeme íkat jak je zvykem f je spojit diferencovatelná. P ipome me, ºe podle v ty 1.8 odtud vyplývá, ºe f má v²ude totální diferenciál a ten také spojit závisí na x, nebo jeho sou adnice jsou ony parciální derivace Definice (Jacobiho matice, jakobián). Uvaºujme zobrazení f : R d, kde R n je otev ená mnoºina. Matice, která reprezentuje derivaci f (x) se nazývá Jacobiho matice. Je to matice f 1 f f x 1 (x),..., 1 x n (x) (x) =... f d f x 1 (x),..., d x n (x) V prvé ásti kapitoly se budeme zabývat p ípadem n = d. Pak je Jacobiho matice tvercová a její determinant se nazývá jakobián. Jakobián funkce f v bod x se zna í Jf(x). Tedy Jf(x) = det f (x). Poznat, zda daná funkce je invertibilní, není lehké. Následující v ta dává v n kterých situacích uspokojivou odpov lokáln V ta (o inverzním zobrazení). Nech R n je otev ená mnoºina a a. Nech f : R n je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Jf(a). Potom existuje otev ené okolí U bodu a a otev ené okolí V bodu f(a) tak, ºe f je bijekce U na V, inverzní zobrazení g = f 1 : V U je spojit diferencovatelné a platí vzorec g (y) = ( f (g(y)) ) 1, y V, neboli g (f(x)) = ( f (x) ) 1, x U; symbol ( f (x) ) 1 znamená inverzní matici k f (x). V dal²í ásti se budeme zabývat funkcemi, které jsou zadané implicitn, tedy není dán funk ní p edpis, ale vztah mezi prom nnými x a y, který by mohl umoº ovat vyjád ení y jako funkce prom nné x. Situaci, kdy je to aspo lokáln moºné, nám m ºe pomoci poznat následující v ta. Je-li Φ zobrazení o dvou (obecn vícerozm rných) prom nných, zna íme Φ(, y) zobrazení o jedné prom nné x, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot y a Φ(x, ) zobrazení o jedné prom nné y, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot x; tedy Φ(, y)(x) = Φ(x, )(y) = Φ(x, y). Derivace Φ(, y), Φ(x, ) jsou pak parciální derivace, ale podle obecn vícerozm rných prom nných, tj. Φ(, y) (x) = Φ (x, y), x Φ(x, 15 ) (y) = Φ (x, y). y
16 3.3. V ta (o implicitních funkcích). Nech R n R d je otev ená mnoºina a [a, b]. Nech Φ : R d je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Φ(a, b) = a (3) JΦ(a, )(b) Potom existuje otev ené okolí U bodu a, otev ené okolí V bodu b a funkce f : U V tak, ºe platí x U y V : Φ(x, y) = y = f(x). Funkce f je spojit diferencovatelná a platí vzorec ( 1Φ (4) f (x) = Φ(x, ) (y)) (, y)(x). (jde o invertování matice a sou in matic) Poznámka. Pokud d = 1, tedy prom nná y je jednorozm rná, pak se klí ový p edpoklad (3) zjednodu²uje na Φ (a, b) y a vzorec (4) na f x i (x) = Φ x i (x, y). (x, y) Φ y 4. Implicitní variety P ipome me se nejd íve následující fakt: uvaºujme v R d soustavu d n (homogenních) lineárních rovnic. Nech matice soustavy má hodnost d n. Potom mnoºina v²ech e²ení je lineární prostor dimenze n. Nelineární analogie vede k denici zak ivené n-rozm rné plochy dimenze n. Termín plocha je v²ak v analýze natolik pouºíván v r zných významech, ºe je n kdy lépe se mu vyhnout. Proto budeme rad ji pouºívat název varieta Definice (Implicitní varieta). Nech U R d je otev ená mnoºina, n d a g : U R d n je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech Jacobiho matice g má v²ude v U hodnost d n. Potom mnoºina Γ = {x U : g(x) = } se nazývá n-rozm rná implicitní varieta zadaná rovnicí (soustavou rovnic) g(x) = na U. Nech x Γ. Lineární obal vektor g 1 (x),..., g d n (x) se nazývá normálový prostor k Γ v x a zna í N x (Γ), je to lineární prostor dimenze n d. Jeho ortogonální dopln k se nazývá te ný prostor k Γ v x a zna í T x (Γ), je to lineární prostor dimenze n. Tedy T x (Γ) = { u R d : g 1 (x) u =,..., g d n (x) u = } Te ný ani normálový prostor nezávisejí na konkrétní podob soustavy rovnic která ur uje Γ, ale pouze na této mnoºin samotné Definice (Parametrizace, k ivo aré sou adnice). Nech Γ R d je n-rozm rná implicitní varieta. Zobrazení : G R d se nazývá parametrizace Γ, jestliºe G R n je otev ená mnoºina, : G : R d je prosté spojit diferencovatelné zobrazení, Jacobiho matice má v²ude v G hodnost n a (G) = Γ. Nahradíme-li podmínku (G) = Γ slab²ím (G) Γ, mluvíme o lokální parametrizaci. Nech t = [t 1,..., t n ] G. Veli iny t 1,..., t n m ºeme chápat jako k ivo aré sou adnice bodu (t) Γ. Mluvit o k ivo arých sou adnicích má smysl i v mezním p ípad n = d. Zobrazení, které bodu p i adí jeho k ivo aré sou adnice, je vlastn inverzní zobrazení k V ta. Nech Γ R d je n-rozm rná implicitní varieta a x Γ. Potom existuje lokální parametrizace : G R d variety Γ a t G tak, ºe (t) = x. Dále platí, ºe prostor T x (Γ) je generovaný bází ( (t),... ) (t) t 1 t n a N x (Γ) = { v R d : (t) v =,..., } (t) v = t 1 t V ta. Nech G R n je otev ená mnoºina a : G R d je spojit diferencovatelné zobrazení. Nech a G a Jacobiho matice (a) má hodnost n. Potom existuje otev ené okolí G G bodu a tak, ºe (G ) je n-rozm rná implicitní varieta v R d a : G R d je její parametrizace. 16
17 KAPITOLA 3 Extrémy funkcí více prom nných 1. Lokální extrémy 1.1. Definice (Extrémy, stacionární bod). Nech R n je okolí bodu a a f : R je funkce. ekneme, ºe f má v a lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) f(a) pro v²echna x U. ekneme, ºe f má v a ostré lokální minimum, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe f(x) > f(a) pro v²echna x U r zná od a. Podobn denujeme lokální minimum a ostré lokální minimum, pouze zm níme orientaci nerovnosti. (Ostrý) lokální extrém je (ostré) lokální minimum nebo (ostré) lokální maximum. ekneme, ºe funkce f má v a stacionární bod (také se íká kritický nebo singulární), jestliºe f (a) = V ta (Eulerova nutná podmínka). Nech funkce f má v bod a lokální extrém. Potom (a) v²echny parciální ( i sm rové) derivace, které existují, jsou nulové, (b) pokud je f v a diferencovatelná, pak a je stacionární bod f Definice (Kvadratické formy a jejich klasikace). Bilineární forma na lineárním prostoru X je zobrazení A : X X R, které je lineární v kaºdé prom nné. Kvadratická forma na lineárním prostoru X je zobrazení Φ : X R, které vznikne z n jaké bilineární formy p edpisem Φ(x) = A(x, x). Je-li A R n n matice, pak zobrazení n (x, y) Ax y = a ij x j y i je bilineární forma na R n a obrácen, kaºdou bilineární formu na R n lze reprezentovat tímto zp sobem. Pokud pouºijeme A pouze jako kvadratickou formu, tedy i,j=1 x Ax x, ztráta informace se projeví tím, ºe reprezentující matici m ºeme volit symetrickou. Pokud nebude hrozit nedorozum ní, nebudeme rozli²ovat mezi kvadratickými formami na R n a symetrickými maticemi n n. Kvadratickou formu (symetrickou matici) A R n n nazveme (a) indenitní, jestliºe jako kvadratická forma nabývá kladných i záporných hodnot, (b) pozitivn denitní, jestliºe Ax x > pro kaºdé x R n, x, (c) pozitivn semidenitní, jestliºe Ax x pro kaºdé x R n. Pojmy negativn denitní, negativn semidenitní denujeme analogicky se znaménky <, Poznámka. Nech E je jednotková matice. Ko eny λ i charakteristické rovnice det(a λe) = se nazývají vlastní ísla matice A. Platí: kvadratická forma A je (a) pozitivn semidenitní, práv kdyº v²echna vlastní ísla jsou nezáporná, (b) pozitivn denitní, prav kdyº v²echna vlastní ísla jsou kladná, (c) indenitiní, práv kdyº existuje kladné vlastní íslo a záporné vlastní íslo. V mnohých p ípadech se v²ak dá uhodnout chování kvadratické formy. Nap íklad kvadratická forma, která má na diagonále záporný prvek, nem ºe být pozitivn semidenitní. Kvadratická forma v dimenzi 2 je pozitivn denitní, práv kdyº a 11 > a det A > Definice (Druhý diferenciál). Nech R n je okolí bodu a a funkce f : R je diferencovatelná v. Potom (p ípadný) diferenciál funkce f (p ipome me: f = (f ) T ) v a se nazývá druhý diferenciál funkce f v a a zna í f (a). Druhý diferenciál funkce je výhodné brát jako kvadratickou formu. Jestliºe f má v a spojité parciální derivace druhého ádu, potom má v a gradient [ f b = (a),..., f ] (a), x 1 x n 17
18 druhý diferenciál a Taylor v polynom druhého ádu A : h n i,j=1 2 f x i x j (a)h i h j p(x) = f(a) + b (x a) A(x a) (x a). Zkoumání extrém funkce f v bod a lze do jisté míry p evést na zkoumání extrém jejího Taylorova polynomu druhého ádu v a V ta (Lagrangeova nutná podmínka). Nech funkce f má v bod a lokální minimum a spojité parciální derivace druhého ádu. Potom f (a) je pozitivn semidenitní V ta (Lagrangeova posta ující podmínka). Nech funkce f má na okolí bodu a spojité parciální derivace druhého ádu a f (a) =. (a) Jestliºe f (a) je pozitivn denitní, pak f má v a ostré lokální minimum. (b) Jestliºe f (x) je pozitivn denitní na redukovaném okolí bodu a, pak f má v a ostré lokální minimum. (c) Jestliºe f (x) je pozitivn semidenitní na redukovaném okolí bodu a, pak má f v a lokální minimum. 2. Globální extrémy 2.1. Definice (Otev ená, uzav ená mnoºina). ekneme, ºe mnoºina G R n je otev ená, jestliºe je okolím kaºdého svého bodu. Dopl ky otev ených mnoºin se nazývají uzav ené mnoºiny V ta. Mnoºina F R n je uzav ená, práv kdyº pro kaºdou konvergentní posloupnost {x (k) } prvk F platí lim k x (k) F P íklady. (a) Mnoºiny, R n jsou otev ené i uzav ené. (b) Mnoºiny (, 1) n, B(, 1) = {x : x < 1} jsou otev ené. (c) Mnoºiny, 1 n, {x : x 1} jsou uzav ené. (d) Mnoºina (, 1 n není ani otev ená, ani uzxav ená. (e) Mnoºina v²ech racionálních ísel v R není ani otev ená, ani uzxav ená V ta. (a) Jestliºe F i R n jsou uzav ené a je jich kone n mnoho, pak i F i je uzav ená. (b) Jestliºe G i R n jsou otev ené a je jich kone n mnoho, pak i G i je otev ená. (c) Jestliºe F i R n jsou uzav ené a je jich by nekone n mnoho, pak i F i je uzav ená. (d) Jestliºe G i R n jsou otev ené a je jich by nekone n mnoho, pak i G i je otev ená V ta. (a) Jestliºe f je spojitá funkce na uzav ené mnoºin F a α R, pak mnoºiny {x F : f(x) α}, {x F : f(x) α} jsou uzav ené. (b) Jestliºe f je spojitá funkce na otev ené mnoºin G a α R, pak mnoºiny jsou otev ené. {x F : f(x) > α}, {x F : f(x) < α} 2.6. Definice (Globální extrémy, omezenost). Nech M je libovolná mnoºina. ekneme, ºe funkce f : M R nabývá minima v bod a M, jestliºe f(x) f(a) na M. Hodnota f(a) (nikoli bod a) se pak nazývá minimum funkce f na M. Bod a se v této situaci nazývá minimizér. Podobn se denují maximum, nabývání maxima a maximizér. Maximum a minimum funkce f na M jsou tzv. globální extrémy, pokud chceme zd raznit, ºe nejsou jen lokální, íkám globální minimum (maximum). ekneme, ºe funkce f : M R je omezená, jestliºe existuje C R tak, ºe f(x) C na M. ekneme, ºe mnoºina A R n je omezená, jestliºe funkce x je omezená na A. 18
19 2.7. P íklady. (a) Funkce f(x) = x nabývá minima na R n v bod, av²ak nenabývá maxima. Je neomezená. (b) Funkce f(x) = arctg x je omezená na R a nenabývá tam maxima ani minima. (c) R n je neomezená mnoºina, je omezená mnoºina. (d) Mnoºina {x R 2 : x 1 + x 2 < 1} je omezená. (e) Mnoºina {x R 2 : x 1 x 2 < 1} je neomezená V ta. Kaºdá omezená posloupnost v R n má konvergentní podposloupnost V ta. Kaºdá spojitá funkce na uzav ené omezené mnoºin K R n je omezená a nabývá maxima a minima Poznámka. V ta 2.9 bývá asto jedinou rozumnou moºnosti jak ov it, ºe funkce f nabývá globálního minima na M v bod a. Nap. funkce f(x) = x 3 3x má v bod 1 jediné lokální minimum na R, ale to není záruka, ºe jde o globální minimum. Ve skute nosti tato funkce ºádné globální minimum na R nemá. Naopak, uvaºujeme-li stejný funk ní p edpis na mnoºin A = (, ), m ºeme postupovat následujícím zp sobem: 1. f musí nabývat minima na mnoºin M =, 2, protoºe M je uzav ená a omezená. Podez elý bod je a = 1, protoºe je tam f (a) =. V²imn me si, ºe f(a) = Body, 2 nemohou být body minima f na M, protoºe je v nich f. 3. Body x (, 1) (1, 2) nemohou být body minima f na M, protoºe je v nich f. 4. Tedy f nabývá minima na M v bod a = 1. Tedy f(x) f(a) na A M. 5. Je-li x > 1, pak x 2 > 3, tedy f(x) = x(x 2 3) > > f(a). Tedy f(x) f(a) na A \ M. 6. Záv r: f(x) f(a) na A, f nabývá minima na A v a. 3. Vázané extrémy V této kapitole budeme vy²et ovat extrémy funkce více prom nných vzhledem k mnoºin M R n. V situaci, kterou budeme vy²et ovat, bude zadaná soustavou nelineárních algebraických rovnic, p jde tedy o implicitní varietu Definice. Nech, M R n. ekneme, ºe funkce f : R nabývá na M lokálního minima v bod a M, jestliºe existuje okolí U bodu a tak, ºe U M a pro v²echna x U M platí f(x) f(a). Podobn se denuje lokální maximum na mnoºin. Mnoºin M, vzhledem k níº extrémy vy²et ujeme se íká vazba, proto mluvíme o vázaných extrémech V ta (O Lagrangeových multiplikátorech). Nech G R n je otev ená mnoºina a M G je (n k)-rozm rná implicitní varieta. Nech funkce f : G R nabývá lokálního minima na M v bod a a je v bod a diferencovatelná. Potom (5) f(a) N a (M). Jinými slovy lze (5) vyjád it takto: Je-li M zadaná soustavou rovnic g 1 (x) = = g k (x) =, kde g j jsou spojit diferencovatelné a Jacobiho matice g (a) má hodnost k, potom existují λ 1,..., λ k R (tzv. Lagrangeovy multiplikátory) tak, ºe k f(a) = λ j g i (a). j= Poznámka. Prakticky se bod a, v n mº se nabývá lokálního minima nebo maxima na M, hledá jako e²ení soustavy n+k nelineárních algebraických rovnic o n+k neznámých x 1,..., x n, λ 1,..., λ k. První skupinu rovnic tvo í n-tice k Druhou skupinu rovnic tvo í k-tice f x i (x) = j=1 λ j g j x i (x), i = 1,..., n. g 1 (x) =,..., g k (x) = Poznámka. Máme dv metody hledání vázaných extrém : lokální parametrizace a Lagrangeovy multiplikátory. V obou p íkladech nám mohou zbýt body, na které metoda nedosáhne, a tudíº se musí aspo do asn pojmout jako podez elé. Obraz p i lokální parametrizaci nemusí pojmout celou vazební mnoºinu. P i metod multiplikátor zase se mohou objevit nap. body, kde Jacobiho matice g (x) má men²í hodnost neº k. 19
20
21 KAPITOLA 4 Pokro ilý integrální po et 1. Riemann v integrál P i studiu integrálního po tu si musíme dob e rozmyslet, kterou denici integrálu se budeme u it. Riemannova denice je pon kud elementárn j²í a krom didaktického má i historický význam. Pokud se v²ak chceme matematikou zabývat váºn ji, m ºeme narazit na to, ºe nám Riemannova denice nebude sta it. Profesionální denice integrálu je Lebesgueova. Pokud se rozhodneme pro Lebesgue v integrál, Riemannovu denici nepot ebujeme Definice (Interval). Mnoºina I R, která zaujímá jeden z tvar (a, b), a, b), (a, b, a, b, kde a b +, se nazývá (jednorozm rný) interval. V prostoru R n denujeme (n-rozm rný) interval jako kartézský sou in jednorozm rných interval. Systém v²ech omezených n-rozm rných interval v R n zna íme I = I n Definice (Elementární délka a objem). Na I 1 denujeme mnoºinovou funkci délka intervalu p edpisem (6) l 1 (I) = b a, I { a, b, a, b), (a, b, (a, b) } Na I n denujeme mnoºinovou funkce elementární objem p edpisem l n (I 1 I n ) = l 1 (I 1 )... l 1 (I n ) Definice (D lení). Mnoºina D jednorozm rných interval se nazývá d lení intervalu [a, b], jestliºe existují t,..., t m R tak, ºe a a = t < t 1 < < t m = b D = {[t, t 1 ], [t 1, t 2 ],... [t m 1, t m ]}. Mnoºina D n-rozm rných interval se nazývá d lením intervalu [a 1, b 1 ] [a n, b n ], jestliºe existují jednorozm rná d lení D i interval [a i, b i ], i = 1,..., n, tak, ºe Tedy nap íklad máme-li jednorozm rná d lení D = {I 1 I n : (I 1,..., I n ) D 1 D n }. D 1 = {[s, s 1 ], [s 1, s 2 ],... [s p 1, s p ]}, D 2 = {[t, t 1 ], [t 1, t 2 ],... [t m 1, t m ]} jejich vynásobením dostaneme dvourozm rné d lení [s, s 1 ] [t, t 1 ], [s 1, s 2 ] [t, t 1 ],... [s p 1, s p ] [t, t 1 ], [s, s 1 ] [t 1, t 2 ], [s 1, s 2 ] [t 1, t 2 ],... [s p 1, s p ] [t 1, t 2 ], D =. [s, s 1 ] [t m 1, t m ], [s 1, s 2 ] [t m 1, t m ],... [s p 1, s p ] [t m 1, t m ]. Mnoºinu v²ech d lení intervalu Q budeme zna it (Q), p i emº dimenze bude jasná z kontextu Definice (Dolní a horní sou et, dolní a horní integrál). Nech Q R n je omezený interval a f je funkce na Q. Je-li D (Q), pak p íslu²ný dolní riemannovský sou et k funkci f bude s(f, D) := l(i) inf f(x), x I horní riemannovský sou et k funkci f bude S(f, D) := I D, I I D, I 21 l(i) sup f(x), x I
22 Denujeme (7) (R) (R) Q Q f(x) dx := f(x) dx := sup s(f, D) D (Q) inf S(f, D) D (Q) (dolní Riemann v integrál), (horní Riemann v integrál), 1.5. Definice (Riemann v integrál). Nech M R n je omezená mnoºina a f : M R je funkce. Najdeme takový omezený uzav ený interval Q, ºe M Q (lze ukázat, ºe na jeho volb v dal²ím nezáleºí). Poloºme { f(x), x M, f M (x) =, x Q \ M. Jestliºe < (R) f M (x) dx = (R) f M (x) dx <, Q Q pak ekneme, ºe funkce f je riemannovsky integrovatelná a spole nou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce f p es M a zna íme (R) f(x) dx. M Speciáln íslo (R) 1 dx M se nazývá objem mnoºiny M, p esn ji Jordan-Pean v objem V ta. Nech M R n je uzav ená a omezená a funkce f : M R je spojitá. Potom f je riemannovsky integrovatelná p es M Poznámka. Kaºdá riemannovsky integrovatelná funkce je omezená. Pokud (by omezená) funkce je hodn nespojitá, pak riemannovsky integrovatelná není. Také existují omezené mnoºiny, které nemají Jordan-Pean v objem. Integrály 1 dx x = 2, e x dx = 1 jsou mimo sféru p sobnosti neupraveného Riemannova integrálu (první integrand je neomezený, v druhém p ípad integrujeme p es neomezenou mnoºinu). 2. Lebesgue v integrál 2.1. Definice (Míra). Nech E R n je mnoºina. Vn j²í míru mnoºiny E denujeme p edpisem { } λ (E) = inf Q j j=1 l(q j ): Q j I n, E j Inmum tedy je p es v²echna pokrytí mnoºiny E n jakým spo etným systémem interval. Máme-li takové pokrytí, pak p íslu²ný sou et objem nazveme horním sou tem k λ (E). ekneme, ºe mnoºina E je m itelná, jestliºe pro kaºdý interval Q R n platí l(q) = λ (Q E) + λ (Q \ E). Význam tohoto testu je ten, ºe íslo l(q) λ (Q \ E) nám dává dolní odhad míry Q E. Pokud oba odhady jsou náleºit p esné, m ly be se rovnat. Je-li mnoºina E m itelná, smíme její vn j²í míru nazývat prost mírou mnoºiny E. Místo symbol l(e) (kdyº E je interval), λ (E) (kdyº E je libovolná), λ(e) (kdyº E je m itelná) se asto pouºívá E Poznámka. Lze dokázat existenci nem itelné mnoºiny, ale prakticky kaºdá mnoºina je m - itelná. Rozhodn je m itelných mnoºin mnohem víc, neº mnoºin, které mají Jordan-Pean v objem Definice (M itelná funkce).. Nech M R n je m itelná mnoºina. ekneme, ºe funkce f : M R je m itelná, jestliºe v²echny úrov ové mnoºiny jsou m itelné. {x M : f(x) > c}, c R, 22
23 2.4. V ta. Kaºdá otev ená nebo uzav ená mnoºina je m itelná. Kaºdá spojitá funkce na m itelné mnoºin je m itelná Definice (Lebesgue v integrál).. Nech M R n je m itelná mnoºina. Kone ný systém (E 1,..., E m ) m itelných podmnoºin M se nazývá lebesgueovské d lení mnoºiny M, jestliºe mnoºiny E i jsou po dvou disjunktní a jejich sjednocení dává M. Nech f : M R je nezáporná m itelná funkce a D = (E 1,..., E m ) je lebesgueovské d lení mnoºiny M. Potom íslo s(f, D) = m i=1 λ(e i ) inf E i f nazveme dolní sou et k M f(x) dx. Supremum v²ech dolních sou t k f(x) dx nazveme Lebesgueovým M integrálem funkce f, zna íme f(x) dx. (P ipou²tíme i hodnotu +.) M Jestliºe m itelná funkce f : M R nabývá i záporných hodnot, denujeme (8) f(x) dx = f + (x) dx f (x) dx, kde M M f + = max{f, }, f = max{ f, } jsou kladná, resp. záporná ást funkce f. Je f +, f a f = f + f, tedy je celkem logické o ekávat, ºe bude platit (8). M ºe se stát, ºe oba integrály na pravé stran (8) jsou. Potom ov²em jejich rozdíl je neur itý výraz a v takovém p ípad integrál funkce f p es M nedenujeme. ekneme, ºe funkce f je integrovatelná, má-li kone ný Lebesgue v integrál Poznámky. Mohlo by se zdát, ºe v denici integrálu nezáporné funkce chybí kontrola horními sou ty. Ta v²ak není zapot ebí, protoºe m itelnost funkce f dává záruku, ºe dolní sou ty bubou aproximovat dostate n p esn. Situace není symetrická (funkce m ºe být shora neomezená) a v p ípadných horní sou tech bychom musely p ipustit nekone n mnoho s ítanc, tím by se denice zkomplikovala. Následující v ty (i v dal²í kapitole) jsou formulovány pro Lebesgue v integrál. Pokud bychom je cht li pouºívat pro Riemann v integrál, museli bychom v²ude navíc p edpokládat existenci v²ech integrál, které se v nich vyskytují V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Nech f, g : R jsou integrovatelné funkce a λ R. Potom funkce f + g, λf jsou integrovatelné a platí (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, λf(x) dx = λ f(x) dx V ta. Nech R n je mná mnoºina. Nech f : R je integrovatelná funkce. Potom funkce f je integrovatelná., 2.9. V ta (Leviho v ta). Nech R n je m itelná mnoºina. Nech f, f k jsou m itelné funkce na a f = lim k f k. Potom f 1 f 2... M f(x) dx = lim f k (x) dx. k 2.1. V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Jestliºe f a g jsou integrovatelné funkce na a f g, pak f g Definice (Integrovatelná majoranta). Nech F je systém m itelných funkcí na m itelné mno- ºin R n. ekneme, ºe funkce g : R je majoranta k F, jestliºe pro v²echna f F platí f g. Majorantou k jednotlivé funkci f se rozumí majoranta k systému {f}. Integrovatelná majoranta neznamená nic jiného, neº majoranta, která je integrovatelná V ta. Nech R n je m itelná mnoºina. Jestliºe funkce f : R je m itelná a má na integrovatelnou majorantu, pak je integrovatelná. 23
24 2.13. V ta (Lebesgueova v ta). Nech f, f j jsou m itelné funkce na m itelné mnoºin R n. Nech posloupnost {f j } má integrovatelnou majorantu a f j f. Potom f je integrovatelná a f(x) dx = lim f j (x) dx. j V ta (Leviho v ta pro ady). Nech f j jsou nezáporné m itelné funkce na m itelné mnoºin R n. Nech ada funkcí j=1 bodov konverguje. Potom f j (x) dx = f j (x) dx. j= V ta (Lebesgueova v ta pro ady). Nech {f j } je posloupnost integrovatelných funkcí na m - itelné mnoºin R n a posloupnost {s k } áste ných sou t (s k = f f k ) má integrovatelnou majorantu. Nech ada funkcí j=1 bodov konverguje. Potom f j (x) dx = f j (x) dx. j= V ta (Zám na ady a integrálu). Nech {f j } je posloupnost integrovatelných funkcí na m itelné mnoºin R n. Nech ada funkcí j=1 bodov konverguje. Jestliºe f j (x) dx < +, pak j=1 j=1 j=1 j=1 f j (x) dx = j=1 f j (x) dx Integrály závislé na parametru. V dal²ím budeme vy²et ovat chování integrálu, v jehoº integrandu je dal²í prom nná (podle které neintegrujeme), zajímá nás závislost integrálu na této prom nné, tedy funkce t (t, x) dx. Je-li zobrazení o dvou (obecn vícerozm rných) prom nných, zna íme (, x) zobrazení o jedné prom nné t, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot x a (t, ) zobrazení o jedné prom nné x, které vznikne zaxováním první prom nné na hodnot t; tedy (, x)(t) = (t, )(x) = (t, x) V ta (Integrál závislý na parametru spojitost). Nech U R d a R n jsou m itelné mnoºiny. Nech je spojitá funkce prom nných t U a x. P edpokládejme, ºe systém funkcí {(t, ): t U} má integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U R denovaná p edpisem f(t) = (t, x) dx je spojitá na U V ta (Integrál závislý na parametru derivace). Nech U R d a R n jsou m itelné mnoºiny. Nech je spojitá funkce prom nných t U a x. P edpokládejme, ºe je diferencovatelná podle prom nné t a t je spojitá na U. P edpokládejme, ºe integrály (t, x) dx konvergují a ºe systém funkcí { } t (t, ): t U má integrovatelnou majorantu. Potom funkce f : U R denovaná p edpisem f(t) = (t, x) dx 24
Matematická analýza III. Jan Malý
Matematická analýza III Jan Malý Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 Kapitola 2. Diferenciální po et funkcí více
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceAplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceVYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceDenice integrálu: Od Newtona k Bendové
Denice integrálu: Od Newtona k Bendové Jan MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí nad Labem OSMA, V B-TU Ostrava, 3. listopadu 2015 Jan MALÝ Od Newtona... 1 / 32 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Jan MALÝ
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2
VíceQR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =
. cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceOBSAH. 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách
OBSAH 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách 1.díl: P edstava o plo²e.... 2 I trojrozm rné objekty lze znázornit v rovin. 2.díl: Reálná ísla a p ímka.... 3 Souvislost mezi ísly a geometrií. 3.díl:
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceModelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
Vícena za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceKvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Více< (h(x i ) ε) + ϕ k (t i ) ϕ k (t i 1 ) + ε m.
KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU JAN MALÝ 1. Obecná úloha 1.1. Formulace úlohy. N které klasické úlohy varia ního po tu lze vyjád it ve tvaru J () = h(x) ds, kde h : R n [, + ] je nezáporná zdola polospojitá
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceTEORIE MÍRY. A to jsme se docela snažili. Nešlo to jinak.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceMatematika II Extrémy funkcí více promìnných
Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceSemestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Vícese nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným
Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po
Více