16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte počkat. Nejprve krátké opakování ze střední školy. Pamatujete na kartézský součin množin? Definice 1.1. (Kartézský součin) Kartézským součinem množiny A a B nazveme množinu A B = {(a, b) a A, b B}. To jest, jde o množinu všech uspořádaných dvojic, kde první z dvojice je prvkem z množiny A a druhý je prvkem z množiny B. Pár příkladů: Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 3, 5}, pak A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5)}. Jestliže A = {prasátko, } a B = {Lojzík, 3}, pak ale A B = {(prasátko, Lojzík), (prasátko, 3), (, Lojzík), (, 3)}, B A = {(Lojzík, prasátko), (3, prasátko), (Lojzík, ), (3, )}, Z tohoto příkladu plyne, že A B nemusí být vždy totéž jako B A. U kartézského součinu záleží na pořadí!
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 17 Jestliže A = {1, 2} a B = {1, 2}, pak A B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = B A. V případě, že A = B platí A B = B A = A A. Nyní si vzpomeňme na základní školu a na sčítání přirozených čísel. Jak se sčítají? Jednoduše, nějaké dvě čísla vezmu, kupříkladu 1 a 1 a jako jejich součet mi vyjde číslo 2. Obdobně součin dvou reálných čísel. Nasypu do něj třeba čísla 2 a 3 a vypadne číslo 6. Obecně, zobrazení, které každé uspořádané dvojici prvků z množiny A (což je prvek kartézského součinu A A) přiřadí nějaký prvek z A, nazýváme binární operací na množině A. Definice 1.2. (Binární operace) Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení : A A A. Hodnotu (a, b) budeme dále značit a b (tak jak jsme zvyklí, nepíšeme +(2, 3), ale 2 + 3). Ekvivalentní formulace: Binární operací na množině A nazveme každé zobrazení definované na množině A A takové, že a, b A : a b A. (Říkáme, že zobrazení je uzavřené na množině A - hodnota a b neunikne z množiny A, ale zůstane v ní.) Pokud bude jasné, že máme na mysli binární operaci, budeme mluvit pouze o operaci. Dodejme, že zobrazení : A A A A nazýváme ternární operací na A, zobrazení : A A nazýváme unární operací na A a obecně zobrazení nazýváme n-ární operací na A. : A A... A n - krát A Příklad 1.3. Rozhodněte, zda je zobrazení binární operací na množině A. je obvyklé násobení reálných čísel, A = R. Násobení reálných čísel je definováno tak, že každé dvojici reálných čísel přiřadí jejich součin, což je opět reálné číslo. Proto jde o zobrazení z R R do R. Podle Definice 1.2 to znamená, že jde o binární operaci na množině reálných čísel.
18 Algebraické struktury s jednou binární operací je restrikce násobení reálných čísel na množinu iracionálních čísel I, A = I. je tedy zobrazení, které funguje stejně jako násobení reálných čísel, ale omezíme se pouze na násobení iracionálních čísel. Vezměme příklad: 2 I 2 I = 2 / I. Vynásobili jsme dvě iracionální čísla, ale jejich součin již iracionální číslo není! Proto není operací na I (Nejde o zobrazení z I I do I). je restrikce sčítání přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Sečteme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde číslo sudé, proto není operací na A. je restrikce násobení přirozených čísel na množinu lichých přirozených čísel A = {2k 1 k N}. Vynásobíme-li dvě lichá přirozená čísla, vyjde opět číslo liché. Podmínka uzavřenosti zobrazení na A je splněna. Proto je binární operací na A. Množinu A, na níž je definována nějaká operace (označit ji můžeme různě,, *, +,.,... ) budeme říkat grupoid. Přesněji řečeno, budeme tak nazývat uspořádanou dvojici, která sestává z této množiny a této operace. Definice 1.4. (Grupoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je binární operace nazýváme grupoid. Známých grupoidů je mnoho, například: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení.
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 19 Z výše uvedeného (Příklad 1.3) je patrné, že například množina iracionálních čísel spolu s jejich obvyklým násobením grupoid netvoří, neboť součin dvou iracionálních čísel již nemusí být iracionální číslo. Grupoid, jehož operace je asociativní budeme nazývat pologrupou. Definice 1.5. (Pologrupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (tzn. (A, ) je grupoid ) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, ( je asociativní) nazýváme pologrupou. Všechny výše uvedené příklady grupoidů jsou také příklady pologrup, neboť sčítání celých čísel je asociativní. Například platí: (1 + 2) + 5 = 3 + 5 = 8 = 1 + 7 = 1 + (2 + 5), Sčítání čtvercových matic reálných čísel je asociativní.například platí: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3 + + = + + 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 ) sčítání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Například platí: (x 2 + x) + x = x 2 + 2x = x 2 + (x + x), skládání reálných funkcí definovaných na R je asociativní. Uvažujme například funkce dané předpisy f : f(x) = x+1, g : g(x) = 2x a h : h(x) = sin x. Potom Funkce f (g h) zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h sin x g f 2 sin x 2 sin x + 1 To jest, (f (g h)) (x) = 2 sin x + 1 Funkce (f g) h zobrazuje dle následujícího schématu: ( ) x h g sin x 2 sin x f 2 sin x + 1 To jest, ((f g) h) (x) = 2 sin x + 1 Ještě uvedeme příklad grupoidu, který není pologrupou. Podle definice pologrupy tedy půjde o grupoid, jehož operace není asociativní.
20 Algebraické struktury s jednou binární operací Příklad 1.6. Uvažujme grupoid (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 1. Podle této tabulky určíme, že ale 1 * (2 * 3) = 1 * 1 = 2, (1 * 2) * 3 = 3 * 3 = 1. Vidíme, že 1 * (2 * 3) (1 * 2) * 3. Operace * proto není asociativní a grupoid (A, *) tak není pologrupou. Vzpomeňme na násobení reálných čísel. Násobíme-li libovolné reálné číslo a číslem 1, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k násobení reálných čísel. Přičteme-li k libovolnému reálnému číslu a číslo 0, obdržíme opět číslo a. Říkáme, že číslo 0 je neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání reálných čísel. Podobně u matic, neutrálním prvkem vzhledem k násobení je jednotková matice a vzhledem ke sčítání je to nulová matice. Definice 1.7. (Neutrální prvek) Nechť je operace na množině A. Prvek e A nazveme neutrálním prvkem vzhledem k operaci právě když a A : a e = e a = a. Pologrupu, v níž existuje nějaký neutrální prvek, nazýváme monoid. Definice 1.8. (Monoid) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) nazýváme monoid. Při pohledu na definici monoidu by mohlo leckoho napadnout, proč v bodu 3.) vystupuje a e i e a. Vždyť je to totéž, ne? Ne, nemusí být! Záleží na operaci. Třeba sčítání reálných čísel komutativní je, pro každé dvě reálná čísla a
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 21 a e opravdu platí a + e = e + a. Ale symbol může představovat třeba násobení matic, a to komutativní není. Obecně pro dvě matice A a E (byť třeba čtvercové a o stejném počtu řádků) neplatí, že A E = E A. Algebraickou strukturu, jejíž operace je komutativní častujeme přídomkem Abelova. Mluvíme tak o Abelově grupoidu, Abelově pologrupě, Abelově monoidu, či grupě. Ale vraťme se k monoidům. Pár příkladů: (Z, +), kde Z je množina celých čísel a + je jejich obvyklé sčítání. (Z, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je celé číslo 0 Z (a + 0 = 0 + a = a) a + je komutativní operace. (M (n,n), ), kde M (n,n) je množina čtvercových matic reálných čísel o n řádcích a je jejich obvyklé násobení. (M (n,n), ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je jednotková matice E (A E = E A = A). Ale není to Abelův monoid, protože není komutativní operace. (F, +), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a + je jejich obvyklé sčítání, (F, +) je Abelův monoid, neboť je to pologrupa, neutrálním prvkem je funkce o daná předpisem x R : o(x) = 0 R a jejich obvyklé sčítání je komutativní. (F, ), kde F je množina reálných funkcí definovaných na R a je jejich skládání, (F, ) je monoid, neboť je to pologrupa a neutrálním prvkem je identita, to jest funkce id daná předpisem x R : id(x) = x. Ale není to Abelův monoid, protože skládání funkcí není komutativní operace. Uvažujme algebraickou strukturu (A, *), kde A = {1, 2, 3} N a operace * je dána následující tabulkou: * 1 2 3 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1. Z této tabulky je vidět, že:
22 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.) Operace * je uzavřená na množině A = {1, 2, 3} (v tabulce se neobjevilo nic jiného, než 1, 2, nebo 3). 2.) Operace * je asociativní, neboť (pro stručnost uvedeme jen 3 z 27 možností, které je třeba prověřit): (1 * 1) *1 3 2 (1 * 1) *2 3 3 (3 * 3) *3 1 2 = 1 * (1 * 1) 3 2 = 1 * (1 * 2) 1 3. = 3 * (3 * 3) 1 2 3.) Neutrálním prvkem vzhledem k operaci * je prvek 2, neboť: 1 * 2 = 2 * 1 = 1 2 * 2 = 2 * 2 = 2 3 * 2 = 2 * 3 = 3 Můžeme proto tvrdit, že algebraická struktura (A, *) je monoid. Navíc vidíme, že tabulka je symetrická podle diagonály. To je neklamným znakem toho, že * je operace komutativní. Proto si můžeme dovolit ještě silnější tvrzení, a to, že (A, *) je Abelův monoid. Vyvstává otázka. Může býti v monoidu i více neutrálních prvků? Odpověď je jednoduchá. Ne! Věta 1.9. (O jednoznačnosti neutrálního prvku) Nechť (A, ) je monoid. Potom v A existuje jediný neutrální prvek vzhledem k operaci. Důkaz. Předpokládejme, že e 1 A a také e 2 A je neutrální prvek vzhledem k operaci. Potom e 1 = e 1 e 2 = e 2. Znemená to, že neexistují dva různé neutrální prvky vzhledem k operaci.
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 23 Zavedeme další pojem. Opět vzpomeňme na násobení reálných čísel. Kterým číslem je třeba vynásobit číslo 2 tak, aby vyšlo číslo 1 (neutrální prvek)? Ano správně, jednou polovinou. Analogie pro sčítání reálných čísel je následující. Které číslo je třeba přičíst k číslu 2 tak, aby vyšlo číslo 0 (neutrální prvek při sčítání)? Jistě, bude to číslo 2. Říkáme, že jedna polovina je inverzním prvkem čísla 2 vzhledem k násobení reálných čísel. Číslo 2 je zase inverzním prvkem k číslu 2 vzhledem ke sčítání reálných čísel. Definice 1.10. (Inverzní prvek) Nechť je operace na množině A a e je neutrální prvek vzhledem k operaci. Prvkem inverzním k prvku a A vzhledem k operaci nazveme každý prvek a 1 A takový, že a a 1 = a 1 a = e. Všimněme si, že ne každé reálné číslo má inverzní prvek vzhledem k násobení (inverze k nule neexistuje), ale každé reálné číslo má svůj inverzní prvek vzhledem ke sčítání. Monoid, kde každý prvek má svůj inverzní prvek budeme nazývat grupou. Prvek inverzní k prvku a budeme označovat a 1. Definice 1.11. (Grupa) Uspořádanou dvojici (A, ), kde A je neprázdná množina a je zobrazení definované na množině A A takové, že 1.) a, b A : a b A, (uzavřenost) 2.) a, b, c A : a (b c) = (a b) c, (asociativnost) 3.) e A a A : a e = e a = a, (existence neutrálního prvku) 4.) a A a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, (existence inverzních prvků) nazýváme grupa. Grupa je speciálním případem monoidu. Víme proto, že v ní existuje pouze jediný neutrální prvek (Věta 1.9). Jak je to ale s inverzními prvky? Může mít daný prvek více prvků inverzních? V grupě ne! Věta 1.12. (O jednoznačnosti inverzního prvku) Nechť (A, ) je grupa. Potom v A existuje ke každému prvku právě jeden prvek inverzni. To jest, platí: a A! a 1 A : a a 1 = a 1 a = e, kde e je neutrální prvek vzhledem k operaci.
24 Algebraické struktury s jednou binární operací Důkaz. Předpokládejme, že a 1 1 a také a 1 2 jsou inverzní prvky k a vzhledem k operaci. (A, ) je grupa, proto operace je asociativní. A tak a 1 1 = a 1 1 e = a 1 1 (a a 1 e 2 ) = (a 1 1 a) a 1 2 = a 1 2. e Znamená to, že neexistují dva různé inverzní prvky k prvku a vzhledem k operaci. Věta 1.13. Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom platí: (a 1 ) 1 = a. To jest, inverzním prvkem k a 1 je a. Ještě jinak, prvek je inverzním prvkem ke svému inverznímu prvku. Důkaz. Důkaz plyne okamžitě z definice inverzního prvku (Definice 1.10). Věta 1.14. Nechť (A, ) je grupa, a 1, a 2,..., a n A. Potom platí: (a 1 a 2 a n ) 1 = a 1 n a 1 2 a 1 1. Důkaz. Tvrzení věty plyne z asociativity operace ((A, ) je grupa!): (a 1 a 2 a n ) (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) = e = (a 1 a 2 a n 1 ) (a 1 e. n 1 a 1 2 a 1 1 ) = = (a 1 a 2 ) (a 1 2 a 1 1 ) = e = a 1 a 1 1 = e. Obdobně se dá ukázat, že (a 1 n a 1 2 a 1 1 ) (a 1 a 2 a n ) = e.
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 25 Značení 1.15. Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující značení. Nechť (A, ) je grupa, a A a n N. Potom prvek a a a budeme označovat n krát symbolem a n. Prvek a 1 a 1 a 1 budeme označovat symbolem a n. n krát To jest, a n = a a a n krát a a n = a 1 a 1 a 1. n krát Neutrální prvek v grupě (A, ) budeme označovat symbolem a 0. S využitím zavedeného značení zformulujeme přímý důsledek Věty 1.14. Věta 1.16. Nechť (A, ) je grupa, a A. Potom: 1. n N : (a n ) 1 = (a) n. 2. m, n Z : a m a n = (a) m+n. Důkaz. První tvrzení je tvrzením Věty 1.14 pro případ a 1 = a 2 = = a n. Tvrzení druhé pak okamžitě plyne z tvrzení prvního a zavedeného značení. Věta 1.17. (O krácení v grupě) Nechť (A, ) je grupa. Potom pro každé a, b, c G platí: (a c = b c) (a = b) Důkaz. (A, ) je grupa, proto existuje c 1, a operace je asociativní. Předpokládejme, že a c = b c a e je neutrální prvek v (A, ). Odtud: a = a e = a (c c 1 ) = (a c) c 1 = (b c) c 1 = b (c c 1 ) = b e = b. Poznámka 1.18. Často se místo symbolu pro operaci v grupě používá symbol +, nebo (ať už představují jakékoli operace). V takovém případě se poněkud liší symbolika při použití operace + a při použití (odpovídá tomu, jak jsme zvyklí tyto operace zapisovat u reálných čísel):
26 Algebraické struktury s jednou binární operací aditivní zápis: multiplikativní zápis: a + a + + a n krát a a a n krát = na = a n Při použití symbolu + mluvíme o aditivní grupě (G, +), při použití symbolu mluvíme o multiplikativní grupě (G, ). V aditivní grupě nazýváme neutrální prvek nulovým prvkem, v multiplikativní grupě nazýváme neutrální prvek jednotkovým prvkem. 1.1.1 Cvičení Rozhodněte, zda (A, ) tvoří grupu. 1.) A = N a je obvyklé sčítání přirozených čísel. 2.) A = Z a je obvyklé sčítání celých čísel. 3.) A = Q a je obvyklé sčítání racionálních čísel. 4.) A = I a je obvyklé sčítání iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I). 5.) A = N a je obvyklé násobení přirozených čísel. 6.) A = Z a je obvyklé násobení celých čísel. 7.) A = Q a je obvyklé násobení racionálních čísel. 8.) A = Q {0} a je restrikce obvyklého násobení racionálních čísel na Q {0}. 9.) A = I {0} a je obvyklé násobení iracionálních čísel (tj. restrikce sčítání reálných čísel na I {0}). 10.) A = {0, 1, 2} N a operace = + je dána následující tabulkou: + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 11.) A = {a + b 2 a, b Q, (a, b) (0, 0)} a je restrikce obvyklého násobení reálných čísel na množinu A.
1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa 27 12.) A = R 2 2 je množina čtvercových matic reálných čísel o dvou řádcích a dvou sloupcích a je obvyklé násobení matic. 13.) A = S n je množina permutací n-prvkové množiny a je skládání funkcí.