MOMENTY SETRVAČNOSTI

UNIVEZITA PADUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ Úst plikné fzik tetik MOMENTY SETVAČNOSTI geetrick pridelných hgenních těles NDr Jn Z j í c, CSc Prdubice 00

O b s h : Ment setrčnsti tuhéh těles zhlede k dné rtční se Ment setrčnsti hgenní tče ) zhlede k se prcházející kl tčí její htný střede 6 b) zhlede k se prcházející kl tčí její krjní bde 7 Ment setrčnsti prstence ) zhlede k se prcházející jeh střede kl n rinu prstence 8 b) zhlede k se ležící rině prstence prcházející jeh střede 9 Ment setrčnsti kruhé desk ) zhlede k se prcházející její střede kl k rině desk 0 Ment setrčnsti rtčníh kužele zhlede k jeh geetrické se prcházející střede pdst rchle kužele Ment setrčnsti kule zhlede k se prcházející její střede 5 Ment setrčnsti rtčníh elipsidu ) zhlede k se prcházející jeh střede ttžné s edlejší su b 7 b) zhlede k se prcházející jeh střede ttžné s hlní su 8 Ment setrčnsti bdélníké desk zhlede k se ležící rině desk prcházející její htný střede9 Ment setrčnsti desk e tru rnrennéh trjúhelník zhlede k se ležící rině desk ttžné s ýšku k zákldně trjúhelník0 Ment setrčnsti kruhé desk b) zhlede k se ležící rině desk prcházející její střede Ment setrčnsti kádru ) zhlede k se prcházející střede jeh hrní dlní pdst 5 b) zhlede k se ttžné s bční hrnu kádru 7 Ment setrčnsti krchle zhlede k se prcházející střed jejích prtějších stěn 8

Ment setrčnsti álce zhlede k se prcházející htný střede álce kl n spjnici středů jeh pdst 9 Ment setrčnsti kužele zhlede k různý sá kl rientný n spjnici rchlu středu pdst ) s prcházející rchle kužele kl n spjnici rchlu středu pdst b) rtční s ležící rině pdst kužele c) rtční s prcházející htný střede kužele kl k ýšce kužele 5 Ment setrčnsti rnrennéh trjúhelník zhlede k se prcházející rchle trjúhelník prti zákldně kl k jeh rině 7 Ment setrčnsti pridelnéh nhúhelník zhlede k se prcházející střede nhúhelník kl k jeh rině 9 NDr Jn Z j í c, CSc, 00

Ment setrčnsti tuhéh těles zhlede k dné rtční se Fzikální eličin ent setrčnsti J tuhéh těles zhlede k dné se chrkterizuje rzlžení htnsti těles kle příslušné s táčení Zjedndušeně lze říci, že u rtčních phbů těles hrje stejnu rli jk stná htnst u phbů psuných Zákldní zth pr tut eličinu získáe npř při dzání zrce pr kineticku energii E k rtujícíh těles iz následující brázek s ω r d Kineticku energii E k tuhéh rtujícíh těles určíe následující pstupe Celé táčející se tuhé těles htnsti si rzdělíe ( rzkuskujee ) n neknečně nh neknečně lých eleentů htnsti d (fktick n jedntlié htné bd) Pr kždý tký eleent htnsti pltí, že jeh phbá energie de k d,

kde je elikst jeh kžité rchlsti Tut rchlst le jí různé bd tělese různě elku, pdle th, jk dlek jsu d rtční s Všechn bd tělese le jí dné kžiku nls stejnu úhlu rchlst ω Jelikž nutně pltí r ω, kde r je klá zdálenst htnéh eleentu d rtční s (sučsně t je i plěr kružnice, p níž se tent eleent d phbuje), lze psát de k d r ω d Phbu energii celéh těles pk získáe neknečný sučte (frálně integrcí) šech těcht neknečně lých kinetických energií de k přes celu htnst těles, ted E k d E k () ( ) r ω d ω ( ) d r A práě integrál r ( ) d pslední zthu eličin jdřující, jk je htnst tuhéh těles rzlžen kle příslušné s táčení je ent setrčnsti tuhéh těles zhlede k dné rtční se Tt fzikální eličin je tpický skláre, znčujee ji písene J, jk už bl řečen údu, pr tuhé těles znená při rtci lstně ttéž, c htnst při phbech psuných Jk je celku n prní phled ptrné, její fzikální jedntku je kg Pltí ted J r d ( ) V becné přípdě je ýpčet entu setrčnsti J pěrně nárčnu teticku úlhu ždující dknlu znlst diferenciálníh integrálníh pčtu eltině jedndušší býá tký ýpčet přípdě hgenních tuhých těles níc kzujících jistu íru geetrické setrie, kdž určujee jejich ent setrčnsti zhlede k se prcházející htný střede (těžiště) příslušnéh těles Některé z pstupů si nní si predee n následujících stránkách 5

Ment setrčnsti hgenní tče ) zhlede k se prcházející kl tčí její htný střede S r dr d r l l r 0 r l J r d ( ) Pr eleent htnsti d usí pltit jednduchá úěr d dr l d dr l Dstááe ted, že J r d r dr l ( ) ( ) l r d r, ( ) přičež integrt přes celu htnst tče znená nše přípdě ěnit prěnnu r l l rzezí d d Tí páde J l l r d r l l r l l l l l 8 8 l l, J l 6

b) zhlede k se prcházející kl tčí její krjní bde r S dr d r 0 l r l Pstup ýpčtu je úplně stejný, jediné, c se zění, jsu integrční eze prěnná zdálenst r se tentkráte bude ěnit rzezí d nul d l Dstááe tk J l l 0 r d r l r l 0 l l, J l Pzn: N příkldu hgenní tče si lze tk sndn ěřit pltnst Steiner ět Mezi bě hdnti entů setrčnsti je rzdíl J J l l l l l A práě zdálenst bu s d l, tkže skutečně pltí J J d 7

Ment setrčnsti prstence ) zhlede k se prcházející jeh střede kl n rinu prstence S r d V tt přípdě je ýpčet entu setrčnsti nprst triiální, nebť jkýkli eleent htnsti d á d rtční s nprst stejnu zdálenst r, jež je rn plěru prstence Okžitě tk dstááe J r d d d ( ) ( ) Přit integrál d nepředstuje nic jinéh než celku htnst nšeh prstence Ted () () J 8

b) zhlede k se ležící rině prstence prcházející jeh střede r d dα S α Nní už nebude zdálenst r eleentu htnsti d d s táčení knstntní Tut zdálenst lze le jednduše jádřit jk r cs α, kde je plěr prstence Pr eleent htnsti d pk usí pltit úěr d dα π d π dα Integrt přes celu htnst prstence znená ěnit úhel α d nul d π Hledný ent setrčnsti J r d ( ) π α 0 cs α dα π π π α 0 cs α dα π π α 0 csα dα π π ( csα ) α 0 dα π π α sin α α 0 (π 0 0 0), π J 9

Ment setrčnsti kruhé desk ) zhlede k se prcházející její střede kl k rině desk dr S r d J r d ( ) Z eleent htnsti d si zlíe neknečně tenké ezikruží plěru r tlušťce dr Pr tut infiniteziální htnst pět pltí jednduchá úěr d ds S, přičež plchu ds ezikruží lze jádřit jk ds πr dr Ted d πr dr π d r dr Ment setrčnsti kruhé desk J r d r ( ) ( ) r dr r d r, ( ) přičež integrt přes celu htnst desk znená tt přípdě ěnit prěnnu r (plěr ezikruží) rzezí d nul d Tk dstnee J r d r ( ) 0 r d r r 0, J 0

Pzn: ) Výsledek, jenž jse práě získli pr plnu kruhu desku, pltí i pr přípd plnéh hgenníh álce jkékli ýšk, jestliže rtční s prchází střed bu jeh pdst b) Uedený pstup lze pužít i při ýpčtu entu setrčnsti kruhé desk e tru ezikruží (s říznutý střede), resp dutéh (tluststěnnéh) álce, jehž nitřní plěr je nější plěr d r dr Z eleent htnsti d si zlíe znu neknečně tenké ezikruží plěru < r < tlušťce dr Opět jdee z prsté úěr d ds S, níž je plch celé desk S π ( ) Tk dstnee d π πr dr ( ) d ( ) r dr Při ýpčtu entu setrčnsti J r d ( ) nní pstupujee při integrci s prěnnu r d nitřníh plěru d nějšíh plěru J ( ) r d r ( ) ( ) ( ) r d r ( ) ( ) ( ) ( ) r, J ( )

K tut zthu se le ůžee dstt tké druhý pstupe neždující integrci Ment setrčnsti desk e tru ezikruží získáe tké tk, že d entu setrčnsti J plnéh ktuče plěru dečtee ent setrčnsti J plnéh ktuče plěru Musí pltit J J J, kde jsu htnsti plnéh ktuče plěru plnéh ktuče plěru, který z desk říznee Htnst ezikruží tk bude níc usí pr htnsti pltit Tkže J ( ) [( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ], J ( ) Pzn: ) Jk už bl zíněn, pět lze tent ýsledek pužít i pr určení entu setrčnsti hgenníh tluststěnnéh álce bez hledu n jeh ýšku, puze usí být splněn pdínk, že rtční s prchází střed bu jeh pdst ) Výsledek získný pr desku e tru ezikruží (resp tluststěnný álec) je žné plikt i n plnu desku (resp plný álec), nebť tké přípdě nutně pltí 0 & J ; pužít jej ůžee le i pr prstenec neb tenkstěnný álec, td zse & J * * *

Výsledk získné pr hgenní tč pr hgenní kruhu desku lze dále užít při dzání entů setrčnsti hgenních těles kzujících jistý stupeň setrie Zején u rtčních těles lze plikt tz sláu etdu, kd je těles rzkuskán n jedntlié kruhé destičk neknečně lé htnsti d klé k rtční se Tent pstup upltníe následně u kužele, kule rtčníh elipsidu U rinných útrů, u kádru krchle se zse budee dlát n zth dzený pr hgenní tč Ment setrčnsti rtčníh kužele zhlede k jeh geetrické se prcházející střede pdst rchle kužele V d d S Pr snzší rientci dlší pstupu si zedu suřdnu sustu, s pčátke e rchlu kužele rientce s je ptrná z brázku, níc s splýá s rtční su

Kužel rzkrájíe n neknečně tenké kruhé destičk rnběžné s pdstu klé k rtční se Jejich plěr bude becně jejich neknečně lá tlušťk d zručí, je jí neknečně lu htnst d Frálně lze ent setrčnsti tké destičk jádřit jk dj d d Ment setrčnsti J celéh kužele pk bude dán neknečný sučte (ted integrcí) těcht jedntliých neknečně lých entů setrčnsti dj přes celu ýšku kužele Zbýá ted stihnut jk elká je htnst kždéh eleentu d, tké se budee uset přádt s rzdílný plěre jedntliých destiček Při určení htnsti d se pět nrátíe k již zde něklikrát upltněné úěře U kužele bude pltit d dv V π d π d d A stejný pstup pužijee i pr nhrzení prěnné prěnnu Eidentně pltí Pstupně dsdíe d dj d d d d 5 d A teď už zbýá učinit pslední krk Jk již bl řečen ýše, ent setrčnsti J celéh kužele spčítáe integrcí šech neknečně lých entů setrčnsti dj neknečně tenkých kruhých destiček přes celu ýšku kužele (d rchlu, kde 0, ž k pdstě, kde ) J dj 0 0 5 d 5 0 d 5 5 5 0 5 5, 5 J 0 Pzn: Pšiněte si, že e ýsledné zthu ůbec nestupuje (pdbně jk u álce) ýšk kužele Hgenní kužele jící stejný plěr pdst i stejnu htnst tk budu ít bez hledu n t, jku jí ýšku, stejný ent setrčnsti

zhlede k se prcházející její střede Ment setrčnsti kule d d S Pstupt budee stejně jk u kužele Opět si zedee suřdnu sustu, s pčátke tentkráte e středu kule, přičež rtční s bude ttžná s su Kuli si pět rzkrájíe n neknečně tenké kruhé destičk klé k rtční se I tt přípdě bude jejich plěr becně pět budu ít neknečně lu tlušťku d, jež zručí, že budu ít i neknečně lu htnst d Znu tk lze ent setrčnsti kždé tké kruhé destičk frálně jádřit jk dj d 5 d ent setrčnsti J celé kule pk následně spčítt integrcí těcht jedntliých neknečně lých entů setrčnsti dj přes celý průěr kule, tj brzně řečen d jejíh jižníh pólu k pólu seerníu

Nní určíe, jk elká je htnst kždéh eleentu d Úěru tentkráte dstááe d dv V π d π d d Vzth ezi prěnnýi je dán jednznčně Pthgru ětu A tk pět pstupně dszujee d dj d ( ) d ( ) 8 d Pslední krke, jenž zbýá učinit, je integrce šech těcht neknečně lých entů setrčnsti dj přes celý průěr kule e sěru rtční s, ted d ž p Jelikž le budee integrt sudu funkci, stčí prést integrci puze d nul d ýsledek násbit dě Pltí J - dj ( ) dj 0 0 8 d 6 ( ) 8 0 d 5 5 5 5 5 5 0 5 8 5, J 5 Pzn: Pdbný pstup bch upltnili i při dzání entu setrčnsti hgenníh rtčníh elipsidu, ť už b bl rtční s ttžná s hlní či edlejší su Puze se zění zrec pr bje tht těles zth ezi prěnnýi V přípdě, že rtční s bude ttžná s edlejší su (tk, jk je nznčen i n brázku n následující strně) pltí V π b Vzth ezi prěnnýi pk jdřuje středá rnice elips b b 6

Ment setrčnsti rtčníh elipsidu ) zhlede k se prcházející jeh střede ttžné s edlejší su b b d d S b Ment setrčnsti kruhé destičk s neknečně lu htnstí d dj d d, přičež pltí d dv V d π παb d b d & b Ted dj d b b b d b 8 d b b ( b b ) d 6 8 b 7

Nní už jen zbýá stejně jk u kule prést záěrečnu integrci šech neknečně lých entů setrčnsti dj přes celu edlejší su T ted znená pstupt d b ž p b Opět se le integrce týká sudé funkce, tkže ji stčí prést puze d nul d b příslušný ýsledek násbit dě Dstááe J b -b dj b 6 dj 6 8b 0 b ( b ) 0 b d b 6 b b 5 5 5 5 b 5 b b b 6 b 5 0 b 6 8 5 b, 5 J 5 b b) zhlede k se prcházející jeh střede ttžné s hlní su Bez dlšíh pčítání (puhý prhzení ) prěnných integrcí dj ezích kžitě dstnee zth J 5 b Pzn: Ob d zth pltné pr ent setrčnsti rtčníh elipsidu lze pužít i pr kuli, u níž nutně pltí b Puhý dszení tk hned získáe J 5 8

Ment setrčnsti bdélníké desk zhlede k se ležící rině desk prcházející její htný střede U tht těles lstně jen zpkujee pstup, který jse predli n hned zčátku tht ýkldu u hgenní tče Měje bdélníku desku rzěrech (délk) b (šířk), s prchází střede desk je rnběžná se strnu b dr S d b r r r 0 r Jk eleent htnsti d si tentkráte zlíe neknečně tenký bdélník rzěrech dr b, přičež práě jeh delší strn b je rnběžná s rtční su Pk už je dlší pstup úplně stejný jk u hgenní tče, puze e šech ztzích íst délk l stupuje délk bdélník d dr d dr J r d r d r r 8 8, J Jk je ptrné, ýsledek bslutně nezáisí n délce strn b, jež je s rtční su rnběžná 9

Ment setrčnsti desk e tru rnrennéh trjúhelník zhlede k se ležící rině desk ttžné s ýšku k zákldně trjúhelník V d d S z zěr trjúhelníké desk znčí z (délk zákldn) (ýšk trjúhelník) Pdbně jk u kužele si zedu suřdnu sustu, s pčátke e rchlu kužele, přičež s bude splýt s rtční su Trjúhelníku desku rzkrájí n jedntlié neknečně tenké tčk klé k se Jejich délk bude becně, jejich neknečně lá tlušťk d jejich htnst bude d Pr ent setrčnsti tké infiniteziální tčk lze pužít zth dj d () d ent setrčnsti J celé trjúhelníké desk pk spčítá integrcí těcht neknečně lých entů setrčnsti dj přes celu ýšku trjúhelník 0

Pr neknečně lu htnst d usí tentkráte pltit úěr d ds S d z d d z Pdbně pltí z z Nní dsdí d ýrzu pr dj d d z d z z 8 z z d 6 d Záěrečnu integrcí těcht neknečně lých entů setrčnsti dj neknečně tenkých tček predu přes celu ýšku kužele d rchlu, kde 0, ž k pdstě, kde J dj 0 0 z 6 z d 6 0 z d 6 0 z, 6 J z Pzn: Výsledný zth nknec pět nebshuje ýšku trjúhelníké desk ůzné desk tru rnrennéh trjúhelník jící stejný rzěr zákldn z i stejnu htnst tk budu ít bez hledu n t, jku jí ýšku, stejný ent setrčnsti zhlede k se ttžné s ýšku edenu k zákldně trjúhelník

Ment setrčnsti kruhé desk b) zhlede k se ležící rině desk prcházející její střede Vrcíe se zde k tělesu, u nějž jse už jednu ent setrčnsti pčítli Tentkráte le rtční s bude ležet rině desk, tkže půjde ýpčet entu setrčnsti rinnéh brzce, který si pdbně jk u trjúhelníké desk rzkrájíe n jedntlié neknečně tenké tčk klé k rtční se d S d Suřdná sust, bude ít tentkrát pčátek e středu S kruhé desk, rtční s bude rientán sisle bude ttžná s su Jedntlié infiniteziální tčk klé k se jí neknečně lu tlušťku d délku becně szřejě neknečně lu htnst d Pr ent setrčnsti dj tkt zlené tčk lze pět pužít zth dj d () d

Ment setrčnsti J celé kruhé desk pk spčítá integrcí šech těcht neknečně lých entů setrčnsti dj přes celý průěr kruhu e sěru sislé s Neknečně lu htnst d si jádří znu n zákldě jednduché úěr ezi plchi htnsti d ds d d d S π π Opět zde áe dě prěnné, jelikž knečnu integrci budu prádět přes, je třeb ještě jádřit pcí tét druhé prěnné A ť už užiji středu rnici kružnice neb jednduše Pthgru ětu, dstáá Teď již je še připren k dszení z dj d ( ) d ( ) d π π Zbýá už jen pslední, zt nejnárčnější úkl prést integrci Dík tu, že se jedná znu sudu funkci, stčí pět integrt šechn ent setrčnsti dj puze d středu kruhu ( 0) k jeh krji ( ) ýsledek pk násbit dě Pčítá tk lstně ent setrčnsti hrníh půlkruhu, ent setrčnsti celé desk usí být lgick djnásbný Ted J - dj dj ( ) 0 0 π d π 0 ( ) d ( ) K ýpčtu psledníh integrálu je nutn pužít substituční etdu Plží sin t d cs t dt Pr integrční eze pk chází 0 t 0 ; π sin t t P dszení 0 π ( ) d ( sin t) cs t dt ( sin ) π t 0 ( cs ) t 0 π t cs t dt cs t 0 π t 0 t cs t dt π t 0 t cs t dt cs t dt

Pr ýpčet integrálu čtrté cnin funkce cs t lze pužít rekurentní zrec dzený n zákldě pkné plikce etd per prtes Je-li pk I n n cs t dt, Pdle uedenéh zrce usí ted jít I n n cs n t sin t n n I n π t 0 cs t dt cs t sin t π 0 π t 0 cs t dt π t 0 cst dt 0!!! π sin 8 t t π π 8 6 0 Pzn: Míst psledníh ýpčtu šl tké nhlédnut d tbulek integrálů ůžete se t sndn přesědčit, že uáděný ýsledek pslední integrce je spráný A práě tent ýsledek 6 π nní dsdí d zthu ( ) Tk se knečně dstáá ke knečnéu zrci pr hledný ent setrčnsti kruhé desk zhlede k se ležící rině desk prcházející její střede J π 0 ( ) d π π 6, J Výsledek je pr dnu desku přesně pliční e srnání s hdntu entu setrčnsti zhlede k se prcházející střede desk kl n rinu tét desk * * *

N záěr tht přehledu ukážu ještě něklik ýpčtů, při nichž budee cházet z práě dzených zthů pr ent setrčnsti tče, bdélníké kruhé desk, níc při pstupu užijee pltnsti Steiner ět Ment setrčnsti kádru ) zhlede k se prcházející střede jeh hrní dlní pdst S d c S d b zěr kádru si znčí (délk), b (šířk), c (ýšk) tční s bude ted rnběžná s hrnu c Pr ýpčet entu setrčnsti si kádr rzseká n jedntlié neknečně tenké bdélníké destičk rzěrech b c tlušťce d Tt destičk jsu rnběžné jednk s rtční su jednk s bční stěnu kádru Kdbch pčítl ent setrčnsti kždé tké destičk zhlede k se, jež leží její rině níc je s su rnběžná, pužil bch zde dzenéh zthu pr bdélníku desku dj b d Jelikž šk pčítá ent setrčnsti J kádru tudíž i zlené infiniteziální destičk dj zhlede k se, usí tt přípdě pužít Steineru ětu Pdle ní pltí dj dj d kde je práě zdálenst du rnběžných s b d, 5

K určení neknečně lé htnsti destičk d užijee trdiční úěru, tentkráte ezi htnsti bje nší destičk celéh kádru d dv V bcd bc d d Ted dj b d ent setrčnsti J celéh kádru J d J 0 b d b 0 b sudá fce (b ), J ( b ) Pzn: ) Pšiněte si, že knečný ýrz ůbec nebshuje délku hrn c, ted hrn, jež je nše přípdě s rtční su rnběžná ) Kdb bl rtční s eden střede leé pré bční stěn, ted b bl rnběžná s hrnu délk, dstli bch ekilentní ýrz tentkráte e tru J (b c ) ; kdb rtční s prcházel střede přední zdní stěn kádru (rnběžně s hrnu délk b), pltil b J ( c ) 6

b) zhlede k se ttžné s bční hrnu kádru S c d S b V tt přípdě stčí k určení entu setrčnsti J znlst předcházejících dzených zthů znu i Steiner ět Nechť je s prlžen hrnu délk c spjující hrní dlní pdstu Vzdálenst bu rnběžných s d je rn práě plině úhlpříčk dlní (resp hrní) pdst kádru d V suldu se Steineru ětu usí pltit b J J d ( b ) b ( b ), J ( b ) Ekilentní ýrz bch získli i pr d zbýjící přípd, jež u kádru připdjí úhu (s prlžená hrnu, resp b) 7

Ment setrčnsti krchle zhlede k se prcházející střed jejích prtějších stěn S S Jelikž u krchle pltí b c, dstááe kžitě bez slžitéh pčítání, jen puhý dszení d liblnéh ýrzu pr ent setrčnsti kádru (zhlede k se edené střed prtějších stěn), že ent setrčnsti krchle J 6 8

Ment setrčnsti álce zhlede k se prcházející htný střede álce kl n spjnici středů jeh pdst d S S S d Válec á htnst, plěr pdst ýšku, rientce rtční s je dbře ptrná z brázku Tt těles si rzkrájí n jedntlié neknečně tenké kruhé destičk rnběžné s rtční su ( tké s pdsti álce) Jejich htnst je d, jí plěr pdst neknečně lu tlušťku d Pdbně jk u kádru i zde si nejpre jádří ent setrčnsti dj kždé tké destičk zhlede k se, jež leží její rině je níc s su rnběžná V tké přípdě pltí dj d Ment setrčnsti J álce tudíž i ent setrčnsti dj zlené infiniteziální destičk le pčítáe zhlede k se, prt usí i tt přípdě pužít Steineru ětu Pdle ní dstáá dj dj d d, kde je práě zdálenst du rnběžných s 9

Neknečně lu htnst destičk d určíe pět úěru ezi htnsti bje tét destičk celéh álce d dv V π π d d d P dszení d ýrzu získnéh plikcí Steiner ět dstnu, že dj d Nní už jen zbýá prést knečnu integrci šech entů setrčnsti dj přes celu ýšku álce Vzhlede k uístění rtční s budee integrt prěnnu ezích d / d / Jelikž se pět jedná integrci funkce sudé pčných ezích, tk znu užijee žnsti integrt dj puze d nul d / ýsledek násbit dě Pstupně dstáá J d J d J 0 d 0 0 8 8, J Pzn: Pšiněte si, že tentkráte e ýsledné zthu stupují b d rzěr álce, jk ýšk, tk i plěr pdst Je t lgické, nebť n bu záleží, jk je htnst álce kle rtční s rzlžen 0

Ment setrčnsti kužele zhlede k různý sá kl rientný n spjnici rchlu středu pdst Tt úlh je zjíá nejen z tetickéh hledisk, prtže nás důkldně prcičí při úprách ne zrn přehledných zthů, le pět se zde ptrdí i znáé fzikální záknitsti jk je Steiner ět ) rtční s prcházející rchle kužele kl n spjnici rchlu středu pdst Tt úlh, jk se ukáže dále, žduje reltině nejéně úpr při pčítání Zle si pět suřdnu sustu, s pčátke e rchlu kužele Os prchází rchle V střede pdst S kužele, s je k ní eden kl rchle kužele je tt přípdě práě rtční su znčenu jk V d S Opět upltníe sláu etdu pliknu již u kádru i álce Neknečně lu htnstí d bude kždá neknečně tenká kruhé destičk rnběžná s pdstu kužele zdálená d rchlu Bude ít plěr becně infiniteziální tlušťku d Vzhlede k se ležící rině tét destičk bude ít tt ent setrčnsti

dj d Vzhlede k nší se je le ent setrčnsti tht eleentu ětší, jk ná uádí Steiner ět Sndn spčítáe, že dj dj d d Neknečně lá htnst destičk d ná jde z úěr ezi htnsti bje dné destičk celéh kužele d V dv d π π d d Tt neknečně lé d dsdí d ýrzu získnéh pcí Steiner ět dstnu dj d Pslední příprný krke před záěrečnu integrcí je nhrzení prěnné prěnnu, pdle níž budu integrt jedntlié ent dj T je šk tt přípdě dík uístění rtční s d rchlu kužele nprst triiální Pltí ttiž příá úěrnst Tí páde dj d d knečně J 0 d J 0 d 0 5 5 5 5 5, J 0 ( )

b) rtční s ležící rině pdst kužele V tt přípdě si už zpčítáe trchu íc Suřdnu sustu s, zlíe tentkráte s pčátke e středu pdst kužele Os bude prcházet rchle V kužele ní klá s bude sučsně i su rtční znčí ji jk su S d d V Pstup je prktick stejný jk předcházející přípdě při ýpčtu entu setrčnsti zhlede k se Liší se puze jedn drbné detilu, sice záislsti ezi prěnnýi Tentkráte t nebude příá úěrnst, le klesjící lineární funkce Pr ent setrčnsti dj tenké kruhé destičk neknečně lé htnsti d zhlede k se bude pltit nprst stejný ýrz jk předcházející přípdě ), ted

dj d P úprě nhrzení prěnné prěnnu dstáá dj ( ) d d 8 6 d Tent ýrz budee nní integrt d pdst kužele ( 0) ž p jeh rchl ( ): J 0 d J 0 8 6 d 0 5 5 5 8 5 6 5 5 5 5 5 0-0 5 5 5, J 0 ( ) Pzn: Prnání bu ýsledků je n prní phled ptrné, že ent setrčnsti J kužele zhlede k se je enší než ent setrčnsti J téhž těles zhlede k se T je le zcel suldu s tí, c tt fzikální eličin chrkterizuje e druhé přípdě je htnst kužele přeci jen sustředěn blíže rtční se, než jk je tu přípdě prní u rtční s

c) rtční s prcházející htný střede (těžiště) kužele kl k ýšce kužele Je před nái pslední přípd s (znče ji prstě ) prchází htný střede kužele K tu le ptřebujee znát, že se tent bd nchází jedné čtrtině zdálensti ěřen d středu S pdst kužele k jeh rchlu V Tt skutečnst bude znent jen dlší kplikci e ýpčtu, jenž le jink bude prbíht pdle nprst stejnéh scénáře, jký bl pužit předcházejících du přípdech Vzhlede k tu, že rtční s (pět t bude s ) usí prcházet pčátke sust suřdnic, bude pltit pět jiný zth ezi prěnnýi níc knečnu integrci budee tentkrát prádět ezích d / d /, jež jí bě nenulu hdntu S T d d V Záislsti ezi prěnnýi je dán rnicí přík, kteru brázku předstuje strn kužele Její rnice e sěrnicé tru (jk si sndn ůžete si ddit) je A zse bch při ýpčtu šli d ýrzu pr ent setrčnsti dj tenké kruhé destičk neknečně lé htnsti d, jež se nchází jisté becné zdálensti (¼ ¾ ) d rtční s dj d 5

Dsdili bch z prěnnu, uprili bch tk, bch hli dj integrt jk nhčlen (bl b pět pátéh stupně) uedených ezích p knečné úprě ýrzu získnéh integrcí bch ěli dspět k ýsledku J ( ) 0 Můžete si t zkusit recept jse á práě nbídnul Ale je tu ještě jedn schůdnější cest Cž tkhle znu těžit z už tlikrát plikné Steiner ět? Tentkráte jí le užijee dl b se říct pčné sěru S T V Pr ent setrčnsti kužele plěru pdst, ýšce htnsti zhlede k sá, usí pltit suldu se zíněnu ětu zth J J ( ), () J J () Jednduchý prnání bu dstáá J ( ) J A p dszení z J resp J ( ) ( ) ( ) / : & / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cž ptrzuje plhu těžiště kužele) Zbýá už jen dsdit d zthu () neb () dstnu, c dstt áe: J J ( ) 0 ( 0 0 ) 6 0 ( 0 ( 5 ) 0 0 ) 6 ( ), J ( ) 0 6

Ment setrčnsti rnrennéh trjúhelník zhlede k se prcházející rchle trjúhelník prti zákldně kl k jeh rině z d V d z tční s i pcná s jsu tentkráte rientán kl k rině nákresn (kl k brzce pčítče) Eleentární tčk htnsti d á knečnu délku neknečně lu tlušťku d Její ent setrčnsti zhlede k se, jež je k tčce klá prchází její střede je žn jádřit znáý zthe dzený už n zčátku tht ýkldu dj d () d následně i zhlede k rtční se dj dj d d Pr neknečně lu htnst d pltí jednduchá úěr d ds S d z d z d P dszení tét infiniteziální htnsti pk dstáá dj d d z 7

Jelikž ezi prěnnýi pltí příá úěrnst z, hu se sndn e zthu pr ent setrčnsti dj zbit prěnné připrit si tk ýrz pr integrci šech eleentů dj ezích d 0 (rchl trjúhelník) ž p (střed jeh zákldn) Ted dj z z d z z d z d A knečně J dj 0 z 0 d z 0 z z, J ( z ) Pzn: Práě dzený zrec ná následně eli dbře psluží u už psledníh úklu, který áe ještě před sebu, sice při určání entu setrčnsti pridelnéh n-úhelník Tký brzec si žd ůžee sndn rzdělit práě n n rnrenných trjúhelníků Ment setrčnsti J kždéh z nich spčítt uíe ke knečnéu ýsledku ná už bude stčit jen příslušnu hdntu J násbit čísle n 8

Ment setrčnsti pridelnéh nhúhelník zhlede k se prcházející střede nhúhelník kl k jeh rině s S α α n z N brázku je sice znázrněn siúhelník, le já budu užt becné rině pridelné brzci s celký pčte n strn V tké přípdě stčí k jeh úplnéu určení znát délku kždé jeh strn tu si znčí suldu s předcházející dzení jk z, dále budu předpkládt, že htnst brzce je Pridelný n-úhelník si rzdělí n n rnrenných trjúhelníků zákldně z ýšce z α tg z α tg Jelikž pr úhel α nutně pltí α 60 n α 80 n, 9

bude ýšk rnrenné trjúhelníku z 80 tg n z 80 ct g n Htnst kždéh z n rnrenných trjúhelníků bude lgick, tkže nezbýá už nic n jinéh, než dsdit d zthu pr ent setrčnsti celé n-úhelníké desk J n J n n ( z ) z z ct g 80 n, J z ct g 80 n Pzn: Pdbně jk přípdě jiných těles, lze i nní pltnst tht zrce rzšířit n pridelný hgenní n-bký hrnl, jehž strn pdst á délku z bez hledu n t, jká je ýšk hrnlu tční s usí le pchpitelně prcházet střed bu jeh pdst * * * N úplný záěr nšeh ýkldu entech setrčnsti pridelných hgenních těles si řeše ještě jednu zjíu úlhu Úlh: Prnejte ent setrčnsti du pridelných hgenních těles kruhé desk desk n-úhelníké, jež jí bě stejnu htnst i stejný bd, zhlede k se prcházející jejich střede kl k rině desek Mjí-li bě těles nls stejnu htnst i bd, neěl b se jejich ent setrčnsti příliš lišit A tent rzdíl b ěl být lgick tí enší, čí ětší pčet strn bude ít n-úhelníká desk Je snd n prní phled ptrné, že s rstucí n se bude n-úhelník stále íc íc sý tre přibližt kruhu 0

Jde jen t, zlit si hdné znčení eličin Vzhlede k ětší slžitsti zthu pr ent setrčnsti n-úhelníké desk, zůstne nší ýchzí eličinu délk z jedné strn n-úhelník Jeh bd ( ted i bd kruhé desk) bude n z π, dkud hned dstáá pr plěr kruhé desk n z π Tent plěr dsdí d zthu J k jádří tk ent setrčnsti J k kruhé desk pcí její htnsti délk z jk n z J k π n 8 π z Ment setrčnsti J n pridelné n-úhelníké desk znáe Je dán pslední dzený zthe J n z 80 ct g n Zbýá ted už jen prést záěrečné prnání bu hdnt Pltí, že J J k n z 8 n π z ct g 80 n, J J k n π n ct g 80 n Následující tbulk pk uádí hdnt tht pěru pr různé n-úhelníké desk Lgick se nejíc b ent setrčnsti liší při prnání kruhu rnstrnnéh trjúhelník, kde chází ent setrčnsti kruhé desk íc jk 6 % ětší Prcent e prspěch kruhu se šk s rstucí n pěrně rchle snižují, npř u nšeh siúhelník ze strn 9 je t už jen něc ál přes 5 % pd jedn prcent se dstnee již u pridelnéh detenáctiúhelník

Tbulk Prnání entů setrčnsti kruhé n-úhelníké desk stejné htnsti i stejnéh bdu zhlede k se prcházející jejich střede kl k rině desek n J J k n n J J k n,678,006,0078 6,0008,585,0057,0070 6,00080 5,70 5,0057 5,006 65,00078 6,097 6,0088 6,0056 66,00076 7,06877 7,005 7,009 67,0007 8,059 8,000 8,00 68,0007 9,0 9,009 9,007 69,00069 0,0 0,0066 50,00 70,00067,077,00 5,007 75,00059,005,00 5,00 80,0005,096,000 5,007 85,0006,0690,0085 5,00 90,000 5,07 5,0069 55,0009 95,0006 6,09 6,005 56,0005 00,000 7,0 7,00 57,000 0,0007 8,009 8,008 58,00098 0,000 9,0095 9,006 59,00095 8,0000 0,0085 0,0006 60,0009 56,00005,0078,0096 6,00088 5,0000,0068,0087 6,00086 0,00000 n J J k n n J J k n Kruh rnstrnný trjúhelník Kruh čterec

Kruh pridelný pětiúhelník Kruh pridelný šestiúhelník