Neurčité výrazy

Transkript

1 .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu it znment cokoliv, říkáme mu neurčitý výrz Jk může vyjít pokždé něco jiného? Limit nezáleží n hodnotě v bodě, kde ji zjišťujeme, le n hodnotách okolo tohoto bodu: Jk se mění hodnoty jednotlivých výrzů můžeme sledovt v tbulce:,,, -, -, -,,,,,,,,,,,,,,, 4, - -, -, -,,,,,, 6, 6 -,,,,,, - - nezáleží pouze n tom, jestli je v čitteli (nebo jmenovteli) nul, le hlvně n tom, jk rychle se k ní výrzy v čitteli jmenovteli blíží Pohled z jiného úhlu: k jkému výsledku se snží dostrkt výsledek nuly v itě typu. v čitteli se snží, by výsledná hodnot zlomku byl co nejmenší, snží se, by se celý zlomek blížil k nule ve jmenovteli se snží, by výsledná hodnot zlomku byl co největší (při dělení čísly čím dál víc bližšími nule získáváme čím dál větší hodnoty), snží se, by se celý zlomek blížil k nekonečnu (nebo mínus nekonečnu) výrzy v čitteli jmenovteli působí proti sobě vyhrje ten silnější (v předchozích příkldech vyšší mocnin) nebo to skončí remízou - 4

2 výrz není jediným neurčitým výrzem: npříkld výrz je tké neurčitým: Podobně jko u výrzu i ve výrzu se ob členy snží dotáhnout výsledek někm jinm, směřují proti sobě výsledek záleží n tom, který z nich bude silnější (což dopředu nemůžeme vědět). n druhou strnu výrz ( ) ( ) neurčitý není (součin nekonečen se rovná zse nekonečnu) 4 Ob členy ve výrzu se snží dotáhnout výsledek k tomu smému tk je jsné, k čemu bude směřovt jejich součin Př. : Urči, které z následujících výrzů jsou neurčité. Pokud výrzy neurčité nejsou, rozhodni, čemu se rovnjí. ) d) e) f) ( ) ) (jmenovtel i čittel se snží, by hodnot zlomku byl co největší) - neurčitý výrz (první člen se snží dojít k nekonečnu, druhý k mínus nekonečnu) (ob členy v součinu se snží, by byl výsledek nulový) d) (ob členy ve výrzu se snží, by byl výsledek nulový) e) - neurčitý výrz (nekonečno v čitteli táhne zlomek k nekonečnu, nekonečno ve jmenovteli k nule) f) ( ) (výrz můžeme uprvit k nekonečnu, mínus jenom změní znménko), obě nekonečn se snží dojít Pedgogická poznámk: Někteří studenti mjí s příkldem potíže, diskuse je nutná. Pořád se snžím zdůrzňovt, že je nutné brát výrzy dynmicky (jko cíl km itně směřují) ne jko pouhé doszení. Př. : Doplň následující věty: ) Je-li f, g potom

3 f g f g Je-li, potom f g f g f g Je-li, potom f g f g d) Je-li k konstnt potom k f f e) Je-li k konstnt potom k f f ) Je-li, potom f g f g f g Je-li, potom f g f g f g Je-li, potom f g f f d) Je-li k > k f pro e) Je-li pro f k > k f g k konstnt potom:, pro k konstnt potom, pro k < k f k < k f Pedgogická poznámk: Někteří studenti přijdou smi n to, že bodech d) e) nemohou rovnou npst výsledek pro všechny možnosti, osttním to pordím. Předchozí výsledky nejsou vhodné k pmtování, stčí selský rozum. S jeho pomocí můžeme určit i dlší ity: cos - čittel zlomku nemá itu, le jeho hodnoty jsou v intervlu ; jmenovtele se blíží k nekonečnu celý zlomek se blíží k nule., hodnoty Proč se neurčitými výrzy zbýváme právě teď? Většin nšeho počítání it byl o odstrňování neurčitých výrzů: - neurčitý výrz typu: - určitý výrz typu Jk jsou jednotlivé funkce silné? Pokud jde o f pltí následující řd (od nejslbšího): log, n (větší n jsou n slbší), (větší n jsou silnější),. N zbytek hodiny se vrátíme k výpočtům it. Rozšiřování zlomků můžeme použít i u jiných n funkcí než :

4 4 Př. 4: Urči ity: ) 8 log log ) log log log log log log log log log log Mnohdy nejsou úprvy příliš (spíš vůbe zřejmé: Pedgogická poznámk: Než spočítám předchozí příkld n tbuli, nechávám studenty itu hádt. Ještě nikdy se nikdo netrefil (já bych spletl tké). Jde o to, by si studenti uvědomili, že ne vždy je výsledek zřejmý. Př. 5: Urči ity: ) ( ) ) 4

5 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) Př. 6: Petáková: strn 54/cvičení e) f) strn 54/cvičení e) f) strn 54/cvičení d) g) h) Shrnutí: Z nul nekonečen můžeme sestvit výrzy, jejichž hodnot není zřejmá, bez bližší znlosti ity. 5