Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m... maximum A = [m l], [m = l] = [m l] \ [m l ], P(A) = ( l 6 )4 Úloha: Jaká je pravděpodobost, že ve skupiě lidí existuje dvojice s arozeiami ve stejý de? (rok = 365 dí) Řešeí: Jev A Ω Ω \ A = A C doplňkový jev A Zde je sazší zjistit P(A C ) = P(A). Ω = 365, A = 365! (365 )!, P(AC ) = 365 365! Úloha: Mějme N jediců {,..., N}. Z ich vybíráme : {s,..., s }. Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N = N! (N )!!, (365 )! A = ( ) N (, P(A) = N ) = ( N ) N Jaká je pravděpodobost, že budou vybrái oba i-tý a j-tý jediec? Řešeí: Ω = ( ) N, Ai j = ( ) N Jaká je pravděpodobost, že bude vybrá i-tý ebo j-tý jediec? Řešeí: A i j = A i A j, P(A i j ) = P(A i A j ) = P(A i ) + P(A j ) P(A i j ) Pojem: Maxwellovo schéma. Máme r rozlišitelých prvků, přihrádek. r/ λ; p k = λk k! e λ Cviˇceí 7..9 Úloha: Mějme obec o r = 5 lidech, = 365 dí v roce. λ = 5 365. Jaká je pravděpodobost, že dva lidé mají arozeiy ve stejý de? Řešeí: p.5
Úloha: B i = i-tá přihrádka je prázdá. Řešeí: P( B i ) = i= P(B i ) P(B i B j ) + P(B i B j B k )... + ( ) + P( B i ) i= i j i j k i= P(B i ) = ( )r... (všechy ostatí možosti kromě B i) r (všechy možosti) ; P(B i B j ) = ( )r (ostatí kromě B i,b j ) r (všechy možosti) P( i B i ) = ( )r ( ) r ( ) r + ( ) r 3 ( 3) r... r Pojem: Bose-Eistei Máme r erozlišitelých prvků, přihrádek. (s,..., s r ), s i {,..., } jsou prvky, (t,..., t ), i= t i = r jsou přihrádky. Úloha: Kolika způsoby lze rozdělit prvky a příčky? } {{ } přihrádek příček Řešeí: ( ) ( ) r + r + = r } {{ } = Ω symetrie kombiačích čísel Pravděpodobost, že v přihrádce je k prvků. Řešeí: p k = (r k+ ) r k ) ( r+ r ostatí ež k prvků možosti Pravděpodobost, že eexistuje prázdá přihrádka = p (za předpokladu r ). Řešeí: p = ((r )+ ) ( r+ ) Pojem: Geometrická pravděpodobost. Obrázek P(A) = U(A) Y(Ω) v každé přihrádce alespoň jede prvek zbývá r prvků všechy možosti Úloha: Mějme přístav, každý de připlují dvě lodi v áhodý čas, jeda setrvá hodiu, druhá dvě hodiy. Jaká je pravděpodobost, že se ebudou blokovat? Řešeí: Obrázek p blok = ( +3 ) eblokováí 4 všechy časy p A = p blok Úloha: x, y [, ], chceme pravděpodobost { x+y< x y<.9 Řešeí: Obrázky S + S + S 3 =. y = x; y = 9 x P(A) = S =. +.O9 l 9 9..9 x dx = 9 [l x]..9 S = 9 l 9 Pojem: Podmíěá pravděpodobost. A P(A); B P(A B) = P(A B) P(B)
Příklad: P(A) =.5, P(B) =.3. Pak P(B A C ) =.3.5 =.6 Pojem: Úplý systém jevů. Necht (A i ) i=, i j : A i A j =, i= A i = Ω, P(A i ) >, pak P(B) = i= P(B A i ) P(A i ) Úloha: Semifiále: P(K > F) =.7, P( > R) =.55, fiále: P( > K) =.6, P( > F) =.75. Opakováí: Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P(A B) = P(A) P(B) P(B A) = P(A B) P(A) }{{} = = P(B) ez. (A i ) i= ezávislé ( j,..., j ) : P( k= A jk ) = k= P(A jk ) Úloha: Mějme ezávislé jevy A, B, C tž. P(A) = P(B) = P(C) =.. Chceme P(A B C) Cviˇceí 4..9 Řešeí: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) = 3. 3. +. Úloha: Mějme lovce A, B, C, kteří zároveň vystřelí a kace k. Pravděpodobosti zásahu jsou P(A) =., P(B) =.4, P(C) =.6. Jaká je pravděpodobost zásahu k jedotlivými lovci právě jedou kulkou? Řešeí: P(lovec []) ejdříve potřebujeme P([]) = P(A B C C C ) + P(A C B C C ) + P(A C + B C + C) = P(A) P(B C ) P(C C ) + P(A C ) P(B) P(C C ) + P(A C ) P(B C ) P(C) P(A []) = P(A []) P([]) = P(A B C C C ) = P(A) P(B C ) P(C C ), etc. Opakováí: Bayesova věta. Mějme (A i ) i=, P(A i) >, B, P(B) >. Pak P(A j B) = P(B A j) P(A j ) i= P(B A i ) /(A i ). Úloha: Mějme třídu, kde je P(C C ) = 3% dívek a P(C) = 7% chlapců. Víme, že P(D C C ) = 8% dívek a P(D C) = % chlapců má dlouhé vlasy. Když áhodě vybereme žáka s dlouhými vlasy, jaká je pravděpodobost P(C C D), že půjde o dívku? Řešeí: P(C C D) = P(D C C ) P(C C ) P(D C C ) P(C C )+P(D C) P(C) Úloha: V populaci se vyskytuje emoc D. Pravděpodobost pozitivího výsledku u emocého člověka (sezitivita) je P(+ D) =.999, u zdravého člověka je P(+ D C ) =. (a tedy P( D C ) =.99). Nemocí trpí setia populace, P(D) =.. Chceme zát pravděpodobost akažeí při pozitivím testu P(D +). Řešeí: P(D +) = P(+ D) P(D) P(+ D) P(D)+P(+ D C ) P(D C )=.5 Pojem: Náhodá veličia. Biomické rozděleí Bi(, p). Máme pokusů a úspěch astae s pravděpodobostí p. X počet úspěchů v pokusech B i (, p) P(X = k) = ( ) k pk ( p) k x... k= p k = ( ) k= k pk ( p) k = (p + p) = Úloha: X Bi(4, 3 ), Y = (X ). Určit rozděleí veličiy Y a spočítat její středí hodotu. 3
Řešeí: Obecě E[Z] = k= k P(Z = k). X : 34 Y : 44 q = P(Y = ) = p ; q = p + p 3 ; q 4 = p + p 4 Část chybí! p = ( p) 4 = ( p) 4 ; p = 4 p( p) 3 ; p 3 = 6 p ( p) Úloha: X Bi(, p), chceme E[X] = k= k P(X = k) = k = k ( k) pk ( p) k = p l = k l= (l + )! ( (l+))! (l)! pl+ ( p) l = p l= aebo: Bi(, p) Alt(p) Část chybí! Úloha: Viz. foto z tabule - doplit! ( l ) { }} { Pojem: Geometrické rozděleí. Udává počet eúspěchů před prvím úspěchem. X Ge(p); q = p; p k = P(X = k) = q k p ( )! ( l)! l! pl ( p) l = (p + ( p)) Úloha: a, x N, máme a eúspěchů a chceme zát pravděpodobost, že bude x dalších. Řešeí: P(X a + x x a) = P(X a+x X a) P(X a) = P(X a+x) P(X a) = qa+x q a = q x = P(X x) Vlastosti geometrického rozděleí. Vytvořující fukce f (s) = k= p k s k f (s) = k= k p k s k = E[X]. f (s) = k= k (k ) p k s k ; f () = k= k (k ) p k = E[X(X )] E[X ] = E[X(X )] + E[X] = f () + f () var[x] Úloha: Vytvořující fukce pro Ge(p) Řešeí: f (s) = k= q k p s k = p k= (q s) k f (s) = p q s = p ( q s) f (s) = p q Postup: Obecě, E[X] = { E[X] = f () = E[g(X)] = { p q ( q) = p q x dfx (x) spojitý případ i=... x i P(X=x i ) diskrétí případ g(x) f (x) dx i= g(x i ) P(X=x i ) Úloha: Viz předchozí, rozptyl. Řešeí: f (s) = p q ( q s) 3 f () = p q = q = E[X(X )] p 3 p E[X ] = q + q p p var[x] = f () + f () ( f ()) = E[X ] E[X] q p + q p q p = q +q p p = q (q+p) p = q p ( q s) Cviˇceí..9 4
Pojem: Poissoovo rozděleí. X Po(λ); p k = P(X = k) = λk k! e λ, k =,,... Úloha: E[X] Poissoova rozděleí. Řešeí: f (s) = λ k k= k! e λ s k = (λ s) k k= k! e λ f (s) = λ e λ (s ) f () = E[X] = λ = e λ s λ = e λ (s ) Úloha: Máme N = 4 koulí, z toho M = 8 bílých, vytáheme = 5 koulí a chceme zát rozděleí: X = # bílých. Koule vždy vracíme, pokusy jsou ezávislé. Řešeí: Počet úspěchů v ezávislých pokusech biomické rozděleí X Bi(, p), přičemž p = P(bílá) = M N. Pokud koule vracíme, pokusy a sobě závisí. Řešeí: P(Y = k) = k zbylých vybíráme z M zbylé evybraé {}}{ ( ) ({ }} {) M N M k ( ) k, přičemž předpokládáme k M. N }{{} možosti Hypergeometrické rozděleí. Úloha: Máme dva čtyřstěy se stěami O,,, 3, X = # bodů, které padou. Distribučí fukce. Řešeí: Obrázek. Pojem: R(, ) budiž rovoměré rozděleí a itervalu [, ]. Pozámky: F(x) = x f (z) dz; F F( ) = P(X ) = ; P(a < X b) = F(b) F(a) = b a R (x) = f (x) f (x) d(x) = f (x) dx E[X] = x f (x) dx f (x) = I[, ]... I[, ] dz = dz E[X ] = x f (x) dx dz = x; x (, ) E[X ] = x dx = 3 var[x] = E[X ] E[X] = 3 ( ) = F(X) = x Úloha: Mějme R(a, b). Chceme, aby c = b a byla hustota. Řešeí: f (x) = { b a prox (a,b) jiak F(x) = x f (z) dz = x x a a b a dz = b a E[X] = a+b, var[x] = fuj Cviˇceí 4..9 5
Pojem: Spojitá rozděleí. (): X F : F(x) = P(X < x) = x f (t) dt F = f ; f je hustota, vždy se itegruje a. E[X] = x f (x) dx E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X ] = x f (x) dx var[x] = E[X E[X]] = E[X X E[X]+E[X] ] = E[X ] E[X] E[X]+E[X] = E[X ] E[X] (): X Exp(λ) f (x) = λ e λ x ; x F(x) = X = e y dy = e y [ e λ x ] x = e λ x E[X] = var[x] = λ } λ {{ e λ x } y=λ t; dy=λ dt x λ e λ x dx = [ X e λ x ] } {{ } e λ x λ λ dx = λ [ e t ] = λ Úloha: P(x [, )) = F() F() = e λ + e λ = e λ e λ Pojem: Fukce přežití je H = F(x) = P(X x) = e λ x Pozámka: P(X x + y x y) = P(X x) Úloha: Mějme X životost v letech, f (x) = c e 3 x, x >, = c e 3 x dx = c 3. Určete c. Řešeí: = c 3 c = 3 P(X ) Řešeí: P(X ) = P(X < ) = ( e } {{ } 3 ) = e 6 F() Pojem: Normálí rozděleí. X N(, ) f (x) = e x, x R π Φ(x) = x e t dt π Y = a + b X Y N(a, b ) N(µ, σ ) f (x) = π σ Obrázek. Příklad: N(µ, ) (x µ) e σ E[X] = x π e (x µ) dx = + µ e (x µ) } π {{ } = } {{ } =µ dx =... }{{} x+=(x µ)+µ; x µ=y z=y ; dz= y dy (x µ) e (x µ) dx + π y y e dy Příklad: X N(, ); P( X < ) = P( < X < ) = Φ() Φ( ) 6
Příklad: Z N(, 4) σ N(, ) P(Z (, )) = P(Z < ) = P( Z < ) = P(N < ) = Φ( ) Příklad: < Z < (Z µ) P( < Z < ) = Φ( ) Φ( ) Pozámka: Φ( x) = Φ(x); Φ( x) + Φ(x) = Příklad: X N(µ, σ); E[ X µ ] = π σ Úloha: X R(, ), f = : x [,] : x [,]. Chceme objem E[X3 ]. Řešeí: E[g(x)] = g(x) f (x) dx E[X 3 ] = x3 dx = 4 [x4 ] = 4 = 5 Cviˇceí..9 Defiice: Náhodé veličiy X,..., X jsou avzájem ezávislé, když jejich sdružeá distribučí fukce F X (x) = P(X x,..., X x ) =Nekozistetí zápis. Pozámka: Učebicová defiice je ekvivaletí. Úloha: Mějme X,..., X se stejou distribučí fukcí F. Y = mi{x,..., X }, Z = max{x,..., X }. Chceme zát F Y, F Z. Řešeí: F Z (z) = P(Z z) = P(X z,..., X z) = F(z). F Y (y) = P(Y y) = P(Y > y) = ( F(y)). Úloha: T Exp(λ), λ >, f (t) = λ e λ t, f. Chceme zát pravděpodobost, že ejkratší doba zpracováí jedoho z pěti dotazů bude větší ež 3 sekud. Zpracováí jsou avzájem ezávislá. Spočítat středí hodotu a rozptyl. Řešeí: T i Exp(λ), i =,..., 5. P(mi(T,..., T 5 ) > 3 ) = (P(T > 3 ))5 = ( F( 3 ))5 = e 5 λ 3. Víme F(t) = e λ t, tedy E[T i ] = λ, var[t i] =. λ Chceme E[mi(T,..., T 5 )]. F mi (y) = e 5 t f mi (y) = F E[mi(T,..., T 5 )] = y f mi (y) dy, to je ovšem velmi pracé! Lepší je všimout si, že F mi (y) je distribučí fukce Exp(5 λ). Příklad: P(T a) =, určit a (= mediá) α (, ), α-kvatil. F(a) = α, je-li rostoucí, mootóí, prostá F (α). Pro espojitou F(x) defiujeme F (α) := if{x : F(x) α. e λ a = α a = log( α) α. P(T log(a λ) λ ) = α. Pozámka: Mediá je mohem lepší charakteristika ež průměr, eovliví jej tolik extrémí hodoty (typickým příkladem budiž tzv. průměrý plat). Téma: Rozděleí áhodých vektorů. X = (X,..., X ), položky vektoru mohou být avzájem závislé. E[X] = ( E[X ]... ). E[X ] 7
E[X E[X]][X E[X]] T Σ matice, kde a pozici Σ i, j je E[X i E[X i ]][X j E[X j ]] = cov(x i, X j ) (a a diagoále máme tedy rozptyl). cov(x cor(x i, X j ) = i,x j ) var[xi ] var[x. j ] Pro ezávislé X, Y(X Y) platí E[XY] = E[X] E[Y] cov(x, Y) =, tedy také X Y cor(x, Y) = (ovšem eplatí ). cor(a X + b, X) =, cor(x, Y) [, ]. Normálí rozděleí: X N(, ) f (x) = e x, x R, Y = X π E[XY] = E[X] E[Y] = E[X 3 ] = (itegrál liché fukce) cov(x, Y) = E[XY] E[X] E[Y] = cor(x, Y) =, ale závislé jevy! Příklad: P(X = x i ) = p i diskrétí rozděleí. P(X = x i,..., X = x i ) = p i, i p i =. X X = (. ) f (x,..., x ) P(X }{{} B ) = B f (x,..., x ) dx... dx. X iterval f (x, x ) = F x x. X X f (x, x ) = f X (x ) f X (x ). F(x, y) = x y f (a, b) da db. Příklad: Diskrétí ( Y X). Y\ X 3 P X 5 3 5 3 3 5 5 P Y. X Y? Ověřit defiici, chceme P(X = a, Y = b) = P(X = a) P(Y = b), ale P(X =, Y = ) P(X = ) P(Y = O), SPOR.. cov(x, Y), potřebujeme tučě vyzačeé psti: E[XY] = = 7 3, E[X] = E[Y] = + 5 + = 3 cov(x, Y) = 7 3 ( 3 ) =... Úloha: Jsou e X+Y a e X Y ezávislé? Řešeí: e emá vliv, stačí ověřit X + Y X Y tabulka pravděpodobostí... Cviˇceí 8..9 Úloha: X N(, 4), chceme P( X < 3). Řešeí: 3 < X < 3 3 < X P( < Z < ) = Φ() Φ( ). Pozámka: platí Φ( a) = Φ(a). }{{} Z N(,) < 3. Věta: Mějme (X i ) i ezávislé, stejé rozděleí, E[X ] = µ, var[x ] = σ k= X. Pak P( k µ < x) σ Φ(x) 8
Pozámky: (X µ), X σ = k= X k P( X µ < x) Φ(x) σ Úloha: Jede zákazík zabere T Exp() sekud, máme = 36 zákazíků T,..., T 3 6. Jaká je pravděpodobost, že zaberou dohromady méě ež? Řešeí: X = 3 i= 6T i P(X < )? f (x) = { λ e λ x : x> : x. E[X] = x f (x) dx = x }{{} G [ λ e λ x ] = + λ = λ. µ = E[T ] =, σ = var[t ] = 4. P(X < ) = P( 3 i= 6T i < ) = P( λ } {{ e λ x } f i T i 36 3 } {{ } X dx = [ x e λ x ] + e λ x dx = [ x e λ x ] < 36 3 } {{ } x ) Φ(x) = Φ( 3 ).75 Úloha: = krát házíme kostkou, chceme pravděpodobost, že součet hodů X = i= K i (3, 38). Řešeí: µ = E[K i ] = 3.5 E[X] = 35. σ = var[k i ] = E[Ki ] E[K i] = 9 6 3.5 = 35. P(3 < X < 38) = P((X 35) < 3) = P( X 35 35 35 < 3 35 35 ) Φ( 3 35 ) Cviˇceí 5..9 Úloha: = lidí, ějaký z ich zemře s pravděpodobostí p =.. Pojisté čií a = 5kč a pojistka při úmrtí A = kč. S jakou pravděpodobostí bude mít pojišt ova ztrátu? Řešeí: Příjmy P = a, výdaje V = X A, X = i= X i. X i =, pokud i-tý člověk zemřel, jiak. X i Alt(p). Chceme zát P(V > P) = P(X A > a ) = P(X > a A }{{} y=5 ) = µ = E[X i ] = p, E[X ] = p σ = E[X ] E[X] = p p = p ( p) X Bi(, p) i= Alt(p) i. E[... ] = E[... ] = p a pokud jsou jevy, pak var[... ] = var[... ] = p ( p). i= X i p y p y p = P( > ) p ( p) p ( p) Φ( ).56 p ( p) Úloha: = hodů symetrickou micí (p =.5). Chceme zát pravděpodobost, že počet líců bude větší ež 4. Řešeí: P(X > 4), x = i= X i, X i Alt(.5), X Bi(, ). ) Φ( ) = Φ(). P( x µ σ > 4.5 5 Úloha: Každé ráo a odpolede cesta metrem, čekáí až 3 miuty. Jaká je pravděpodobost, že během dů stráví cestující čekáím déle ež hodiu? Řešeí: X i U(, 3), X = 4 i= 4X i, chceme P(X > 6). E[X i ] = 3, E[X i ] = 3 x x3 3 dx = [ 9 ]3 = 3. var[x i ] = E[Xi ] E[X i] = 3 ( 3 ) = 3 4. P(X > 6) = P( X 66 33 > 6 66 33 ) = Φ( 6 33 ) = Φ( 6 33 ) 9
Úloha: Hody micí, V četost líců, chceme P( V.5).95 Řešeí : Čebyševova erovost: Pro X, ɛ platí P( X E[X] > ɛ) var[x] (omezuje pravděpodobost, ɛ že se X odchyluje od své středí hodoty o více ež ɛ). Pozámka, P = E[I[ X E[X] > ɛ]] E[ X E[X] I[... ]] X E[X] = var[x]. ɛ ɛ ɛ P( V >.5) =.5. 4 (.5) Řešeí : Cetrálí i= limití věta. X V = i, E[V ] =, var[v ] = 4 = 4. P( V >.5).95.5 P(... )... P( V.5 ) = P( V. ) =.95 4 4 Pozámky: Pro N N(, ): P( N < U) =.95 P(N < U) =.95)... 95%-kvatil Φ(U)... U-kvatil (Φ(U.95 ) =.95, Φ(U.975 ) =.975, P(N > U.975 ) =.5... Pozámka: Shrutí pro písemku. E[X] = x f (x) dx. E[X ] = x f (x) dx. var[x] = E[X E[X]] = E[X ] E[X]. Rovoměré rozděleí (R, U). Cetrálí limití věta. X,..., X (iid) F, Y = mi(x,..., X ), Z = max(... ), G(y) = P(Y < y), H(z) = P(Z < z) = P(max(... ) < z) = [F(z)]. Vlastosti f, F, etc.