INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZY1aVZS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student má nárok. Bude vypsáno 4-5 termínů během zkouškového období, dále 1 termín měsíčně v období březen-červen, 1 prázdninový termín(v případě zájmu) a 1-2 termíny v září. Zkouška má písemnou a ústní část. Na vypracování písemné části mají studenti 120 minut. Sestává z pěti příkladů z následujících okruhů: 1. posloupnosti, 2. spojitost, limita a derivace funkce, 3. průběh funkce, 4. l Hospitalovo pravidlo a Taylorovy polynomy. Pátá úloha je nepovinná, student si může úspěšným vyřešením vylepšit bodové hodnocení. Spočívá v nalezení příkladu(např. posloupnosti, funkce nebo množiny) s danými vlastnostmi. Postupy je potřeba podrobně zdůvodňovat, uvádět použité věty a ověřovat jejich předpoklady. K úspěšnému absolvování písemné části a postupu k ústní zkoušce potřebuje student získat nadpoloviční počet z maxima daného součtem bodů za příklady 1 4. Pokud student při druhém opravném termínu nedosáhne nadpolovičního počtu bodů, rovněž postupuje k ústní zkoušce. Ústní část zkoušky se koná tentýž nebo následující den po písemné části. Během nísistudentvylosujedefiniciavětu,kterézformuluje,adalšívětu,unížjekromě formulace požadován důkaz. Definice, věty a důkazy požadované v této části zkoušky jsou uvedené na seznamu níže. Zkouška může pokračovat dalšími dotazy na související témata(včetně početních metod, které na seznamu nejsou). Na přípravu k ústní části budemítstudentcca30minut. Používání kalkulaček, mobilních telefonů ani písemných materiálů během zkoušky není povoleno. Společenský oděv nevyžaduji. DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY 1a Čísla odkazují k číslování definic a tvrzení z přednášek. Předpokládá se znalost a správné používání logických symbolů a základních pojmů teorie množin, jako jsou množinové operace, relace, uspořádání, zobrazení a související pojmy, dále znalost číselných oborů a jejich vlastností. Definice Relace uspořádání 2.2 Obor reálných čísel, axiom úplnosti 2.3 Horní/dolní odhad, maximum/minimum množiny 2.4 (Shora/zdola) omezená množina 2.5 Suprémum, infimum 2.6 Konečná, spočetná, nespočetná množina 2.9 Posloupnost 3.1 (Shora/zdola) omezená posloupnost 3.2
Monotónní posloupnost, typy monotonie 3.3 ε-okolí bodu, prstencové okolí 3.4 Limita posloupnosti 3.5 Funkce signum 3.6 Nevlastní limity posloupností 3.8 Číslo e3.10 Vybraná posloupnost(podposloupnost) 3.11 Bolzanova-Cauchyho podmínka, cauchyovská posloupnost 3.12 Hromadný bod posloupnosti 3.13 Monotónní funkce, typy monotonie 4.2 (Shora/zdola) omezená funkce 4.3 Periodická funkce, perioda 4.4 Funkcespojitávbodě,naintervalu4.5,4.7 Jednostranná spojitost funkce v bodě 4.6 Darbouxova vlastnost 4.9 Limita funkce 4.10 Jednostranné limity funkce 4.11 Obecná exponenciální funkce, obecná mocnina 4.14 Cyklometrické funkce 4.17 Funkcesinh,cosh4.18 Derivacefunkcevbodě5.1 Jednostranné derivace 5.2 Tečnagrafu5.3 (Ostré) lokální extrémy 5.4 Derivace vyšších řádů 5.5 (Ryze) konvexní/konkávní funkce 5.6 Inflexníbodfunkce5.7 Asymptoty funkce 5.8 Taylorův polynom 5.9 Zbytek v Taylorově vzorci 5.10 f= O(g), f= o(g)5.11 Věty Kapitola I Princip indukce 1.1 Trojúhelníková nerovnost 2.2 Archimedův axiom 3.3 Věta o limitě součtu, součinu a podílu posloupností 3.6, 3.11 VětaosuprémuvR 3.8 Věta o limitě v nerovnostech(o policajtech) 3.10
Zavedení n-té odmocniny 3.13 Cantorův princip vložených intervalů 3.16 Bolzanova-Weierstrassova věta(z omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní) 3.17 Vztah konvergence a Bolzanovy-Cauchyho podmínky(cauchyho věta) 3.20 Vztah limity a hromadného bodu 3.23 Heineho věta(charakteristika spojitosti pomocí posloupností) 4.5 Věta o spojitosti součtu, součinu, podílu funkcí 4.6 Věta o spojitosti složené funkce 4.7 Weierstrassova věta(spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu nabývá minimaamaxima)4.8 Bolzanova věta o nabývání mezihodnot(pro funkce měnící znaménko) 4.9 Věta o nabývání mezihodnot 4.10 Vztah spojitosti na intervalu a Darbouxovy vlastnosti(cauchyho věta) 4.11 Věta o monotonii spojité prosté funkce 4.13 Věta o spojitosti inverzní funkce 4.14 Vztah spojitosti a limity funkce 4.16 Heineho věta(charakteristika limity pomocí posloupností) 4.17 Věta o limitě součtu, součinu, podílu funkcí 4.18 Bolzanova-Cauchyho podmínka pro funkce 4.21 Větaolimitěsloženéfunkce4.22 Zavedení exponenciály 4.24 Zavedení funkcí sin, cos 4.28 Vztah vlastní derivace a spojitosti 5.1 Derivace součtu, součinu a podílu 5.2, 5.3 Carathéodoryho charakteristika vlastní derivace(existence spojité funkce odpovídající poměrným diferencím) 5.4 Větaoderivacisloženéfunkce5.5 Věta o derivaci inverzní funkce 5.6 Derivace funkce v bodech lokálních extrémů 5.7, 5.13 Rolleova věta o střední hodnotě 5.8 Lagrangeova věta o střední hodnotě 5.9 Věta o limitním přechodu k jednostranné derivaci 5.10 Vztah monotonie a znaménka derivace 5.11 Leibnizův vzorec pro derivace vyšších řádů 5.14 Charakteristika konvexity pomocí směrnic sečen 5.15 Spojitost a derivace konvexní funkce na otevřeném intervalu 5.19 Vztah konvexity a monotonie první derivace 5.20, 5.25 Vztah konvexity a znaménka druhé derivace 5.21, 5.26 Znaménko druhé derivace v bodě lokálního extrému 5.22 Výpočet asymptot funkce 5.24 Cauchyho věta o střední hodnotě 5.27 l Hospitalovo pravidlo 5.28
Zbytek v Lagrangeově tvaru 5.30 Taylorovavětaozbytku5.31 Důkazy Témata psaná kurzívou mohou být požadována po studentech ucházejících se o hodnocení výborně. Trojúhelníková nerovnost 2.2 Nespočetnost množiny R, Cantorova diagonální metoda 2.3 Jednoznačnost limity 3.1 Archimedův axiom 3.3 Konvergentní posloupnost je omezená 3.4 Monotonní omezená posloupnost je konvergentní 3.5 Věta o limitě součtu, součinu a podílu posloupností 3.6, 3.11 VětaosuprémuvR 3.8 Monotónní posloupnost má limitu 3.9 Věta o limitě v nerovnostech(o policajtech) 3.10 Odhad velikosti e 3.14 Cantorův princip vložených intervalů 3.16 Bolzanova-Weierstrassova věta(z omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní) 3.17 Vztah konvergence a Bolzanovy-Cauchyho podmínky(cauchyho věta) 3.20 Charakteristika hromadného bodu posloupnosti 3.22 Vztah limity a hromadného bodu 3.23 Heineho věta(charakteristika spojitosti pomocí posloupností) 4.5 Věta o spojitosti součtu, součinu, podílu funkcí 4.6 Věta o spojitosti složené funkce 4.7 Weierstrassova věta(spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu nabývá minimaamaxima)4.8 Bolzanova věta o nabývání mezihodnot(pro funkce měnící znaménko) 4.9 Věta o nabývání mezihodnot 4.10 Vztah spojitosti na intervalu a Darbouxovy vlastnosti(cauchyho věta) 4.11 Spojitá prostá funkce na intervalu je ryze monotónní 4.13 Věta o spojitosti inverzní funkce 4.14 Jednoznačnost limity funkce 4.15 Vztah spojitosti a limity funkce 4.16 Heineho věta(charakteristika limity pomocí posloupností) 4.17 Věta o limitě součtu, součinu, podílu funkcí 4.18 Větaolimitěsloženéfunkce4.22 Vztah vlastní derivace a spojitosti 5.1 Derivace součtu, součinu a podílu 5.2, 5.3
Carathéodoryho charakteristika vlastní derivace(existence spojité funkce odpovídající poměrným diferencím) 5.4 Větaoderivacisloženéfunkce5.5 Věta o derivaci inverzní funkce 5.6 Derivace funkce v bodech lokálních extrémů 5.7, 5.13 Rolleova věta o střední hodnotě 5.8 Lagrangeova věta o střední hodnotě 5.9 Věta o limitním přechodu k jednostranné derivaci 5.10 Vztah monotonie a znaménka derivace 5.11 Leibnizův vzorec pro derivace vyšších řádů 5.14 Charakteristika konvexity pomocí směrnic sečen 5.15 Monotónní funkce je na intervalu spojitá všude mimo spočetnou množinu 5.17 Spojitost a derivace konvexní funkce na otevřeném intervalu 5.19 Vztah konvexity a monotonie první derivace 5.20 Vztah konvexity a znaménka druhé derivace 5.21 Znaménko druhé derivace v bodě lokálního extrému 5.22 Cauchyho věta o střední hodnotě 5.27 l Hospitalovo pravidlo- případ 0/0 5.28 Zbytek v Lagrangeově tvaru 5.30 V Praze dne 24.12.2010 Eva Murtinová