Prcovný lst: Komplexné čísl - Gonometrcký tvr ročník V tomto prcovnom lste s zopkujeme: Čo je lgebrcký tvr komplexného čísl Znázornene komplexného čísl v prvouhlej sústve súrdníc Ako vznkol gonometrcký tvr komplexného čísl Čo je lgebrcký tvr komplexného čísl Algebrcký tvr komplexného čísl je záps je reáln čsť komplexného čísl je Imgnárn čsť komplexného čísl je mgnárn jednotk, v ktorom: Príkldy komplexných čísel: 3 5 Jeho reáln čsť je 3, jeho mgnárn čsť je 5 b, jeho mgnárn čsť je b b Jeho reáln čsť je c Jeho reáln čsť je c, jeho mgnárn čsť je c, lebo d Jeho reáln čsť je 0 lebo Znázornene komplexného čísl v prvouhlej sústve súrdníc Komplexné čísl znázorňujeme v prvouhlej sústve súrdníc Obrzom komplexného čísl je bod lebo vektor Reálnu čsť komplexného čísl zobrzíme n os x (reáln os), mgnárnu čsť komplexného čísl n os y (mgnárn os) Rovnu, ktorej bodm sú komplexné čísl, nzývme Gussov rovn Pomenovne je po význmnom mtemtkov 9 storoč C F Guss Príkldy komplexných čísel, ktoré znázorníme bodm vektorm: 3 5 b c d 3 e ver kolbsk Strn
Njprv určíme reálne mgnárne čst dných komplexných čísel, potom m prrdíme bod v sústve súrdníc nkonec vektor Komplexné číslo Reáln čsť Imgnárn čsť 3 5 3 5 b c 0 d 3 0 3 e 5 y 3 5 3 d 3 b 3 0 3 5 x 3 e c C F Guß (Guss) s nrodl ko syn murár vodného mjstr Počítť vrj vedel skôr ko hovorť Keď ml tr roky, oprvl zle spočítnú výpltu Ako deväťročný školák dokázl z nekoľko sekúnd správne vypočítť súčet všetkých čísel od jedn do sto odvodl j všeobecný postup pre výpočet súčtu rtmetckého rdu Keď to vdel jeho učteľ, hneď mu zohnl učebncu mtemtky Výsledky vlstného premýšľn sú hodnotnejše ko všetk získná cudz múdrosť Zdroj: Internet Ako vznkol gonometrcký tvr komplexného čísl Ak znázorníme komplexné číslo v prvouhlej sústve súrdníc, získme prvouhlý trojuholník, ktorého dĺžku strán veme určť Ak oznčíme uhol, ktorý zver vektor komplexného čísl s kldnou čsťou os x, veme reálnu j mgnárnu čsť komplexného čísl vyjdrť pomocou gonometrckých funkcí tohto uhl Oznčený uhol nzývme rgumentom komplexného čísl ver kolbsk Strn
y 0 x sn cos Poznámk: Sínus uhl je pomer protľhlej odvesny k prepone prvouhlého trojuholník Kosínus uhl je pomer prľhlej odvesny k prepone prvouhlého trojuholník Absolútnu hodnotu komplexného čísl určujeme z prvouhlého trojuholník pomocou Pytgorovej vety:, potom Vyjdríme s zo vzťhov pre sínus kosínus rgumentu jednotlvé čst komplexného čísl dosdíme do zápsu lgebrckého tvru komplexného čísl sn sn cos cos cos sn Potom je gonometrcký tvr komplexného čísl cos sn Príkld Npíšte v gonometrckom tvre čísl: 55, b 3, c Rešene: V zápse gonometrckého tvru čísl je bsolútn hodnot čísl gonometrcké funkce rgumentu Postupne určujeme teto prvky rešen úlohy 55 Reáln čsť je 5, mgnárn čsť je 5 Absolútn hodnot je 5 5 50 ver kolbsk Strn 3
5 5 5 sn 50 5 5 Funkc sínus ndobúd záporné hodnoty v kvdrnte III, IV, preto rešením sú: III uhol 80 5 5 IV uhol 360 5 35 5 5 5 cos 50 5 5 Funkc kosínus ndobúd kldné hodnoty v kvdrnte I, IV, preto rešením sú: I uhol 5 IV uhol 360 5 35 Argumentom komplexného čísl bude uhol zo IV kvdrntu Potom gonometrcký tvr komplexného čísl je: Rešene: 50 cos35 sn35 35 b 3 Reáln čsť je b, mgnárn čsť je 3 b 3 sn b b Absolútn hodnot je b b 3 b Funkc sínus ndobúd záporné hodnoty v kvdrnte III, IV, preto rešením sú: III uhol 80 60 0 IV uhol cos 360 60 300 b b Funkc kosínus ndobúd kldné hodnoty v kvdrnte I, IV, preto rešením sú: I uhol 60 IV uhol 360 60 300 Argumentom komplexného čísl bude uhol zo IV kvdrntu Potom gonometrcký tvr komplexného čísl b je: b cos300 sn 300 300 ver kolbsk Strn
Rešene: c Reáln čsť je c, mgnárn čsť je c sn c c Absolútn hodnot je c c Funkc sínus ndobúd kldné hodnoty v kvdrnte I, II, preto rešením sú: I uhol 5 II uhol 80 5 35 c cos c Funkc kosínus ndobúd záporné hodnoty v kvdrnte II, III, preto rešením sú: II uhol 80 5 35 III uhol 80 5 5 Argumentom komplexného čísl bude uhol z II kvdrntu Potom je gonometrcký tvr komplexného čísl c : c cos35 sn35 Precvč s vedomost rešením úloh v tomto cvčení 35 Cvčene Npíšte v gonometrckom tvre čísl: d 3, e, b 3, c, Príkld Npíšte dné čísl v lgebrckom tvre: d cos35 sn 35 5cos5 sn 5 b cos0 sn0 c cos0 sn 0 Rešene: Algebrcký tvr čísl je záps Tkže určíme hodnotu gonometrckých funkcí pre dný rgument roznásobíme zátvorku bsolútnou hodnotou komplexného čísl 5 5 5 cos5 sn 5 5 ver kolbsk Strn 5
b c 3 3 3 cos0 sn0 cos0 sn 0 6 d cos35 sn 35 Poznámk: Pr rešení týchto úloh potrebujeme vedomost o hodnotách gonometrckých funkcí uhlov rôznej veľkost Používme preto klkulčky lebo tbuľky Cvčene Npíšte dné čísl v lgebrckom tvre: 3 d 0,5 cos330 sn 330 3cos60 sn 60 b cos50 sn50 c 3cos0 sn 0 Príkld 3 Podel komplexných čísel vyjdrte v gonometrckom tvre Rešene: Úlohu môžeme rešť dvom spôsobm Prvý spôsob: vypočítme podel čísel v lgebrckom tvre potom výsledné číslo prevedeme n tvr gonometrcký Druhý spôsob: obe komplexné čísl prevedeme n tvr gonometrcký potom určíme podel čísel v gonometrckom tvre Vzhľdom n doterjše vedomost použjeme prvý spôsob Reáln čsť je 0, mgnárn čsť je Absolútn hodnot je 0 sn uhol 70 0 cos 0 uhol 90 lebo 70 Argumentom komplexného čísl bude uhol 70 ver kolbsk Strn 6
Potom je gonometrcký tvr podelu cos70 sn 70 Cvčene 3 ) Podel komplexných čísel b) Podel komplexných čísel c) Podel komplexných čísel d) Podel komplexných čísel 5 5 3 3 3 3 3 vyjdrte v gonometrckom tvre vyjdrte v gonometrckom tvre vyjdrte v gonometrckom tvre vyjdrte v gonometrckom tvre Želám T veľ úspechov pr rešení úloh Ak nájdeš chybu v rešených príkldoch, npíš m n verkolbsk@gmlcom Nerešené cvčen konzultuj so svojm učteľom mtemtky lebo m npíš, pošlem T výsledky ver kolbsk Strn 7