Sgná ly se souvslým časem Ř EŠENÉPŘ ÍKLADY r 57 Urč ee mohunos a energ mpulsu τ ( ) ( ) I e, I ma, τ ms ( ) I τ Obr34 Analyzovaný mpuls Mohunosmpulsu ( ) M d I e τ d τ I µ As µ C (mkrocoulomb) Normovanáenerge W ( ) d I e τ τ d ( za předpokladu τ > ) I 5 A s r 58 Vypočíeje spekrální husou sgnálu z př57 a nakreslee modulové a fázové spekrum ( ω) F ( ) jω τ jω { } ( ) ( za předpokladu τ > ) I& e d I e e d I τ jωτ + I ( ωτ ) 6 & I τ I( ω) I( ω A ), + ( ωτ ) ω + Hz ( ) arcg( ωτ ) arcg [ rad nebo ] ϕ ω (vz obr35) + τ e jarcgωτ ω PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 49
Sysémy, procesy a sgná ly I I( f )[A/ Hz] ϕ ( f )[rad] 6 6 f [Hz] f [Hz] - 4 - Obr35 Spekrální funkce sgnálu z obr34 r 59 Urč ee spekrální funkce obdé lníkových sgnálů na obr36 pro U 5V a ms u( )[ V] 5 5 u( )[ V] U U - [ ms] [ ms] Obr36 Analyzované sgnály a) ( ω) + a) b) & jω U U e d U ω, ω V snc snc Hz (vz obr37a), b) ( ω) & jω j U U e d U e, j ω ω ω e V snc snc Hz (vz obr37b) ω r 6 Pomocí výsledku z př59 urč ee 3harmonckou složku perodcké ho sgnálu, vznklé ho opakováním obdé lníkové ho mpulsu z obr36a) s opakovací perodou 4ms (vz vzorec (49)) & & ck, ω snc 5snc k ; ω Ω ( ) T U k T U k Ω PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 5
Sgná ly se souvslým časem & c3, 5snc 3 &, 53V ampluda 3harmoncké U c &, 6V, počáeč ní fáze ϕ 8 3 3 3 U( f ) [ V / Hz] U( f ) [ V / Hz] U m, U m, - - f [ Hz] 5 ϕ ( f ) [ rad] f [ Hz] - f [ Hz] 5 ϕ( f ) [ rad] f [ Hz] a) b) Obr37 Spekrální funkce sgnálů z obr36 r 6 Urč ee spekrální funkc Dracova mpulsu Flrač ní úč nek Dracova mpulsu (vzorec (8)) ( ω) δ ( ) jω &S e d & Poznaky z příkladu: a) Dracův mpuls má rovnoměrnou spekrá lní husou na všech kmočech Je o nekonečně úzký mpuls, má edy nekonečně šroké spekrum b) Plaí nverzní Fourerova ransformace (44): δ jω e dω ( ) Teno negrá l neexsuje v klasckém maemackém smyslu v důsledku nekonvergence negrá lu, exsuje však ve smyslu dsrbučním Vzhledem k sudos negrandu a možnos záměny proměnných ω a plaí rovněž vzorec, kerý použjeme v dalším příkladu: δ ( ω) ± jω e d (8) PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 5
Sysémy, procesy a sgná ly I r 6 Urč ee spekrální funkc konsanního sgnálu u( ) U Sgnál není absoluně negrovaelný, neboť nesplňuje podmínku (45) Nemáedy spekrální funkc v klascké m smyslu, ve smyslu dsrbuč ním však ano: j j ( ω) ω ω ( ) δ ( ω) U& Ue d U e d U vz rovnce (8) U(ω) U ( ) ϕ ω ω ω Obr38 Spekrální funkce konsanního sgnálu & Poznaky z příkladu: Snaha o aplkac apará u spekrá lní analýzy mpulsů na sgná l neohrančený vede na objevení se Dracova mpulsu na kmoču Hz Srovneje se spekrem konsanního sgná lu jakožo specá lního případu perodckého sgná lu: zde je jedná spekrá lní čá ra na kmoču Hz r 63 Urč ee spekrální funkc harmoncké ho sgnálu Ω Ω U u( ) U cos ( Ω + ϕ) ce & + c& e, c& e j j jϕ Sgnál není absoluně negrovaelný, neboť nesplňuje podmínku (45) - jeho mohunos není v dů sledku perodcy sgnálu defnována Nemá edy spekrální funkc v klascké m smyslu, ve smyslu dsrbuč ním však ano: jω jω jω jω ( ω) ( ) ( vz rovnce (8)) U& Ue d ce & + c& e e d + jϕ jϕ [ c ( Ω) c ( Ω) ] Ue ( Ω) Ue ( Ω) & δ ω + & δ ω + δ ω + δ ω + U(ω) U U Ω Ω ω ( ) ϕ ω ϕ Ω ϕ Ω ω Obr39 Spekrální funkce harmoncké ho sgnálu 5 PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz
Sgná ly se souvslým časem & Poznaky z příkladu: Snaha o aplkac apará u spekrá lní analýzy mpulsů na sgná l harmoncký vede na objevení se Dracových mpulsů na kmočech +Ω a -Ω Srovneje s Fourerovým koefceny harmonckého sgná lu jakožo specá lního případu perodckého sgná lu: exsují pouze dva nenulové &c k koefceny odpovídající kmočům +Ω a -Ω Výsledek lze odvod na základě pouč ky (54) o posunu spekra r 64 Urč ee spekrální funkc perodcké ho sgnálu dané ho komplexní Fourerovou řadou jk sp ( ) c & Ω k e k Perodcký sgnál není absoluně negrovaelný, skládá se však ze sejnosměrné složky a harmonckých složek, u nchž exsuje spekrální funkce v dsrbuč ním smyslu: jk jk ( ω) Ω Ω F k ( ) k F{ } k δ ( ω Ω ) S & c & e vlasnos lneary c & e c & k p k & Poznaky z příkladu: k Snaha o aplkac apará u spekrá lní analýzy mpulsů na sgná l perodcký vede na objevení se Dracových mpulsů na kmočech +kω a -kω, k,,, Srovneje s Fourerovým koefceny perodckého sgná lu Srovneje výsledek se vzorcem (47) k r 65 Urč ee spekrální funkc jednokové ho skoku Jednokový skok není absoluně negrovaelný a mánekoneč nou mohunos Lze jej však rozlož podle (46) na sgnál s M () s nulovou mohunosí a konsanní sgnál (vz obr4): ( ) sm ( ) +, 5 (),5,5 sm ( ) -,5 +,5 Obr4 Rozklad jednokové ho skoku na sgnál s nulovou mohunosí a konsanní složku Sgnál s M () mánulovou mohunos a jeho dervací je Draců v mpuls: ( ) M ( ) δ d d s V souladu s pouč kou o Fourerově obrazu dervace (56) edy dosáváme F { δ ( ) } jω F { s ( ) } F{ s ( ) } M M jω PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 53
Sysémy, procesy a sgná ly I Zároveň plaí F{, 5} δ ( ω ) Proo { ( ) } + ( ) F jω δ ω S&( ω ) ω Obr4 Spekrální funkce jednokové ho skoku ϕ( ω )[rad] ω Pokuse se příklad vyřeš pomocí pouč ky o negrac - vz vzorec (6) r 66 Zapše obdé lníkový sgnál z obr36a) pomocí lneárních operací s jednokovým skokem [ ] [ ] ( ) + ( + 3) ( 3 ) u U V,s r 67 Urč ee spekrální funkc obdé lníkové ho mpulsu z obr36a) na základě znalos spekrální funkce jednokové ho skoku a výsledku příkladu 66 & S( ω) { u( ) } U + U + + F F F F ( pouč ka o posunuí sgnálu v č ase) jω jω U { ( ) }[ e e ] U + ( ) j sn( ) jω δ ω F ω U j sn ( ω ) + U δ ( ω) j sn ( ω ) U snc( ω ) jω, vz vzorec (78) PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 54
Sgná ly se souvslým časem r 68 Pomocí pravdel o Fourerově ransformac dervace a negrálu sgnálu urč ee spekrální funkc rojúhelníkové ho mpulsu u() na obr4 pro U V a ms u( )[ V] U - [ ms] Obr4 Analyzovaný mpuls (Vz éž obr43) u ( ) U S & ( f ) [ V / Hz] U U u ( ) U U 5 4 V / Hz 4U khz 4kHz f [ khz] a) b) Obr43 Způ sob odvození spekrální funkce a výsledný prů běh U ( ) + ( ) 4U + U u, U ( ) + ( ) 4U + U u δ δ δ U jω jω { u ( ) } ( pravdlo o č asové m posuvu sgnálu) [ e e ] F + 8U sn ( ω 4) { u ( ) } ( pravdlo o negrálu sgnálu) u ( ) F F{ } ( ω 4) 8U sn jω jω PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 55
Sysémy, procesy a sgná ly I F { u( ) } F u ( ) U U { } sn ( ω 4) snc ( ω 4 ) 8 jω ω ( ω) 4 4 V 5 snc, 5 Hz r 69 Na základě pouč ky o spekrální funkc souč nu dvou sgnálů (6) urč ee spekrální funkc mpulsu na obr44 pro U V a 5ms u( )[ V] U -5 5 [ ms] Obr44 Analyzovaný mpuls Sgnál je souč nem kosnové ho sgnálu a obdé lníkové ho mpulsu u obd () o šířce a výšce V: ( ) cos ( ) obd ( ) u U Ω u Jednolvé spekrální funkce: F F { U ( Ω ) } ( vz příklad 63) U δ ( ω Ω) + U δ ( ω + Ω) uobd ( ) vz příklad 59 snc ω, cos, { } ( ) ( ) { cos( Ω ) obd ( )} ( pravdlo souč nu ) F U u [ ] U snc( ξ ) δ ( ω ξ Ω) + δ ( ω + ξ + Ω) dξ U ( ) ( + Ω) ( Ω) + flrač ní úč nek Dracova mpulsu snc ω snc ω S přhlé dnuím k omu, že plaí Ω T, lze výsledný vzorec podsaně zjednoduš: ( ) ( 5 ω) & U Ω ( ) cos U 4 ω ω ω cos, V Ω ω Hz r 7 Zakreslee kmoč ovou závslos jednosranné spekrální husoy energe obdé lníkové ho mpulsu z obr36a) pro U V a ms Vypoč ěe energ, obsaženou v mpulsu v kmoč ových pásmech ( )khz, ( )khz a ( 3)kHz PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 56
Sgná ly se souvslým časem Spekrální husoa sgnálu ( ω) snc ω 3 snc( 5 4 ω) & V U U Hz Jednosrannáspekrální husoa energe U L j ( ω) S& 7 4 ( ω) ω ( ω J snc & 3, 83 snc 5 ) Hz S & ( f ) [ V / Hz],3,, -8-6 -4-4 6 8 f [ Hz] Obr45 Modul spekrální funkce mpulsu z obr44 Celkováenerge mpulsu (nejprve přes spekrální husou, pak jednodušší výpoč e z defnce energe; vz Parsevalů v eoré m) U W L j ( ω) dω snc ω dω ( x) dx U snc mj ( ) W u d U d U mj + -6 x,35 Lj ( f ) [ J / Hz] U 7 383, [ J / Hz],3,5,,5 9,8%,,5 4,7%,65%,83% 3 4 f [ Hz] Obr46 Jednosrannáspekrální husoa energe mpulsu z obr36a) PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 57
Sysémy, procesy a sgná ly I Energe obsaženáv spekrálních pásmech: 7 4 ( ) khz j ( ) snc ( ) W L ω dω & 3, 83 5 ω dω &, 98mJ, 4 4 7 4 ( ) khz j ( ) snc ( ) W L ω dω & 3, 83 5 ω dω &, 47mJ, 6 6 7 4 ( 3) khz j ( ) & 383, snc ( 5 ) W L ω dω ω dω &, 65mJ 4 4 Inegrály byly vyčísleny v MATLABu za použí příkazu quad( lj,a,b) kde lj je název funkce jednosranné spekrální husoy energe defnované v M-souboru a a a b jsou dolní a horní negrač ní mez & Poznaek z příkladu: V prvním spekrá lním laloku obdélníkového mpulsu v kmočovém pásmu ( /šířka mpulsu) [Hz] je sousředěno více než 9% veškeré energe mpulsu r 7 Urč ee auokorelač ní funkc obdé lníkové ho mpulsu z obr36a) na základě defnč ního vzahu auokorelač ní funkce (7) τ u( ) u( + τ ) U Obr47 K výpoč u auokorelač ní funkce obdé lníkové ho mpulsu R u u d Auokorelač ní funkce: ( τ ) ( ) ( + τ ) Z obr47 vyplývá, že pro posunuí τ, + se mpulsy nebudou překrýva a udíž R(τ) Pro τ ( + ), bude překryvnáplocha nezávslána směru posunuí (nezávsí na znamé nku τ) a bude ( τ ) ( τ ) τ ( + ) R U d U,, τ R( τ ) U Obr48 Auokorelač ní funkce mpulsu z obr36a) τ 58 PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz
Sgná ly se souvslým časem & Poznaek z příkladu: Auokorelační funkce mpulsu konečného rvá ní má aké konečné rvá ní (dvakrá delší než u mpulsu) r 7 Z auokorelač ní funkce mpulsu z př7 urč ee jeho modulové spekrum Kvadrá modulu spekrální husoy sgnálu je Fourerovou ransformací jeho auokorelač ní funkce (vz vzah (73)) Fourerů v obraz R(τ) rojúhelníkové ho varu: využjeme výsledku z př68: { ( τ )} F R U Proo snc ω { } & U( ω) F R( τ ) U snc ω, což je známý vzah odvozený jž v př59 r 73 Urč ee vzájemnou korelač ní funkc R (τ) mpulsů u () a u () na obr 49 Vz obr49 u ( ) U V - u [ ms] u ( + τ ) U V R ( τ ) 3 J [ ms] - - τ [ ms ] Obr49 K urč ení vzájemné korelač ní funkce sgnálů u a u r 74 Urč ee vzájemnou korelač ní funkc R (τ) mpulsu u () z obr49 a perodcké ho rušvé ho napěí ( ) ( ) u U cos Ω, U mv, F Ω/ khz PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 59
Sysémy, procesy a sgná ly I Impuls u () překrývávždy právě č asový nerval ms, v němž se nachází přesně perod rušvé ho harmoncké ho sgnálu Inegrál ze souč nu obou sgnálů bude proo nula nezávsle na velkos posunuí τ: R ( τ ) r 75 Řeše příklad 74 pro obecné hodnoy šířky mpulsu a kmoč u rušvé ho sgnálu τ U U R ( τ ) u( ) u ( + τ ) d U cos( Ω ) U d sn Ω cos τ Ω Ω R ( τ ) τ Ω UU Ω τ Ω sn Obr5 Vzájemnákorelač ní funkce mpulsu u z obr49 a harmoncké ho rušení & Poznaky z příkladu: Vzá jemná korelační funkce jednorá zového mpulsu a perodckého sgná lu je perodcká Opakovací perody perodckého sgná lu a korelační funkce jsou sejné V případě obdélníkového mpulsu zá vsí rozkm korelační funkce na relacích mez opakovací perodou a šířkou mpulsu Jel peroda celsvým ná sobkem šířky mpulsu, je vzá jemná korelační funkce dencky rovna nule r 76 Pomocí DFT vypoč ěe spekrální funkc mpulsu z obr5a) na kmoč ech (,,,, ) Hz Doporuč ujeme prosudova eorecký souhrn na začáku kapoly, položku Vzah Fourerovy ransformace a DFT Analycké řešení spekrální funkce převezmeme z příkladu 68, kde je proveden výpoč empulsu sejné ho ypu, pouze s č asovým posunem: U ω ( ω) snc ω e 5 snc ( 5 ω) & U j 4, 4 e j5 4 ω V 4 Hz Požadujeme numercký výpoč e U& ( f ) pomocí DFT na kmoč ech kf S, F S Hz, k,,, Odvozený vzorec pak použjeme k ověření přesnos numercké ho výpoč u Kmoč u F S odpovídádé lka segmenu č asové ho prů běhu, kerávsoupí do algormu DFT: T S F ms S PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 6
Sgná ly se souvslým časem U& ( f ) [V / Hz ] u( ) 5 4 U V ϕ [ rad] 4 f [ khz] ms 4 f [ khz] a) - b) Obr5 K výpoč u spekrální funkce mpulsu pomocí DFT Sgnál musíme na omo úseku navzorkova Získáme N vzorků, z nchž vypoč eme N komplexních koefcenů DFT Čím věší poč e vzorků zvolíme, ím přesnějšího výpoč u dosáhneme Volba N: Jeslže exsuje kmoč e F MAX akový, že pro všechny kmoč y f > F MAX je spekrální funkce sgnálu jž nulová(zanedbaelná), pak zvolíme-l FMAX N >, (83) F výpoč e spekrální funkce z DFT bude přesný (zaížený relavně malou chybou) Navíc zvolíme-l N rovno celočíselné mocnně dvou, můžeme k výpoč u koefcenů DFT použí algormy rychlé Fourerovy ransformace (FFT) Například pro kmoč e 5kHz vychází z analycké ho vzahu pro spekrální husou mpulsu modul ( khz) U f 5 & 3, 4 7 V Hz, což je as,65% z mální hodnoy spekrální husoy ( ) U 5 4 V Hz Považujeme-l hodnoy spekrální funkce za zanedbaelné pro f > F MAX 5kHz, pak zvolíme N > 5 5 Zvolíme N 5 Časový segmen sgnálu <, T S > <, ms > rozdělíme na 5 sejných dílů a odeč eme 5 vzorků sgnálu: S u k ( ) ( ) u kt S N u, k,,,, N & k 9, 5µs Vzorky jsou edy číslovány od do N- a N-ý vzorek se jž do souboru nezahrnuje PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 6
Sysémy, procesy a sgná ly I Nyní vypoč eme N 5 koefcenů DFT podle (9) X& k, k,, K, N a z jejch první polovny (j z koefcenů č,,,, 55) sanovíme 56 vzorků spekrální funkce podle (74): & T U ( f S ) &,,,, f nf N X n N n K, nebol & ( ) S 6 U f & 9, 5 X& n, n,, K, 55 f n Hz Mů žeme ako vypočís vzorky spekrální funkce až do kmoč u 5,5kHz, když jsme původně požadoval výpoč e jen do khz Koefceny DFT vykazují od n 56 do 5 symer podle (3) a jsou edy k výpoč u vyšších harmonckých nepouželné : Uká zka řešenípomocímatlabu: Rozdělíme-l úsek sgnálu délky ms na 5 výpoč eních bodů, pak na vzesupnou čás plové ho sgnálu v nervalu -,5 ms přpadají vzorky č až 5 a na sesupnou čás od,5 ms do ms vzorky č 6 až 5: u( k) 5 k pro k,,, K, 5; 8 5 k pro k 6, 7, 8, K, 5 8 Osaní vzorky jsou nulové k:5; % Generová ní nezá vsle promě nné pro ú sek sgná lu s5*k/8; % Vý poče vzorků č až 5 (v MATLABu jsou o vzorky č až 6) k6:5; % Generová ní nezá vsle promě nné pro ú sek sgná lu s(7:5)-5*k/8; xff(s,5); % Vý poče vzorků č 6 až 5 (v MATLABu jsou o vzorky č 7 až 5) % Vý poče 5- bodové FFT sgná lu x(:) % Zobrazení koefcenů FFT č až (v MATLABu č až ) ans Columns hrough 4 55938 444-7845 37-45569 396-9 Columns 5 hrough 8 699-343 -3-7477 -5833-7937 -988-35973 Columns 9 hrough -8638-8673 -8846-3865 -3758 + ue-3/5*x(:) u % Vý poče vzorků spekrá lnífunkce PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 6
Sgná ly se souvslým časem e-3 * Columns hrough 4 4999 475-53 393-843 77-3754 Columns 5 hrough 8 35-46 - - 45-39 - 353-93 - 656 Columns 9 hrough -37-683 -3-754 -7 + abs(u) ans e-3 * Columns hrough 7 4999 4958 4837 464 4375 45 3684 Columns 8 hrough 383 864 44 7 phase(u)*8/p ans Columns hrough 7-8 -3643-546 -777-987 -89 Columns 8 hrough -687-447 -644-8 % Vý poče vzorků modulu spekrá lní funkce % Vý poče vzorků argumenu spekrá lní funkce ve supních V abulce jsou shrnuy výsledky výpoč ů na kmoč ech do khz spolu s přesným hodnoam spekrální funkce k X & k U& ( k F S ) [ µv / Hz] arg U & ( k F S ) [ ] S& ( k F S ) [ µv / Hz] arg S & ( k F S ) [ ] 5,59375 - j, 499,878 5 4,437 - j7,8455 495,78-8, 495,9-8,37 - j4,55694 483,656-36, 483,766-36 3 3,9699- j9, 463,97-54, 464,68-54 4 6,99- j,346 437,493-7, 437,57-7 5 -,36- j,74767 45,8-9, 45,85-9 6-5,833- j7,9377 368,383-8, 368,4-8 7-9,885- j3,5978 38,3-6, 38,39-6 8 -,86385 - j8,673 86,39-44, 86,393-44 9 -,88458 - j3,865 44,6-6, 44,54-6 -,3758 - j,,653-8,64-8 M M M M M M PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 63
Sysémy, procesy a sgná ly I & Poznaky z příkladu: Poče bodů N-bodové DFT (FFT) nemusí souvse s počem bodů, v nchž chceme urč vzorky spekrá lní funkce Pro volbu N je důležá podmínka (83) Na jejím dodržení je zá vslá přesnos výpoču spekra Je-l doba rvá ní jednorá zového mpulsu T, pak o nemusí bý nuně délka segmenu sgná lu T S, kerý je vzorková n pro pořeby DFT Musí pla T S T, (84) což vlasně znamená, že k vzorkům mpulsu je možno přdá va před aplkací DFT nulové vzorky Vzorky spekrá lní funkce vypočené pomocí DFT leží na kmočech n n N n FS, n,,, T T K S vypoč aelné vzorky spekrální funkce zrcadlové složky počíaných vzorků 4 6 5,6 f [khz] 55 56 vzorek č 5 Obr5 Výsledek spekrální analýzy mpulsu z obr5a) pomocí 5-bodové FFT Znamená o, že s růsem T S klesá rozesup mez vzorky vypočeného spekra Spekrum je podrobněj vykresleno, rose spekrá lní rozlšení Doplňová ním vzorků jednorá zových mpulsů nulovým vzorky edy dosá hneme lepšího spekrá lního rozlšení Nejhorší rozlšení je pro T S T PDF byl vyvořen zkušebníverzífneprn pdffacory hp://wwwfneprncz 64