Integrální transformace Martin Bohata, Jan Hamhalter (Verze textu z.2.28) Fourierova transformace. Fourierovy řady Fourierovy řady řeší, zhruba řečeno, úlohy matematické fyziky a teorie signálů na omezené časové či prostorové oblasti. Jejich techniku jako jeden z prvních použil J. Fouriere, který pomocí Fourierovy řady vyřešil rovnici tepla a nalezl stacionární rozložení teploty na konečné tyči. Tradiční aplikací Fourierových řad je rozklad časově omezeného (respektive periodického) signálu do superpozice násobných harmonických kmitů. Naproti tomu Fourierova transformace, kterou se budeme zabývat za nedlouho, řeší úlohu vedení tepla na nekonečné tyči a umožňuje spektrální analýzu nekonečného (neperiodického) signálu. Fourierova transformace funkcí s konečným nosičem (tj. funkcí, které mají nenulové hodnoty jen v nějakém uzavřeném intervalu) se dá získat limitním přechodem v koeficientech Fourierových řad, jejichž perioda jde k nekonečnu. Teorie Fourierových řad je proto logický předstupeň k Fourierově transformaci, který umožní její hlubší pochopení. Z tohoto důvodu začínáme náš výklad základním shrnutím teorie Fourierových řad s ankcentem na jejich kompexní tvar. Definice Necht a R, T > a funkce f(t) splňuje následující předpoklady: (i) f(t) : a, a + T C, nebo f(t) je periodická funkce s periodou T. (ii) f je integrovatelná na intervalu a, a + T, tj. a+t a f(t) dt <. Fourierova řada v komplexním tvaru funkce f je řada kde a n= c n e inωt = + c 2 e 2iωt + c e iωt + c + c e iωt + c 2 e 2iωt +, c n = T a+t a ω = 2π T f(t) e inωt dt n Z. Komplexní čísla c n, n Z, se nazývají Fourierovy koeficenty funkce f(t).
Fourierovy koeficienty funkce f(t) poměřují funkci f(t) s harmonickými kruhovými pohyby v komplexní rovině t e inωt o (úhlových) frekvencích nω. Kladné n odpovídá pohybu proti směru hodinových ručiček, záporné n odpovídá pohybu ve směru hodinových ručiček. Fourierovy koeficienty jednoznačně kódují spojité funkce, ve smyslu následujícího principu. Věta 2 Spojité funkce s periodou T > se stejnými Fourierovými koeficienty jsou stejné. Jinými slovy, jsou-li funkce f(t) a g(t) spojité na intervalu a, a + T, a platí-li a+t a f(t)e in 2π T t dt = a+t pro všechna n Z, pak f(t) = g(t) pro všechna t R. a g(t)e in 2π T t dt Důkaz tohoto faktu je obtížnější a nebudeme ho uvádět. Pokud má analyzovaná funkce jen reálné hodnoty, jeví její Fourierovy koeficienty důležitou symetrii. Tvrzení 3 Je-li f(t) reálná integrovatelná funkce na intervalu a, a + T, pak pro její Fourierovy koeficienty platí: Důkaz: Platí, že T c n = T c n = a+t a a+t a c n = c n pro všechna n Z. f(t) e inωt dt = f(t) e inωt dt = a+t a a+t a a+t f(t) cos nωt dt i f(t) sin nωt dt, a a+t f(t) cos nωt dt + i f(t) sin nωt dt. a Díky tomu, že f(t) je reálná funkce, jsou integrály a+t f(t) cos nωt dt a a+t a f(t) sin nωt dt reálné. Z toho vyplývá, že c n = c n. Uvedená symetrie Fourierových koeficientů pro reálné funkce umožňuje i převedení Fourierovy řady do kosinově-sinového tvaru, který obsahuje pouze reálné parametry. Je-li totiž f(t) reálná funkce, pak dle předchozího tvrzení jsou funkce c n e inωt, c n e inωt, komplexně sdružené a jejich součet tak dá reálnou funkci. At n. Pak platí a c n e inωt + c n e inωt = c n (cos nωt + i sin nωt) + c n (cos nωt i sin nωt) = = (c n + c n ) cos nωt + (i c n ic n ) sin nωt = = 2 Re c n cos nωt 2 Im c n sin nωt. 2
Označme a n = 2 Re c n = 2 T b n = 2 Im c n = 2 T a+t a a+t a f(t) cos nωt dt f(t) sin nωt dt Toto značení nám umožní přepis komplexního tvaru Fourierovy řady do tzv. kosinověsinového tvaru: a 2 + a n cos nωt + b n sin nωt, n= Fourierova řada v tomto tvaru reprezentuje nekonečnou superpozici násobných harmonických kmitů a n cos nωt + b n sin nωt s frekvencemi nω a amplitudou A n = a 2 n + b 2 n. Mezi komplexním a kosinově-sinovým tvarem máme následující transformační vztahy pro koeficienty. Je-li n, pak a n = 2 Re c n b n = 2 Im c n c n = a n 2 ib n 2 c n = a n 2 + ib n 2 Z matematického pohledu jsou Fourierovy koeficienty vlastně souřadnicemi vůči nekonečné bázi složené z trigonometrických funkcí. V teorii signálů určují energii, s jakou jsou ve spektrálním rozkladu dané periodické funkce zastoupeny jednotlivé násobné frekvence. Čím větší je hodnota c n, tím větší roli hraje frekvence nω v daném signálu. Je-li c n = není frekvence nω v signálu přítomna. V důležitých případech (ale ne vždy) je periodická funkce přímo rovna součtu své Fourierovy řady. V této situaci můžeme funkci aproximovat částečnými součty, které jsou trigonometrickými polynomy. Uvedeme si důležitou Dirichletovu větu, jejíž důkaz pro složitost neuvádíme. Věta 4 Dirichletova věta Je-li reálná funkce f(t) s periodou T po částech spojitá a má po částech spojitou derivaci, pak f(t+) + f(t ) 2 = a 2 + a n cos nωt + b n sin nωt, n= pro všechna t R, kde a n a b n jsou Fourierovy koeficienty funkce f(t). 3
Fourierova řada je formálně podobná řadě Laurentově se středem v počátku. Skutečně, necht Laurentova řada c n z n n= konverguje ve vlastním prstencovém okolí nuly, které obsahuje jednotkovou kružnici. Dosadíme-li do této řady z = e it, získáme Fourierovu řadu 2π-periodické funkce ve tvaru c n e int. n= Toho se dá někdy z výhodou využít pro počítaní Fourierových koeficientů technikou Laurentových rozvojů. Tímto postupem se vyhneme složitému integrování. Pro ilustraci si uved me jeden příklad. Příklad 5 Pomocí Laurentovy řady nalezněte Fourierovu řadu funkce f(t) = 2 + cos t. Řešení: Podle Dirichletova kritéria je zadaná funkce součtem své Fourierovy řady. Pro z = e it, kde t R, platí Uvažujme pomocnou funkci cos t = 2 (z + z ) = z2 + 2z f(z) = Víme, že pro tuto funkci platí 2 + z2 + 2z = 2z z 2 + 4z +. f(e it ) = f(t) t R. Funkce f(z) je racionální funkce s nulovými body jmenovatele z = 2 + 3, z 2 = 2 3. Budeme hledat Laurentův rozvoj funkce f v mezikruží obsahující jednotkovou kružnici. Tedy v oblasti dané nerovnicemi Rozklad na částečné zlomky má tvar z = 2 3 < z < z 2 = 2 + 3.. kde f(z) = A + B, z z z z 2 A = 2 + 3 3, B = 2 + 3 3. 4
kde Laurentovy rozvoje parciálních zlomků jsou A = A z z z = A z z B = B z z z 2 z 2 z 2 = B z 2 Platí tedy f(z) = A a pro n je z n z n 2 z n z n+ B z n z2 n+ = c n = B z2 n+ = 2 + 3 3 z n z n+, z > z, = B n= c = B z 2 = 3, z n z n+ 2 ( 2 3) = n+ 3, z < z 2. c n z n, z < z < z 2, ( 2 3) n, c n = Az n = 2 + 3 3 ( 2 + 3) n = 3 ( 2 + 3) n. V tomto konkrétním případě jsou c n reálné a c n = c n. Vrátíme se nyní k funkci f(t). f(t) = f(e it ) = n= c n e int = c + c n (e int +e int ) = c + 2 c n cos nt. n= Po dosazení numerických hodnot a úpravě dostáváme: f(t) = + 2 ( 2 + 3) n cos nt. 3 3 n=.2 Přímá a zpětná Fourierova transformace Jednou z motivací Fourierovy transformace je spektrální rozklad obecné neperiodické funkce v nekonečné časové oblasti. Na rozdíl od periodické funkce, kdy stačí k popisu signálu znát korelace s posloupností harmonických pohybů s násobnými frekvencemi, je v obecné situaci zapotřebí znát korelaci s každou možnou frekvencí. Tuto znalost zprostředkuje Fourieorova ransformace, která počítá korelace dané funkce s harmonickými funkcemi g(t) = e iωt, kde ω probíhá všechna reálná čísla. V celé kapitole budeme nevlastní integrál g(t) dt z komplexně hodnotové funkce g(t) chápat ve smyslu hlavní hodnoty g(t) dt = lim R 5 R R g(t) dt. n=
Definice 6 Necht f(t) je komplexní funkce definovaná na R. Funkce ˆf(p) = f(t)e ipt dt, p R se nazývá Fourierova transformace funkce f(t). Funkce ˇf(p) = f(t)e ipt dt p R, 2 π se nazývá inverzní Fourierova transformace funkce f(t). Za definiční obor definovaných transformací se považuje množina všech p R, pro které existují příslušné integrály ve smyslu hlavní hodnoty. Mezi přímou a zpětnou Fourierovou transformací existuje jednoduchý převodní vztah ˆf(p) = 2π ˇf( p) Zobrazení F : f ˆf, které dané funkci přiřadí její Fourierův obraz, se nazývá Fourierova transformace. Analogicky, zobrazení F, které dané funkci přiřadí její inverzní Fourierovy transformaci F : f ˇf se nazývá inverzní (zpětná) Fourierova transformace. V jistém smyslu se skutečně jedná o vzájemně inverzní zobrazení, ale to si ukážeme až později. Skutečnost, že funkce F (p) je Fourierovým obrazem funkce f(t), budeme při výpočtech vyjadřovat zápisem f(t). = F (p), respektive F [f(t)](p) = ˆf(p). V případě, kdy je funkce f(t) integrovatelná, tj. f(t) dt <, je její Fourierova transformace definována na celé reálné ose. Pak totiž pro každé p R platí f(t) e ipt dt = f(t) dt <, a tudíž integrál definující hodnotu Fourierovy transformace v bodě p existuje. Označme symbolem L (R) množinu všech integrovatelných funkcí na R. Jak jsme si právě uvedli, každá funkce z L (R) má Fourierův obraz definovaný na celé reálné ose. Neplatí ovšem, že by tento obraz byl opět funkce z L (R), jak uvidíme na konkrétních příkladech. Spočítejme nyní několik základních příkladů. Příklad 7 Obraz bránové funkce Necht a > a položme { t a, a f a (t) = jinde 6
Jinými slovy f a (t) je charakteristickou funkcí intervalu a, a. Pro p je ˆf a (p) = f a (t) e ipt dt = a a [ e e ipt ipt dt = ip Pro p = snadnou integrací obdržíme ˆf a () = 2a. ] t=a = t= a = eiap e iap ip sin ap = 2 p Vidíme tedy, že obrazem bránové funkce je lineárně tlumená sinusovka. Další příklad dokumentuje, že známe-li přímou Fourierovu transformaci, můžeme okamžitě stanovit inverzní Fourierův obraz. Příklad 8 ˇf a (p) = 2 π ˆf a ( p) = { π sin( ap) p = sin ap π p, p, π a p =. Stěžejní vlastností Fourierovy transformace je skutečnost, že převádí gaussovské funkce na gaussovské funkce. Příklad 9 Obraz gaussovské funkce Uvažujme sudou gaussovskou funkci f(t) = e at2, a >. Lze ukázat např. aplikací Cauchyovy věty, že e t2 e itp dt = πe p2 4. Na základě toho (substituce u = at) máme e at2 e itp dt = / π a e u2 e iup/ a du = p 2 a e 4a. Další příklad ukazuje Fourierův obraz jednostranného fyzikálního děje, který začne v čase nula. Například se může jednat o vybíjení kondenzátoru. I když je daná funkce ryze reálná, má její Fourierova transformace komplexní hodnoty. Později se dovíme, že toto není náhoda. Příklad Vybíjení kondenzátoru: At α > a ˆf(p) = e α t e ipt dt = f(t) = { e αt t jinak. e (α+ip)t dt = 7 [ ] α + ip e (α+ip)t = = α + ip.
V další části se budeme zabývat Fourierovy obrazy racionálních funkcí. Jejich výpočet bude aplikací Reziduové věty. Předpokládejme, že P a Q jsou polynomy, st Q > st P a Q nemá reálné kořeny. Z komplexní analýzy víme, že P (t) Q(t) eit dt = 2πi {z : Q(z)=,Im z>} ( ) P (z) res z Q(z) eiz. Pro výpočet Fourierovy transformace racionální funkce P (t) Q(t) obecnější integrál ovšem potřebujeme P (t) Q(t) e ipt dt. (Pro p = je druhý integrál roven prvnímu, na který je přímo aplikovatelná Reziduová věta.) Obecnější integrál se dá naštěstí převést lineární substitucí na integrál speciální. Pro p položíme u = pt (du = p dt). Pomocí věty o substituci v integrálu máme Označíme-li máme: P (t) P ( u Q(t) e ipt p dt = ) du Q( u eiu p ) p. P (t) Q(t) e ipt dt = 2πi p R(z) = P ( z p ) Q( z p ) {z : Q( z/p)=,im z>} res z R(z)e iz. Vidíme, že výpočet Fourierovy transformace racionální funkce se redukuje na výpočet konečně mnoha reziduí v singularitách racionální funkce ležících nad reálnou osou. Podívejme se na konkrétní případ. Příklad Pro p je f(t) = t 2 +. R(z) = z 2 ( p) + = p2 z 2 + p 2. 2 ˆf(p) = 2πi p res p 2 2πi i p z 2 + p 2 eiz p2 = e p p 2i p = πe p. 8
Je-li p = můžeme dopočíst hodnotu Fourierova obrazu přímo z definice. t 2 + dt = [arctan t] = π. Souvislost Fourierovy transformace a Fourierovy řady Vysvětlíme si nyní důležitou souvislost mezi Fourierovou řadou a Fourierovou transformací. Předpokládejme, že f(t) je periodická funkce s periodou T > taková, že a+t a f(t) dt <. Označme <a,a+t > charakteristickou funkci intervalu < a, a + T > a položme f T (t) = <a,a+t > (t) f(t). Funkce f T (t) je vlastně ořezání periodické funkce f(t) na zakladní interval délky periody. Jinými slovy { f(t) t a, a + T f T (t) = jinak Pro Fourierův koeficient c n funkce f(t) platí c n = T a+t a f T (t) e inωt dt = T ˆf T (nω) Pro stanovení všech Fourierových koeficientů c n tedy stačí znát Fourierovu transformaci funkce f T a spočítat (vzorkovat) tuto funkci v bodech nω = n 2π T. Všimněme si, že pokud bude perioda T růst do nekonečna, bude krok vzorkovaní 2π T konvergovat k nule. Fourierovy koeficienty tak hustě vyplní graf funkce ˆf T. Příklad 2 Mějme dva paramentry T > a T < T/2. Definujme pomocí nich obdélníkovou vlnu s periodou T a délkou obdelníkových impulzů 2T : { t nt T, nt + T ; n Z f(t) = jinak Volbou a = T/2 dostaneme v souladu s předchozím značením, že f a (t) je bránová funkce s paramentrem T. Její Fourierův obraz je funkce { 2 sin(tp) p, p, g(p) = 2T, p =. 9
Tento Fourierův obraz nezávisí na periodě T. Pro Fourierovy koeficienty funkce f(t) pak máme = sin(n 2π T T) nπ, n, c n = { T T 2 sin(n 2π T T) n 2π T g() = 2T T n =. Představme si, že máme funkci f(t) v časové oblasti, kterou neznáme explicitně. Známe nicméně Fourierův obraz g(p) = ˆf(p) definovaný na celé reálne ose a rádi bychom z něj časový signál f(t) zrekonstruovali. V případě Fourierovy řady můžeme za příznivých okolností získat původní signál z posloupnosti Fourierových koeficientů (c n ) n= jako součet řady n= c ne iωt. Terminologie Fourierovy transformace nabádá zkusit aplikovat na g(p) inverzní Fourierovu transformaci a získat tak funkci f(t) = g(p)e ipt dp. 2π Obecně neplatí, že by funkce f a f splývaly. Je-li například funkce f(t) rovna v nule a ve všech ostatních bodech je nulová, je její Fourierův obraz nulový, a tedy f je nulová ve všech bodech. Nicméně, je netriviální skutečností, že za jistých okolností jsou funkce f a f totožné. To je obsahem vět o inverzní Fourierově transformaci, které jsou pokládány za jedny z hlubších principů matematické fyziky. V následující věte si uvedeme způsob rekonstrukce signálu z jeho frekvenčního vyjádření pro integrovatelné po částech diferencovatelné funkce. Věta 3 Věta o inverzní Fourierově transformaci Necht f(t) je integrovatelná funkce na R. (i) Je-li f(t) spojitá na R a ˆf L (R) pak f(t) = ˆf(p) e ipt dp 2π pro všechna t R. (ii) Je-li f(t) a f (t) po částech spojitá funkce na R, pak pro všechna t R. f(t+) + f(t ) 2 Důkaz: Budeme potřebovat následující pomocné lemma. = ˆf(p) e ipt dp () 2π Lemma 4 Předpokládejme, že funkce h(x) má omezenou derivaci na intervalu c, d. Pak lim a d c h(x) sin ax dx =
Důkaz: Metodou per partes máme d c h(x) sin ax dx = [ ] d cos ax h(x) + a c a d c (cos ax)h (x) dx pro a. Provedeme nyní důkaz tvrzení (ii) ve Větě za omezujícího předpokladu, že f(t) má spojitou derivaci. Označme si jako g(t) výraz na pravé straně dokazované rovnosti. Tedy g(t) = ˆf(p) e ipt dp. 2π Rozepsáním vnitřního integrálu máme g(t) = ( ) f(x)e ipx dx e ipt dp. 2π Vzhledem k tomu, že f(x)e ipx e ipt = f(x) a funkce f(x) je integrovatelná, je konečný dvojný integrál f(x)e ipx e ipt ) dx dp <. Podle Fubiniho věty pak můžeme přeorganizovat integraci v definici funkce g(t) g(t) = ( ) f(x) e ip(x t) dp dx 2π Máme-li obecnou (absolutně) integrovalnou funkci h(x, y) na R 2, pak platí, že a h(x, y) dxdy = lim h(x, y) dxdy,. a a Použitím Fubiniovy věty tak dostaneme h(x, y) dxdy = lim a ( a ) h(x, y) dy dx. a Aplikací této úvahy na náš integrál dostaneme ( a ) g(t) = lim f(x) e ip(x t) dp dx. a 2π a Po dalších úpravách máme g(t) = lim a [ ] e ip(x t) p=a f(x) dx = lim 2π i(x t) a p= a f(x) eia(x t) e ia(x t) dx 2π i(x t)
Zavedeme novou integrační proměnnou u = x t a přepíšeme tak předchozí integrál do podoby sin au = lim f(u + t) du. a π u Dospěli jsme zatím k následujícímu vyjádření funkce g(t): g(t) = lim a π 8 sin au f(u + t) du. (2) u Rozdělíme si nyní integrál na pravé straně identity (2) na integrační obory (, ) a (, ) a v prvním provedeme substituci s = u. Po formálním přeznačení integrační proměnné s za u získáme vyjádření funkce g(t) pomocí integrace přes interval (, ) ve tvaru g(t) = lim a ( sin au f(t u) du + π u Vzpomeňme si nyní na Newtonův integrál sin x x dx = π 2. Z něho se dá substitucí odvodit, že pro každé a > máme Newtonův integrál nám umožní psát f(t) = 2 π sin au u du = π 2. sin au f(t) du. u ) sin au f(t + u) du u. (3) Budeme nyní zkoumat rozdíl funkcí f(t) g(t) ve snaze ukázat jeho nulovost. Na základě předchozích vztahů máme f(t) g(t) = π lim a 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au du. Integrál na pravé straně předchozí identity si rozdělíme na tři části o nichž ukážeme, že jsou malé pro velké a. Volme ε >. Díky diferencovatelnosti funkce f(t) máme Díky tomu je funkce 2f(t) f(t + u) f(t u) lim = f (t) f (t) =. u + u ω(u) = 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au omezená na jistém pravém okolí nuly. Můžeme tedy najít δ > tak malé, že 2
že π δ 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au du < ε 3. (4) Vzhledem k (relativní) konvergenci integrálů můžeme dále nalézt K > tak velké, π K Zbývá tedy odhadnout integrál 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au du < ε 3. (5) K δ 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au du a ukázat, že je malý pro a velké. To ale vyplývá z Lemmatu 4. Tedy existuje L > takové, že pro a > L je π K δ 2f(t) f(t + u) f(t u) u sin au du < ε 3. (6) Spojením odhadů (4), (5) a (6) a provedením limitního přechodu a máme f(t) g(t) < ε 3 + ε 3 + ε 3. Vzhledem k tomu, že ε bylo libovolné, musí platit, že f(t) = g(t) pro všechna t. Tím je důkaz ukončen. Diskutujme nyní význam Věty o inverzní Fourierově transformaci. Předpokládejme, že platí f(t) = ˆf(ω) e iωt dω 2π Aproximujme integrál častečnými součty. Volme ω < ω 2 < < ω n. Pak aproximující součty jsou n ˆf(ω i )(ω i+ ω i ) e iωit 2π i= Jedná se vlastně o kombinaci harmonických funkcí ω i (t) = e iωit, kde ˆf(ω i ) udává amplitudu a ω i frekvenci. Funkce f(t) je tedy skoro konečnou kombinací harmonických pohybů. Na rozdíl od Fourierových řad ovšem jednotlivé kmitočty nemusí být násobné. Hodnota Fourierovy transformace ˆf(ω) tak udává, s jakou silou se v daném signálu objevuje frekvence ω. Je-li například Fourierova transformace konstantní na intervalu a, b, jsou všechny frekvence ω soustředěny v tomto intervalu a to rovnoměrně. Nulovost Fourierovy transformace v nějakém bodě či intervalu znamená, že příslušné frekvence nejsou v signálu obsaženy. 3
Věta o inverzní Fourierově transformaci má jako důležitý důsledek skutečnost, že Fourierova transformace poskytuje úplnou informaci o dané funkci. Tímto teprve získává Fourierova transformace svůj význam jako ekvivalentní popis časového singnálu skrze jeho frekvenční spektrum. Důsledek 5 Dvě spojité funkce z L (R) jsou stejné, mají-li stejnou Fourierovu transformaci. Důkaz: Předpokládejme, že f, g L (R) jsou spojité funkce a ˆf = ĝ. Pro h = f g máme ĥ =, Použitím (i) z předchozí věty dostaneme, že h = Aplikace věty o inverzní Fourierově transformaci v konkrétních situacích vede k zajímavým a netriviálním integrálům, které dokumentují její sílu. Příklad 6 Uvažujme funkci g(t) = 2 π 2 sin p p eipt dp. Podle Příkladu 7 a Věty o inverzní Fourierově transformaci máme je-li t (, ) g(t) = /2 je-li t =, jinak Jinými slovy inverzní obraz funkce h(p) = 2 sin p p t = vede na Newtonův integrál. je funkce g(t). Speciální případ Při výpočtech Fourierovy transformace používáme základní pravidla, zvaná gramatika transformace, která umožní z jednoduchých obrazů stanovit obrazy složitější. Věta 7 Základní gramatika Fourierovy transformace ipa (i) F [f(t a)](p) = e ˆf(p) (posun ve vzoru) (ii) F [f(at)](p) = a ˆf( p a ), a (změna měřítka, scaling, Doppler) (iii) F [f( t)](p) = ˆf(p) (pravidlo konjugace) (iv) F [e iat f(t)](p) = ˆf(p a) (posun obrazu, modulace vzoru) 4
Důkaz: Důkazy všech pravidel vyplývají z jednoduché substituce v daných integrálech. (i) Použijeme substituci a získáme tak F [f(t a)](p) = (iv) (ii) Uvažujme a. F [f(at)](p) = (iii) F [f( t)](p) = = F [f(t a)](p) = f(u) e ipu du = u = t a f(t a) e ipt dt f(u)e ip(u+a) du = e ipa f(u)e ipu du = e ipa ˆf(p). f(at) e ipt dt = substituce u = a t, du = a dt f( t) e ipt dt = = a substituce u = t f(t) e iat e ipt dt = f(u) e ipu du = f(u) e ip u a du = a ˆf( p a ). f(u) e ipu du = ˆf(p). f(t) e i(p a) t dt = ˆf(p a). Rozebereme si nyní význam výše uvedených pravidel. První pravidlo gramatiky Fourierovy transformace říká, že posun signálu v čase se ve frekvenční oblasti projeví modulací (násobením původního obrazu harmonickou funkcí e iap ). Poslední pravidlo je symetrické a říká, že posun ve frekveční oblasti se projeví jako modulace v oblasti časové. Druhé pravidlo stanoví, jak se mění Fourierův obraz, provádíme-li změnu měřítka v časové oblasti. Projeví se změnou měřítka i v oblasti frekvenční avšak opačným způsobem. Jestliže například na časové ose zdvojnásobíme vzdálenosti projeví se to ve frekvenční oblasti naopak redukcí vzdálenosti na polovinu. Třetí pravidlo se týká tzv. konjugované reflexe, což je transformace f(t) f( t). V případě reálně hodnotové funkce je konjugované reflexe složením dané funkce se středovou souměrností podle počátku t t, která odpovídá změně toku času. Ve Fourierově transformaci přechází konjugovaná reflexe na prostou konjugaci. 5
V následujícím příkladu odvodíme Fourierovu transformaci obecné gaussovské funkce. Každá taková gaussovská funkce totiž vzniká posunem sudé gaussovské funkce. Příklad 8 e 2 (t )2. = e ip 2 π e 2 p2 Pomocí pravidla o posunu obrazu můžeme spočítat i obraz součinu sinusovky s gaussovskou funkcí. Příklad 9 sin t e t2 = eit e it 2 i ]. e t2 = π [e (p )2 4 e (p+)2 4 2 i Následující příklad ukazuje, jak je důležité uvažovat Fourierův obraz jako reálnou funkci s komplexními hodnotami. Typické reálné funkce totiž mají realný Fourierův obraz právě tehdy když jsou sudé, tedy jeví vlastnost symetrie. Každý signál, který je nenulový až od jistého okamžiku dál v čase, tedy má (vlastní) komplexní Fourierův obraz. Příklad 2 Předpokládejme, že f(t) je reálná, integrovatelná a po částech diferencovatelná funkce. Stanovte nutnou a postačující podmínku pro to aby Fourierův obraz funkce f(t) byl reálnou funkcí. Řešení: f(t) má reálný obraz právě tehdy když ˆf(p) = ˆf(p). Vzhledem k předpokladům platí věta o inverzní Fourierově transformaci. Použijeme-li inverzní Fourierovu transformaci na předchozí identitu dostaneme (použitím pravidla o konjugované reflexi), že f( t) = f(t). Tedy nutnou a postačující podmínkou je sudost funkce f(t). Pravidla gramatika často kombinuje, jak ukazuje následující příklad. Příklad 2 Nalezněte Fourierův obraz funkce g(t) = f(2t 3) pomocí obrazu funkce f(t). Řešení: Trasformaci argumentu t f(2t 3) si rozložíme na menší kroky jak znázorňuje následující diagram. f(t) f(t 3) f(2t 3) ˆf(p) e 3i p ˆf(p) 2 e 3 2 ip p ˆf( 2 ) Tedy ĝ(p) = 2 e 3 2 ip ˆf( p 2 ). Následující věta, známá jako Riemannovo-Lebesgueovo lemma ukazuje pozoruhodný fakt, že integrovatelná funkce má spojitý obraz. Navíc platí, že tento obraz má nulovou limitu v nekonečnech. 6
Věta 22 Riemannovo-Lebesgueovo lemma Je-li f L (R), pak ˆf je spojitá funkce a lim ˆf(p) =. p ± Důkaz: At f(t) je integrovatelná funkce. Spojitost funkce ˆf(p) vyplývá z teorie integrálu závislého na parametru. Dokážeme nyní nulovost příslušných limit. Nejdříve si ukážeme, že tvrzení platí pro charakteristické funkce intervalů, tedy pro obdélníkové impulzy. Je-li tedy funkce f(t) charakteristickou funkcí intervalu a, b, máme pro p b ˆf(p) = e ipt dt = e iap e ibp. ip Evidentně, a lim ˆf(p) = p ± Díky linearitě Fourierovy transformace platí totéž pro konečné lineární kombinace charakteristických funkcí konečných intervalů. Uvažujme nyní obecnou integrovatelnou funkci f(t). Z teorie integrace plyne, že f(t) můžeme aproximovat konečnou lineární kombinací charakteristických funkcí konečných intervalů. Jinými slovy existuje posloupnost funkcí s n (t), kde každá funkce s n (t) je konečnou lineární kombinací charakteristických funkcí konečných intervalů taková, že Jistě platí, že lim n ˆf(p) ŝ n (p) f(t) s n (t) dt =. Pomocí trojúhelníkové nerovnosti tedy máme ˆf(p) ŝ n (p) + ˆf(p) ŝ n (p) ŝ n (p) + f(t) s n (t) dt. Volme nyní ε >. K němu nalezneme n tak velké, že Následně nalezneme p > tak velké, že Tímto dostáváme, že Docházíme takto k závěru, že f(t) s n (t) dt ε 2. ŝ n (p) ε 2 pro všechna p tak, že p p. ˆf(p) ε pro všechna p taková, že p p. f(t) s n (t) dt. lim ˆf(p) =. p ± 7
Věta 23 Obraz derivace Necht f(t) je spojitá integrovatelná funkce se spojitou a integrovatelnou derivací. Pak F [f (t)](p) = ip ˆf(p). Důkaz: Argumentace se opírá o metodu integrace per partes. Musíme ovšem nejdřív dokázat, že f(t) má nulovou limitu v nekonečnu. Opravdu, díky integrovatelnosti funkce f (t) máme f (t) dt = lim t f(t) f(). Vzhledem k tomu, že f(t) samotná je integrovatelná, musí platit, že lim t f(t) =. Nyní použijeme metodu per-partes. ] t= f (t) e ip t dt = [f(t) e i p t t= + i p f(t) e ip t dt = = i p ˆf(p). Pravidlo můžeme postupně aplikovat na derivace vyšších řádů a zobecnit tak do následujcí podoby. Důsledek 24 Předpokládejme, že f, f,..., f (k) jsou spojité a integrovatelné funkce. Pak Fourierovým obrazem k-té derivace f (k) (t) je funkce F [f (k) (t)](p) = (i p) k ˆf(p). Navíc podle Lebesgue-Riemannova lemmatu je lim p pk ˆf(p). Poslední limita říká, že obrazy funkcí s integrovatelnými derivacemi do k-tého řádu mají Furierovy transformace pokles v nekonečnu alespoň jako reciproká hodnota polynomu k-tého stupně! Předchozí větu je možno přeformulovat následujícím způsobem. Předpokládejme, že kdykoliv to potřebujeme, platí věta o inverzní Fourierově transformaci. Pak můžeme vyjádřit pravidlo o obrazu derivace následujícím způsobem: f (t) = 2π Dosadíme za t hodnotu t a upravíme: i2πf ( t) = ip ˆf(p)e ipt dp. p ˆf(p)e ipt dp. (7) Označíme-li g(p) = ˆf(p), pak je f(t) inverzní obraz funkce g(p). Na levé straně předchozí rovnosti tak máme ( ) d i2π ( t). dtǧ 8
Derivujme nyní identitu ǧ(s) = 2π ĝ( s) podle s. (Musíme použít pravidlo o derivaci složené funkce.) d dsǧ(s) = d [ ] ds 2π ĝ( s) = 2π ĝ ( s) Dosazením s = t v předchozím vztahu pak můžeme upravit levou stranu rovnosti (7) a dostaneme nakonec i d dtĝ(t). Na pravé straně (7) máme Fourierův obraz funkce p p ˆf(p) vyčíslený v bodě t. Vrátíme-li se do nejčastěji používaného značení pro argumenty, získáváme následující pravidlo: Je-li tf(t) integrovatelná funkce, pak její obraz je funkce h(p) = i d dp ˆf(p). Toto pravidlo, zvané pravidlo o derivaci obrazu, je obsahem následující věty. Věta 25 Derivace obrazu At jsou funkce f(t) a tf(t) integrovatelné. Pak platí F [t f(t)](p) = i d dp ˆf(p). Důkaz: Pravidlo plyne přímo z věty o derivaci integrálu závislého na parametru. (Ve většině případů se dá ale odvodit z věty o obrazu derivace pomocí úvahy před touto větou.) Iterativním způsobem se dá výše uvedené pravidlo rozšířit i na vyšší mocniny. Věta 26 Derivace obrazu At jsou funkce t l f(t), l k, integrovatelné. Pak platí: F [t k f(t)](p) = i k Příklad 27 Spočtěte Fourierovu transformaci funkce dk dp k ˆf(p). Řešení: t e t2 2 f(t) = t e t2 2. d p = i 2π e 2 2 = i 2π p e p2 2. dp V dalším výkladu se budeme věnovat operaci konvoluce, která dvojici integrovatelných funkcí přiřadí další integrovatelnou funkci. Tato operace se použije téměř vždy když řešíme diferenciální rovnici (obyčejnou či parciální). V teorii signálů odpovídá například filtraci signálu. V souvislosti s Fourierovou transformací si můžeme položit následující otázku. Jaký vzor má ve Fourierově transformaci součin dvou Fourierových obrazů. Odpovědí je právě konvoluce. 9
Definice 28 Necht f a g jsou integrovatelné funkce. Konvoluce funkcí f a g je funkce h = f g daná vztahem (f g)(t) = f(s)g(t s) ds. Dá se ukázat, že konvoluce je opět integrovatelná funkce. Z definice navíc plyne, že tato operace je komutativní, tj. f g = g f. Příklad 29 Vypočtěte konvolutivní mocninu bránové funkce. h = f a f a, kde f a je bránová funkce. Řešení h(t) = f a (s) f a (t s) ds. Integrujeme vlastně konstantní jednotkovou funkci přes průnik intervalů < a, a > < t a, t + a >. Výsledkem je délka průniku. Tímto dostáváme: t < 2a t + 2a t < 2a, ) h(t) = 2 a t t <, 2 a > t > 2 a Stěžejní vlastností Fourierovy transformace (a dalších transformací) je skutečnost, že převádí konvoluci na prostý součin. Věta 3 Obraz konvoluce Necht f, g jsou integrovatelné funkce. Pak pro h = f g platí ĥ(p) = ˆf(p) ĝ(p). Důkaz: Důkaz je založen na Fubiniově větě. Ověřme nejdříve její předpoklad. f(s)g(t s)e ipt dtds = {(s,u) : u+s=t} f(s) g(u) dsdu = ( ) ( ) = f(s) ds g(u) du <. R R 2
Jsme tedy oprávněni měnit pořadí integrace a provést následující výpočet. Na začátku výpočtu máme hodnotu Fourierovy transformace konvolutivního součinu v bodě p. h(t) ( {}}{ ) f(s) g(t s) ds e ip t dt = ( ) = g(t s) e i p (t s) dt f(s) e i p s ds = }{{} ( = posun u=t s g(u) e ip u du ) } {{ } ĝ(p) ( f(s) e ip s ds } {{ } ˆf(p) ) = ĝ(p) ˆf(p). Příklad 3 Uvažujme trojúhelníkový impulz: t < 2a t + 2a t < 2a, > f(t) = 2 a t t <, 2 a > t > 2 a Platí f(t) = f a (t) f a (t). Podle věty o obrazu konvoluce je ( ) 2 sin ap 2 ˆf(p) = p = 4 sin2 ap p p, 2 4a 2 p =. Nyní si ukážeme způsob, kterým se konvoluce uplatňuje při ořezání frekvencí daného signálu (low pass filter). Představme si signál f(t) s Fourierovou transformací ˆf(ω). Rozhodneme se ze signálu odfiltrovat frekvence, jejichž absolutní hodnoty přesáhnou práh ω >. Chceme tedy ze signálu vyfiltrovat vysoké frekvence a nízké frekvence zachovat (filtr, který má tyto vlastnosti, se nazývá dolní propust). Jinými slovy hledáme signál g(t), který má Fourierovu transformci ω,ω (ω) ˆf(ω). Vidíme, že Fourierův obraz funkce g(t) je součinem charakteristické funkce intervalu ω, ω a obrazu ˆf(ω). Oba činitele umíme invertovat. Na základě obrazu bránové funkce spočítáme, že inverze k funkci ω,ω je (pro t ) lineárně tlumená sínusovka Funkce g(t) je pak konvolucí t π sin ω t t g(t) = f(t) π. sin ω t t. 2
V integrálním tvaru máme g(t) = π f(s) sin (ω (t s)) t s Konvoluce se často počítá pomocí Fourierových obrazů. Typický je v tomto ohledu konvolutivní součin gaussovských funkcí. Příklad 32 Určete konvoluci h(t) = e at2 e bt2 a, b >. ds. Řešení Spočítáme Fourierovu transformaci funkce h(t). π p 2 π p 4a 2 π 4b = e p2 4 (/a+/b). ab a e b e Nyní provedeme inverzi a dostaneme, že konvolutivní součin je opět gaussovská funkce: π ab h(t) = e ( a+b ) t2. a + b Fourierova transformace je důležitým nástrojem řešení diferenciálních rovnic všeho druhu. Příklad 33 Řešte na R diferenciální rovnici y (t) y(t) = e t2. Budeme předpokládat, že řešením je integrovatelná funkce. Pravou i levou stranu diferenciální rovnice transformujeme. p 2 ŷ(p) ŷ(p) = F {e t2 }(p). Vypočteme nejdříve Fourierův obraz řešení. ŷ(p) = F {e t2 }(p) p 2 + Poté použijeme Větu o obrazu konvoluce. [ ( )] y(t) = e t2 F + p 2 (t). S využitím výsledku o obrazu racionální funkce t 2 + máme ( ) F + p 2 (t) = 2 e t. Rozepsáno do integrálního tvaru dostáváme y(t) = /2 22 e t s e s2 ds..
Skalární součin a Fourierova transformace Fourierova transformace je kompatibilní se skalárním součinem na prostoru funkcí L 2 (R). Symbolem L 2 (R) rozumíme prostor funkcí integrovatelných s kvadrátem, tj. funkcí f(t), pro které platí f(t) 2 dt. V termínech teorie signálů se hovoří o signálech s konečnou energií. Skalární součin dvou funkcí f a g z L 2 (R) se definuje jako integrál f, g = f(t)g(t) dt. R Fourierova transformace v podstatě zachová skalární součin pro všechny nekonečně diferencovatelné funkce. Věta 34 Necht f a g jsou nekonečně diferencovatelné funkce s omezeným nosičem. Pak platí (i) ˆf je v L 2 (R). (ii) f, g = 2π ˆf, ĝ. Důkaz: (i) Druhá derivace f (t) je spojitá funkce s omezeným nosičem a tedy integrovatelná. Podle Riemannova-Lebesgueova lemmatu má její Fourierův obraz nulovou limitu v nekonečnech. Podle věty o obrazu derivace tak máme, že lim p ± p2 ˆf(p) 2 =. Tedy na jistém okolí nekonečna platí nerovnost ˆf(p) 2 p 2. Volme c > libovolně. Protože funkce p je integrovatelná na intervalech (, c) 2 a (c, ), je na těchto intervalech integrovatelná i funkce ˆf(p) 2. Funkce f L (R), a proto z Riemannova-Lebesgueova lemmatu plyne, že ˆf je spojitá. Tedy ˆf(p) 2 je integrovatelná na intervalu c, c. Tím jsme dokázali, že ˆf L 2 (R). (ii) Podle věty o obrazu konjugované reflexe a konvoluce máme, že se funkce f(t) f( t) zobrazí na funkci ˆf(p) 2. Podle věty o inverzní Fourierově transformaci platí f(s)f(s t) ds = 2π ˆf(p) 2 e ipt dp. 23
Pro t = pak máme f, f = f(s) 2 ds = 2π ˆf(p) 2 dp = 2π ˆf, ˆf. Dokazovaná rovnost tedy platí pro f = g. Pro obecná f a g plyne z následující polarizační identity: f, g = f + g, f + g f g, f g + i f + ig, f + ig i f ig, f ig. Právě dokázaná věta říká, že se energie signálu Fourierovou transformací nemění. Z matematického pohledu je pak základem pro teorii Fourierovy transformace v prostoru L 2 (R). 2 Laplaceova transformace 2. Přímá Laplaceova transformace Laplaceova transformace je další z integrálních transformací. Na rozdíl od Fourierovy transformace dokáže zacházet i s lineárními kombinacemi exponenciálních funkcí, které se typicky vyskytují při řešení autonomních diferenciálních rovnic. Tato skutečnost je základem aplikace Laplaceovy transformace pro řešení rovnic matematické fyziky s počátečními podmínkami a pro studium dynamických systémů. Definice 35 Předpokládejme, že f(t) je komplexní funkce definovaná na intervalu, ). Laplaceova transformace funkce f(t) je komplexní funkce F (p) daná vztahem F (p) = f(t) e p t dt. Za definiční obor Laplaceova obrazu považujeme množinu všech komplexních čísel p s Re p >, pro která existuje výše uvedený integrál. Laplaceova transformace poměřuje danou funkci f(t) s komplexní exponenciální funkcí g(p) = e pt, kde Re p >. Tato funkce má nulovou limitu v nekonečnu. Díky tomuto tlumícímu efektu existuje integrál v definici Laplaceovy transformace pro relativně širokou třídu funkcí. To je jeden z významných rozdílů mezi Laplaceovou a Fourierovou transformací. Laplaceova transformace je navíc jednostranná ve smyslu integrace přes interval, ). Laplaceovou transformací vzniká komplexní funkce definovaná typicky v pravé polorovině Re p > a, kde a >. V dalším výkladu budeme používat následující značení pro jednotkový skok v nule: Konvence: (t) = { t t <. 24
Funkce f(t) a (t)f(t) mají stejnou Laplaceovu transformaci, a proto je budeme často v této kapitole ztotožňovat. Pro skutečnost, že funkce F (p) je Laplaceovou transformací funkce f(t) budeme používat tyto zápisy. F = Lf, f. = F, L{f(t)} = F (p). Podívejme se na základní Laplaceovy obrazy. Příklad 36 Spočítejme si Laplaceův obraz jednotkového skoku f(t) = (t). Řešení Pro komplexní číslo p s Re p >, máme [ e F (p) = e pt pt dt = p ] = p. Laplaceův obraz je definován pro všechna p s kladnou reálnou částí. Příklad 37 Určete Laplaceův obraz funkce Řešení: Pro Re p > Re a máme f(t) = e at, a C, a. F (p) = [ e e at e pt (a p)t dt = a p ] = p a. Laplaceův obraz je v tomto případě definován v polorovině Re p > Re a. Příklad 38 Stanovme obraz funkce f(t) = cos t, Řešení: Pro Re p > máme { } F (p) = L 2 (eit + e it ) = ( 2 p i + ) = p + i Příklad 39 Stanovme obraz funkce = 2p 2 p 2 + = p p 2 +. f(t) = sin t, Re p >, 25
Řešení: { } F (p) = L 2i (eit e it ) = ( 2i p i ) = p + i = 2i 2i p 2 + = p 2 +. Přirozeným jádrem definičního oboru Laplaceovy transformace jsou funkce nejvýše exponenciálního růstu, které jsou integrovatelné na každém konečném intervalu. Tyto funkce budeme nazývat předměty standardního typu. Definice 4 Funkce f(t) definovaná na kladné části reálné osy se nazývá funkce třídy L (též předmět standardního typu), jestliže (i) f(t) je po částech spojitá, (ii) f(t) je nejvýše exponenciálního růstu, tj. existují konstanty α, M tak, že f(t) M e α t pro všechna t. Číslo α se přitom nazývá index růstu funkce f(t). (Index růstu není jednoznačně definován.) Všechny omezené po částech spojitá funkce jsou v L a to s indexem růstu α =. Dále platí, že každá mocninná funkce je v L, nebot f(t) = t n, n N, lim t t n e α t = pro všechna α >, což znamená, že tato funkce má jeden z indexů růstu α =. (V tomto případě je každé kladné číslo indexem růstu.) Pomocí trojúhelníkové nerovnosti se snadno odvodí, že množina L je uzavřena na lineární kombinace a součiny. V důsledku toho je p(t) L pro každý polynom p(t). Samotná exponenciální funkce f(t) = e at, a C je v množině L. Přitom Re a je indexem růstu (nejmenším možným). V důsledku toho je každý každý kvazipolynom (součin polynomu a exponenciální funkce) v L. Laplaceova transformace tak umožňuje zpracovat všechny funkce, které vznikají jako řešení homogenních lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Ne všechny funkce jsou ovšem v třídě L. Příkladem je funkce f(t) = e t2. Pro každé kladné α má totiž podíl e t2 e αt limitu pro t. Podobně jako u Fourierovy transformace má Laplaceova transformace svá základní pravidla. 26
Věta 4 Základní gramatika Laplaceovy transformace (i) (Linearita) Necht f, f 2 L, α, β L. Pak L{α f + β f 2 } = αl{f } + βl{f 2 }. (ii) (Věta o substituci) Necht f L a necht L{f(t)} = F (p). Pak, pro a C, L{e at f(t)} = F (p a). (iii) (Věta o změně měřítka) Necht f L a necht L{f(t)} = F (p). Pak, pro k >, L{f(kt)} = ( ) p k F. k Důkaz: Pravidla jsou založena na jednoduchých substitucích v integrálu podobně jako u Fourierovy transformace. Příklad 42 Spočteme si nyní obrazy několika důležitých funkcí. Pro ω > a a C máme L{sin(ω t)} = ω p 2 ω + = ω p 2 + ω 2. 2 L{cos(ω t)} = p ω ω p 2 ω + = p p 2 + ω 2. 2 L{e at ω sin(ωt)} = (p a) 2 + ω 2. Následující věta je stěžejním principem, který říká, že Laplaceovy obrazy jsou holomorfní funkce v komplexní polorovině. Můžeme na ně tedy aplikovat aparát komplexní analýzy. Její aplikací je výpočet Laplaceova obrazu funkce tf(t) na základě znalosti obrazu funkce f(t). Věta 43 Věta o derivaci obrazu Předpokládejme, že f(t) je po částech spojitá funkce na intervalu (, ) a c > je takové, že konverguje integrál f(t) e ct dt <. Pak Laplaceova transformace F (p) funkce f(t) je definována v polorovině Re p > c a je v této polorovině holomorfní. Platí dále, že F (p) = 27 tf(t) e pt dt
Důkaz: V reálném případě můžeme větu dokázat pomocí věty a derivaci integrálu závislého na parametru. Komplexní případ je složitější a vyžaduje jemnější argumenty. Ukážeme nejdříve, že pro každé c > c a k N platí t k f(t) e c t dt <. Tím bude dokázáno i první tvrzení (k = ). Vyjdeme z limity t k e c t lim t e ct = lim t k e (c c )t =. t To znamená, že na jistém okolí nekonečna máme odhad t k f(t)e c t e ct f(t). Podle srovnávacího kritéria pak dostaneme, že t k f(t)e c t dt <. Laplaceův obraz funkce f(t) je tedy definován v polorovině Re p > c. Ukážeme, že má v každém bodě této poloroviny derivaci. Zvolme za tímto účelem pevné p v této polorovině a položme 2η = Re p c >. (8) Zvolme nyní h s h < η, které poslouží jako diference ve výrazu pro derivaci funkce F (p) v bodě p. Našim cílem bude ukázat, že funkce F (p + h) F (p) h tf(t)e pt dt (9) má nulovou limitu pro h. Rozepíšeme-li si hodnoty funkce F do integrálního tvaru můžeme výraz (9) upravit do podoby ( e f(t)e pt ht ) + t dt. () h Rozebereme si nyní výraz v závorce v předchozím integrálu. e ht h + t = e ht + ht h = ( ) n h n t n = ht 2 h n! n=2 ( ) n (n + 2)! hn t n. Aplikací trojúhelníkové nerovnosti máme ( ) n (n + 2)! hn t n (n + 2)! h n t n n! h n t n = e t h. Máme takto odhad e ht h + t h t2 e t h. () 28
Nyní můžeme odhadnout výraz () f(t)e pt ( e ht h ) + t dt h f(t)e pt t 2 e t h dt h f(t) t 2 e ct e ηt dt. Při posledních odhadech jsme použili rovnost (8) a nerovnosti h η, e pt e ct. Navíc víme, podle začátku důkazu, že integrál f(t) t 2 e ct e ηt dt existuje. Velice často budeme používat následující důsledek předchozí věty. Věta 44 Předpokládejme, že f(t) L má Laplaceův obraz F (p). Pak platí následující tvrzení: (i) Existuje α tak, že F (p) je holomorfní v polorovině {p C : Re p > α} (ii) lim Re p F (p) =. Důkaz: Tvrzení (i) plyne z předchozí věty kde můžeme volit c jako index růstu funkce f(t). (ii) Předpokládejme, že f(t) M e αt, kde M, α. Vezměme p s Re p > α. Pak můžeme odhadnout f(t) e pt dt M e αt e Re p t dt = ] p) t t= e(α Re M = [M = α Re p t= Re p α pro Re p. Následující aplikace Věty o derivaci obrazu umožní spočítat obraz mocniny, a tedy jakéhokoliv polynomu. Příklad 45 Stanovte Laplaceův obraz funkce Pro n = máme f(t) = t n n N. ( ) L{t} = L{t } = = p p 2. Postupnou indukcí pak můžeme výsledek rozšířit. L{t n } = n! p n+. 29
Další sada pravidel se týká posunů funkcí. Mějme kladný parametr a. Posuneme-li graf funkce (t) o a doprava dostaneme funkci { f(t a) t > a f(t a)(t a) = jinak Věta 46 Věta o translaci Pro funkci f(t) s Laplaceovým obrazem F (p) a a > platí L{(t a)f(t a)} = e ap F (p). Důkaz: (t a)f(t a) e pt dt = a = Použijeme substituci u = t a f(t a)e pt dt = f(u) e p(a+u) du = e ap f(u)e pu du = = e ap F (p). Věta o translaci se často používá následujícím způsobem: Příklad 47 (i) L{(t a)f(t)} = e ap L{f(t + a)}(p) (t a). = e ap p. (ii) Spočtěte obraz funkce Řešení: Jinými slovy, f(t) = { t, 2) e t t 2. f(t) = (t 2)e t. L{f(t)} = e 2p L{e t+2 } = e 2p e 2 p. Nyní si budeme formalizovat počítání Laplaceových obrazů funkcí s konečným nosičem nebo-li konečných impulzů. Obecně můžeme zadat konečný impulz následujícím způsobem: At je < a < b a f(t) funkce definovaná na nějakém intervalu obsahujícím interval a, b. Definujeme 3
h(t) = { f(t) t a, b) jinak. Použijeme-li formalizmus jednotkového skoku můžeme napsat h(t) = f(t)[(t a) (t b)]. Toto vyjádření umožní použít větu o translaci. Příklad 48 Spočtěte obraz konečného impulsu, a >, { t a, 2a) f(t) = jinak. Řešení: f(t) = (t a) (t 2a). = e ap p e 2ap p. Nyní se podíváme na obraz periodické funkce. Věta 49 Obraz periodické funkce Je-li f(t) L periodická funkce s periodou T >, pak Laplaceův obraz funkce f(t) je funkce T F (p) = f(t) e pt dt e pt. (2) Důkaz: Rozdělíme si interval, ) na dílčí intervaly jednotkové délky. F (p) = f(t) e pt dt = Uplatníme-li substituci t = nt + x, dostaneme (n+)t nt f(t) e pt dt = F (p) = T f(nt + x) e p(nt +x) dx = = T f(x) e px dx T e pnt f(x) e px dx = (e pt ) n = T f(x) e px dx e pt. (V poslední fázi jsme sečetli geometrickou řadu s kvocientem e pt, který je v absolutní hodnotě menší než jedna.) Čitatel ve vztahu pro obraz periodické funkce (2) je vlastně obraz funkce f(t)((t) (t T )) s konečným nosičem. Jako takový se většinou počíta pomocí věty o translaci. 3
Příklad 5 Nalezněte obraz periodického prodloužení funkce { t a, 2a f(t) = jinak s periodou T = 2a. Řešení: Nejdříve stanovíme obraz konečného impulzu Podle (2) je (t a) (t 2a). = e pa p e 2pa p. F (p) = p (e ap e 2ap ) e 2ap = p e ap ( e ap ) ( e ap )( + e ap ) = = p e ap + e ap = p + e ap Věta 5 Laplacování člen po členu Předpokládejme, že f(t) L a jsou splněny následující dvě podmínky (i) pro všechna t. (ii) Řada f(t) = konverguje na jistém okolí nekonečna. a n t n Pak pro Laplaceův obraz F (p) funkce f(t) platí F (p) = a n n! p n+ a n n! p n+. Důkaz: Ukážeme nejdříve, že koeficienty a n splňují růstovou podmínku a n K αn, pro všechna n, (3) n! kde K, α >. K tomu využijeme integraci Laurentovy řady člen po členu. Necht C je kladně orientovaná kružnice se středem v nule a poloměrem R, která celá leží v okolí nekonečna, na kterém konverguje Laurentova řada. Pak platí C p n F (p) dp = a k k! p k+ n dp = C k= 32 k= a k k! C p k+ n dp = 2πia nn!.
Tedy a n = p n F (p) dp. 2πin! C Označme K = R max p C F (p) a α = R. Standardním odhadem absolutní hodnoty křivkového integrálu máme a n n! K 2π 2πRRn αn max F (p) = p C n! Budeme nyní studovat rozdíl mezi Laplaceovým obrazem funkce f(t) a částečnými součty příslušné řady. f(t)e pt dt N n! a n p n+ N f(t) a n t n e Re pt dt Nyní odhadneme zvlášt výraz v absolutní hodnotě v posledním integrálu, použijeme proto růstovou podmínku pro koeficienty a n odvozenou výše. f(t) N a n t n = n=n+ Vrat me se k původnímu odhadu ( = K f(t)e pt dt N n! a n N Re p α a n t n K p n+ α n ) (Re p) n+ = K n=n+ (αt) n n!. ( = K e αt ( N K e αt (αt) n n! ( Re p α Re p N (αt) n ) n! ) e Re pt dt = N ( α Re p ) n ). Pro Re p > α vidíme, že geometrická řada ( α Re p )n je konvergentní a má součet Re p Re p α. Tímto pravá strana posledního odhadu koverguje k nule pro N. To implikuje, že n! F (p) = a n p n. Tím je důkaz ukončen. Předchozí věta má zásadní význam pro počítaní inverzní Laplaceovy transformace nebot generuje věty o rozkladu. Příklad 52 Vyjádřete pomocí Laurentovy řady se středem v nekonečnu Laplaceův obraz funkce f(t) = sin t. t 33
Na základě standardního rozvoje máme Zkoumejme konvergenci řady f(t) = ( ) n t 2n (2n + )!. ( ) n (2n)! (2n + )! p 2n+ = ( ) n (2n + ) p 2n+. Tato řada má stejný (vnitřní) poloměr konvergence jako řada p 2n+, která konverguje pro p >. Pro Laplaceův obraz F (p) máme F (p) = ( ) n (2n + ) p 2n+ pro Re p >. Další pravidlo o obrazu derivace má podobný důkaz jako v případě Fourierovy transformace. Na rozdíl od ní se zde ovšem objeví hodnoty příslušné funkce a jejích derivací v nule. Věta 53 Věta o obrazu n té derivace Necht funce f(t) má derivace do n-tého řádu, které náleží do třídy L. Označme F (p) Laplaceův obraz funkce f. Pak L{f (n) (t)}(p) = p n F (p) p n f(+) p n 2 f (+)... f (n ) (+). Důkaz: Pravidlo postačí dokázat pro n =, pro ostatní derivace můžeme použít matematickou indukci. Volme p s reálnou částí větší než index růstu funkce f(t). Pro takové p platí, že lim t f(t)e pt =. Označme jako G(p) Laplaceův obraz funkce f (t). Metodou integrace per partes pak máme G(p) = f (t)e pt dt = [f(t)e pt ] f(t) ( p)e pt = pf (p) f(+). Předchozí věta je klíčová pro řešení diferenciálních rovnic. Uvedeme si ukázku jejího použití. Příklad 54 Řešte diferenciální rovnici y (t) 2y (t) + 2y(t) = e t. pro t > s počátečními podmínkami y(+) = y (+) =.. 34
Řešení Označme si Y (p) = L{y(t)}(p) Laplaceův obraz řešení. Pak platí L{y (t)}(p) = py (p) y(+) = py (p). L{y (t)}(p) = p 2 Y (p) py(+) y(+) = p 2 Y (p) p. Transformujeme nyní celou diferenciální rovnici pomocí Laplaceovy transformace. Po úpravě a tedy p 2 Y (p) p 2p Y (p) + 2 + 2Y (p) = p (p 2 2p + 2) Y (p) = p + p = p2 2p + 2 p Y (p) = p. Laplaceův obraz řešení je tedy funkce p, a proto y(t) = e t. Předchozí příklad ukazuje, že pomocí pravidel pro přímou Laplaceovu transformaci můžeme získat Laplaceův obraz řešení dané diferenciální rovnice. Abychom dostali řešení samotné potřebujeme ovšem hlubší znalosti inverzní transformace. V závěru této části se podívame na Laplaceovu transformaci konvolutivního součinu dvou funkcí z třídy L. Definice 55 At f a g jsou funkce z L. Konvoluce těchto funkcí je funkce h(t) = f(t) g(t) definovaná pro t > integrálním vztahem h(t) = (s)f(s)(t s)g(t s) ds = t f(s)g(t s) ds. Podobně jako u transformace Fourierovy i Laplaceova transformace zachovává konvolutivní součin. Věta 56 Věta o Laplaceově obrazu konvoluce At f, g L mají Laplaceovy obrazy F (p) a G(p). Pak konvoluce h(t) = f(t) g(t) má Laplaceův obraz F (p)g(p). Důkaz: Podobně jako u příslušné věty o Fourierově transformaci jsou argumenty založeny na Fubiniově větě. Označme si jako H(p) Laplaceův obraz konvolutivního součinu funkcí f a g. Pak máme: H(p) = ( ) f(s)(s)g(t s)(t s) ds e tp dt = ( ) f(s)e ps (s)g(t s)(t s)e (t s)p dt ds. 35
Ve vnitřním integrálu provedeme substituci u = t s a dostaneme takto pokračování předchozího výsledku: H(p) = ( ) f(s)e ps (s)(u)g(u)e up du ds = = f(s)e ps (s) ds g(u)e pu (u) du = F (p)g(p). 2.2 Inverzní Laplaceova transformace Podstatou inverzní Laplaceovy transformace je nalézt k funkci F (p), definované v pravé komplexní polorovině Re p > α >, funkci f(t), obvykle z množiny L, pro kterou platí, že Laplaceův obraz f(t) je zadané funkce F (p). Z vlastností Laplaceových obrazů vyplývá, že nutnou podmínkou existence vzoru z L je holomorfnost funkce F (p) v jisté pravé polorovině a nulovost její limity pro Re p. Do této kategorie patří ryze lomenné racionální funkce. Tvrzení 57 Je-li F (p) = P (p) Q(p), kde P and Q jsou polynomy, st Q > st P, pak F je Laplaceovým obrazem funkce z L. Důkaz: Každou racionální ryze lomennou funkci lze rozložit na častečné zlomky, tedy na součet konečně mnoha funkcí typu A (p a) n kde n N, a, A C. Každá takováto funkce má Laplaceův vzor A eat t n (n )!, jak můžeme lehce ověřit zkouškou. Součet těchto funkcí je vzor k funkci F (p). Důkaz předchozího tvrzení nám dává i algoritmus invertování racionální lomenné funkce. Ukážeme si to na následujících příkladech. Příklad 58 Nalezněme inverzi k funkci F (p) = 2(p2 ) (p 2 + ) 2. Řešení: Hledáme rozklad na částečné zlomky F (p) = A (p + i) 2 + B (p + i) + C (p i) 2 + D (p i). 36
Po výpočtu F (p) = Příklad 59 Nalezněme inverzi k funkci Řešení: (p + i) 2 +. = e it (p i) 2 t + e i t t = 2t cos t. F (p) = A p + i + F (p) = (p 2 + ) 2. B (p + i) 2 + C p i + D (p i) 2. Rozklad na částečné zlomky provedeme trochu netradičním způsobem. Vidíme, že ±i je pólem druhého řádu funkce F (p). Tedy koeficient A je vlastně reziduem funkce F (p) v singularitě i. Můžeme tedy uplatnit vztah pro výpočet rezidua ve dvojnásobním pólu. ( ) A = res i F (p) = lim [F (p) (p + p i i)2 ] = lim p i (p i) 2 = 2 ( i i) 3 = i 4. Díky symetrii rozkladu na částečné zlomky u racionální funkce s reálnými koeficienty máme: C = A = i 4. Koeficient B se dá spočítat přímou limitou Opět platí Pro vzor f(t) tedy máme: B = lim F (p)(p + p i i)2 = ( i i) 2 = 4. D = B. f(t) = 4 t e it 4 t ei t + i 4 e i t i 4 eit = 2 t cos t + 2 sin t. Obecnější než racionální funkce jsou funkce holomorfní v okolí nekonečna mající v nekonečnu nulovou limitu. Takovéto funkce se na jistém okolí nekonečna dají rozvést v Laurentovu řadu se středem v nekonečnu. Na základě Věty o obrazu mocninné řady pak dostaneme následující větu o rozkladu: 37
Věta 6 Věta o rozkladu Necht F (p) je holomorfní funkce v okolí nekonečna s Laurentovým rozvojem F (p) = Pak F (p) je Laplaceovým obrazem funkce f(t) = n= n= Příklad 6 Nalezněte Laplaceův vzor k funkci a n p n. a n (n )! tn. F (p) = p e p. Řešení: F (p) = p! p 2 + 2!p 3 = ( ) k k! p k+. k= f(t) = ( ) k k= Integrální formule a metoda reziduí k! t k k!. Věta o Inverzní Fourierově transformaci říká, že inverzní zobrazení k Fourierově transformaci má obecně integrální tvar. Rádi bychom podobnou integrální formu získali i pro inverzní Laplaceovu transformaci. Začneme s následující úvahou. Předpokládejme, že spojitá funkce f(t) je třídy L, má po částech spojitou derivaci a f(t) = pro t <. Existuje tedy α > tak, že f(t) M e α t, t. Pro x > α je To můžeme vidět z odhadu f(t) e x t L (R). f(t) e x t Me α x L (R). Zvolme pevně p = x + i y, kde x > α a y R. Počítejme hodnotu Laplaceovy transformace v bodě p: Lf(p) = F (x + i y) = (f(t) e x t ) e i y t dt. 38