tav napjatosti materiáu. Zákad mechanik, 9. přednáška Obsah přednášk : jednoosý a dvojosý stav napjatosti, stav napjatosti ohýbaného nosníku, deformace ohýbaného nosníku, řešení statick neurčitých úoh Doba studia : asi,5 hodin Cí přednášk : seznámit student s obecným popisem stavu napjatosti v rovině a v prostoru, zevrubně seznámit student s ineární teorií nosníků
Zákad mechanik, 9. přednáška Na předcházející přednášce jsme se seznámii s nejjednodušším - jednoosým stavem napjatosti. Prostý tah nebo tak v určitém směru. - normáové napětí [Pa, MPa] - sía [N] - průřezová pocha [m, mm ] Tomuto napětí říkáme normáové napětí protože je vvoáno siou, komou k rovině průřezu, deformace (prodoužení) je komá k rovině průřezu. V technické praxi se však často setkáváme se sožitějším způsobem namáhání. Např. dvojosý stav napjatosti v rovině (tzv. D stav napjatosti). Vznikají dvě normáová napětí ve dvou směrech. x x x x x x x Přísušná deformace je samozřejmě opět prodoužení nebo zkrácení.
Dvojosý stav napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Kromě toho však vzniká kvaitativně nový druh namáhání - smkové napětí τ. x τ τx x x x γ x x x x γ x x Deformace, přísušející smkovému napětí, je zkosení γ. Veikost zkosení je dána Hookovým zákonem pro smk : τ G γ Zde : G ( + μ) je modu pružnosti ve smku, μ je Poissonovo číso.
Dvojosý stav napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Dvojosý stav napjatosti je ted definován třemi hodnotami napětí : x - normáové napětí ve směru os x, - normáové napětí ve směru os, τ x -τ x - smkové napětí v rovině x- (tzv. sdružená napětí). Tto hodnot bývá zvkem uspořádat do tzv. tenzoru napětí. τ x τ x τ x α τ x x α τ x τ α α τ x x Z rovnováh si na eementárním objemu ze odvodit veikost normáového napětí α a smkového napětí τ α, vztahující se k rovině skoněné o úhe α : τ α α ( x + ) + ( ) ( ) ( ) x cos α + τx sin α ( ) sin( α) + τ cos( α) x Tto vztah ze grafick interpretovat pomocí tzv. Mohrov kružnice. Kresíme ji do grafu, na jehož vodorovnou osu vnášíme normáové napětí, na svisou osu smkové napětí τ. třed Mohrov kružnice eží na ose. τ x x τ Jeden bod Mohrov kružnice představuje normáové napětí a smkové napětí τ, vztahující se k jedné určité rovině. Jeden průměr Mohrov kružnice představuje stav napjatosti : dvě normáová napětí x a (k sobě komá - α 80º) a dvě sdružená smková napětí τ x -τ x. x x τ x
Dvojosý stav napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Je zřejmé, že jistý stav napjatosti ze vjádřit nekonečně mnoha trojicemi hodnot x, a τ x, vztahujícími se k osám x a, natočeným vůči zvoené výchozí pooze o různý úhe α. τ Dáe je zřejmé, že existuje jedna mimořádná trojice hodnot τ x, a τ x, vztahujících se k osám, které označíme a. α x Normáová napětí a představují maximum resp. minimum z hodnot normáových napětí pro různé úh α. Tato napětí označujeme jako první a druhé havní napětí. mkové napětí v rovině - je nuové τ 0. τ x x tav napjatosti je v tomto případě vjádřen pouze dvěma hodnotami havních napětí. Třetím parametrem však je úhe natočení α os - vůči osám x-. Potenciání energie napjatosti, vztažená na objemovou jednotku, tzv. měrná potenciání energie, je : P + μ Zde - je modu pružnosti v tahu, μ - Poissonovo číso. τ ( ) Zváštní stav napjatosti, tzv. prostý smk, nasává, je-i -.
Vhodnocení dvojosého stavu napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Vhodnocení jednoosého stavu napjatosti z hediska porušení soudržnosti materiáu je jednoduché. K poruše nedojde je-i : < dov Zde dov je tzv. dovoené napětí. Jeho hodnota může odpovídat mezi kuzu, mezi pevnosti vděené požadovanou bezpečností, nebo jiným způsobem stanovené hodnotě. U dvojosého stavu napjatosti je posouzení kompikovanější. Je-i např. první havní napětí poněkud větší než dovoené napětí (ne příiš) a druhé havní napětí menší, není snadné odpovědět zda dojde k porušení materiáu. ituaci názorně dokumentuje tzv. Haighův diagram. Zde na vodorovnou osu vnášíme první havní napětí, na svisou osu druhé havní napětí. Představme si dáe virtuání experiment. Vzorek materiáu budeme zatěžovat ve dvou osách tak, že poměr obou napětí bude v průběhu zatěžování zachován / konst. V okamžiku porušení uděáme v grafu značku. Tento postup opakujeme pro různé hodnot poměru /. Takto vzniká křivka vpovídá o schopnosti materiáu snášet dvojosý stav napjatosti.
Vhodnocení dvojosého stavu napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Abchom mohi vhodnotit dvojosý stav napjatosti, je třeba zvoit kritérium posouzení. Jedním z nejjednodušších kritérií je tzv. ankinova teorie. Pode té rozhoduje o pevnosti větší z obou napětí. K porušení nedojde je-i větší z obou napětí menší než napětí dovoené. max (, ) < dov Tato teorie je vemi jednoduchá ae vemi nepřesně vpovídá o chování materiáu při dvojosém stavu napjatosti. Protože bere v úvahu jen větší z obou napětí, praktick stírá rozdí mezi jednoosým a dvojosým stavem napjatosti. Poměrněčasto používaná je teorie HMH, zvaná pode svých autorů - Huber, Mises, Henck, nebo též energetická hpotéza. Pode ní o stavu napjatosti vpovídá potenciání energie. Hpotéza HMH definuje tzv. redukované napětí : red + Vhodnotit nebezpečí porušení pak je již jednoduché : red < dov Poznámka : nadno nahédneme že v případě dvojosého tahu ( >0, >0) je redukované napětí menší než součet obou napětí. Únosnost ve dvojosém tahu je větší než v jednoosém.
Vhodnocení dvojosého stavu napjatosti Zákad mechanik, 9. přednáška Při posuzování dvojosého stavu napjatosti z hediska porušení materiáu je třeba mít na paměti dvě věci. Jakékoiv posouzení pode jakékoiv teorie je jen jedna z více možností. Hpotéz je více a neustáe se hedají daší, jiné přístup k posouzení a vhodnocení dvojosého (ae též trojosého) stavu napjatosti. Žádná teorie není univerzání. Naopak, např. redukované napětí pode hpotéz HMH, vhodné po posouzení namáhání ocei, není vhodné pro posouzení namáhání itin. edukované napětí je skutečně zjednodušená, neúpná informace. Úpná informace je tenzor napětí.
normáová sía tav napjatosti ohýbaného nosníku N N Zákad mechanik, 9. přednáška Jak již bo uvedeno dříve, zákadní siové účink, definující namáhání nosníku, jsou tzv. vnitřní statické účink : normáová sía N, posouvající sía T a ohbový moment M O. Tto již přímo souží k výpočtu napětí. Nejjednodušší je výpočet normáového napětí z normáové sí N. N posouvající sía T ohbový moment M O T M O - normáové napětí ve směru os nosníku [Pa, MPa] je po ceém průřezu rovnoměrně rozožené, N - normáová sía [N], -průřezová pocha nosníku [m, mm ].
posouvající sía tav napjatosti ohýbaného nosníku T T Zákad mechanik, 9. přednáška Jak již bo uvedeno dříve, zákadní siové účink, definující namáhání nosníku, jsou tzv. vnitřní statické účink : normáová sía N, posouvající sía T a ohbový moment M O. Tto již přímo souží k výpočtu napětí. Výpočet smkového napětí τ z posouvající sí T je poněkud sožitější. T M τ J b Odvození uvedeného vztahu pro smkové napětí je poněkud sožitější. Protože u štíhých nosníků bývá smkové napětí méně důežité, nebude zde tento vztah odvozen. Některé veičin však budou dáe podrobněji vsvěten. τ - smkové napětí [Pa, MPa] T - posouvající sía [N], M - statický moment poch nad počítaným místem k neutrání (těžištní) ose [m 3, mm 3 ]. J - moment setrvačnosti poch [m 4, mm 4 ], b - šířka průřezu nosníku [m, mm].
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška rovina ohbu T Průřezové parametr profiu nosníku. průřezovým profiem nosníku je spojeno někoik důežitých geometrických parametrů : [m, mm ] -průřezová pocha - nebude dáe diskutováno (viz učivo zákadní ško); T -těžiště - nebude dáe diskutováno (viz přísušná kapitoa tohoto materiáu), osa, procházející těžištěm (zde osa x), x - neutrání osa bývá nazývána neutrání osa ; M [m 3, mm 3 ] - statický moment poch nad počítaným místem k neutrání (těžištní) ose; J [m 4, mm 4 ] - moment setrvačnosti.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška b Průřezové parametr profiu nosníku. M [m 3, mm 3 ] - statický moment poch nad počítaným místem k neutrání (těžištní) ose. T T rovina ohbu T T M τ J b x - neutrání osa V jistém místě (zde označeném šipkou ) chceme vpočítat smkové napětí τ. Pooha tohoto místa je dána souřadnicí nad neutrání (těžištní) osou x. Šířka profiu v tomto místě je b. Pocha profiu nad tímto místem (zde vznačena barevně) je. (Je to pouze část cekové poch.) M je moment poch k neutrání ose x. Je-i T těžiště této díčí poch a T je souřadnice tohoto těžiště, pak : M T
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška b Průřezové parametr profiu nosníku. J [m 4, mm 4 ] d - moment setrvačnosti profiu k neutrání ose. Uvažujme ve výšce nad neutrání (těžištní) osou x nekonečně tenký proužek (zde vznačen barevně) dék b a nekonečně maé šířk d (déka b () je samozřejmě, s výjimkou obdéníkového průřezu, funkcí souřadnice ). Pocha tohoto proužku je přirozeně nekonečně maá : rovina ohbu T J dj d b ( ) d x - neutrání osakvadratický moment této pošk k ose x je : d d max min b ( ) d Moment setrvačnosti J je součet kvadratických momentů všech nekonečně mnoha proužků. b ( ) d
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Průřezové parametr profiu nosníku. J [m 4, mm 4 ] - moment setrvačnosti profiu k neutrání ose. Kruhový průřez o průměru d : Obdéníkový průřez b h : b φd J neutrání osa d 4 64 π J h 3 b h neutrání osa Mezikruží o vnějším průměru d toušťka stěn t : Dutý obdéníkový průřez b h, toušťka stěn t : b φd t J neutrání osa 4 [ d ( d ) ] 4 t 64 π J h neutrání osa 3 t h 3 [ b h ( b t) ( ) ] t
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška mkové napětí nosníku. rovina ohbu T T M τ J b x - neutrání osa ( ) ( ) Je zřejmé že z veičin, určujících smkové napětí, statický moment M a šířka profiu b (s výjimkou obdéníkového průřezu) jsou proměnnými veičinami, závisými na souřadnici. mkové napětí τ ted není po průřezu rozoženo rovnoměrně. Obecně se nedá říci kde je smkové napětí maximání, to závisí na tvaru průřezového profiu. Obvke (u běžných profiů) to bývá v neutrání ose. (Např. u obdéníkového profiu je průběh smkového napětí paraboický s maximem v neutrání ose.)
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška mkové napětí nosníku. Závěrem této části výkadu se pokusíme názorně vsvětit podstatu vzniku smkového napětí v ohýbaném nosníku. Představme si dvě desk voně na sobě poožené na dvou prostých podporách. Při zatížení se obě prohnou a současně po sobě v dotkové rovině poněkud prokouznou.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška mkové napětí nosníku. Závěrem této části výkadu se pokusíme názorně vsvětit podstatu vzniku smkového napětí v ohýbaném nosníku. Pokud desk navzájem sepíme, obě se opět prohnou, nemůže však dojít k prokouznutí. Horní deska je stačována, spodní deska je natahována. ozdí mezi tahovou siou ve spodní desce a takovou siou v horní desce vtváří smkové napětí. Vrstva epida je namáhána smkovým napětím a bude-i toto napětí příiš veké, dojde k porušení epeného spoje. vrstva epida, namáhaná smkem
tav napjatosti ohýbaného nosníku Ohbové napětí nosníku. ohbový moment M O M O Zákad mechanik, 9. přednáška Ohbové napětí nosníku. Konečně třetí a nejdůežitější namáhání je důsedkem ohbového momentu M O. Intuitivně cítíme že na horní straně ohýbaného nosníku je takové napětí, na spodní straně tahové. Odvodíme charakter rozožení normáového napětí po průřezu nosníku a jeho veikost. Vjdeme ze dvou zákadních předpokadů : * Napětí nepřesahuje mez kuzu - patí Hookův zákon. * ovinný řez nosníkem (komý k ose nosníku) se po prohnutí natočí avšak zůstane rovinným.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Ohbové napětí nosníku. M O φ Uvažujme krátký úsek nosníku dék. Z předpokadu zachování rovinnosti průřezů vpývá že dva rovinné průřez, komé k ose nosníku (navzájem rovnoběžné), spou budou po prohnutí svírat jistý úhe φ. Dáe předpokádejme, že v jistém místě průřezu bude napětí nuové, ted i deformace nuová a déka zde zůstane zachována. Tomuto místu budeme říkat neutrání neutrání osa. Tato neutrání osa se vivem prohnutí osa zakřiví s pooměrem křivosti. V ibovoném místě, daném souřadnicí od neutrání os, se déka zvětší +Δ (zmenší) o Δ. Pro úhe φ pak patí : + Δ φ + Odtud pak můžeme vjádřit poměrnou deformaci : ( + ) ( + Δ) Δ ε Patí-i dáe Hookův zákon, můžeme formuovat první důežitý závěr : Napětí se po výšce profiu mění ineárně. ε Zde je modu pružnosti v tahu, je pooměr zakřivení neutrání os.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Ohbové napětí nosníku. Daší úvah se budou týkat siového rozboru. M O φ Ve vzdáenosti od neutrání os uvažujme nekonečně maou pošku d (zde vznačena barevně). Šířka pošk odpovídá šířce profiu, výška je nekonečně maá d. Této pošce odpovídá nekonečně maá sía : d d +Δ neutrání osa d d d Ze siové rovnice rovnováh pro směr os nosníku vpývá : d d d 0 d 0 d 0 d Připomeneme si dáe vztah pro souřadnici těžiště poch : T 0 Je zřejmý druhý závěr : Neutrání osa prochází těžištěm průřezové poch nosníku.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Ohbové napětí nosníku. Daší úvah se budou týkat siového rozboru. M O φ Ve vzdáenosti od neutrání os uvažujme nekonečně maou pošku d (zde vznačena barevně). Šířka pošk odpovídá šířce profiu, výška je nekonečně maá d. Této pošce odpovídá nekonečně maá sía : d d +Δ neutrání osa d d d Zde uvedený integrá b již dříve definován jako moment setrvačnosti J. J d Patí ted : Třetí závěr ted již přímo určuje rozožení napětí po výšce profiu. M O J Z momentové rovnice rovnováh pak vpývá kvantitativní vjádření napětí : d M d M d M d M J M M J O O O O O O
tav napjatosti ohýbaného nosníku Ohbové napětí nosníku. Zákad mechanik, 9. přednáška M O +Δ φ neutrání osa Z praktických důvodů nás obvke zajímá maximání napětí : hrneme nní odvozené závěr : ) Definujeme neutrání osu jako osu, procházející těžištěm průřezové poch. Napětí v neutrání ose je nuové. ) Mimo neutrání osu se napětí šíří ineárně, směrnice je rovna poměru ohbového momentu M O a momentu setrvačnosti průřezu J. (Napětí je přirozeně na jedné straně neutrání os kadné - tahové, na opačné straně je záporné - takové.) max M O J M J Za účeem provádění praktických výpočtů pak b definován tzv. ohbový modu W O : J W O max MO Maximání ohbové napětí pak je : max W O O max
tav napjatosti ohýbaného nosníku Ohbové napětí nosníku. Zákad mechanik, 9. přednáška M O φ Posední závěr se týká deformace nosníku. 3) Pooměr zakřivení neutrání os je : J M O +Δ neutrání osa oučin J bývá někd nazýván ohbová tuhost nosníku. Zde (modu pružnosti v tahu [Pa, MPa]) vjadřuje viv materiáu, J (moment setrvačnosti profiu [m 4, mm 4 ]) vjadřuje viv geometrie - tvaru průřezového profiu.
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Napětí materiáu ohýbaného nosníku ted je : normáová sía N N tah / tak N posouvající sía T T τ smk T M J b ( ) ( ) ohbový moment M O M O ohb M W O O
tav napjatosti ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Napětí materiáu ohýbaného nosníku ted je : Napětí od normáové sí N a od ohbového momentu M O mají obě směr os nosníku. Proto je ze prostě sčítat. N M tah / tak + ohb + W Napětí od posouvající sí T je napětí smkové a s normáovým napětím se nedá prostě sčítat. O O τ smk T M J b ( ) ( ) Z normáového a smkového napětí ze pode zvoené hpotéz vjádřit redukované napětí. Napříkad pode energetické hpotéz HMH je redukované napětí : red + 3τ
Deformace ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška x Průhbovou křivku ohýbaného nosníku ze vjádřit na zákadě pooměru zakřivení. J M O Pro pochou průhbovou křivku (průhb mnohokrát menší než déka <<) je převrácená hodnota pooměru zakřivení, tzv. druhá křivost, přibižně rovna druhé derivaci průhbové křivk. d MO dx J Při jednotném materiáu (konst) a při konstantním průřezu (Jkonst) je průhbová křivka dána dvojím integrováním průběhu ohbového momentu. ( x ) MO dx dx J Při integrování je třeba určit integrační konstant. T se určí z okrajových podmínek : V místě koubové vazb je 0, v místě dokonaého vetknutí je 0 a 0 (úhe natočení).
Deformace ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška P dv V P Jiný způsob řešení průhbu vžaduje vjádření potenciání (deformační) energie prohnutého nosníku. Zanedbáme potenciání energii od smkového napětí τ a omezíme se na potenciání energii od normáového ohbového napětí. Vjdeme z vjádření potenciání energie tahové napjatosti, vztažené na jednotkový objem, tak jak ba odvozena na předchozí přednášce. P ε Cekovou potenciání energii získáme integrací přes ceý objem nosníku. Objem nosníku je V, kde je průřezová pocha a je déka nosníku. ement objemu pak je dvd dx, kde d je eement průřezové poch a dx je eement dék nosníku. P 0 εd dx 0 d dx Zde jsme dosadii Hookův zákon : ε
Zákad mechanik, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku Jiný způsob řešení průhbu vžaduje vjádření potenciání (deformační) energie prohnutého nosníku. 0 O 0 O 0 P dx d J M dx d J M dx d Dosadíme-i dáe rozožení napětí po průřezu nosníku : J M O 0 O P dx M J Konečně vzhedem k vjádření momentu setrvačnosti : d J
Deformace ohýbaného nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Průhb v místě působení sí pak ze určit z tzv. Castigianov vět. d d P Anaogick určíme natočení os nosníku φ v místě působení momentu M. M φ φ d P dm
Zákad mechanik, 9. přednáška Deformace ohýbaného nosníku Jako příkad uvedeme průhb vetknutého nosníku, zatíženého siou. x Průběh ohbového momentu je ineární. x M O M O x Potenciání energie je : ( ) 3 J dx x J dx x J dx M J 3 0 0 0 O P Konečně průhb v místě působení sí (na voném konci nosníku) je : J 3 d J 6 d d d 3 3 P Veké množství odvozených vzorců pro průhb a natočení různě uožených nosníků uvádí nejrůznější technické tabuk.
Řešení reakcí statick neurčitě uoženého nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Jak jsme již ukázai dříve, výpočet deformace nám umožňuje řešit úoh statick neurčité. Řešení reakcí statick neurčitě uoženého nosníku si ukážeme na příkadu. Nosník dék a je uožen na třech podporách a zatížen siou. Určete reakce v uožení. A B C a/ A? a B? a C? Zákadní přístup je násedující : Představíme si, že bod C je voný (bez vazb), zatížený neznámou siou C. Její veikost musí být taková, ab průhb v bodě C b nuový ( C 0). A B C C 0 a/ A? a B? a C?
Řešení reakcí statick neurčitě uoženého nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Abchom přísušnou podmínku sestavii, použijeme princip superpozice. I) Nejprve budeme uvažovat nosník na dvou podporách s voným koncem C, zatížený pouze siou. A B φ B I C C I a/ A I B I a a Úoha je statick určitá a snadno naezneme řešení : φ I A I B I B I C a 6 J 3 I a φb a 6 J např. Castigianovou větou např. Castigianovou větou
Řešení reakcí statick neurčitě uoženého nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška II) Nní budeme uvažovat opět nosník na dvou podporách s voným koncem C, zatížený však pouze siou C. A B C C II A II a B II a C I tato úoha je statick určitá a snadno naezneme řešení : II A II B II C C C C a 3 J 3 např. Castigianovou větou
Řešení reakcí statick neurčitě uoženého nosníku Zákad mechanik, 9. přednáška Pode principu superpozice jsou jak cekové reakce, tak ceková deformace dán prostým součtem reakcí resp. deformace od jednotivých sožek zatížení. A B C a/ A? a B? a C? C I C + II C A I A + II A B I B + II B 3 a 6 J C a 3 J 3 C + 0 3 C 3 A C 3 3 + B C 3
Zákad mechanik, 9. přednáška Obsah přednášk : jednoosý a dvojosý stav napjatosti, stav napjatosti ohýbaného nosníku, deformace ohýbaného nosníku, řešení statick neurčitých úoh