Kombinace ohybu a tlaku

Transkript

1 1

2 Kapitoa 1 Kombinace ohybu a taku 1.1 Úvod ři současném působení příčných a osových si se nosník(obr. 1.1) nachází, v ceém procesu zatěžování, v prohnutém stavu. Vzniká kombinace ohybu a taku. Nejedná se o stabiitní probém, tj. o stanovení podmínky ztráty přímosti prutu, ae o probém pevnostní. Aby nedošo k příčnému vybočení prutu od působení samotné osové síy, musíbýtsía F < F kr,kde F kr jekritickáeuerovasíazávisánazpůsobuuožení konců prutu. ξ q(x) F v q v(x) F x v F v x M o (x) M o (x) + N.v(x) + M o (x) N.v(x) Obrázek 1.1: říčnésíyjsouzachycenyvpodporáchapředpokádáse,žepůsobívjednézhavních rovin průřezu nosníku. Od příčných si vzniká v řezu ξ(obr. 1.1) ohybový moment M o (x)aprůhyb v q (x).růhybodosovésíyje v F (x)aohybovýmomentodtétosíy

3 F v(x),kde vjevýsednýprůhybodsoučasnéhopůsobenípříčnýchaosovýchsi v(x) = v q (x)+v F (x) (1.1) Výsedný ohybový moment v řezu ξ je určen součtem sožek momentu M o (x) = M o (x)+f v(x) (1.) Ze způsobu zatížení nosníku je patrné, že v případě zanedbání vivu posouvající síy se jedná o jednoosý stav napjatosti. evnostní podmínku zapíšeme pro řez, ve kterém je výsednénapětíodohybuatakumaximání.jetořez,vekterémjeohybovýmoment M o (x)maximání.výsednétakovénapětíjedánovztahem kde σ omax jetakovásožkanapětíodohybu a σ F jetakovásožkanapětíodosovésíy F, evnostní podmínka má pak tvar σ max = σ omax +σ F, (1.3) σ o max = M omax W o (1.4) σ F = F A (1.5) σ max = M omax W o + F A σ D (1.6) Unosníků,kterémajíhavníkvadratickémomentyprůřezurozdíné, J 1 J,ajsou příčnězatíženévrovině J max,sekontrouje,zdanevzniknevroviněmaximánítuhosti průřezu ztráta stabiity od působení samotné síy F. ři apikaci pevnostní podmínky (1.6), v konkrétním případě, je nutné vyšetřit funkci průhybové křivky v(x), pro kterou je ovšem nutné znát kvadratický moment průřezu. roto se postupuje tak, že přípustné rozměry průřezu se určují odhadem na zákadě rozměrů, které získáme z pevnostní podmínkypouzeodohybuodpříčnýchsi,t.j.jenzm o max apodmínkystabiitypro zvoenou hodnotu součinitee bezpečnosti k F = F kr F, kdeuvažujemekvadratickýmomentprůřezukoseohybuodpříčnýchsinatakodsíy F.Stanovenérozměryseponěkudzvětší,nežvyšyvdíčíchpodmínkáchapoužijísepři sestavení pevnostní podmínky(1.6), která respektuje kombinované namáhání v ohybu ataku. 1. Výpočet ohybového momentu Funkceprůhybovékřivkyv(1.)jezávisánavýsednémohybovémmomentu M o (x). Tuto závisost vyšetříme násedujícím postupem. Rovnici (1.) dvakrát derivujeme pode nezávisé proměnné x M o (x) = M o (x)+n v (x) (1.7) 3

4 aza v (x)dosadímediferenciánírovniciprůhybovékřivkyproprizmatickýnosník v (x) = M o(x) EJ (1.8) o úpravě získáme diferenciání rovnici. řádu s konstantními činitei pro ohybový moment M o (x). M o (x)+α M o (x) = M o (x), (1.9) kde α = F EJ Obecný integrá rovnice(1.9) je M o (x) = A sinαx+b cosαx+m op (1.1) A, Bjsouintegračníkonstanty,kteréurčímezokrajovýchpodmínek, M op jepartikuárníintegrárovnice(1.1).známe-inyní M o (x),můžemezrovnice(1.)určitprůhyb v(x). ostupovat ze i tak, že stanovíme funkci průhybu v(x), pomocí které vypočteme M o (x)rovněžpoderovnice(1.). 1.3 Výpočet průhybu ři sestavování diferenciání rovnice funkce v(x) vycházíme z diferenciání rovnice průhybové křivky(1.8) v (x) = M o(x) EJ Ohybovýmoment M o (x)dosadímepoderov.(1.)apoúpravědostanemediferenciání rovnici. řádu s konstantními činitei pro hedanou funkci v(x), popisující výsedný průhyb nosníku v (x)+α v(x) = α F M o(x), (1.11) kde Řešením je obecný integrá α = F EJ v(x) = Acosαx+Bsinαx+v p (1.1) A, B jsou integrační konstanty, které opět určíme z okrajových podmínekav p je partikuární integrá úpné rovnice(1.11). Dosazením funkce průhybové křivky v(x) zrov.(1.1)dorov.(1.),dostanemeohybovýmoment M o (x)aurčímejehomaximum M omax prodimenzovánípodepevnostnípodmínky(1.6). Obě rovnice(1.9) a(1.11) jsou formáně totožné diferenciání rovnice druhého řádu skonstantnímičiniteiaspravoustranou.kestanovenífunkce M o (x)resp. v(x)použijeme rovnici(1.9) resp.(1.11) a ke stanovení zbývající neznámé použijeme rov.(1.). římývýpočetmomentu M o (x)zrov.(1.7)jejednoduššípřiurčovánípartikuárníhointegráu M op vpřípadech,kdy M o (x)jevyjádřenpoynomem.druháderivacepoynomu M o (x)jenižšíhořáduanapř.přizatíženínosníkuosaměýmisiamije M o(x) = apartikuárníintegrájerovennue.kompikacemohounastatpřiurčováníokrajovýchpodmínekpro M o (x)am o (x),zatímcookrajovépodmínkyprořešení rov.(1.11) pynou z podmínek uožení nosníku. 4

5 1.4 říkady kombinací ohybu a taku Apikujme uvedené postupy řešení pevnosti nosníků namáhaných ohybem a takem na některé případy zatížení příčnými a osovými siovými účinky. říkad 1.1: Uvažujme případ uvedený na obr Nosník uožený na koubových podporách je zatíženpříčnousiou F aosovousiou. Vřezu ξvpoi a ( x a)jeohybový ξ F ξ F b x a b x F a M o (x) M o max + + M o (x) N. v(x) Obrázek -1.1: momentodpříčnésíy F M o (x) = F b x a M o(x) = Vřezu ξ,vpoi b ( x b)jeohybovýmomentodpříčnésíy F M o ( x) = F a x a M o ( x) = ro každé poe vyjádříme samostatnou homogenní diferenciání rovnici(1.9) Řešení obou rovnic je M o (x)+α M o (x) = a M o ( x)+α Mo ( x) = M o (x) = A cosαx+b sinαx Mo ( x) = C cosα x+d sinα x A, B, C, D jsou integrační konstanty, které určíme z násedujících okrajových podmínek 1. pro x = je M o () = aa = 5

6 . pro x = je M o () = ac= 3. pro x = aa x = bjeohybovýmomentprooběpoestejný M o (a) = M o (b) 4. pro x = aa x = bseposouvajícísía Tvpůsobištisíy Fměnískokemohodnotu F,cožvypývázrovnováhyeementunaobr.-1.. roto F F T dx T jeden z obrázků, u druhého obrázku je teba změnit popisek v textu T a b T Obrázek -1.: T(a) F T(b) =, resp. T(a) T(b) = F ApikacíSchwederovyvětyvetvaru M = Ta M = Tzedáepsát T(a) T(b) = M o (a)+ M o (b) = F o dosazení do okrajových podmínek 3 a 4 získáme soustavu B sinαa D sinαb =, αbcosαa+αdcosαb = F pro neznámé integrační konstanty B a D. Jejím řešením jsou konstanty B = F α sinαb sinα růběhy ohybových momentů v každém poi jsou M o (x) = F α sinαb sinα sinαx a D = F α sinαa sinα a Mo ( x) = F α sinαa sinα sinα x Maximáníohybovýmomentsenacházívdešímpoivmístě,kdenapř.pro a > b,je M o(x) =.ronosníkzatíženýsiou Fuprostředdéky, a = b = /,stanovíme M omax = F α sin α sin α cos α = F α tg α 6

7 Rovnici ze ještě dáe upravit kde M omax = F 4 tg α α M omax = F 4, = M omax µ F, jemaximáníohybovýmomentodpříčnésíy F a µ jefaktorvyjadřujícívivosové síy na maximání ohybový moment. růhyb stanovíme pomocí rovnice(1.) ro maximání průhyb pyne Rovnici ze opět upravit ( ) v v max = F 3 48 E J v(x) = 1 M o(x) M o (x)] = v max = F 4 tg α α tg α α ε π = v F max γ, kde v F max = F 3 48 E J jemaximáníprůhybodpříčnésíy Fa γ jefaktorvyjadřující vivosovésíy. ε jekritickáeuerovasíapronosníknamáhanýpouzeosovousiou. oznámka: ZrovnicproM o(x)av(x)jepatrné,žeoběfunkcejsouineárnězávisénapříčnémzatížení aneineárnězávisénaosovésíe.ůsobí-inapř.naprutvícepříčnýchsi F n,výsednýprůhybze získattak,ženanosníkpůsobísoučasněvšechnypříčnésíyasíaosová.akjenutnésestavit (n+1) diferenciáních rovnic(1.9) nebo(1.11) a pro každé řešení předepsat (n + 1) okrajových podmínek. Tento postup je zajisté obtížný, zejména při řešení úohy pode(1.9), kde pro okrajové podmínky je nutnéstanovit M o(x)resp. M o(x).výsednýprůhybpřipůsobenívětšíhopočtupříčnýchsizevšak získat také součtem díčích průhybů za současného působení jedné příčné síy a osové síy. ostup výpočtu je naznačen na obr růhyb stanovíme součtem v(x) = v 1(x)+v (x) a výsedný ohybový moment pomocí rovnice(1.). M o(x) = M o1(x)+m o(x) 7

8 F 1 v(x) F a b c F 1 v 1 (x) F v (x) Obrázek -1.3: říkad 1.: Daším příkadem, jehož řešení uvedeme je nosník zatížený spojitým břemenem a osovou siou F(obr.-.1). Stanovíme M omax a v max.oužijemeřešenípoderov.(1.9).ro x jeohybovýmomentodpříčnýchsi a M o (x) = q x q x M o(x) = q Diferenciání rovnice ohybového momentu bude mít tvar M o(x)+α M o (x) = q Obecný integrá je M o (x) = A cosαx+b sinαx q α Okrajové podmínky pro řešení integračních konstant jsou 1. pro x = je M o () =. pro x = je M o () = o dosazení do předchozí rovnice určíme integrační konstanty A, B: A = q α a B = q 1 cosα α sinα 8 = q α tan α

9 ξ q F v(x) F x M o (x) + + M o (x) N.v(x) N. v(x) Obrázek -.1: Výsedný ohybový moment v obecném řezu je M o (x) = q ( α cosαx+tg α ) sinαx 1 Maximáníohybovýmomentjepro x = /roven M omax = q 1 cos α 8 ( ) α cos α = M omax µ F, kde M omax jemaximáníohybovýmomentodpříčnéhozatížení q o a µ F jefaktor určujícívivosovésíy F. omocí rov.(1.) ze vyšetřit průhyb v obecném místě nosníku. Maximání průhyb uprostřed nosníku je v max = M ] omax Momax 1 F M omax Z předchozího vztahu určíme poměr M omax M omax = 1 cos α ) cos α ( α, dosadímedorovnicepro v max 9

10 α 1 cos v max = q 8 F ( ) α cos α aupravíme α v max = q 4 1 cos E J ( ) α cos α π F ε F = v qγ F, kde v q = 384 q 5 4 E J jemaximáníprůhybuprostřednosníkuvznikýpouzeodpříčného spojitéhozatížení q o a γ F jefaktornavyšujícíprůhybvdůsedkupůsobeníosovésíyf. 1.5 Energetická metoda přibižné řešení kombinace ohybu ataku V případech, kdy se jedná o sožitý způsob zatížení nosníku, jak jsme se již zmínii, jako je např. působení většího počtu příčných siových účinků a takové síy osové, je exaktnípostupvýpočtuohybovéhomomentum o (x)(1.)propevnostnípodmínku(1.6) sožitý a zdouhavý. ro praktické použití je přibižná energetická metoda výhodnější. Uvažujmekoubověuoženýnosníkzatíženýpříčnýmisiami F i,obr.1.aosovousiou, namáhající prut takem. x i x ds dx F i v i u u δv i Obrázek 1.: růhybovou čáru, respektující okrajové podmínky, zvoíme ve tvaru v(x) = K η(x), (1.13) kde η(x),jakbyojižzmíněno,jefunkceudávajícítvarprůhybovéčáryakjejívypukost měřítko, které pro daný případ zatížení neznáme. řipomeňme si, že se při 1

11 této kombinaci ohybu a taku nejedná o stabiitní případ, kdy vyšetřujeme indiferentní stav rovnováhy, kterému přísuší ibovoný průhyb v mezích Hookova zákona. Zde tudíž přísuší určitému zatížení určitý stabiní průhyb a odpovídá mu rovnováha vnějších avnitřníchsi.odsiou F i jeprůhyb v i = K η(x i ) (1.14) a v důsedkuprohnutínosníku se pravýkoub prutuposuneou. Veikost posuvu u(obr.1.)určímezevztahu u = (ds dx) = 1 v (x) ] dx, (1.15) jak pyne pode pravide počítání s maými čísy(rov.??)neme by byt odkaz na???. Vztah upravíme pomocí rov.(1.13) u = K kde Bjekonstantazávisánatvarufunkce η(x). η (x) ] K dx = B, (1.16) Nyní vnějším zásahem změníme rovnovážný stav vnějších a vnitřních si tak, že vyvoámevirtuáníposuv δupůsobištěosovésíy avirtuáníposuvy δv i působišťpříčných si F i.současněsezměníenergievnitřníchsiovirtuánípřírůstek.kdyžtytovirtuání změny posuvu opět uvoníme, prut zaujme svoji původní průhybovou křivku a vnější síy a F i přitomvykonajípráci.řírůstekprácevnějšíchsijerovenakumuované deformační energii, tj. δw = δu (1.17) Eementární práce vnějších si při vratném posuvu je kde δw = δu+ F i δv i, (1.18) δu = B K δk a δv i = δk η(x i ), (1.19) jakjepatrnézrov.(1.16)a(1.14).dosadímezpětdorov.(1.18) δw = B KδK +δk F i η(x i ) (1.) otenciání energie napjatosti v nosníku U, uvažujeme i pouze ohyb, je dána vztahem U = 1 Mo (x) dx (1.1) E J Za M o (x)dosadímezdiferenciánírovniceprůhybovékřivky M o (x) = E J v (x) U = 1 E J v (x) ] dx (1.) azrovnice(1.13)je v (x) = K η (x),takžepropotenciáníenergiidostanemevztah U = K E J η (x) ] dx = K C, (1.3) 11

12 kde C je konstanta závisá na zvoeném tvaru průhybové čáry η(x), stejně jako konstanta B, zavedená v rovnici(1.16) je to opět funkcioná s argumentem η(x). řírůstek potenciání energie(1.3) při virtuání změně průhybu nosníku je δu = Kδ K C (1.4) Rovnost eementárních přírůstku energie pode rov.(1.17) má tvar po úpravě K C δk = K C ( B K + ) F i η(x i ) δk, (1.5) ( 1 B ) = F i η(x i ), C odkud určíme vypukost K prohnutého nosníku K = Fi η(x i ) ( C 1 B ) = C Fi η(x i ) E J η (x) ] dx 1 1 η (x) ] dx E J η (x) ] dx (1.6) roprizmatickýnosník E J = konst.setvarvztahuzjednoduší K = Fi η(x i ) E J η (x) ] dx 1 E J 1 η (x) ] dx η (x) ] dx (1.7) Vrovnici v(x) = K η(x)voímetvarovoufunkci η(x)sohedemnaokrajovépodmínky. Ve vobě η(x) spočívá přibižnost řešení. ři uváživé vobě tvaru průhybové čáry η(x) je chyba zanedbatená. Z rovnice(1.6) je patrné, že metodu ze použít i pro neprizmatické pruty. ro souměrné zatížení a koubové uožení voíme nejčastěji funkci η(x) ve tvaru půvny sinusovky v(x) = K sin πx = K η(x) ro rovnici(1.6) určíme η (x) = π cos πx, η (x) ] = ( π ) cos πx, aintegráy ( π ) η πx (x) = sin, η (x) ] = ( π ) 4 sin πx η (x) ] dx = ( π ) cos πx π dx =, η (x) ] dx = ( π ) 4 sin πx π4 dx = 3 1

13 o dosazení do rov.(1.7) a úpravě stanovíme měřítko vypukosti K = Fi sin πx i π 4 E J E J ( ) = π Fi sin πx i π 4 E J ε Zavedeme-i do rovnice poměr ε = k ε, kde ε jekritickáeuerovasíapronosníkkoubověuoženýanamáhanýpouzeosovou siou, dostaneme konečný tvar rovnice pro vypukost průhybové čáry K = 3 F i sin πx i 48,7 E J k ε k ε 1 13

14 Literatura 1] DUCHÁČEK,J.:NaukaopružnostiapevnostiI.SNTL,raha1957 ] DUCHÁČEK, J.: Nauka o pružnosti a pevnosti II. SNTL, raha ] HÁJEK,E.akoektiv:ružnostapevnostII.VČVUT,raha,1979 4] HÁJEK, E., REIF,., VALENTA, F.: ružnost a pevnost I. SNTL/ALFA, raha ] HÖSCHL, C.: ružnost a pevnost ve strojírenství. SNTL/ALFA, raha ] JANATKA, J.: ružnost a pevnost I. SNTL-ČVUT, raha ] JANATKA, J.: ružnost a pevnost II. SNTL-ČVUT, raha ] JANÍČEK,.,ETRUŠKA,J.:ÚohyzpružnostiapevnostiII.ESVUT,Brno 199 9] LENERT, J.: ružnost a pevnost II. VŠB-TU, Ostrava ] MICHALEC, J.: ružnost a pevnost I. v.čvut, raha 1 11] MICHALEC, J.: ružnost a pevnost II. v. ČVUT, raha 1 1] NĚMEC, J.: Tuhost a pevnost oceových částí. ČSAV, raha ] ONDRÁČEK, E., FARLÍK, A.: Mezní stavy v pevnostních výpočtech. SNTL, raha ] ISARENKO, G.S.: Soprotivenije materiaov. VŠ Kyjev, ] EŠINA, E., REIF,., VALENTA, F.: Sbírka příkadů z pružnosti a pevnosti. SNTL, raha ] OOV, E..: Introduction to mechanics of soids. rentice-ha, London ] UCHMAJER,.: ružnost a pevnost. ČVUT raha ] RŮŽIČKA, M., HANKE, M., ROST,M.: Dynamická pevnost a životnost. FS- ČVUT, raha, ] SERVÍT, R., DOLEŽALOVÁ, E., CRHA, M.: Teorie pružnosti a pasticity I. SNTL/ALFA, raha

15 ] SERVÍT, R., DRAHOŇOVSKÝ, Z., ŠEJNOHA, J.: Teorie pružnosti a pasticity II. ČVUT, raha ] ŠEJNOHA, J., BITTNAROVÁ, J.: ružnost a pevnost. V-ČVUT, raha, 1998 ] TIMOSCHENKO, S.., GERE, J. M.: Mechanics of Materias. D. Van Nostrand, New York, 197 3] TREBUŇA, F., ŠIMČÁK, F., JURICA, V.: ružnosť a pevnosť I, II. Vienaa, Košice 4] WASCHIZU, K.: Variationa methods in easticity nad pasticity. ergamon, New York,

16 Obsah 1 Kombinace ohybu a taku 1.1 Úvod Výpočetohybovéhomomentu Výpočetprůhybu říkadykombinacíohybuataku Energetickámetoda přibižnéřešeníkombinaceohybuataku