ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl

Podobné dokumenty
Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

17. Posloupnosti a řady funkcí

Parciální diferenciální rovnice

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

13. cvičení z PSI ledna 2017

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

4. Aplikace matematiky v ekonomii

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Markovovy řetězce se spojitým časem CTMC (Continuous time Markov Chain)

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

Modelov an ı syst em u a proces

Intervalová data a výpočet některých statistik

HOKEJOVÉ GÓLY. Michal Friesl. Katedra matematiky & NTIS Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni. Robust 2018, Rybník

Diferenciální rovnice

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

19 Hilbertovy prostory

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Základy matematiky pro FEK

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Odhady Parametrů Lineární Regrese

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

IV120 Spojité a hybridní systémy. Jana Fabriková

FREDHOLMOVA ALTERNATIVA

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

10 Funkce více proměnných

Funkce jedné proměnné

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Funkcionální řady. January 13, 2016

U Úvod do modelování a simulace systémů

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková září 2013, Podlesí

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

Klasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory

Analytické pravděpodobnostní modely, Markovské procesy

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Charakterizace rozdělení

NEPARAMETRICKÉ BAYESOVSKÉ ODHADY V KOZIOLOVĚ-GREENOVĚ MODELU NÁHODNÉHO CENZOROVÁNÍ. Michal Friesl

7. Aplikace derivace

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura

Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Modelování a simulace Lukáš Otte

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Téma 22. Ondřej Nývlt

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

Statistika II. Jiří Neubauer

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Kendallova klasifikace

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

9. Vícerozměrná integrace

intenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t

INTEGRÁLY S PARAMETREM

22 Základní vlastnosti distribucí

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

KGG/STG Statistika pro geografy

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

13. Lineární procesy

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Pružnost a plasticita II CD03

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

9. Vícerozměrná integrace

Transkript:

Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům při zkoumání jejich problémů vycházejí rozdělení, překvapeni, že v diskrétním i spojitém případě některé výsledky stejné Obsah Časová škála a rovnice Transportní rovnice Difuzní rovnice Zainteresovaní kolegové: Antonín Slavík (MFF UK) Petr Stehlík, Jonáš Volek (FAV ZČU)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Časová škála Množina T časových okamžiků libovolná uzavřená T R T = R T = Z Funkce zrnitosti µ t = vzdálenost od t k dalšímu µ t = čas t zprava spojitý µ t > čas t zprava diskrétní obecná t µ t t + µ t Zobecněná derivace u(t + µ t ) u(t) (diference) u t (t) = µ t u(t + h) u(t) lim (derivace) h + h

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Uvažujme funkci u : T X R Dynamická rovnice kde X je diskrétní stavový prostor, X = Z popř. X = N u(t) :=(u(t, x), x X ) = (u x (t)) x X : T l (X) Pro lineární omezený operátor A : l (X) l (X) zkoumáme omezená řešení rovnice (soustavy rovnic pro každé x jedna) u t (t) = A u(t), s počáteční podmínkou u(t ) = u. t T Řešením (předp. I + Aµ t pro každé t T invertibilní) hodnoty zobecněné exponenciely e A,t u(t) = ( e A,t (t) ) (u )

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas spojitý)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas diskrétní)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas obecný)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Hodnoty u(t) v čase t určují derivaci u t v čase t

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Transportní rovnice Příklady rovnic u t = ku x neboli u t x = k(u x u x 1 ) Difuzní rovnice u t = (u x ) x neboli u t x = u x+1 u x + u x 1 Či obecněji u t x = bu x + au x 1 V tomto příspěvku rovnice u t x = au x 1 + bu x + cu x+1 na nezáporné časové škále T, ), min T =, sup T =, předp. počet diskrétních bodů na omezených intervalech konečný s počáteční podmínkou v čase

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Cílem vyšetřit u omezených řešení Zkoumané vlastnosti zachování znaménka u() = u(t) princip maxima u() K = u(t) K A vlastnosti integrálů zachování prostorového integrálu x u x (t) = x u x () časové integrály T u x(t) t konečnost, stejné pro všechna x Stačí při počáteční podmínce { 1, x = u(, x) =, x = (při ostatních přenásobením/nakombinováním)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Cílem vyšetřit u omezených řešení Zkoumané vlastnosti zachování znaménka u() = u(t) princip maxima u() K = u(t) K A vlastnosti integrálů zachování prostorového integrálu x u x (t) = x u x () časové integrály T u x(t) t konečnost, stejné pro všechna x Stačí při počáteční podmínce { 1, x = u(, x) =, x = (při ostatních přenásobením/nakombinováním)

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Transportní rovnice u t x = k(u x u x 1 ) (k > ) Rozepsáno pro bod t diskrétní: u x (t + µ t ) u x (t) µ t = k ( u x (t) u x 1 (t) ) u x (t + µ t ) = (1 kµ t ) u x (t) + kµ t u x 1 (t) Pro bod t spojitý: u x(t) = ku x (t) + ku x 1 (t) Předpokládáme kµ t < 1 t

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Pro T = {, 1,,... } a k 1 S jednotkovým diskrétní časem u x (t + 1) = (1 k)u x (t) + ku x 1 (t) Tedy soustava u(t + 1) = P T u(t) diferenčních rovnic pro pravděpodobnosti homogenního markovského řetězce (X, X 1,... ) s diskrétním časem a maticí pravděpodobností přechodu P = (Bernoulliův proces) 1 k k 1 k k...... Řešením: u x (t) = ( t x )kx (1 k) t x 1 k x 1 x x + 1 k

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Vlastnosti Zachování znaménka a prostorový integrál (u x (t)) x X tvoří pro každé t rozdělení automaticky u x (t) 1 automaticky x u x (t) = 1 Princip maxima pravděpodobnosti přechodu p xy (t) po t krocích závisí jen na x y u x (t) = k u x k () p x k,x (t) sup }{{} x u x () 1 Časové integrály = p x,x+k (t) t u x (t) je očekávaná doba strávená řetězcem ve stavu x každý stav navštíven jednou, doba τ setrvání geometricky rozdělená t u x (t) = E I Xt =x = E τ = 1/k, tedy konečné a x stejné

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Se spojitým časem Pro T = R u x(t) = ku x + ku x 1 Tedy soustava u (t) = Q T u(t) Kolmogorovových prospektivních rovnic pro pravděpodobnosti homogenního markovského řetězce (X t, t ) se spojitým časem a s maticí intenzit přechodu (Poissonův proces) Q = Řešením: u x (t) = e kt (kt)x x! k k k k......

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Vlastnosti Zachování znaménka a prostorový integrál (u x (t)) x X tvoří pro každé t rozdělení automaticky u x (t) 1 automaticky x u x (t) = 1 Princip maxima pravděpodobnosti přechodu p xy (t) pro interval délky t závisí na x y u x (t) = k u x k () p x k,x (t) sup }{{} x u x () 1 Časové integrály = p x,x+k (t) u x (t) dt je očekávaná doba strávená řetězcem ve stavu x každý stav navštíven jednou, doba τ setrvání exponenciálně rozdělená u x (t) dt = E I Xt =x dt = E τ = 1/k, tedy konečné a x stejné

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Obecný čas Pro obecný okamžik t s µ = µ t (všechna µ t < 1/k) t spojitý (µ t = ): t diskrétní (µ t > ): u x(t) = ku x (t) + ku x+1 (t) u x (t + µ t ) = (1 kµ t )u x (t) + kµ t u x+1 (t) Tedy rovnice pro markovský řetězec se smíšeným časem ve vnořeném řetězci přechod x x + 1 s pravděpodobností 1 a doba čekání na výstup ze stavu: - ve spojitých časech s intenzitou k - v diskrétních s pravděpodobností kµ t Vlastnosti znaménko, prostorový integrál, princip maxima zůstávají časový integrál s menším zamyšlením...

Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Doba ve stavu Jsme-li na začátku intervalu ve stavu, do střední doby interval přispěje: je-li spojitý délky s: s e kt dt + e ks (následující) je-li diskrétní délky µ: µ + (1 kµ) (následující) tj. diskrétní délky µ stejně jako spojitý délky s µ = 1 k ln(1 kµ) kdt kµ s µ kdt 1 kµ kdt s s µ Místo diskrétních intervalů vložíme do T spojité (s µ > µ) řešení u se změní (na Poissonův proces), ale střední doby stejné časový integrál na struktuře časové škály T nezávisí

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Rovnice difuzního typu Předpokládáme u t x = au x+1 + bu x + cu x 1 a, c, u diskrétních bodů navíc bµ t < 1 Speciální případy transportní rovnice a =, b = c difuzní rovnice a = c = 1, b = Postup nejprve pravděpodobnostní případ a + b + c = obecný případ převedením na pravděpodobnostní, předvedeme pro T = {, 1,,... } a T =, )

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Pravděpodobnostní případ Pro T = {, 1,,... } a b 1, resp. T =, ), a a + b + c = t diskrétní: t spojitý: u x (t + 1) = au x 1 (t) + (1 + b)u x (t) + cu x+1 (t) u x(t) = au x 1 (t) + bu x (t) + cu x+1 (t) Tedy rovnice pro pravděpodobnosti markovského 1 + b c a řetězce s maticí pravděpodobností resp. s maticí intenzit. x 1 x x + 1........ P = c 1+b a c 1+b a,................ Q = c b a.. c b a......... Z vlastností rozepišme snad jen časové integrály...

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Časové integrály Vnořeným řetězcem známá náhodná procházka a c a+c odpovídá T = {, 1,,... } a a = a+c, 1 + b =, c = a = c: stavy trvalé nulové, t u x(t) = a > c: stavy přechodné, do x vždy a t u x(t) = (a c ) 1, do x < s pravděpodobností ( c a ) x a t u x(t) = ( c a ) x (a c ) 1 Původní řetězec při návštěvě stavu v něm setrvá po dobu průměrně 1/( b), tedy při a = c zůstává u x (t) t =, { při a > c: u x (t) t = 1 b 1 u a c x, x(t) = (c/a) x t a c x < Podobně jako v případě transportní rovnice se nahlédne, že stejný výsledek platí i pro ostatní časové škály.

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Obecný diskrétní případ Jednotkový čas T = {, 1,,... } a a, c >, b < 1 libovolné a + (1 + b) + c + d = 1 tj. d = (a + b + c) Dosazením: rovnici splňuje funkce u(t) = (1 d) t ũ(t) kde ũ je řešením pravděpodobnostní rovnice s ã = a 1 d, 1 + b = 1 + b 1 d, c = c 1 d. V případě d > (a + (1 + b) + c < 1) můžeme interpretovat jako řetězec s dodatečným absorpčním stavem.

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ T =, ), a, c >, b libovolné Dosazením: rovnici splňuje funkce Obecný spojitý případ a + b + c + d = u(t) = e dt ũ(t) kde ũ je řešením pravděpodobnostní rovnice s ã = a, c = c, b = (a + c). V případě d > (a + b + c < ) můžeme interpretovat jako řetězec s přidaným absorpčním stavem vlastnosti platí, dokonce lépe u x (t) e dt, x u x (t) = e dt V případě d < v nerovnostech e dt kdy bude u x (t) dt <, můžeme spočítat...

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Časové integrály Pro řetězec ( X t ) z pravděpodobnostní rovnice s ã, b, c označme T n = okamžik n-té změny stavu; T = τ n = doba strávená ve stavu po n-té změně stavu, T n = n 1 τ k Integrál poskládáme z příspěvků jednotlivých přechodů (vnořeného řetězce) u x (t) t = D(, t)ũ x (t) t = E D(, t)i Xt =x t ( Tn+1 ) = E D(, t) t u x(n) = n T } n I n u x(n) {{} n I n kde D(t 1, t ) = (1 d) t t 1 resp. e d(t t 1 ) označuje diskontní faktor a I n je střední diskontovaná doba strávená řetězcem ( X t ) po n-té změně stavu do příští změny

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Výpočet D n Příspěvek n-tého přechodu {}}{{}}{ I n = E ( τn ) T n+1 T n D(, t) t = E D(, T n ) E D(T n, t) t T n D n je střední diskontní faktor do n-té změny stavu, D n = (D 1 ) n e n je střední diskontovaná doba do opuštění stavu (diskontovaná k okamžiku vstupu do stavu), e n = e 1 V diskrétním resp. spojitém případě (předp. b > ) E 1 = E(1 d) T i = E 1 = E e dt i = 1 (1 d) k ( b)(1 + b) k 1 = b d b e dt b e bt dt = b = a + c b + d b e n = a + c b e 1 = E τ 1 (1 d) k resp. E τ e dt dt, tedy e 1 = 1 d (1 D 1) = 1 b

Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Výsledek V případě T = {, 1,,... } i T =, ) stejné hodnoty (tak by vyšlo i pro jiné časové škály), v řadě pro časový integrál u x (t) t = n I n u x(n) je n-tý člen při n I n u x(n) = e 1 u x(n) D n 1 1 = 1 b 1 konst ( 4a c ) n( b d n b a součet konečný právě když 4ac < b ( ) n n+x (a ) n+x (c ) n x ) n 1 = konst ( a + c ) n b n ( 4ac b ) n

Robust 14, Jetřichovice Shrnutí Použití výsledků z markovských řetězců v pravděpodobnostním případě automatické vlastnosti transformací i nepravděpodobnostní případ časové integrály nezávisí na konkrétní časové škále nezabývali jsme se a, c < ani t < Analogicky pro náhodnou procházku s více možnostmi kroků než 1,, 1 ve vícerozměrných prostorech (místo X mít X, X 3 ) Nelineární případ? rovnice u t(t) = A u(t) s nelineárním operátorem A

Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni http://home.zcu.cz/ friesl/rob14.html