2. Lineární rovnice označuje rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0, a 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice (a se nazývá lineární koeficient, b je absolutní člen), x je neznámá. Lineární rovnice se řeší osamostatněním neznámé x: převedením b na opačnou stranu a vydělením rovnice číslem a. Řešením je x =. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy, které nemění výsledek rovnice. Při použití neekvivalentních úprav (nejčastěji umocňování) může dojít ke změně výsledku rovnice, a proto je nutné provést zkoušku. Ekvivalentní úpravy jsou: 1. Přičtení (odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice 2. Přičtení (odečtení) stejného násobku čísla k oběma stranám rovnice 3. Vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným číslem různým od 0 4. Úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice, záměna stran rovnice Doporučený postup řešení lineárních rovnic s jednou neznámou: 1. Provedení naznačených početních úkonů 2.Odstranění zlomků 3. Převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez neznámé a členů s neznámou 4.Osamostatnění neznámé 5. Zápis množiny P (po případném provedení zkoušky) Poznámka : podle zadání rovnice se některé kroky vynechávají 1
Příklady řešení rovnic: a) Řešte v Q rovnici: Zkouška: b) Řešte rovnici v Z: 2
Zkouška: c) Řešte v Z: d) Řešte v R: 3
Zkouška povinná: e) Řešte v Z: 4
Zkouška: f) Řešte v R rovnici: Zkouška: Grafické řešení lineární rovnice ax + b = 0 Grafem levé strany rovnice y= ax + b je přímka. Grafem pravé strany rovnice y = 0 je přímka totožná s vodorovnou osou x. Při grafickém řešení rovnice hledáme průsečík přímky zobrazující levou stranu rovnice s osou x. 5
g) Graficky řešte rovnici: 2x 3 = 9 Rovnici ani nemusíme upravovat. (Každá úprava představuje riziko chyby.) Grafem levé strany y = 2x 3 je červená přímka. Grafem pravé strany y = 9 je zelená přímka vodorovná s osou x. 6
Přímky se protínají v bodě A[6;9]. Řešením lineární rovnice je x-ová souřadnice bodu A. x = 6 (Y-ová souřadnice představuje hodnotu levé nebo pravé strany rovnice po dosazení x do rovnice, tedy výsledek zkoušky.) Náročnější jsou lineární rovnice s parametrem. Nesmíte se nechat poplést uvedenou dvojicí písmen. Jen jedno písmeno zastupuje proměnnou a tu potřebujeme osamostatnit na levé straně. Také bychom měli vědět, že když řešíme jednu rovnici s parametrem, řešíme většinou nekonečný počet rovnic, a to podle množiny hodnot parametru. h) Řešte lineární rovnici s reálnou neznámou x a reálným parametrem p: x + 3 x + 1 = 2 p 1 3 p 7
Po úpravách, které odstraní zlomky, následuje standardní postup. Všechny členy, které obsahují x, převedeme na levou stranu. Ostatní členy na pravou stranu. Na levé straně osamostatníme x. V případě p = 1 nebo p = 3 není rovnice definována. Pro ostatní hodnoty p: x + 3 x + 1 = 2 /. (p-1).(3-p) p 1 3 p (x+3).(3-p) = 2(p-1).(3-p) (x+1).(p-1) 3x px + 9 3p = 6p 2p 2-6 + 2p px + x p + 1 2x = -2p 2 + 10p 14 x = - p 2 + 5p 7 Výsledek rovnic s parametrem se zapisuje například ve formě tabulky. p K K = p = 1 p = 3 rovnice není definována p R {1, 3} K= { p 2 + 5p 7} ch) Vyřešte rovnici 2xp + p(x +1) = 3p - 4 + 2x s neznámou x a parametrem p. 2xp + p(x +1) = 3p - 4 + 2x 2xp + xp + p = 3p - 4 + 2x 3xp - 2x = 2 p - 4 x (3p - 2) = 2 p 4 Chceme vydělit rovnici výrazem 3p - 2, což může být problém, protože se nesmí dělit nulou. Zjistíme, zda je výraz 3p - 2 někdy roven nule: 2 2 3p - 2 = 0 p =. Pokud chceme dělit, musíme p = vyloučit, abychom nedělili nulou. 3 3 Dále vyjádříme neznámou x: 2 p 4 2 p 4 x = K = 3 p 2 3p 2 8
Závěrečný přehled: Hodnoty parametru p: Řešení pro x: p = 3 2 K = Ø p 3 2 K = 2 p 4 3p 2 Pedagogická poznámka: U velké většiny studentů rozhoduje o úspěchu při řešení parametrických rovnic to, zda si udrží přehled nad příkladem a neztratí orientaci v tom, co a proč vlastně počítají. Pro udržení této orientace je přehledný zápis strašně důležitý. Shrnutí: Rovnice s parametrem řešíme stejně jako rovnice bez parametru, pouze v okamžiku, kdy provádíme operace, které není možné provést se všemi čísly, rozebereme možné hodnoty parametru a případně rozdělíme řešení. Slovní úlohy na lineární rovnice: Postup při řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic s jednou neznámou: 1. Pozorně přečteme zadání úlohy 2. Zařadíme k vhodnému typu slovní úlohy 3. Označíme (rozpoznáme) neznámou 4. Podmínky úlohy vyjádříme pomocí neznámé 5. Sestavíme rovnici 6. Vyřešíme rovnici 7. Výsledek můžeme ověřit zkouškou 8. Zapíšeme slovní odpověď 1.Vzdálenost dvou míst je 240 km. Z místa A vyjelo v 8.00 hodin nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. V 8.30 hodin mu vyjelo naproti z místa B osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se obě vozidla potkají? Při řešení budeme vycházet ze vzorce pro rychlost rovnoměrně přímočarého pohybu. v - rychlost, t čas, s dráha 9
s s 1 2 = 60. t = 60.2 = 120km 1 1 = 80. t = 80. 2 = 120km 2 2 Obě vozidla se potkají za dvě hodiny 120 km od místa setkání. 2. Z měděného odlitku byly zhotoveny tři součástky. Na první součástku byla spotřebována polovina odlitku, na druhou dvě třetiny zbytku, třetí vážila pět kilogramů. Kolik vážil celý odlitek? 10
Sestavíme rovnici: Celý odlitek vážil 30 kg. 3. První firma splní zakázku za 48 dní, druhá za 30 dní a třetí za 20 dní. Za jak dlouho by splnili zakázku společně? Společně by splnili zakázku za 9,6 dne. 4. Studenti si objednali 32 maturitních triček dvojí velikosti. Menší za 200 Kč a větší za 250 Kč za kus. Celkem utratili 7100 Kč. Kolik bylo kterých triček? 11 32 14 = 18
Větších triček bylo 14, menších 18 kusů. Otázky: 1) Jaký je rozdíl mezi lineární a kvadratickou rovnicí? 2) Jaký je rozdíl mezi parametrem a proměnnou (neznámou)? 3) Je při řešení lineárních rovnic povinná zkouška? Vysvětli. 4) Jaká je základní odlišnost mezi lineární rovnicí bez parametru a s parametrem? 5) Které úpravy rovnic patří mezi ekvivalentní? 12