7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší dokoale pozat chováí výběrového průměru X a výběrového rozptylu s. Musíme podotkout, že a rozdíl od skutečých parametrů µ ( středí hodota ) a s ( rozptyl ), které sou kostatami ( ovšem pro ás většiou ezámé ), sou výběrový průměr i výběrový rozptyl áhodé veličiy. Defiice 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace. Náhodou veličiu X defiovaou ako X = i= X i xi i= budeme azývat výběrovým průměrem. Jeho realizací bude hodota x =, symboly x i sou realizace áhodých výběrů. Defiice 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace. Náhodou veličiu s defiovaou ako s =. ( i ) ( ) X X (7.) i= azveme výběrovým rozptylem. Tvrzeí 7.3 Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace, která má středí hodotu rovou µ a směrodatou odchylku rovou s. Potom má výběrový průměr X středí hodotu µ a σ rozptyl rove. Důkaz: Xi E( Xi) i= i=. µ Středí hodota e lieárí tedy E( X) = E = = = µ, Počíteme dále rozptyl X tedy Xi VAR X i VAR( Xi) i= i= i=. σ σ VAR ( X ) = VAR = = = =. Z těchto vlastostí vyplývá, že čím větší bude rozsah výběru, tím se bude výběrový průměr více přimykat k skutečé středí hodotě µ. (7.)
Tvrzeí 7. Nechť { X, X,,X } e áhodý výběr z populace, která má středí hodotu rovou µ a směrodatou odchylku rovou s. Potom výběrový rozptyl s má středí hodotu rovou s 3 a rozptyl rove výrazu VAR ( s ) =. µ. σ, kde µ e čtvrtý cetrálí momet populace. Důkaz: s =. ( Xi µ ). ( X µ ) =. ( Xi µ ). ( Xi µ ).( X µ ) i= = i=.( ) i Z těchto vztahů vyplývá, že E(s ) = s. Bez úmy a obecosti předpokládeme, že µ=. Potom platí, VAR(s ) = E( s E(s )) = E(s - s ) = E(s ). E(s ) + E(s ) = E(s ) - s. Bude pro výpočet rozptylu klíčové určit hodotu E(s ). X i i= E( s ) =. E X. X. E X. X. X. i = i + i i = ( ) i= ( ) i= i= i= =. E... Xi Xi Xi + X i ( ) i= i= i=, provedeme výpočet i= edotlivých čleů tohoto součtu:.čle:. ( ) E Xi = E Xi + E( Xi ). E( X ) =. µ +. σ. σ =. µ +. ( ). σ i= i= i.čle: E Xi. Xi = E X + + X + XiX. Xi = E Xi + i= i= i i= i= + E XiX. Xi =. µ +. ( ). σ i i=, protože druhý čle v součtu e rove ule. 3. čle: E Xi = E Xi + XiX = E Xi +. Xi. XiX + XiX = i= i= i i= i= i i =. µ +. (. ) σ + +.. (. ) σ. Celkově e tedy VAR(s ) rove µ + 3.( ). σ VAR ( s ) =.. µ +.( ). σ. µ.( ). σ + σ = ( ) 3 =. µ. σ. Tedy výběrový rozptyl má podobé vlastosti ako výběrový průměr, při zvětšuícím se počtu čleů áhodého výběru se stále těsěi přimyká ke skutečé hodotě s. Pokud bychom využili edo velmi výzamé tvrzeí teorie pravděpodobosti cetrálí limití
větu - získali bychom dokoce více iformací, výběrový průměr se bude stále více přibližovat k ormálímu rozděleí. Více si uvedeme v další části. 7. Tvar rozděleí výběrového průměru. V úvodí části této kapitoly sme uvedli ěkteré výzamé vlastosti výběrového průměru a rozptylu. Na ásleduícím příkladě budeme ilustrovat edu speciálí vlastost výběrového průměru estliže e populace ormálí ( lze i popsat ormálím rozděleím ) ebo estliže e počet čleů áhodého výběru dostatečě veliký, pak e rozděleí výběrových průměrů vždy zhruba ormálí. Příklad 7.5 V tomto příkladu budeme ilustrovat vlastosti výběrového průměru a výběrech postupě z alterativího rozděleí s pravděpodobostí,7 a a výběrech z Poissoova rozděleí s parametrem l =,7. Alterativí rozděleí Hodota průměru e rova,7. výběr prvku,8,7,6,5,,3,, výběr prvků,5,,5,,5,5,5,5,35,5,55,65,75,85,95,5
výběr 5 prvků,,,,8,6,,,,8,,,6,3,38,,5,56,6,68,7,8,86,9,98 výběr 5 prvků,8,7,6,5,,3,,,66667,6,33333,666667,,733333,366667,38,333333,866667,5,5933333,666667 Poissoovo rozděleí Hodota průměru e opět rova,7,7,7533333,866667,86,933333,9666667 výběr prvku,6,5,,3,, 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9
výběr prvků,6,,,,8,6,,,,,3,,5,6,7,8,9,,,3,,5,6,7,8,9 výběr 5 prvků,8,7,6,5,,3,,,6,,8,,3,36,,8,5,6,66,7,78,8,9,96 výběr 5 prvků,5,,35,3,5,,5,,5,5,,6,,7,3,37,3,8,53,59,6,69,75,8,85,9,96 Na všech těchto grafech e vidět zřetelé přiblížeí k ormálímu rozděleí, dokoce i pro Poissoovo rozděleí, které má hodoty pravděpodobostí fukce v bodech eulových klesaící. Je tedy zřemé, že ormálí rozděleí e dobrým modelem pro zaky, které sou kvatitativího charakteru, za předpokladu, že záme typ rozděleí populace. Na předchozích grafech sou patré ěkteré zvláštosti : a) Všechy histogramy sou soustředěy kolem edé hodoty ( skutečého průměru )
b) Čím e větší áhodý výběr, tím e kocetrace kolem této hodoty větší c) S rostoucím počtem čleů áhodého výběru se daé histogramy stále více přibližuí k ormálímu rozděleí Provedeme li áhodý výběr z populace, získáme většiou hodoty velmi odlišé velikostí, takže výsledá hodota výběrového průměru bude mít hodotu poblíž skutečého středu původího rozděleí. Při velkém počtu takovýchto výběrových průměrů bude eich rozděleí užší ež původí rozděleí a bude se kocetrovat kolem steé hodoty. Můžeme tedy očekávat, že čím větší bude áhodý výběr tím blíže budeme k očekávaé středí hodotě a tím více bude daé rozděleí užší. V Tvrzeí 7.3 sme dokázali, že směrodatá odchylka výběrového průměru e rova směrodaté odchylce původí populace vyděleé druhou odmociou z počtu čleů výběru. Budeme li provádět výběr z malé populace, která má N čleů a pozorováí budeme provádět bez vraceí ( áhodé výběry iž ebudou ezávislé ), musíme provést eště korekci směrodaté odchylky výběrového rozděleí. Skutečou směrodatou odchylku zistíme tak, N že směrodatou odchylku výběrového průměru ásobíme koeficietem, kde e N počet prvků výběru. Všiměme si, že v případě = e koeficiet rove ; aopak estliže = N potom e koeficiet rove ule, což e v pořádku, eboť v tomto případě e výběr totožý s populací a tedy rozptyl výběrového průměru musí být rove ule. Jestliže N e mohem větší ež, e koeficiet přibližě rove ule a proto se emusí uvažovat! 7. Bodový odhad Náš cíl e zistit pro edotlivé parametry populace dobré odhady. Právě slovo dobré se budeme v této kapitole sažit ozřemit. Nedříve uvedeme sadu defiic, v ichž zavedeme základí pomy. Defiice 7.6 Nechť = { X,, X } e áhodý výběr z populace popsaé rozděleím f(x,q) ( popsaé pomocí hustoty ) a realizovaý hodotami x = { x,, x }. Potom každou fukci T = T( X,, X ) pomocí které budeme odhadovat ezámý parametr q populace, budeme azývat výběrovým odhadem parametru q. Každou takovouto fukci T azýváme také statistikou. Defiice 7.7 Nechť statistika T e odhadem parametru q, estliže platí E(T ) =, potom azýváme statistiku evychýleým odhadem parametru q. Jestliže platí E(T ) > q, pak azveme teto odhad kladě vychýleým. Jestliže platí E(T )< q azveme odhad záporě vychýleým. Příklad 7.8 Ověřme vlastosti odhadů X a s. Důkaz: Na základě tvrzeí 7.3 a 7. můžeme prohlásit, že X e evychýleým odhadem parametru m a s e evychýleým odhadem parametru s. Je zřemé, že při kostrukci odhadů parametrů q se zaměřueme především a odhady, které sou estraé. Vlastost estraosti e přirozeá, ale ze skupiy takovýchto odhadů e třeba vybrat takové odhady, které budou přirozeě co elepší. Ukazue se, že ako měřítko správosti volby odhadu e třeba split i ásleduící podmíku. Defiice 7.9 Odhad T parametru q budeme azývat kozistetím odhadem, estliže pro libovolé ε > platí
( ) lim P T θ ε = (7.3) Teto požadavek a bodový odhad zaručue malou pravděpodobost velké chyby v odhadu parametru q, estliže e rozsah výběru dostatečě veliký. 7.3 Itervaly spolehlivosti Již v předchozí kapitole sme si obasili pricipy bodového odhadu parametru vyšetřovaé populace. Zistili sme, že takovéto odhady maí edu společou vlastost, závisí a áhodém výběru uskutečěém ve vyšetřovaé populaci. Proto se při zkoumáí ezámých parametrů populace zaměřueme a iý způsob odhadu, a itervalový odhad. Pricipem itervalového odhadu parametru základího souboru e ve většiě případů ěaký vhodý bodový odhad, který má vlastosti ěkteré zámé áhodé veličiy. Právě a takové áhodé veličiě e potom kostrukce tohoto itervalu závislá. 7.3. Itervalový odhad středí hodoty při zámé směrodaté odchylce populace V této a ásledé kapitole budeme předpokládat, že populace e ormálě rozložeá t. e popsáa ako rozděleí N( m, s ). V tomto případě e hodota s záma. Podle tvrzeí 7.3 σ e výběrový průměr X áhodá veličia se středí hodotou m a rozptylem. Dále z předpokladu ormality populace e možo vyvodit, že i výběrový průměr e typu ormálího rozděleí. Tedy σ X N µ, (7.) Toto zištěí má zásadí výzam pro kostrukci itervalu I, o kterém chceme tvrdit, že hledaá středí hodota m v ěm leží s předepsaou pravděpodobostí. Zvolíme li si pravděpodobost p, pak teto hledaý iterval bude σ σ X u + p., X + u + p., (7.5) kde hodota u + p e rova ( + p ) tému kvatilu ormovaému ormálímu rozděleí N(,). Tyto hodoty většiou odečítáme z tabulek distribučí fukce tohoto rozděleí. Takto zkostruovaému itervalu říkáme oboustraý iterval spolehlivosti pro středí hodotu ebo také α. % oboustraému itervalu spolehlivosti. Při běžé praxi se evíce používaí hodoty α rovy,9 ;,95 ;,99 ;,995. Příslušé kvatily k těmto hodotám uvádíme v ásleduící tabulce : Tabulka 7. p u +,9,65,95,96,99,58,995,8 p
Příklad 7. Výrobce určitého výrobku udává rozměr délky m se směrodatou odchylkou,5 metru. U 5 áhodě vybraých výrobků sme při přeměřeí zistili přesou délku a vypočetli sme výběrový průměr této délky. Předpokládeme, že rozměr výrobku e popsá ormálím rozděleím. a) Sestrome oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu m b) Sestrote pravostraý 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu m Řešeí: a) Využieme výraz (7.), kde postupě dosazueme hodoty X =,99; σ =,5; = 5; u,975 =,96, řešeím e tedy iterval:,97 < m <, b) Při kostrukci pravostraého itervalového odhadu hledáme iterval ( -, c ), který má steé vlastosti ako iterval oboustraý t. hodota m bude prvkem tohoto itervalu s předepsaou pravděpodobostí p. Teto iterval se potom sestroí podle ásleduícího předpisu σ, X + u p. (7.6) Pokud bychom chtěli sestroit levostraý itervalový odhad parametru m použili bychom steé metody a získali bychom iterval σ X u p., + (7.7) Pokud tedy chceme sestroit pravostraý itervalový odhad, dosazueme do vztahu (7.6) iž zámé hodoty a dále u,95 =,6. Získáme tedy ásleduící odhad - < m <,6 Příklad 7. Kolik rostli bychom museli vybrat, abychom odhadli středí hodotu výšky rostliy s přesostí a,5 cm a hladiě výzamosti 95%, předpokládáme li směrodatou odchylku výšky rostli 8 cm? Řešeí: Přesostí e v tomto případě myšlea velikost poloviy oboustraého itervalového odhadu, de tedy o číslo. σ = u + p (7.8) hledáme tedy přirozeé číslo takové, že platí u + p. σ. Dosadíme hodoty σ = 8; =,5; u,975 =,96získáme, 96.8 =983,96,5 tedy k dosažeí požadovaé přesosti bychom museli vybrat aspoň 98 rostli.
7.3. Itervalový odhad při ezámé směrodaté odchylce populace Ve většiě reálých situací budeme spíše postavei před situaci, kdy hodotu s ezáme, proto emůžeme také využít vzorců (7.5) (7.7). V této situaci si pomůžeme pomocí defiice studetova rozděleí, které bylo defiováo v podstatě ako podíl rozděleí N(,) a odmociy z rozděleí c. Jestliže toto tvrzeí využieme, platí X µ t (7.9). s Tohoto vztahu využieme pro kostrukci itervalových odhadů ezámé středí hodoty m : a) Oboustraý odhad: s s X t ;., X + t ;. + p + p (7.) b) Pravostraý odhad: s, X + t ; p. (7.) c) Levostraý odhad: s X t ; p., + (7.) Všiměme si, že v těchto itervalových odhadech používáme studetovo rozděleí ( defiovaé v kapitole 3. ), protože ale pracueme s výběrovou směrodatou odchylkou s a tím veseme do ašich výpočtů eistotu, e uté sížit počet stupňů volosti u tohoto rozděleí a -. Pro dostatečě velké ( > ) ahrazueme studetovo rozděleí rozděleím N(,). Příklad 7. Ve 36 prodeách byl akoupe vždy steý výrobek. Byla zištěa hodota výběrového průměru 8 7 Kč a hodota výběrové směrodaté odchylky 53 Kč. a) Sestrote oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro průměrou ceu výrobku b) Nalezěte mez, o které lze s 9% pravděpodobostí tvrdit, že i průměrá cea epřekročí. Řešeí: a) K vlastímu výpočtu použieme vztah (7.). Budeme potřebovat hodoty: X = 87; s = 53; = 36; t35;,975 =,39 tedy 53 53 87-,3. < µ < 87 +,3. 36 36 856,67 < µ < 899,33 b) Protože pro hodotu m hledáme horí mez použieme vztahu (7.). Jediou hodotu, kterou potřebueme k výpočtu e t 35;,95 =, 69. Dosadíme tedy hodoty do vzorce a máme výsledek: m < 8 889,5. Příklad 7.3 Z ročíku byl vybrá áhodý výběr studetů a zištěy výsledky testů ze statistiky : 6,86,89, a 77. Vypočítete 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu celého ročíku. Řešeí:
Zistěme opět hodoty, které budeme potřebovat X = 7; s = 3,7; = ; t3;,975 = 3,8. Dosadíme tyto hodoty do vztahu (7.) a máme 56 < m < 9. Vidíme, že výsledý odhad e velmi široký, což e způsobeo tím, že výběr e velmi malý. 7.3.3 Itervalový odhad středí hodoty pro biomické rozděleí Protože biomické rozděleí Bi(;p) eí svým typem ormálí, e uto vycházet při kostrukci itervalových odhadů z iých předpokladů. Takovéto itervalové odhady můžeme kostruovat buď pomocí přiblížeí biomického rozděleí rozděleím beta ebo aproximací rozděleím ormálím. V této části se budeme zásadě zabývat aproximací ormálím rozděleím. Takovouto aproximaci můžeme provést tehdy, když platí.p.(-p) > 9 (7.3) Budeme tedy v dalším předpokládat, že e tato erovice splěa a potom e správým oboustraým itervalovým odhadem a hladiě výzamosti a: p.( p) p.( p) P u + α. < p< P+ u + α. (7.) hodota p e skutečá hodota parametru biomického rozděleí a hodota P e eí odhad. Protože takovýto oboustraý itervalový odhad parametru p závisí a tomto parametru samém používáme eště další aproximace P.( P) P.( P) P u + α. < p< P+ u + α. (7.5) Aby teto iterval byl dobrou aproximací, musí být rozsah výběru dostatečě velký, aby alespoň v 5 případech ev astal a v pěti případech eastal. Podobě ako v případě z části 7.3. můžeme provádět kostrukci levostraých a pravostraých itervalových odhadů. Použieme k tomu výsledky uvedeé ve vztazích (7.6) a (7.7). Na ásleduícím grafu sou vyesey případy odhadů horích a dolích mezí itervalů pro biomické rozděleí pro případ p=,7 a hodoty a =,95. Všiměme si. Itervaly takto sestroeé esou symetrické kolem hodoty P.,9,8,7,6,5,,3 = = = = = = =3 =3,,,5,,5,,5,3,35,,5,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95
Příklad 7. Může politická straa, pro kterou se vyslovilo při předvolebím výzkumu 6 z dotázaých, očekávat se spolehlivostí 95%, že by v této době ve volbách překročila 5% hraici? Řešeí: Náš úkol e odhadout hledaou pravděpodobost zdola, budeme proto provádět 6 levostraý itervalový odhad. Hodota P =,6 = a hodota u,95 =,65. Tedy P.( P) p> P uα., 6.(, 6) p >,6,65. =,6, =,8 Protože teto iterval obsahue i hodoty ižší ež,5, elze vyloučit, že straa získá meší preferece ež 5%. Příklad 7.5 Marketigová firma chce s 95% spolehlivostí odhadout podíl domácostí, které by měly záem a zavedeí kabelové televize. Jak velký rozsah áhodého výběru domácostí musí zvolit, aby ebyla 5%? Řešeí: Hledaý podíl domácostí ozačme p. Přípustá chyba e rova hodotě p.( p) u +α.. Jestliže parametr p ezáme musíme hodotu chyby odhadout tím, že zistíme, pro které hodoty bude evětší. Je možé zistit, že evětších hodot abývá pro p=,5. Tedy potom bude platit u +α.,5.,5,96.,5.,5 38 chyba,5 Je tedy uto oslovit aspoň 38 domácostí. Pokud bychom měli bližší iformace o hodotě p, mohli bychom počítat uvedeou hodotu přesěi.