Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha ýpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna teoretická otázka dle části za bodů. U zkoušky jsou pooleny lastnoručně psané poznámky na jednom listě formátu A5 oboustranně. Studijní materiály: MathOnLine Přednášky: http://mathonline.fme.utbr.cz/prednaska/sc-45-sr--a-6/default.aspx Prezentace: Počítačoé učebny: P:\Student\Martisek\PG_Prednasky MathOnLine Cičení: http://mathonline.fme.utbr.cz/ciceni---rhinoceros/sc-44-sr--a-6/default.aspx Skripta: Borecká, K. a kol.: Konstruktiní geometrie, CERM, Beno, 6 Konstrukční úlohy Kuželosečky Konstrukce kuželoseček ze zadaných prků. ypoé příklady: MathOnLine, Cičení, Kuželosečky, př. c),, skripta str. 4, 5 Kinematická geometrie Konstrukce prosté, prodloužené a zkrácené cykloidy, epi- a hypocykloidy. ypoé příklady: MathOnLine, Cičení, Kinematika, př.,, skripta str. Šrouboice Mongeoo promítání: Šrouboání bodu o daný úhel, danou ýšku ypoý příklad: Prezentace, předn.. str., př. Zobrazení šrouboice četně oskulačních kružnic a tečny ypoé příklady: Prezentace, předn.. str., př., 5 Praoúhlá axonometrie: Zobrazení šrouboice četně oskulačních kružnic a tečny ypoé příklady: Prezentace, předn.. str., př. 6. Plochy a tělesa Mongeoo promítání: Konstrukce hranolu, jehlanu, álce a kužele s podstaou obecné roině ypoé příklady: Prezentace, předn. 8. str., MathOnLine Přednášky, kpt... př.,. Konstrukce kuloé plochy ze zadaných prků
ypoý příklad: Prezentace, předn. 8. str., př. 5 Konstrukce řezu hranolu a jehlanu s podstaou půdorysně obecnou roinou ypoé příklady: Prezentace, předn. 9. str., př., Konstrukce řezu rotačního kužele s podstaou půdorysně roinou kolmou na nárysnu (eliptický, parabolický i hyperbolický řez) ypoé příklady: Skripta, str. 9, 9, 9 Konstrukce řezu rotačního álce s podstaou půdorysně obecnou roinou ypoý příklad: MathOnLine Přednášky, kpt.., př. Praoúhlá axonometrie: Konstrukce hranolu, jehlanu, álce a kužele s podstaou některé pomocné průmětně. ypoé příklady: Prezentace, předn. 8. str. Konstrukce řezu hranolu a jehlanu s podstaou půdorysně obecnou roinou ypoé příklady: Prezentace, předn. 9. str., př., Konstrukce řezu rotačního álce roinou ronoběžnou se souřadnou osou ypoý příklad: Prezentace, předn.. str., př. 4 ypy ýpočetních úloh a) Rozšířený (projektiní) prostor Bod rozšířené roině: A= a; a; a ; a ; a alespoň jedno z čísel a; a; a je nenuloé A je lastní a A je nelastní Vlastní bod: A= a; a;, euklidoské roině bod s kartézskými souřadnicemi ; Nelastní bod A= a; a;, euklidoské roině ektor a a; a. Bod rozšířeném prostoru: A= a; a; a; a ; a ; a alespoň jedno z čísel a; a; a; a je nenuloé A je lastní a A je nelastní Vlastní bod: a; a; a; Aa; a; a. Nelastní bod A= a; a; a;, euklidoském prostoru ektor a; a; a A=, euklidoském protoru bod s kartézskými souřadnicemi Příklad: Ronice přímky určené body A;B : a. A a a. t t a; a; a; b ; b ; b ; a; a; a; t a ; a ; a ; b a ; b a ; b a ; t a s t; a s t; a s t; X = A+ B A Rozepsáním do souřadnic dostaneme parametrické ronice
x a s t y a s t z a s t ( neuádí se) Ronice křiky t f t f t f t ; ; Q = ; ; ; (uažujeme jen lastní body) f t f t f t - souřadnicoé funkce b) Projektiní zobrazení rozšířeném prostoru A' M A, M - matice projektiního zobrazení m m m m4 a m m m m4 a m m m m 4 a ' a m4 m4 m4 m 44 a Afinní zobrazení zobrazuje lastní bod na lastní bod, tedy a ' a matice afinního zobrazení: m m m m4 a m m m m4 a m m m m 4 a Příklad: Posunutí o ektor ; ; ; a a a a a a - matice posunutí (translace) o ektor Příklad: Otočení kolem osy z o úhel : a cos a sin cos sin a a sin a cos sin cos a a a cos sin sin cos R z,
R z, - matice rotace o úhel kolem osy z. Varianty: rotace kolem os xy, ; osoá souměrnost podle os x; y, z, shodná zobrazení projektiní roině Skládání zobrazení: Matice složeného zobrazení = součin matic jednotliých složek: Příklad: Matice yšrouboání o úhel kolem osy z (redukoaná ýška - ýška, o kterou ystoupá bod při yšrouboání o úhel radián): M Rz; ; kde ;; ; : cos sin cos sin sin cos sin cos M R z; M Varianty: šrouboání kolem os xy ; Příklad: Otočte bod A[;] E o úhel otočit o kolem bodu 4 S[;] E a '. a '.77 c) Křiky Příklad: Určete ronici šrouboice s osou ose z, procházející bodem 4;;; Řešení: A ; cost sin t 4 4 cost sin t cost 4sin t Q t M A = S 4cos t;4sin t; t; ; t t t ;k ( praotočiá, leotočiá) Varianty: šrouboice s osou xy ; ================== Q= f t ; f t ; f t ; : ečna křiky Směroý ektor: Q' = f ' t ; f ' t ; f ' t ;
ečna bodě A = Q t f t ; f t ; f t ; : Q Q' Oskulační roina bodě A = Q t Q Q' Q'' t t u t Křiost bodě A = Q t : t Q' t Q'' t Q' t t t t Oskulační kružnice: Leží oskulační roině, střed na hlaní normále, poloměr Příklad: Šrouboice je dána osou ox y, bodem ;5;; r t. A a redukoanou ýšku. Určeme tečnu a oskulační roinu bodě A Řešení: Matice šroub. pohybu - iz př. d): cost sin t 5sin t sin t cost 5 5cos t Šrouboice: Q t M A = t t Q t 5sin t;5cos t; t; Q A ;5;; Q' t 5cos t; 5sin t;; Q' 5;;; Q'' t 5sin t; 5cos t;; Q'' ; 5;; tečna: Q Q' t ;5;; 5;;; oskulační roina: Qt Q' t u Q'' t = ;5;; 5;;; u ; 5;; Rozepsáno do parametrických ronic: t ečna: Další přímka oskulační roiny Oskulační roina x 5t x y 5 y 55t z t z Varianty: šrouboice s osou xy ; x 5u y 5 5 z u Příklad: Šrouboice je dána osou ox y, bodem ;5;; 5. Určeme poloměr oskulační kružnice bodě A Řešení: Matice šroub. pohybu - iz ýše: A a redukoanou ýšku
Šrouboice: cost sin t 5sin t sin t cost 5 5cos t Q t M A = 5t 5t Q t 5sin t;5cos t;5 t; Q' t 5cos t; 5sin t;5; Q' 5;;5; Q'' t 5sin t; 5cos t;; Q'' ; 5;; Poloměr oskulační kružnice: i j k t t i j k Q' Q'' 5 5 5 5 5 5; 5; 5 5 5 t t Q' Q'' 5 5 Q' t 5 5 5 5 Q' t Q'' t 5 t t 5 Q' r t 6 t Varianty: šrouboice s osou xy, ; oskulační kružnice elipsy e rcholech (bylo spočítáno na přednášce), oskulační kružnice kružnice =============== d) Generoání ploch Příklad: Napište ronici plochy zniklé rotací přímky B= ;;5; kolem osy x. P u AB ; ;;; A= ; Řešení: Matice příslušné rotace je R z, cos sin sin cos Ronice přímky (iz příklad a): P u A+ B A u u;;5 u; Kuželoá plocha je tedy:
u ; Rozepsáno do parametrických ronic: xu y 5usin z 5u cos Varianty: rotace kolem os yz ; ===================== Příklad: Parabola u ; u; u ; u u cos sin 5u sin ; u R ; ; sin cos 5u 5u cos P = se pohybuje e směru ; ; ; = V =. Napište ronici parabolické álcoé plochy, která tímto pohybem znikne Řešení: Matice příslušné translace je takže u u u u u ; u; R Parametrické ronice: x y u z u Varianty: parabola roině kolmé na jinou souř. osu, jiný směr, popř. i jiná řídicí křika. ===============
Okruhy teoretických otázek Euklidoský a projektiní prostor. Základní útary a ztahy mezi nimi, axiomatická ýstaba (skupiny axiomů, příklady). Syntetický model euklidoského prostoru - PK geometrie a řešitelnost úloh, příklady neřešitelných úloh. Analytický model euklidoského prostoru ektoroý a afinní prostor, kartézské souřadnice 4. Projektiní prostor syntetický a analytický model, homogenní souřadnice Zobrazení a promítání. Zobrazení, kolineární zobrazení, dělicí poměr a dojpoměr, Pappoa ěta. Středoá kolineace mezi roinami a roině (synteticky). Osoá afinita mezi roinami a roině (synteticky) 4. Promítání prostoru na roinu, základní typy a lastnosti, Pohlkeoa ěta Kinematická geometrie roině. Základní pojmy a lastnosti (neproměnná soustaa, trajektorie, okamžitý střed otáčení, polodie, ratný pohyb). Přehled cyklických pohybů (cykloidální, epi- hypocykloidální, eolentní) Mongeoo promítání. Základní pojmy, zobrazení bodu, přímky a roiny. Základní polohoé úlohy - ronoběžka k přímce, roina ronoběžná s roinou, průsečnice roin, průsečík přímky s roinou. Základní metrické úlohy - kolmice k roině, roina kolmá k přímce, sklápění ( skutečná elikost úsečky), otáčení (jednoduchá planimetrická úloha obecné roině) Praoúhlá axonometrie. Základní pojmy, zobrazení bodu, přímky a roiny. Základní polohoé úlohy - ronoběžka k přímce, roina ronoběžná s roinou, průsečnice roin, průsečík přímky s roinou. Zářezoá metoda Křiky. Souislá množina, topologická dimenze, křika. Klasifikace křiek, příklady roinných, prostoroých, analytických a grafických křiek. Regulární křiky - bodoá funkce, tečna, normála, křiost, oskulační kružnice 4. Kuželosečky ohniskoé a projektiní definice, řezy kuželoé plochy, ohniskoé lastnosti. 5. Afinita mezi kružnicí a elipsou 6. NURBS křiky - pojmy řídicí bod, bázoá funkce, stupeň křiky, áha bodu, napojoání, kuželosečky jako NURBS
7. Šrouboice definice, orientace, redukoaná ýška, řídicí kužel a jeho souislost s tečnami Plochy. Pojem plochy, regulární plocha, křiky na ploše, eliptický, parabolický a hyperbolický bod. ečná roina, normála, křiosti plochy. Základní metody generoání ploch, pojmy přímkoá, cyklická, translační, rotační a šrouboá plocha 4. Elementární plochy jako NURBS. 5. Rotační plochy meridiánoá roina, meridián, ronoběžkoé kružnice 6. Šrouboé plochy základní rozdělení a použití 7. Přímkoé plochy rozinutelné, zborcené, příklady Příklad zadání:. Sestrojte parabolu, která se dotýká přímek x x t y ; 5 ; t ; t t y bodech ;??; ; ( bodů).. Je dán praidelný šestiboký jehlan s ýškou 9 a podstaou půdorysně, střed 4;5; A 5; ;. Sestrojte jeho řez roinou podstay S, rchol podstay 6; 5; praoúhlé axonometrii, XYZ ;;. Po kružnici x ( bodů). y 5 se odaluje její tečna t. Určete ronici dráhy jejího bodu A t, který čase A 5; ( bodů). 4. Vysětlete pojmy souislá množina, topologická dimenze, křika (teoretická otázka bude položena ústně). ( bodů). t splýá s bodem prosinec 6 Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. garant předmětu