2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny B tak že [y] f. ÚMLUVA. Je-li f je zobrazení množiny A do množiny B potom definiční obor zobrazení je množina D(f) = {; A ([y] f)} y B obor hodnot zobrazení je množina H(f) = {y; y B ([y] f)}. A Poznámka. Je-li f zobrazení množiny A do množina B potom D(f) = A a H(f) B. ZNAČENÍ. Je-li f zobrazení množiny A do množina B potom místo zápisu [y] f budeme používat zápis y = f() (tradičně se proměnná nazývala nezávisle proměnná a y závislá proměnná). Poznámka. Je-li f zobrazení ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou píšeme f() (resp. f(y) resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. ÚMLUVA. Je-li f je zobrazení množiny A do množiny B potom tuto skutečnost zapisujeme symbolicky buď f : A > B nebo A f B přičemž budeme preferovat první značení. Dále budeme zobrazení f množiny A do množiny B zakreslovat v diagramu A f B nebo B f A Poznámka. Přiřazení hodnoty f() hodnotě D(f) může být empirické (na základě měření veličin reálného světa) zaznamenané např. v tabulce matematickým předpisem případně počítačovým programem. Je vhodné si uvědomit že definice zobrazení je velmi obecná a dovoluje velkou šíři různých způsobů přiřazení. Poznámka. Proto zobrazení je množina platí: ( f ) = D( g) ( f ( ) g( ) ) D = Jsou-li f a g zobrazení potom f = g. D ( f ) 2. 1. 2 Definice: Nechť f : A > B A y B a M A. Řekneme že (i) y je obraz prvku při zobrazení f jestliže y = f(); (ii) je vzor prvku y při zobrazení f jestliže y = f(); (iii) množina f(m) je obraz množiny M při zobrazení f jestliže f(m) = {f(); M}. Poznámka. Poznamenejme že pro zobrazení f : A > B platí H(f) = f(a). ZNAČENÍ. Nechť A je libovolná množina. I D( I ) = A ( I ( ) ) (i) Potom symbolem označíme zobrazení takové že A = A A A Zobrazení I A nazýváme identické zobrazení na množině A nebo zkráceně identita na množině A..
(ii) Je-li B množina a b prvek množiny B potom symbolem K b označíme zobrazení takové že D( K ) = A ( K b ( ) = b ) b. Zobrazení K b nazýváme konstantní zobrazení b nebo A konstanta b na množině A. ÚMLUVA. Je-li f : A > B a M množina taková že M A. Potom g je restrikce zobrazení f na množinu M jestliže D( g) = M ( g( ) = f ( ) ). ZNAČENÍ. Je-li f : A > B a M množina taková že M A potom symbolem f M označíme restrikci zobrazení f na množinu M. Poznámka. Je-li f : A > B a M množina taková že M A potom f M : M > B. 2. 1. 3 Definice: Nechť f : A > B a g : B > C. Potom složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f je zobrazení h definované předpisem (h() = g(f())). A ZNAČENÍ. Složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f budeme značit symbolem g[ f ]. Poznámka. Složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f se také nazývá superpozice vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f. Poznámka. Nelze libovolně měnit pořadí zobrazení ve složeném zobrazení tj. je nutné rozlišit vnější a vnitřní zobrazení. Poznámka. Je-li f : A > B potom platí f [ I ] I [ f ] f A = B =. Poznámka. Definovali jsme složené zobrazení dvojice zobrazení. užitím této definice lze vytvořit složené zobrazení ze zobrazení f 1 f2... f n (pro n 2) neboť takové složené zobrazení je f1[ f2[ f3[...[ fn]... ]. Poznámka. : Nechť f : A > B a g : B > C. potom ( g[ f ]) D( f ) H ( g[ f ]) H (g D ) =. 2. 1. 4 Definice: Řekneme že f je zobrazení množiny A na množinu B jestliže (i) f: A > B a (ii) H(f) = B. f na ZNAČENÍ. Symbolem f : A na B nebo A B budeme zapisovat tvrzení f je zobrazení množina A na množinu B přičemž preferujeme první označení. Poznámka. I A je zobrazení množiny A na množinu A. Poznámka. (o vlastnostech zobrazení množiny na množinu). Nechť f je zobrazení množiny A na množinu B a g je zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je zobrazení množiny A na množinu C. 2. 1. 5 Definice: Řekneme že f je prosté zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f : A > B a (ii) (1 2 f( 1 ) f( 2 )). A A 1 2
ÚMLUVA. Nechť f : A > B M A. Potom zobrazení f je prosté v množině M jestliže f M je prosté zobrazení množiny M do množiny B. Poznámka. I A je prosté zobrazení množiny A na množinu A. Poznámka. (o vlastnostech prostého zobrazení). Nechť f je prosté zobrazení množiny A do množinu B a g je prosté zobrazení množiny B do množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A do množinu C. Poznámka. Z vlastností prostého zobrazení a z vlastností zobrazení množiny na množinu vyplývá: Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B a g je prosté zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A na množinu C. 2. 1. 6 Definice: Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Řekneme že g je inverzní zobrazení k zobrazení f jestliže g = {[y]; [y] f }. Poznámka. Inverzní zobrazení k zobrazení f získáme tak že vyměníme vzory za obrazy. ZNAČENÍ. Je-li f je prosté zobrazení množiny A na množinu B potom inverzní zobrazení k zobrazení f označujeme symbolem f -1 2. 1. 7 Věta (o vlastnostech inverzního zobrazení): Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Potom (i) f -1 je prosté zobrazení množiny B na množinu A přičemž platí (f -1 ) -1 = f (ii) D(f -1 ) = H(f) H(f -1 ) = D(f) (iii) (y = f() <=> = f -1 (y)) A y B I A (iv) f -1 [ f ] = tj. (f -1 (f()) = ) (v) f [ f -1 ] = I B tj. A (f(f -1 ()) = ). B Poznámka. Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B a g je prosté zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A na množinu C a eistuje k němu inverzní zobrazení pro které platí -1-1 ( [ ]) f [g ]. g f -1 = Poznámka. I A je prosté zobrazení množiny A na množinu A. Tudíž k němu eistuje inverzní zobrazení. 1 A I A I = Poznamenejme že ( ). Poznámka. Je-li f je prosté zobrazení množiny A na množinu B potom podle části (i) předcházející věty je f inverzní zobrazení k f -1 proto hovoříme o zobrazeních f a f -1 jako o dvojici navzájem inverzních zobrazení. 2.2 Číselné množiny AXIOM. Eistuje množina všech přirozených čísel N 0. 2. 2. 1 Věta (o matematické indukci). Nechť A je množina taková že (i) A N 0 (ii) 0 A (iii) (n A n+1 A). n N 0 Potom A = N 0.
Poznámka. Již jsme hovořili o důkazu matematickou (či úplnou) indukcí. Tento důkaz je bezprostředním důsledkem věty o matematické indukci. Formulujme tento důsledek: Nechť ϕ ( n) je predikátová formule na množině N 0 taková že Potom (i) ϕ ( 0) je pravdivá (ii) N 0 ( ( n) ϕ( n +1) ) n N 0 ( ( n) ) n ϕ. ϕ. Analogicky lze formulovat toto tvrzení pro množinu přirozené číslo k. N či pro množinu všech přirozených čísel větších než nějaké Poznámka. Pro každé přirozené číslo n jsme definovali přirozené číslo bezprostředně následující tj. n+1 dále jsme zavedli označení 01(= 0+ 1 ) 2(= 1 + ) Užitím matematické indukce lze definovat standardní operace sčítání a násobení na množině přirozených čísel N 0. Nechť m a n jsou přirozená čísla. Potom definujeme (i) součet přirozených čísel n a m (označený n + m) takto: (a) jestliže m = 0 potom n + m = n (b) jestliže m > 0 potom n + m = (n + m 0 ) + 1 kde m = m 0 + 1; (ii) součin přirozených čísel n a m (označený n. m) takto: (a) jestliže m = 0 potom n. m = m (b) jestliže m > 0 potom n. m = (n + m 0 ) + n kde m = m 0 + 1. Snadno ověříme že tímto způsobem jsou definovány operace sčítání a násobení na množině všech přirozených čísel N 0 tak že přirozené číslo 0 je neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání a přirozené číslo 1 je neutrální prvek vzhledem k operaci násobení. Navíc jsou obě operace komutativní a asociativní přičemž obě společně vyhovují distributivnímu zákonu. Množina všech přirozených čísel N 0 není uzavřena vzhledem k operaci rozdíl (tj. eistují přirozená čísla n a m taková že n m N 0 ) a množina všech kladných přirozených čísel N není uzavřena vzhledem k operaci dělení (tj. eistují nenulová přirozená čísla n a m taková že n N ). m 2. 2. 2 Definice: Množina všech celých čísel Z je nejmenší množina obsahující množinu všech přirozených čísel N 0 která je uzavřena vzhledem k operaci rozdíl tj. pro libovolné prvky a a b množiny takový že a + = b. Z eistuje prvek Z ÚMLUVA. Prvky množiny Z budeme nazývat celá čísla. Předpokládáme že na množině Z jsou operace sčítání a násobení rozšířením stejných operací na množině všech přirozených čísel N 0. Jsou-li a a b libovolná celá čísla potom prvek Z takový že a + = b označíme b a a nazveme rozdíl celých čísel b a a. Pro libovolné celé číslo a označíme 0 a symbolem a a nazveme opačné číslo k číslu a a operace - se nazývá odčítání. Předpokládáme že množina všech celých čísel je standardně uspořádána relacemi a <. Z. ZNAČENÍ. Množinu všech celých čísel budeme vždy značit symbolem Z tj. = {... 2 1012... } Poznámka. Pro libovolná celá čísla a a b je rozdíl a b jednoznačně určen. Jak množina všech celých čísel Z tak i množina Z { 0} nejsou uzavřeny vzhledem k operaci dělení tj. pro libovolná nenulová celá čísla n a m nemusí eistovat celé číslo takové že n. = m např. n = 2 a m = 3. 2. 2. 3 Definice: Množina všech racionálních čísel je nejmenší množina obsahující množinu všech celých čísel Z taková že množina q Q {} 0 {} 0 a Q {} 0 eistuje {} 0 Q Q je uzavřena vzhledem k operaci dělení tzn. pro libovolné prvky p Q takové že p. = q.
ÚMLUVA. Prvky množiny Q budeme nazývat racionální čísla. Předpokládáme že na množině Q jsou definovány operace sčítání odčítání a násobení které jsou rozšířením operací na množině Z. Jsou-li p a q libovolná nenulová racionální čísla potom Q { 0} takové že p. = q označíme p q a nazveme 0 podíl racionálních čísel q a p. Je-li p nenulové racionální číslo potom definujeme = 0. Pro libovolné nenulové p racionální číslo p symbolem p -1 označíme podíl p 1 přičemž číslo p -1 nazýváme inverzní číslo k číslu p. Předpokládáme že množina všech racionálních čísel je standardně uspořádána relacemi a <. ZNAČENÍ. Množinu všech racionálních čísel budeme vždy značit symbolem Q. Poznámka. Pro libovolná racionálních čísla p a q kde p 0 je podíl p q jednoznačně určen. Poznámka. Pro libovolný prvek platí: Q p Z 0 q p =. {} q Z Poznámka. Formalizací intuitivní představy množiny všech bodů kontinua (tj. množiny všech bodů číselné osy nebo nepřetržitého časového toku) se vytvořila množina všech reálných čísel R. Pojem reálné číslo vznikl v historii postupným zobecňováním pojmu číslo. Poznámka. Předpokládejme tedy že na množině všech reálných čísel jsou standardně definovány základní aritmetické operace (tj. sčítání násobení odčítání a dělení) i relace uspořádání a <. ÚMLUVA. Reálná čísla které nejsou racionální budeme nazývat iracionální čísla (tzn. množina všech iracionálních čísel je množina ). R Q Poznámka. Příkladem iracionálních čísel jsou např. Ludolfovo číslo π 2 3. Poznamenejme že množina všech iracionálních čísel je nekonečná. ZNAČENÍ. Množinu všech reálných čísel budeme vždy značit symbolem R. 2.3 Rozšířená číselná osa 2. 3. 1 Definice: Rozšířená číselná osa je množina R taková že R = R {- } kde ( < - < - < ). R ZNAČENÍ. Místo symbolu používáme také +. Prvky a - budeme souhrnně ±. Rozšířenou číselnou osu budeme vždy značit R. ÚMLUVA. Symbol resp. + resp. - čteme nekonečno resp. plus nekonečno resp. minus nekonečno. Prvky množiny R budeme nazývat zobecněná reálná čísla přičemž - a nazveme nevlastní reálná čísla.
Poznámka. Na množinu Definujeme ( a > a + = + a = ) ( a < a = + a = ) a = 0 R ± a -(- ) = ( a < 0 a. ( ± ) = ( ± ). a = ) ( a > 0 a. ( ± ) = ( ± ). a = ± ) a ( a > 0 = ) ( a a ) ( a a ) ( a > 1 a 0) ( 0 < a < 1 a 0) ( 0 < a < 1 a = ) < 0 = 0 > = 1 = = ± 0 ± R lze rozšířit některé operace definované na množině všech reálných čísel R.. Toto rozšíření je účelné zejména pro výpočet limit. Některé operace nejsou definovány - např. 0 ± V takovém případě hovoříme o neurčitých výrazech které budeme 1 např. při výpočtech limit posloupností či funkcí odstraňovat. 2. 3. 2 Definice: Nechť a a definované předpisem R. Absolutní hodnota zobecněného reálného čísla a je zobecněné reálné číslo a = a jestliže a 0 -a jestliže a < 0. Poznámka. Podle předcházející definice tady platí ± =. Poznámka. Zcela evidentně platí: ( a 0). 2. 3. 3 Definice: Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla taková že a < b. Potom (i) otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu (ab) = {; R a < < b} (ii) uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu <ab> = {; R a b} (iii) zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu (ab> = {; R a < b} (iv) zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu <ab) = {; R a < b}.
ÚMLUVA. Uvažujeme-li interval (ab) resp. <ab> resp. (ab> resp. <ab) potom (i) délkou tohoto intervalu rozumíme zobecněné reálné číslo b-a (ii) zobecněné reálné číslo a nazýváme levým krajním bodem a zobecněné reálné číslo b pravým krajním bodem tohoto intervalu. Uvedeme-li o intervalu s krajními body a a b že jde o reálný interval rozumíme tím že a R a b R. Poznámka. Uvědomme si že R = ( ) a R =. 2. 3. 4 Definice: Nechť M je množina taková že M Řekneme že (i) a je horní závora množiny M jestliže (ii) b je dolní závora množiny M jestliže R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. ( a) ( b). Poznámka. Obecně není horní či dolní závora podmnožina množiny R jednoznačně určena. Horní závora množiny v některých případech může být prvkem této množiny. Analogicky může být někdy i dolní závora množina prvkem této množiny. 2. 3. 5 Definice: Nechť M je množina taková že M R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme že (i) a je maimum množiny M jestliže a M a a je horní závora množiny M (ii) b je minimum množiny M jestliže b M a b je dolní závora množiny M. Poznámka. Je-li M množina taková že M minimum. R potom množina M má nejvýše jedno maimum a nejvýše jedno ZNAČENÍ. Maimum množiny M budeme značit ma(m) a minimum množina M budeme značit min(m). 2. 3. 6 Definice: Nechť M je množina taková že M R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme že (i) a je suprémum množiny M jestliže a je nejmenší horní závora množiny M (ii) a je infimum množiny Mjestliže a je největší dolní závora množiny M. ZNAČENÍ. Nechť M je množina taková že M infimum množiny M symbolem inf (M). R. Suprémum množina M budeme značit symbolem sup(m) a Poznámka. Je-li M množina taková že M infimum množiny M. R potom eistuje nejvýše jedno suprémum a nejvýše jedno 2. 3. 7 Věta (o suprému a infimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom eistují suprémum i infimum množiny M. Poznámka. Nechť M je množina taková že M infimum množiny M. R. Potom eistuje právě jedno suprémum a právě jedno Poznámka. Nechť M je množina taková že M m 0 M takové že a < m 0 sup(m). R. Nechť a R takové že a < sup(m). Potom eistuje
Poznámka. Nechť M je množina taková že M R. Potom (i) M = sup(m) < inf(m) (ii) M sup(m) inf(m) přičemž inf(m) = sup(m) právě tehdy jestliže množina M je jednoprvková inf(m) < sup(m) právě tehdy jestliže množina M obsahuje alespoň dva různé prvky. Poznámka. Jsou-li A a B množiny takové že A B R potom sup(a) sup(b) inf(a) inf(b). 2. 3. 8 Věta (o suprému a maimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom sup (M) M právě tehdy jestliže eistuje maimum množiny M přičemž sup (M) = ma (M). 2. 3. 9 Věta (o infimu a minimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom inf (M) M právě tehdy jestliže eistuje minimum množiny M přičemž inf (M) = min (M). 2. 3. 10 Definice: Nechť M je množina taková že M R. Řekneme že (i) množina M je shora omezená jestliže sup (M) < (ii) množina M je zdola omezená jestliže inf (M) > - (iii) množina M je omezená jestliže je současně zdola i shora omezená. Poznámka. Nechť M je množina taková že M R M a shora (resp. zdola) omezená potom sup(m) R (resp. inf(m) R ). 2. 3. 11 Věta (Archimedova): sup (N) =. Poznámka. Následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní Archimedově větě: < n. R n N (i) ( ) (ii) Množina všech přirozených čísel není shora omezená. 2.4 Reálné funkce 2. 4. 1 Definice: Řekneme že f je reálná funkce jestliže f je zobrazení takové že H(f) R. Poznámka. Tj. reálná funkce f je zobrazení f : A > R. ÚMLUVA. Místo termínu reálná funkce budeme také používat termín funkce pokud to nepovede k nedorozumění. 2. 4. 2Definice: Nechť f a g jsou funkce takové že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom definujeme (i) součet funkcí f a g který označíme f + g předpisem ((f + g)() = f() + g()) D( f ) (ii) rozdíl funkcí f a g který označíme f - g předpisem ((f - g)() = f() - g()) D( f ) (iii) c násobek funkce f který označíme c. f předpisem ((c. f)() = c. f()) D( f ) (iv) součin funkcí f a g který označíme f. g předpisem D f ((f. g)() = f(). g()) ( )
(v) podíl funkcí f a g který označíme D f (g() 0 ( ) f g předpisem ( ) ( ) ( ) f f = g g ) (vi) absolutní hodnotu funkce f kterou označíme f předpisem D f (( f () = f() ). ( ) ÚMLUVA. Souhrnně nazýváme výše uvedené operace funkční operace. Poznámka. Součet rozdíl součin a podíl funkcí i reálný násobek a absolutní hodnota funkce jsou opět funkce. Poznámka. Funkční operace mají analogické vlastnosti jako tytéž operace na množině všech reálných čísel R. Poznámka. Nechť f a g jsou funkce takové že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom D(f + g) = D(f g) = D(c.f) = D(f. g) = D( f ) = D(f) = D(g) ale pro podíl f g platí f D( g ) = { D ( g ) g ( ) 0 } mj. D( f g ) D(f) = D(g). Poznámka. Reálný násobek funkce f (tj. c. f pro c R ) jsme nemuseli definovat protože jsme jej mohli uvést K c jako součin konstantní funkce a funkce f. 2. 4. 3 Definice: Nechť f je reálná funkce c D(f). Řekneme že c je nulový bod funkce f jestliže f(c) = 0. Poznámka. Někdy se místo termínu nulový bod funkce používá termín kořen funkce. ZNAČENÍ. Je-li f reálná funkce a M množina taková že M D(f) potom symbolem f 0 v množině M (resp. f = 0 v množině M resp. f < 0 v množině M resp. f 0 v množině M resp. f > 0 v množině M resp. f 0 v množině M) rozumíme (f() 0) ( resp. (f() = 0) resp. (f() < 0) resp. (f() 0) resp. (f() > 0) resp. (f() 0)). 2. 4. 4 Definice: Nechť f je funkce M množina taková že M D(f) a c D(f). (i) Suprémum (resp. infimum) funkce f na množině M je suprémum (resp. infimum) množiny f(m). (ii) Maimum (resp. minimum) funkce f na množině M je maimum (resp. minimum) množiny f(m). (iii) Etrém funkce f v množině M je maimum funkce f v množině M nebo minimum funkce f v množině M. (iv) Řekneme že funkce f nabývá v bodě c maima (resp. minima) vzhledem k množině M jestliže c M a f(c) = ma (f(m)) (resp. f(c) = min (f(m))). (v) Řekneme že funkce f nabývá v bodě c etrému vzhledem k množině M jestliže funkce f nabývá v bode c maima nebo minima vzhledem k množině M. (vi) Řekneme že funkce f je omezená (resp. shora omezená resp. zdola omezená) v množině M jestliže množina f(m) je omezená (resp. shora omezená resp. zdola omezená). ÚMLUVA. Pojmy suprémum infimum maimum minimum etrém funkce omezená shora omezená a zdola omezená funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce.
ZNAČENÍ. Nechť f je reálná funkce M množina taková že M D(f). Symbolem sup(f) (resp. sup( f ) suprémum funkce f ( resp. suprémum funkce f vzhledem k množině M). Analogicky pro infimum maimum minimum. M ) označíme Poznámka. (booleovské funkce). Řekneme že f je booleovské funkce jestliže f je reálná funkce taková že ( ( ) { 01} n ) ( ) { 01} D f H f n N. Booleovské funkce jsou potřebné v logice ale také např. v teorii obvodů v teorii automatů. Booleovské funkce jsou vždy omezené. Někdy se místo termínu booleovská funkce používá termínu spínací funkce nebo logická funkce. 2.5 Reálná funkce jedné reálné proměnné 2. 5. 1 Definice: Řekneme že f je reálná funkce jedné reálné proměnné jestliže f je reálná funkce taková že D(f) R. Poznámka. Z definice vyplývá: f je reálná funkce jedné reálné proměnné právě tehdy jestliže f : A > R kde A R. Poznámka. Každá reálná funkce jedné proměnné je reálná funkce proto samozřejmě pro reálné funkce jedné reálné proměnné platí vše co jsme uvedli pro reálné funkce. ÚMLUVA. Místo termínu reálná funkce jedné reálné proměnné budeme také používat termín funkce jedné proměnné nebo pouze funkce (pokud to nepovede k nedorozumění). 2. 5. 2 Definice: Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Potom graf funkce f je množina {[f()]; D(f)}. 2. 5. 3 Definice: Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je rostoucí v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 )) 1 M 2 M (ii) funkce f je klesající v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 )) 1 M 2 M (iii) funkce f je ryze monotónní v množině M jestliže f je rostoucí v množině M nebo f je klesající v množině M. (iv) funkce f je nerostoucí v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) f( 2 )) 1 M 2 M (v) funkce f je neklesající v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) f( 2 )) 1 M 2 M (vi) funkce f je monotónní v množině M jestliže f je nerostoucí v množině M nebo f je neklesající v množině M. ÚMLUVA. Pojmy rostoucí klesající ryze monotónní nerostoucí neklesající monotónní funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Poznámka. Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). (i) Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) v množině M potom f je neklesající (resp. nerostoucí) v množině M. (ii) je-li f ryze monotónní v množině M potom f je monotónní množině M (iii) je-li f ryze monotónní v množině M potom f je prostá v množině M (iv) jestli funkce f není nerostoucí (resp. neklesající) v množině M potom f není klesající (resp. rostoucí) v množině M
(v) jestliže f není monotónní v množině M potom f není ryze monotónní v množině M (vi) je-li funkce f rostoucí (resp. klesající resp. nerostoucí resp. neklesající) v množině M potom funkce f je klesající (resp. rostoucí resp. neklesající resp. nerostoucí) v množině M (vii) je-li funkce f ryze monotónní (resp. monotónní) v množině M potom funkce f je ryze monotónní (resp. monotónní) v množině M (viii) je-li funkce f monotónní v množině M potom funkce f je-li funkce f ryze monotónní v množině M. Poznámka. Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). Potom funkce f je konstantní v množině M (tj. eistuje reálné číslo a takové že pro všechna M platí f() = a) právě tehdy jestliže funkce f je v množině M současně neklesající a nerostoucí. 2. 5. 4 Věta (postačující podmínka pro etrém): Nechť f je funkce jedné proměnné a b c jsou zobecněná reálná čísla taková že a < c < b a (ab) D(f). (i) Je-li funkce f v intervalu (ac) neklesající a v intervalu (cb) nerostoucí potom funkce f nabývá v bodě c maima vzhledem k intervalu (ab). (ii) Je-li funkce f v intervalu (ac) nerostoucí a v intervalu (cb) neklesající potom funkce f nabývá v bodě c minima vzhledem k intervalu (ab). Poznámka. Předchozí větu jsme formulovali pro otevřený interval. Analogicky lze tuto větu formulovat pro intervaly <ab> (ab> <ab). 2. 5. 5 Definice: Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je sudá v množině M jestliže (- M f(-) = f()) (ii) funkce f je lichá v množině M jestliže (- M f(-) = - f()) (iii) funkce f je periodická v množině M jestliže eistuje reálné číslo p takové že p 0 ( + p M f( + p) = f()). ÚMLUVA. Pojmy sudá lichá periodická funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Eistuje-li nejmenší kladné reálné číslo p takové že platí: p 0 ( + p M f( + p) = f()) potom je nazveme základní periodou funkce f. Každé číslo p vyhovující vztahu: p 0 nazveme periodou funkce f. ( + p M f( + p) = f()) Poznámka. Je-li funkce f jedné proměnné sudá nebo lichá v množině M potom množina M musí být na reálné ose souměrně rozložená kolem počátku protože platí: je-li M musí být (jak podle definice sudé tak i liché funkce) M. Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M množina taková že D(f). Je-li funkce f sudá (resp. lichá resp. periodická) v množině M potom funkce f je rovněž sudá (resp. lichá resp. periodická) v množině M. Poznámka. Je-li funkce jedné proměnné f sudá (resp. lichá) potom je její graf souměrný podle osy y (resp. podle počátku). 2. 5. 6 Definice: Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je konvení v množině M jestliže 1 M 2 M ( 1 < 2 < 3 3 M (ii) funkce f je konkávní v množině M jestliže f f < f f 3 2 3 2 )
1 M 2 M ( 1 < 2 < 3 3 M f f > f f 3 2 3 2 ). ÚMLUVA. Pojmy konvení a konkávní funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Poznámka. Konveita a konkavita funkce (obdobně jako ryzí monotónie a monotónie) jsou velmi důležité charakterizace reálných funkcí jedné reálné proměnné. Uvedeme geometrický i aritmetický význam těchto pojmů. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). (i) Uvažujme přímku která prochází body 1 f ( 1) a ( ) 2 f 2 f ( ) f ( ) Směrnice této přímky je Přímka která prochází body 2 f ( 2) a ( ) 3 f 3 f 3 f 2 3 2. (kde 1 < 2 ). (kde 2 < 3 ) má směrnici. Ze vztahu (i) (resp. (ii)) výše uvedené definice vyplývá že směrnice druhé přímky je větší (resp. menší) než směrnice první přímky. Navíc tato skutečnost platí pro všechny body 1 2 a 3 z množiny M takové že 1 < 2 < 3. (ii) Uvažujme body 1 a 2 z množiny M takové že 1 < 2. Potom pro všechny body z M ( 1 2 ) (iii) platí: bod f ( ) leží pod přímkou procházející body 1 f ( 1) a ( ) 2 f 2 Uvažujme body 1 2 a 3 z množiny M takové že 1 < 2 < 3. Podíl f 3 f 2 3 2. f 2 f 1 (resp. podíl ) vyjadřuje tzv. relativní přírůstek funkce f intervalu < 1 2 > (resp. < 2 3 >). Ze vztahu (i) (resp. (ii)) výše uvedeném definice vyplývá že relativní přírůstek f v intervalu < 1 2 > je menší (resp. větší) než v intervalu < 2 3 >. Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). (i) Je-li funkce f rostoucí a konvení (resp. konkávní) v množině M potom se zvětšujícím z množiny M bude funkce růst rychleji (resp. pomaleji ). (ii) Je-li funkce f klesající a konvení (resp. konkávní) v množině M potom se zvětšujícím z množiny M bude funkce klesat pomaleji (resp. rychleji ). Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Je-li funkce f konvení (resp. konkávní) v množině M potom funkce f je konkávní (resp. konvení) v množině M. 2. 5. 7 Věta (o vlastnostech inverzní funkce): Nechť funkce jedné proměnné f je prostá v množině M (kde M D(f)). (i) Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) v množině M potom je funkce f -1 rostoucí (resp. klesající) v množině f(m). (ii) Je-li bod [y] bodem grafu funkce f potom je bod [y] bodem grafu funkce f -1 tj. grafy funkcí f a f -1 jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu. na Poznámka. Je-li funkce jedné proměnné f prostá (v celé svém definičním oboru) taková že f : D(f) H(f) na potom eistuje inverzní zobrazení f -1 takové že f -1 : H(f) D(f) které je rovněž funkce jedné proměnné.