SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jří Holčí, CSc. holc@ba.un.cz, Kaence 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Insttut DO bostatsty ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz
XIII. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ
SPOJITÉ SYSTÉMY Téěř všechny realzovatelné (fyzálně, bologcy, checy, ) spojté lneární systéy (roě systéů s dopravní zpoždění) lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů (deálních zeslovačů ultplátorů); ntegrátorů; součtových členů (suátorů);
SPOJITÉ SYSTÉMY a 1 y (t)+a y(t) x(t) y (t) x(t)/a 1 - a y(t)/a 1 y(t) (x(t)/a 1 - a y(t)/a 1 )dt x 1 (t)dt
SPOJITÉ SYSTÉMY Kroě těchto záladních prvů exstují další typové člány s určtý typcý vlastnost: systé se setrvačností 1. řádu; dervační systé; statcý systé 2. řádu; systé s dopravní zpoždění.
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM defnční rovnce y(t).x(t) operátorová přenosová funce H(p) Y(p)/X(p) frevenční přenosová funce H(ω) Y(ω)/X(ω)
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM frevenční charatersta v oplexní rovně odulová a fázová frevenční charatersta
PROPORCIONÁLNÍ SYSTÉM? pulsní charatersta? přechodová charatersta? nuly a póly přenosových funcí Fyzální realzace: vysoofrevenční zeslovače echancé převody potencoetry převodníy (fyzálních) velčn (??)
INTEGRAČNÍ SYSTÉM dferencální rovnce y (t).x(t) po Laplacově transforac p.y(p) y().x(p) operátorová přenosová funce (!! y()!!) F(p) Y(p) X(p) p 1 T.p - zesílení ntegrátoru; T časová onstanta ntegrátoru
INTEGRAČNÍ SYSTÉM frevenční přenosová funce F( ω) Y( ω) X( ω) j ω j ω frevenční charatersta v oplexní rovně F ( ω ) odulová a fázová frevenční charatersta v log. souřadncích db 2.logF( ω ) 2 log 2 log ω
INTEGRAČNÍ SYSTÉM pulsní charatersta g(t) L -1 { F(p) }. σ(t) přechodová charatersta (pro t ) h(t) 1 F(p). p L -1.t. t T 1
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU (zpožďující(?) člen 1.řádu, aperodcý člen, statcý člen 1. řádu) dferencální rovnce a 1 y (t) + a y(t) x(t) T.y (t) + y(t).x(t) T a 1 /a ; 1/a
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU operátorová přenosová funce frevenční přenosová funce F( ω) jωt + 1 F(p) T.p + 1 Re( F( )) 2 2 ω T ω ( ) + 1 ωt. T. I F( ω) 2 2 ω T + 1
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU odulová logartcá frevenční charatersta F( ω ) db 2 log(f( ω ) 2 log 2log T 2 ω 2 + 1 pro ω «1/T je (Tω) 2 «1 a tedy F( ω ) db 2 log pro ω» 1/T je (Tω) 2»1 a tedy F( ω ) db 2 log 2log T ω
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU fázová frevenční charatersta ϕ( ω) I(F( ω)) arctg Re(F( ω)) arctg( ω T) arctg( ω T) pro ω < je φ ;-9 )
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU pulsní charatersta Tp + 1 T L -1-1 t / T { F(p) }.e g(t) L L přechodová charatersta h(t) 1.F(p) p L L p(tp + 1) -1-1 t / T.(1 e )
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU
SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU nuly a póly realzační schéa
DERIVAČNÍ SYSTÉM defnční rovnce y(t) d.x (t) operátorová přenosová funce F(p) Y(p)/X(p) d.p!!! KONFLIKT!!! řád polynou v čtatel je vyšší než řád polynou ve jenovatel; jestl se vstup zění soe, ěl by být výstup úěrný Dracovu pulsu, což neuíe realzovat (neonečně vysoý puls s neonečně rátou dobou trvání)
DERIVAČNÍ SYSTÉM frevenční přenosová funce F( ω) Y( ω) X( ω) jω d nula v počátu oplexní rovny
DERIVAČNÍ SYSTÉM odulová logartcá frevenční charatersta F( ω) db 2.logF( ω) 2 log d + 2logω
DERIVAČNÍ SYSTÉM pulsní charatersta g(t) L L -1 { F(p) } L -1 {.p } d Dracův pulz 2. řádu (fyzálně nerealzovatelný)
DERIVAČNÍ SYSTÉM přechodová charatersta g (t) L 1 1-1 F(p) L-1 d.p d δ(t) p p Dracův pulz s ocností d
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM aždý reálný dervační článe je zatížen určtou setrvačností, proto jeho přenosová funce je alespoň ve tvaru F(p) d.p T.p + 1 de T ε je alá časová onstanta ε
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM frevenční charatersta v oplexní rovně F(p) d.j ω T.jω + 1 ε
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM odulová frevenční charatersta v logartcých souřadncích F( ω) db 2.log F( ω) 2 log d + 2logω 2log ω 2 T 2 ε + 1 pro ω«1/t ε je F(ω) db 2log( d ) + 2 log(ω) pro ω»1/t ε je F(ω) db 2log( d ) + 2 log(ω) - - 2log(ωT ε )
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM
REÁLNÝ DERIVAČNÍ SYSTÉM pulsní charatersta g (t).p T p + L - 1 { -1 F(p) } L d ε 1 přechodová charatersta h(t) L -1 1 F(p) p nuly a póly Tεp + 1 1-1 d d t / Tε L T ε e
STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU dferencální rovnce a 2 y (t)+a 1 y (t)+a y(t) x(t) 2 1 operátorová přenosová funce Y(p) 1 F(p) F(p) 2 2 X(p) a p + a.p + a T p de ξ 2, 2 + 1 + 2T ξ.p + 1 1 zesílení systéu; T a2 a a 2 a a 1 a 2 poěrné tluení časová onst.;
STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU operátorová přenosová funce F(p) (T p + 1)(T p 1 2 + chování systéu závsí na pólech přenosové funce reálné různé póly reálné násobné póly oplexně sdružené póly 1)
SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM Systé, terý způsobuje pouze posunutí vstupního sgnálu v čase, jna tvar vstupu neění. defnční rovnce y(t)x(t-τ) operátorová přenosová funce F(p) e -τp (není to raconální loená funce, tedy neá nuly a póly pozor, pozor func lze rozložt a pa jch á neonečně)
SYSTÉM SE ZPOŽDĚNÍM frevenční charatersta F(ω) e -jτω F(ω) 1 a φ(ω) -τω
DISKRÉTNÍ SYSTÉMY Podobně jao spojté systéy, lze lneární dsrétní odely reálných systéů realzovat poocí tří záladních typů: proporconální člen (násobení onstantou); zpožďovací člen; suační člen.
DISKRÉTNÍ SYSTÉMY a 1 y(nt)+a y(nt-t) b x(nt) y(nt) b x(nt)/a 1 - a y(nt-t)/a 1
PROPORCIONÁLNÍ ČLEN totéž jao spojtý proporconální člen výstupní průběh je tvarově shodný se vstupe; poěr hodnot výstupní a vstupní hodnoty je roven zesílení ; přenosová funce je určena vztahe Y(z) H (z) X(z)
ZPOŽĎOVACÍ ČLEN dferenční rovnce y(nt) x(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) X(z).z -1 Y(z) H(z) X(z) z 1 1 z frevenční přenosová funce z e jωt z -1 e -jωt H(e jωt ) e -jωt
TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ systéy s louzavý průěre (ovng average MA) H(z) b z 1 systéy autoregresvní (AR) H(z) 1 n a z systéy ARMA H(z) b z n a z b z
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce y(nt) x(nt) + x(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) X(z) + X(z).z -1 Y(z) X(z)(1+z -1 ) Y(z) 1 1 1+ z H(z) 1 + z 1 + X(z) z z Magntude (db) 1-1 -2-3 -4 Magntude Response (db) -5-6.1.2.3.4.5.6.7.8.9-7 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce 2y(nT) x(nt) + x(nt-t) obrazová přenosová funce 2Y(z) X(z) + X(z).z -1 2Y(z) X(z)(1+z -1 ) Magntude Response (db) H(z) Y(z) X(z) (1 1-2 + z ) 2 1 1 1 z + + 2 2z 2z Magntude (db) -1-3 -4-5 -6-7.1.2.3.4.5.6.7.8.9-8 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce y(nt) x(nt) - x(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) X(z) - X(z).z -1 Y(z) X(z)(1-z -1 ) Magntude Response (db) H(z) Y(z) X(z) 1 z 2 1 1 1 z 1 2 2z 2z Magntude (db) -1-2 -3-4 -5-6 -7.1.2.3.4.5.6.7.8.9-8 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce y(nt) x(nt) - x(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) X(z) - X(z).z -1 Y(z) X(z)(1-z -1 ) Y(z) 1 1 1 z H(z) 1 z 1 X(z) z z Magn ntude (db) -2-4 -6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) 1 Phase (degrees) 5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce y(nt) bx(nt T) obrazová přenosová funce Y(z) b X(z) + b 1 X(z).z -1 + + b X(z).z - Y(z) X(z)(b +b 1 z -1 + +b z - ) H(z) b + Y(z) X(z) b1 z b +... + 1 + b1z +... + bz bz b z b + b 1 z +... + b z z b z z
SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR MOVING AVERAGE (MA) dferenční rovnce bx(nt y(nt) -3 T) obrazová přenosová funce Y(z) b X(z) + b 1 X(z).z -1 + Y(z) X(z)(b +b 1 z -1 + +b z - ) Magntude (db) Magntude Response (db) -1-2 -4-5 -6-7 -8.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Noralzed Frequency ( π rad/saple) + b X(z).z - b 1, 1,..,4; a 4 H(z) b + Y(z) X(z) b1 z b +... + 1 + b1z +... + bz bz b z b + b 1 z +... + b z z b z z
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) y(nt-t) x(nt) y(nt) x(nt) + y(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) Y(z).z -1 X(z) 7 Y(z)(1 z -1 ) X(z) Y(z) 1 z H(z) 1 X(z) 1 z z 1 Magntude (db) 6 5 4 3 2 Magntude Response (db) 1-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) + y(nt-t) x(nt) y(nt) x(nt) - y(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) + Y(z).z -1 X(z) 7 Y(z)(1+z -1 ) X(z) Y(z) 1 z H(z) 1 X(z) 1+ z z + 1 Magntude (db) 6 5 4 3 2 Magntude Response (db) 1-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) + y(nt-t) x(nt) y(nt) x(nt) - y(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) + Y(z).z -1 X(z) 6 Y(z)(1+z -1 ) X(z) Y(z) 1 H(z) 1 X(z) 1+ z z z + 1 Magntude (db) 4 2-2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) 1 Phase (degrees s) 5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) + y(nt-t) 2x(nT) y(nt) 2x(nT) - y(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) + Y(z).z -1 2X(z) 6 Y(z)(1+z -1 ) 2X(z) Y(z) 2 H(z) 1 X(z) 1+ z 2z z + 1 Magntude (db) 4 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) Phase (degrees s) 5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) +,9.y(nT-T) 1,9.x(nT) y(nt) 1,9.x(nT),9.y(nT-T) obrazová přenosová funce Y(z) +,9.Y(z).z -1 1,9.X(z) 3 Y(z)(1+,9.z -1 ) 1,9.X(z) Y(z) 1,9 H(z) 1 X(z) 1+,9.z 1,9.z z +,9 Magntude (db) Phase (degrees s) 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) 8 6 4 2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) + y(nt-2t) 2.x(nT) y(nt) 2.x(nT) y(nt-2t) obrazová přenosová funce Y(z) + Y(z).z -2 2.X(z) 6 Y(z)(1+ z -2 ) 2.X(z) Y(z) X(z) 2 1+ z 2z z + 1 2 H(z) 2 2 z (z +2 2 j)(z j) Phase (degrees s) Magntude (db) 4 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) 5-5 -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) +,81y(nT-2T) 1.81x(nT) y(nt) 1,81x(nT).81y(nT-2T) obrazová přenosová funce Y(z) +,81.Y(z).z -2 1,81.X(z) Y(z)(1+,81.z -2 ) 1,81.X(z) Y(z) 1,81 H(z) 2 X(z) 1+,81.z 2 1,81.z +,81 z 2 2 1,81.z (z +,9j)(z,9j) Phase (degrees es) Magntude (db) 2 15 1 5 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple) 5-5 -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU dferenční rovnce y(nt) + 1,23y(nT-2T) 2.23x(nT) y(nt) 2,23x(nT) 1.23y(nT-2T) obrazová přenosová funce Y(z) + 1,23.Y(z).z -2 2,23.X(z) Y(z)(1+ 1,23.z -2 ) 2,23.X(z) Y(z) 2,23 H(z) 2 X(z) 1+ 1,23.z 2 2,23.z + 1,23 z 2 2 2,23.z (z + 1,11.j)(z 1,11.j) Magntude (db) Phase (degrees s) 2 15 1 5 4 3 2 1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple).1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Noralzed Frequency ( π rad/saple)
AUTOREGRESIVNÍ ČLEN dferenční rovnce y(nt) a 1 y(nt-t) - - a y(nt-t) b x(nt) y(nt) b x(nt) + a 1 y(nt-t) + + a y(nt-t) obrazová přenosová funce Y(z) a 1 Y(z).z -1 - - a Y(z).z - b X(z) Y(z) 1 Y(z) 1 a Y(z).z 1 b.x(z) a.z b.x(z) Y(z) b b z H(z) X(z) 1 a.z z a.z 1 1
Příprava nových učebních aterálů pro obor Mateatcá bologe je podporována projete ESF č. CZ.1.7/2.2./7.318 VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
VZTAH MEZI FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKOU A VZTAH MEZI FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKOU A NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE NULOVÝMI BODY A PÓLY PŘENOSOVÉ FUNKCE ) c.e (1. b b e ) (e H r j r j j ω ω ω ).e d (1. a e a ) (e H n j n j ω ω c.e 1 j ω e c. 1. a b ) (e H n j j ω ω.e d 1 a j ω ).e d (1 ) c.e (1 a b ) H(e j n j j ω ω ω + a