uktilní defomace, část uktilní (plastická) defomace je taková defomace, při níž se mateiál defomuje bez přeušení koheze (soudžnosti). Plasticita mateiálu záleží na tzv. mezi plasticity (yield stess) - tj. kitickém napětí, při kteém se mateiál přestává chovat (pouze) elasticky a začíná se chovat plasticky (začíná se plasticky defomovat). Je-li mez plasticity vyšší, než mez pevnosti, pak se mateiál chová křehce - dříve, než se může defomovat duktilně, dojde k jeho křehkému poušení. Je-li mez plasticity nižší než mez pevnosti, pak se mateiál chová uktilně (plasticky). efomační analýza diskutovaná v ámci této a následujících přednášek se zabývá duktilní defomací.přitom ovšem sleduje defomaci pouze v daném měřítku, nezabývá se jejími příčinami, kteé plynou z pocesů menších měřítek. Makoskopická duktilní defomace může být poduktem mikoskopických křehkých defomačních pocesů! Tyto vztahy budou ale v dalších úvahách zanedbány. ložky defomace Každý defomovaný objekt si lze vyjádřit pomocí polohových vektoů bodů, kteé tento objekt tvoří. efomaci pak lze chápat jako poces vedoucí ke změně těchto polohových vektoů. Matematicky si lze poto defomaci vyjádřit ve fomě tansfomační ovnice, kteá převádí složky původního polohového vektou (před defomací) na složky polohového vektou již defomovaného objektu. efomaci lze současně chápat jako poces, kteý vede ke změně stavu objektu. Tento stav je obecně dán čtyřmi paamety:. poloha - změna polohy tanslace Tanslace dobře popisuje např. křehkou defomaci, kdy dochází k vzájemnému posunutí (změně polohy) dvou bloků oddělených diskontinuitou. Matematicky lze popsat tanslaci jako změnu všech polohových vektoů objektu o vždy stejný vekto tanslace T: + T je původní polohový vekto, je polohový vekto po defomaci a T je vekto tanslace. Tj: T T nebo paameticky: Tanslaci tak lze popsat ve postou vektoem T, tj. třemi nezávislými složkami vektou T.
. oientace - změna oientace otace Tanslace spolu s otací úplně popisují pohyb jakékoli igidní (tj. pevné, neměnící svůj tva a objem) částice. Matematicky lze popsat otaci pomocí matice otace, kteou lze chápat jako tansfomační matice mezi dvěma souřadnými soustavami, kteé jsou vzájemně pootočeny:. je původní polohový vekto, je polohový vekto po defomaci a je matice otace. Tj: nebo paameticky: Matice výše zmíněné tansfomace vzájemně pootočených souřadných soustav má pvky ovny směovým kosinům: β β β β β β β β β Představme si, že při otaci budou spolu s defomovaným objektem otovat také osy souřadné soustavy, v níž je objekt popsán.pak tedy symbol β ij představuje i-tý směový kosinus j-té osy po její otaci (v původní souřadné soustavě). Matice otace má devět členů a není symetická. Z podmínky otogonality souřadných os ale plyne, že pouze tři paamety matice otace jsou nezávislé. + + + + + +. objem - změna objemu dilatace Matematicky lze popsat dilataci jako tansfomaci, při níž dochází pouze ke změně délky polohového vektou (nedochází ke změně oientace polohového vektou) a tato změna je dána poměem, kteý je v každém bodě stejný: a.
je původní polohový vekto, je polohový vekto po defomaci a a je mía natažení. Tj: a ilatace má tedy jeden jediný nezávislý paamet. nebo paameticky: někteých případech je užitečné popsat dilataci ve fomě matice kát, kteá má pvky v hlavní diagonále ovny paametu a a pvky mimo hlavní diagonálu jsou nulové: a 0 0 0 a 0 0 0 a Tva matice lze odvodit na základě následujících úvah: Nejpve obecně ozepíšeme součin matice dilatace a matice polohového vektou ze vztahu: tj.: Nyní si všimněme již dříve uvedených tansfomačních ovnic: a poovnejme je s obecnými ovnicemi: Jednoduchým poovnáním pavé a levé stany ovnice dojdeme k závěu: ii ij. a 0 ( i j) Označíme-li O jako původní objem a O jako objem po defomaci, pak pomě těchto objemů odpovídá deteminantu matice dilatace: 4. tva - změna tvau distoze e velké míře se defomační analýza soustředí pávě na tento defomační poces................ a a a. ( ). O a O O ' det... a a a a a a
Matematicky lze popsat distozi jako tansfomaci popsanou maticí distoze :. je původní polohový vekto, je polohový vekto po defomaci a je matice distoze. Tj: nebo paameticky: + + + + + + Matice distoze má devět členů. Nezahnuje-li otaci, lze ukázat, že je symetická. Nezahnuje-li dilataci, lze ukázat, že je její deteminant oven jedné. Poto má matice distoze nezahnující otaci (ani vnitřní) pouze pět nezávislých paametů. Změna tvau (distoze) ale může být nekoaiální defomací a může pak obsahovat tzv. vnitřní otaci. Její matematický popis lze pak ozložit do dvou složek, z nichž jedna popisuje vlastní změnu tvau (a má chaakte koaiální defomace) a duhá popisuje otaci (má chaakte matice otace). ýsledná defomace popsaná složením zmíněných složek je pak totožná s výslednou defomací popsanou danou maticí nekoaiální defomace. Tenzo defomace (matice defomace) Obecně lze defomaci chápat jako poces skládající se z tanslace, otace, dilatace a distoze: (..). efomaci tak matematicky úplně popisuje vekto tanslace T a tenzo defomace, kteý zahnuje otaci, dilataci a distozi:. je původní polohový vekto, je polohový vekto po defomaci, je tenzo defomace a T je vekto tanslace. Tj.: Paameticky: T T... + + +... + + +... Tenzo defomace má devět složek. Není symetický a všech devět složek je nezávislých. evět nezávislých paametů lze ozdělit tak, že jeden popisuje dilataci, tři otaci a pět distozi. dilatace otace distoze 5 počet nezávislých paametů celkem 9 4
Potože je tanslace popsána třemi paamety, lze v každém bodě kontinua úplně popsat defomaci pomocí dvanácti nezávislých paametů. dilatace otace distoze 5 tanslace celkem počet nezávislých paametů Pole vektoů přemístění. efomace je v každém bodě kontinua popsána tansfomační ovnicí: Tato tansfomační ovnice definuje vztah mezi souřadnicemi bodu kontinua před a po defomaci. ekto spojující tyto body pak lze chápat jako vekto přemístění, k němuž došlo v důsledku defomace. Libovolnou defomaci pak lze vyjádřit pomocí pole vektoů přemístění. f ( ) i fi (,, + U ) Přemístění lze pomocí tansfomačních ovnic popsat ze dvou pohledů buď jako funkce definující konečné souřadnice v závislosti na původních souřadnicích, nebo naopak jako funkce definující původní souřadnice v závislosti na konečných. Funkce definující konečné souřadnice v závislosti na původních souřadnicích se označují jako Lagangův popis přemístění. f ( ) (, Funkce definující původní souřadnice v závislosti na konečných souřadnicích se označují jako Euleův popis přemístění. dalších úvahách se nyní budeme zabývat pouze tenzoem defomace a nebudeme tedy uvažovat tanslaci. Elipsa a elipsoid defomace i fi, efomaci si lze geometicky vyjádřit pomocí tzv. defomačního elipsoidu. Ten je definován jako tva, kteý vznikne defomací původní jednotkové koule: 0 0 T.I. ( Y Z ) 0 0Y 0 0 Z f ( ) i fi (, ), ) 5
efomace je popsána tansfomací pomocí tenzou defomace :. T T..I.. efomační elipsoid je pak popsán maticí vzniklou ze vztahu T., kteá je vždy symetická, třebaže matice defomace obecně symetická není. Hlavní osy elipsoidu defomace - dané chaakteistickými vektoy matice - se nazývají osy defomace. Označují se obvykle jako (osa maimálního podloužení), Y (střední osa) a Z (osa maimálního zkácení). Lze je popsat třemi nezávislými paamety. Chaakteistická čísla matice - a tedy délky hlavních os defomačního elipsoidu - popisují velikost natažení či zkácení ve směu paalelním s hlavní osou defomace. élky hlavních poloos defomačního elipsoidu odpovídají velikosti natažení s (stetch) v daném směu. élky hlavních poloos defomačního elipsoidu jsou označovány jako (dlouhá osa - ve směu maimálního podloužení), Y (střední osa) a Z (kátká osa - ve směu maimálního zkácení). Přestože jsou délky hlavních os defomačního elipsoidu popsány třemi paamety, pokud zanedbáme objemové změny (dilataci), budou pouze dva z nich nezávislé. Tyto dva paamety popisují tva defomačního elipsoidu (třetí paamet by popisoval velikost a tedy dilataci). Tva defomačního elipsoidu je obvykle popisován pomocí poměů délek jeho hlavních os. Tyto poměy odpovídají elipticitě půřezů defomačního elipsoidu v řezech Y, Z a YZ: Y Z YZ Y Z Y Z. Z Y Poměy Y a YZ jsou vynášeny do tzv. Flinnova gafu odvozeneho eekem Flinnem (96). Tento gaf je často používán v modifikaci s logaitmickými škálami, kteou modifikaci navhl John G. amsay (967). YZ K Y YZ Lze ozlišit pět základních tvaů defomačního elipsoidu:. Y, jednoosé zkácení. Y < ZY. Y YZ, ovinná defomace (plane stain) 4. Y > ZY 5. ZY, jednoosé potažení 6
Čistý a jednoduchý střih tav tělesa po defomaci epesentuje konečnou defomaci (finite stain). Této konečné defomace bylo dosaženo v půběhu defomačního pocesu, kteý obsahuje séii po sobě jdoucích tzv. defomačních příůstků (stain incements). Ke shodné konečné defomaci lze za učitých podmínek dospět pomocí ůzných defomačních pocesů obsahujících defomační příůstky ůzného chaakteu. Na základě chaakteu defomačních příůstků lze ovšem ozlišit dva základní defomační ežimy. Koaiální defomace... neotační defomace, při kteé hlavní osy defomačního elipsoidu zachovávají v půběhu celého defomačního pocesu stále stejnou oientaci. Nekoaiální defomace... otační defomace, při kteé hlavní osy defomačního elipsoidu v půběhu defomačního pocesu otují, jednotlivé defomační příůstky tak jsou epesentovány ůzně oientovanými defomačními elipsoidy. Koaiální defomací je tzv. čistý střih (pue shea). Tato defomace neobsahuje žádnou složku otace. vouozměně lze čistý střih s hlavními osami defomace paalelními se souřadnými osami vyjádřit tansfomací: y.. Y 0 0. Obecně má dvouozměná tansfomační matice odpovídající čistému střihu tva: cos φ + sin φ sinφ cosφ sin sinφ cosφ φ + cos φ... velikost defomace, φ... smě osy maimálního podloužení Příkladem nekoaiální defomace je tzv. jednoduchý střih (simple shea). vouozměně lze jednoduchý střih se směem střihu paalelním s osou vyjádřit tansfomací: + γ. Y γ γ tanψ y Y 0. 7
Obecně má dvouozměná tansfomační matice odpovídající jednoduchému střihu tva: γ sinα cosα γ sin α γ cos α + γ sinα cosα kde α je úhel svíaný směem střihu a osou. Homogenní a nehomogenní defomace efomaci lze v každém bodě popsat pomocí (případně 9 neuvažujeme-li tanslaci) nezávislých paametů: + ( ω, α, ϕ, a, b, c, ξ, ζ, ψ ). T( t, t t ), ω,α,ϕ... paamety popisující otaci a,b,c,ξ,ζ,ψ paamety popisující distozi a dilataci, např. velikosti a oientace defomace hlavních os elipsoidu Homogenní defomace je popsána v každém bodě kontinua stejnými paamety. Její popis je nezávislý na volbě počátku souřadné soustavy. Heteogenní defomace je popsána v každém bodě kontinua obecně ůznými paamety. Paamety popisující defomaci jsou tedy také funkcí místa (závisí na souřadnicích či na polohovém vektou). Funkční závislost paametů defomace na poloze lze teoeticky matematicky popsat a lze tak odvodit tansfomační ovnice popisující heteogenní defomaci. heteogenní defomací se setkáváme poměně běžně a to v ůzných měřítcích. Příkladem heteogenní defomace může být např. defomace ve vásách (ůzná defomace v zámku a v ameni vásy, ůzná defomace uvnitř vstev a při vstevním ozhaní, ), nebo defomace ve střižných zónách. třižné zóny (, ) ω, α, ϕ, a, b, c, ξ, ζ, ψ, t, t, t f, třižnou zónu lze chápat jako zónu v níž se soustředí defomace, zatímco defomace mimo tuto zónu je zanedbatelná. Uvnitř této zóny je pak defomace závislá na místě (obecně např. na vzdálenosti od středu zóny). 8
Obecně lze defomaci ve střižné zóně popsat jako kombinaci tří ůzných defomačních polí. A) Heteogenní jednoduchý střih se střižnou plochou paalelní s ovinou střižné zóny. elikost střihu γ je funkcí místa. γ γ f ( d ) 0 B) Heteogenní objemová změna spojená s přemístěním kolmým na ovinu střižné zóny. elikost dilatace A je funkcí místa. 0 0 + A f ( d ) A C) Homogenní defomace libovolného typu. postředí je popsána čtyřmi nezávislými paamety, kteé nezávisí na poloze. a a a a, a, a, a f ( d ) a Celková heteogenní defomace střižné zóny je pak chápána jako kombinace uvedených tří defomací, jejichž paamety jsou hledány. Přitom je nutné si uvědomit, že při skládání dílčích defomačních polí záleží na pořadí! Předpokládáme-li např. nejpve homogenní defomaci, následovanou heteogenním jednoduchým střihem a nakonec pak heteogenní objemovou změnu, můžeme výslednou heteogenní defomaci vyjádřit jako: 0 γ a a A B 0 + A 0 a a C A C B a a + a γ a + a γ ( + ) ( + ) A a A Zvolíme-li jiné pořadí jednotlivých dílčích polí, získáme jinou heteogenní defomaci. 9