Analýza jádra kooperativních her

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Martin Kašpar Analýza jádra kooperativních her Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Matematika Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie Praha 2013

Rád bych poděkoval RNDr. Ing. Miloši Kopovi, Ph.D., za pomoc při psaní této práce, hlavně za užitečné rady a postřehy.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na mojí práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V...................... dne.............

Název práce: Analýza jádra kooperativních her Autor: Martin Kašpar Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V předložené práci se zabýváme teorií kooperativních her a jejich řešení. Předpokládáme, že v kooperativní hře se mohou hráči spojit a spolupracovat, hledáme tedy řešení v podobě možností rozdělení celkového zisku mezi jednotlivé hráče. Řešení existuje několik, my se ale zaměříme na jádro hry, jeho popis, teoretické vlastnosti a metody pro ověření jeho neprázdnosti. Zvláštní pozornost věnujeme těžišti jádra, které je jedním ze známých jednoznačných řešení kooperativních her a spočívá ve výběru jednoho rozdělení zisku mezi hráče z jádra hry. Dále zkonstruujeme matematický model oligopolu spolu s metodou výpočtu charakteristické funkce na základě reálných dat. Nakonec model aplikujeme na oligopolní trh s ropou. Klíčová slova: Teorie her, koalice, jádro, oligopol, kooperativní hry Title: The core analysis of cooperative games Author: Martin Kašpar Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics Abstract: In the present work we study theory of cooperative games and their solution. We assume that all players may form groups and cooperate, and we will try to find a solution, a rule how to divide the profit of the group among individual players. We will focus on a core of the game, its description, theoretical results and methods for analyzing its emptiness. We also investigate core-center, which is one of the known options of choosing single profit division from the core. Then we will construct mathematical model of oligopoly together with method for counting characteristic function from real data. Finally, we apply the model on data from oil market. Keywords: Game theory, coalition, core, oligopoly, cooperative games

Obsah 1 Úvod 3 2 Nekooperativní hry 5 2.1 Nashův rovnovážný bod....................... 5 3 Kooperativní hry více hráčů 7 3.1 Základní pojmy............................ 7 3.2 Stabilní množiny........................... 8 3.3 Jádro.................................. 10 3.4 Shapleyho hodnota.......................... 12 4 Neprázdnost jádra 14 4.1 Nepodstatné hry........................... 14 4.2 Podstatné hry s konstatním součtem................ 15 4.3 Nutná a postačující podmínka.................... 16 4.4 Zobecnění jádra............................ 21 5 Těžiště jádra 22 5.1 Nukleolus............................... 22 5.2 Těžiště................................. 24 6 Jádro kooperativní hry tří hráčů 27 6.1 Silné epsilon-jádro.......................... 27 6.2 Těžiště jádra hry tří hráčů...................... 29 7 Jádro kooperativní hry čtyř hráčů a jeho těžiště 34 8 Teorie her aplikovaná na oligopol 37 8.1 Cournotův model oligopolu..................... 37 8.2 Výpočet charakteristické funkce v.................. 38 8.3 Vlastnosti charakteristické funkce.................. 40 8.4 Stabilní koalice............................ 41 9 Použití výsledků na trh s ropou 47 9.1 Popis trhu a objem těžby všech devíti firem............ 47 9.2 Náklady na těžbu........................... 48 9.3 Odhad inverzní poptávkové funkce................. 50 9.4 Výpočet charakteristické funkce................... 55 9.5 Výpočet Shapleyho hodnot...................... 56 9.6 Rozdělení trhu do koalicí a stabilita................. 58 10 Úpravy modelu oligopolu 63 11 Závěr 64 Literatura 65 1

A Seznam příloh 68 A.1 Skripty z R.............................. 68 A.2 Charakteristické funkce........................ 68 2

1. Úvod Teorie her je obor, který se zabývá matematickým popisem konfliktních situací (her) mezi několika racionálními subjekty a navrhováním jejich řešení. Teorie her může být použita pro modelování ekonomických jevů (například trh s nějakým produktem, soupeření konkurentů, modelování chování firmy v oligopolu a podobně), v politologii (například modelování soupeření politických stran, vojenské konflikty) a dalších oborech. Jedním z cílů teorie her je nalezení řešení ve formě návodu, jak mají účastníci zkoumané konfliktní situace postupovat pro dosažení nejlepších výsledků (například kolik zboží má továrna vyrábět aby byl její zisk co nejvyšší). Přístup k teorii her a požadované výsledky se v jednotlivých oborech liší, vznikají proto zvlášt publikace o využití teorie her v ekonomii, ve společenských vědách, a podobně. Kooperativní teorie her je odvětví, které se speciálně zabývá konflikty, ve kterých hráči mohou spolupracovat a spojovat se do větších skupin. V kooperativních hrách se kromě jejich matematického popisu snažíme nalézt řešení v podobě rozhodnutí o tom, kdo se má s kým spojit a potom jak se rozděluje ve skupinách společný zisk mezi jednotlivce. Rozdělování zisku ve skupinách je poměrně komplikované, může být součástí vyjednávání hráčů o formování skupin a spojování, kde skupina hráčů může několika dalším hráčům nabídnout odměnu za to, že se k ní připojí a podobně. Naší snahou v teorii kooperativníh her je zohlednění všech těchto vlivů a nalezení takového řešení, které je stabilní, to znamená takové, že se žádnému hráči nebo skupině hráčů nevyplatí změnit svojí strategii. Teorie her se jako obor rozšířila hlavně ve druhé polovině dvacátého století. Jednou z nejdůležitějších publikací v teorii her byla kniha Theory of Games and Economic Behavior od matematiků Johna von Neumanna a Oskara Morgensterna z univerzity v Princetonu, která byla poprvé vydána v roce 1944 (von Neumann a Morgenstern, 1944), a ve které autoři shrnuli tehdejší výsledky teorie her. Dalším matematikem, který výrazně přispěl k teorii her byl John Forbes Nash, který mimo jiné vymyslel řešení her pomocí Nashova rovnovážného bodu (Nash, 1951). Za přínos teorii her dostal Nash v roce 1994 Nobelovu cenu za ekonomii. Jedním z důležitých pojmů pro teorii kooperativních her je jádro hry, které poprvé definoval a popsal Donald B. Gillies v roce 1959 (Gillies, 1959). Na Gilliese navázal Lloyd Shapley, který se zabýval prázdností jádra (Shapley, 1967), z jeho dalších výsledků můžeme vybrat například Shapleyho hodnotu (Shapley, 1953), kterou můžeme chápat jako matematickou reprezentaci síly hráčů hry. V posledních letech se objevily zejména výsledky, díky kterým můžeme najít jednoznačně určené řešení hry, například těžiště jádra, které nám umožňuje vybrat z množiny jádra takové řešení, které je v určitém smyslu spravedlivé (Díaz a Rodríguez, 2003). Cílem této práce je shrnout poznatky a výsledky z části teorie her, týkající se kooperativních her, jejich jádra a těžiště jádra. Dalším cílem je aplikovat výsledky teorie her na příklad oligopolu. Nejdříve jsou v práci stručně představeny některé základní pojmy, včetně nekooperativních her a jejich řešení v podobě Nashova rovnovážného bodu. Dále definujeme pojmy z teorie kooperativních her a některé možnosti jejich řešení (stabilní množiny, jádro hry a Shapleyho hodnota), které budou použity v dalších částech tohoto textu, spolu s důkazy jejich základních vlastností. 3

V další část se budeme zabývat vlastnostmi jádra kooperativních her pro různé typy her. Velká část kapitoly týkající se jádra je zaměřená na neprázdnost jádra, tj. hledání podmínek, které by co nejjednodušeji a nejrychleji rozhodly o neprázdnosti jádra, a to včetně nutné a postačující podmínky pro neprázdnost jádra s jejím důkazem. Konec kapitoly o jádru hry je věnován dvěma zobecněním jádra a jejich souvislosti s jádrem. Dále se budeme zabývat možnostmi, jak z množiny řešení hry vybrat jednoznačně určený výsledek. Popíšeme nukleolus spolu s důkazem jeho jednoznačnosti a těžiště jádra včetně jeho souvislosti se spravedlivým řešením hry. V následující části odvodíme obecně tvar jádra a zobecněného jádra hry tří hráčů. Výsledky použijeme na příklad hry tří hráčů, kde zároveň spočítáme těžiště jádra a těžiště zobecněného jádra. Podobně odvodíme tvar jádra a zobecněného jádra pro obecnou hru čtyř hráčů. V praktické části této práce nejdříve popíšeme teoreticky matematický model oligopolu spolu s odvozením charakteristické funkce a některých jejích vlastností. Tento model potom aplikujeme na reálná data týkající se trhu s ropou. Dále odvodíme definici pojmu stability koalice, který je důležitý pro rozhodnutí o tom, jestli můžeme nějaké rozdělení hráčů do koalicí považovat za konečné řešení. V závěru práce jsou popsány některé další úpravy modelu, které by mohly vést k jeho vylepšení. 4

2. Nekooperativní hry Jak již bylo řečeno výše, hry dělíme na kooperativní a nekooperativní. V nekooperativních hrách není dovoleno, aby spolu hráči komunikovali, vyjednávali a spojovali se proti ostatním. Tyto hry jsou tedy založeny na tom, že každý z hráčů vybírá svou herní strategii (vybírá z předem známé množiny strategií) tak, aby jeho výhra byla co nejvyšší. Příklady nekooperativních her mohou být některé karetní hry (například poker), sportovní hry (tenis), ale i různé konfliktní situace jako soupeření několika firem vyrábějících stejný produkt, vojenské konflikty a další. Všechny tyto případy můžeme chápat jako nekooperativní hry, kde jednotliví hráči nespolupracují, naopak se snaží jeden druhému co nejvíce uškodit. Z předchozích příkladů je vidět, že kooperace může být v různých hrách znemožněna z různých důvodů. V mnoha karetních a sportovních hrách kooperaci zakazují pravidla, podobně je tomu i v případě firem prodávajících nějaký výrobek. Naopak v případě válečného konfliktu jde spíše o neschopnost a neochotu účastníků ke spolupráci. Ve hře n hráčů, kde n je přirozené číslo, předpokládáme, že i-tý hráč má svou množinu strategií X i. Hra probíhá tak, že každý z hráčů vybere jednu strategii a výhra i-tého hráče je určena hodnotou f i (x 1, x 2,..., x n ), kde f i : X 1 X 2 X n R je výplatní funkce hráče i a x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n jsou strategie zvolené příslušnými hráči. 2.1 Nashův rovnovážný bod Za řešení výše popsané hry budeme považovat množinu {x 1, x 2,..., x n } strategií jednotlivých hráčů, která je v jistém smyslu nejlepší. Jednu z prvních a nejznámějších definic optimálního řešení popsal Nash (1951), nazývá se Nashův rovnovážný bod (Nashovo equilibrium). Definice 2.1. Řekneme, že n-tice (x 1, x 2,..., x n ) je Nashův rovnovážný bod, jestliže pro každé i {1, 2,..., n} platí, že f i (y 1,..., y i 1, x i, y i+1,..., y n ) f i (y 1,..., y i 1, y i, y i+1,..., y n ), pro všechny strategie y 1 X 1, y 2 X 2,..., y n X n. Jestliže pro každé y 1,..., y n platí ostrá nerovnost, pak říkáme, že (x 1, x 2,..., x n ) je silný Nashův rovnovážný bod. Jestliže existuje y 1,..., y n, kde y i x i tak, že platí rovnost, je (x 1, x 2,..., x n ) slabý Nashův rovnovážný bod. Řešení v podobě Nashova rovnovážného bodu nám dává hledanou množinu strategií, která je výhodná pro všechny hráče. V případě silného rovnovážného bodu je zřejmé, že toto řešení, pokud existuje, je určeno jednoznačně. Vzhledem k našemu předpokladu, že všichni hráči jednají racionálně, je výsledek takové hry dopředu rozhodnutý. Pro každého hráče existuje právě jedna strategie, která je výhodnější než všechny ostatní, racionální hráč proto tuto strategii musí zvolit. V případě slabého Nashova rovnovážného bodu už situace tak jednoduchá není. Různých řešení může existovat více a výsledek hry není vůbec jasný. Problémem je také to, že řešení v podobě Nashova rovnovážného bodu v mnoha případech neexistuje. 5

Neexistence Nashova rovnovážného bodu lze vyřešit přechodem ke smíšeným strategiím. Smíšené strategie lze definovat následovně (Owen, 1995, str. 14). Definice 2.2. Smíšenou strategií hráče i rozumíme pravděpodobnostní rozdělení na množině strategií X i. Podle této definice nahradíme pro i-tého hráče jeho množinu strategií X i množinou pravděpodobnostních rozdělení. Jestliže má například hráč i na výběr ze tří možných strategií, tj. X i = {x 1, x 2, x 3 }, jeho smíšenými strategiemi jsou trojice kladných čísel, jejichž součet je 1. Hráč i si pak vybere jednu ze smíšených strategií, například (α, β, γ). Výběrem smíšené strategie se hráč i rozhodl, že x 1 zvolí s pravděpodobností α, x 2 s pravděpodobností β a x 3 s pravděpodobností γ. Smíšené strategie mají význam spíše u her, které se mnohokrát opakují, v případě jednoho rozhodnutí nemají příliš velký smysl. Nekooperativní hry popisují například Owen (1995) nebo von Neumann s Morgensternem (1944), v této práci se jimi nebudeme dále zabývat. Výše zmíněné pojmy a zobecnění jsou většinou zmiňovány v souvislosti s hrami dvou hráčů, kde jsou poměrně jednoduché a snadno popsatelné. Z tohoto důvodu jsou nekooperativní hry dvou hráčů velmi podrobně popsány a existuje zde mnoho možností jak hledat jejich řešení. 6

3. Kooperativní hry více hráčů 3.1 Základní pojmy V celé práci se budeme zabývat hrami n hráčů, pro n 2. Pro zjednodušení přiřadíme jednotlivým hráčům čísla 1, 2,..., n a množinu všech hráčů označíme N, tedy N = {1, 2,..., n}. V případě kooperativních her se předpokládá, že hráči spolu vyjednávají, sdružují se do skupin a členové každé takové skupiny se domluví na společném postupu. Pro tyto skupiny se v teorii her používá termín koalice, který jako první v této souvislosti použili von Neumann a Morgenstern (1944). Definice 3.1. Koalicí budeme rozumět libovolnou množinu S N. Po rozdělení hráčů do koalic můžeme takto upravenou hru chápat jako zjednodušenou nekooperativní verzi původní hry. Když totiž budeme předpokládat, že rozdělení hráčů do koalic je pevné, můžeme považovat každou koalici za hráče nové nekooperativní hry. Tato metoda nám může pomoct popsat původní hru, ale tím, že se omezíme na koalice, ztratíme možnost zabývat se jednotlivci, členy koalic. Z tohoto důvodu zde nebudeme převod kooperativních her na nekooperativní používat. Důležitým ukazatelem každé hry je charakteristická funkce (Owen, 1995, str. 213). Definice 3.2. Necht pro funkci v : 2 N R, která každé koalici S přiřadí nejvyšší možnou výhru, jakou si S může zajistit bez ohledu na to, co udělají ostatní hráči, platí (i) v( ) = 0, (ii) v je superaditivní, tj. pro libovolné dvě koalice S, K N takové, že S K =, platí v(s) + v(k) v(s K). Pak řekneme, že funkce v je charakteristická funkce kooperativní hry. To, že si koalice S může zajistit výhru v(s) znamená, že koalice S si může vybrat svou strategii tak, aby při libovolné akci ostatních hráčů byla její výhra v(s) nebo vyšší. Z podmínky superaditivity plyne, že pro hráče není nevýhodné přidat se do koalice (když hráči spolupracují, výhra koalice je vždy vyšší nebo rovna součtu výher samostatných členů koalice). Zároveň podmínka superaditivity říká, že žádná koalice nemůže vyhrát víc než tzv. velká koalice, což je koalice všech hráčů N. Charakteristická funkce se někdy definuje pouze podmínkou (i). V této části textu budeme předpokládat, že charakteristická funkce splňuje (i) i (ii). Množina účastníků hry N a charakteristická funkce v nám dávají jasnou představu o tom, jak daná hra vypadá. Budeme proto v dalším textu používat značení pomocí dvojic typu (v, N). Aby bylo možné zabývat se rozdělováním výhry koalice mezi její členy, je potřeba definovat pojmy výplata a efektivní výplata (von Neumann, Morgenstern, 1944, str. 350). Dále budeme používat zjednodušení zápisu charakteristické 7

funkce. Jestliže například máme koalici S = {i, j}, budeme místo v(s) = v({i, j}) psát v(s) = v(i, j). Definice 3.3. Vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n +, kde x i je výhra i-tého hráče, se nazývá výplata. Výplata se nazývá efektivní, když platí následující dvě podmínky: (i) x i v(i), pro každé i N, (ii) i N x i = v(n). Množinu všech efektivních výplat označíme E(v). Podmínka (i) z Definice 3.3 požaduje racionalitu všech hráčů. Hráč i je schopen si bez ohledu na to, co udělají ostatní, zajistit výhru v(i), takže se nepřipojí ke koalici s takovou výplatou x, která by mu slibovala menší výhru. Podmínka (ii) požaduje, aby efektivní výplata rozdělila mezi hráče nejvyšší možnou výhru, jaké se dá ve hře dosáhnout, díky superaditivitě funkce v je nejvyšší možnou výhrou výhra velké koalice. Když se tedy všichni hráči dohodnou na některé efektivní výplatě, získají z dané hry vše, co získat jde a zároveň pro žádného hráče není výhodné dohodu porušit. Pro další zkoumání her je nutné definovat pravidlo, které by nám umožnilo poznat, která výplata je lepší. To lze provést pomocí pojmu dominance následujícím způsobem (von Neumann, Morgenstern, 1944, str. 350). Definice 3.4. Řekneme, že výplatní vektor y je dominován výplatním vektorem x vzhledem ke koalici S N (značíme y S x), jestliže (i) x i > y i pro každé i S, (ii) i S x i v(s). Řekneme, že výplatní vektor y je dominován výplatním vektorem x (y x), jestliže existuje koalice S N taková, že y S x. Ve smyslu Definice 3.4 je výplatní vektor x lepší než vektor y pro koalici S, jestliže každý hráč z S získá při realizaci výplaty x větší výhru než by získal při realizaci y. Toto popisuje podmínka (i). Podmínka (ii) říká, že výplatní vektor je pro koalici S přijatelnější pouze v případě, že si ho dokáže zajistit bez ohledu na soupeře. Kdyby podmínka (ii) nebyla splněna, znamenalo by to, že ostatní hráči (N \ S) mohou volit své akce tak, aby koalice S vyhrála méně než hodnotu i S x i, tedy zablokovat výplatu x. V dalších částech kapitoly 3 jsou ve stručnosti popsány nejznámější metody řešení kooperativních her n hráčů. 3.2 Stabilní množiny Prvním způsobem, jak hledat řešení hry (v, N), jsou stabilní množiny. Tento způsob navrhli von Neumann a Morgenstern (1944, str. 263). 8

Definice 3.5. Řekneme, že množina S(v) E(v) je stabilní množina hry (v, N), jestliže platí (i) pro každé x, y S(v) je y x, (ii) pro každou efektivní výplatu z / S(v) existuje x S(v) takové, že z x. Stabilní množina je tedy množina efektivních výplat, které se navzájem nedominují, ve smyslu Definice 3.4. Druhá podmínka říká, že pro libovolnou efektivní výplatu, která není ve stabilní množině, existuje ve stabilní množině výplata, která je lepší. Když tedy hráči (prostřednictvím koalic) vyjednávají o tom, k jaké výplatě směřovat, pohybují se kolem stabilní množiny. Jestliže hráči přistoupí na některou z výplat ve stabilní množině, může existovat výplata mimo S(v), která vybranou výplatu dominuje (to definice umožňuje), ale tato výplata je díky podmínce (ii) z Definice 3.5 dominovaná některou výplatou z S(v). Hráči se proto při vyjednávání vždy vrací k výplatám ze stabilní množiny. Problémem stabilních množin je jejich existence a tvar. Stabilní množina, narozdíl od jádra hry, popsaného v další části, není určena jednoznačně. Je také poměrně obtížné tyto množiny najít, navíc stabilní množina nemusí vždy existovat. To dokázal Lucas (1969) tak, že našel hru deseti hráčů, pro kterou je stabilní množina prázdná a řešení ve smyslu stabilních množin tak neexistuje. Von Neumann a Morgenstern (1944, str. 277 280) dokázali, že pokud má hra určité vlastnosti, pak je její stabilní množina jednoprvková. To nám výrazně usnadňuje situaci, protože obecně stabilní množina, pokud existuje, dává pouze množinu výplat, ze kterých je potřeba vybrat řešení. V následující definici a větě je tento výsledek popsán a dokázán. Definice 3.6. Řekneme, že hra (v, N) je podstatná, jestliže v(i) < v(n). i N Díky superaditivitě charakteristické funkce v pro libovolnou hru platí v(i) v(n). i N Když platí ostrá nerovnost, je pro hráče výhodné spojit se do velké koalice a hledat řešení v podobě efektivních výplat, takové hře říkáme podstatná. Jestliže naopak platí rovnost, pak hráči spojením do koalice nemohou nic získat a nemají důvod spolupracovat, taková hra podstatná není. Věta 3.1. Necht hra (v, N) není podstatná. Pak stabilní množina S(v) obsahuje právě jednu efektivní výplatu x = (v(1), v(2),... v(n)). Důkaz. Nejdříve dokážeme, že x je jediná efektivní výplata. Protože hra není podstatná, platí x i = v(i) = v(n), i N i N navíc x i v(i), takže x je efektivní výplata. Necht y i = v(i) + α i, kde α i R, i N a necht y = (y 1,... y n ) je také efektivní výplata. Pak z definice efektivní výplaty víme, že v(i) + α i = y i v(i) a v(n) = y i = ) (v(i) + α i = v(n) + α i. i N i N i N 9

Z těchto dvou podmínek plyne, že α i 0 pro každé i N, a α i = 0. i N To ale znamená, že α i = 0 pro každé i N, y = x a x je jediná efektivní výplata, tj. E(v) = {x}. Stabilní množina S(v) je podle Definice 3.5 podmnožinou množiny efektivních výplat E(v). To znamená, že platí bud S(v) = {x}, nebo S(v) =. Kdyby byla stabilní množina prázdná, pak by efektivní výplata x neležela v S(v), takže by podle Definice 3.5 (ii) muselo existovat takové y S(v), pro které x y. To ale není možné, protože jsme předpokládali, že množina S(v) je prázdná. Zbývá tedy už jen možnost, že S(v) = {x} a vyhledem k tomu, že množina {x} splňuje obě podmínky Definice 3.5, je důkaz hotov. 3.3 Jádro Jádro hry (v, N) poprvé definoval Gillies (1959) a jeho definice je následující. Definice 3.7. Jádro hry (v, N) je množina efektivních výplat, které nejsou dominované žádnou výplatou. Jádro budeme značit C(v). Jádro je, podobně jako stabilní množina S(v), podmnožinou množiny efektivních strategií, tedy C(v) E(v). Podobně jako u stabilních množin se výplaty, které jsou v jádru obsaženy, nesmí vzájemně dominovat. Jediný rozdíl proti stabilním množinám je v tom, že mimo jádro nemůže existovat výplata, která by dominovala některou výplatu z jádra. U stabilních množin toto možné je, mimo stabilní množinu mohou existovat výplaty, které jsou ve smyslu dominance lepší než výplaty ve stabilní množině. Jádro tedy klade na efektivní strategie o něco silnější podmínky než stabilní množiny, a v následujícím lemmatu je dokázáno, že jádro ve stabilní množině leží. Lemma 3.2. Pro hru (v, N) platí C(v) S(v). Důkaz. Jestliže C(v) =, pak tvrzení zřejmě platí. Necht C(v) je neprázdná množina. Zvolíme libovolné x C(v) E(v) a pro spor budeme předpokládat, že x / S(v). Podle Definice 3.5, bodu (ii), existuje takové y S(v), že y x. To ale znamená, že existuje výplata, která dominuje výplatu z jádra, což je spor s definicí jádra. Musí proto být x S(v). Pro další zkoumání jádra a jeho hledání v konkrétních případech se nám bude více hodit následující definice, která je ekvivalentní s Definicí 3.7, jak je dokázáno níže ve Větě 3.3 (Owen, 1995, str. 219). Definice 3.8. Jádro je množina takových x R n, pro které platí (i) i N x i = v(n), (ii) pro každou koalici S N platí i S x i v(s). 10

Věta 3.3. Definice 3.7 a Definice 3.8 jsou ekvivalentní. Důkaz. Pro tento důkaz označíme množinu definovanou v Definici 3.7 symbolem C 1 (v) a množinu z Definice 3.8 symbolem C 2 (v). Naším cílem je dokázat, že C 1 (v) = C 2 (v), což provedeme tak, že nejdřív dokážeme inkluzi C 2 (v) C 1 (v) a pak opačnou inkluzi C 1 (v) C 2 (v). Necht x C 2 (v). Pak z podmínky (i) z Definice 3.8 plyne, že součet složek x je roven v(n) a z podmínky (ii) z Definice je 3.8 zřejmé, že volbou S = {j} pro libovolné j N, dostaneme nerovnost x j v(j). Vektor x je proto efektivní výplata, x E(v). Pro spor budeme předpokládat, že x / C 1 (v). To znamená, že existuje takové y R n, že y S x pro nějakou koalici S N. Z definice dominance (Definice 3.4) tak dostáváme, že y i > x i pro každé i S. Sečtením přes všechna i S tedy získáváme y i > x i v(s). i S i S To je ale spor s definicí dominance, podle které je i S y i v(s). Dokázali jsme, že x C 1 (v) a proto C 2 (v) C 1 (v). Necht nyní z C 1 (v). Kdyby vektor z nesplňoval podmínku (i) z Definice 3.8, pak by nemohl být efektivní výplatou, tj. z / E(v). To by ale znamenalo, že z / C 1 (v), protože množina C 1 (v) obsahuje pouze efektivní výplaty. Tím jsme se dostali do sporu s předpokladem, takže z podmíku (i) splňovat musí. Necht vektor z nesplňuje podmínku (ii) z Definice 3.8. To znamená, že existuje koalice hráčů S, pro kterou i S z i < v(s). Můžeme definovat čísla ε = v(s) z i, i S α = v(n) v(s) i N S v(i). Víme, že α > 0 a ze superaditivity funkce v je α v(n) v(s) v(n S) 0. Nyní můžeme definovat nový výplatní vektor y takto: { zi + ε pro i S, S y i = v(i) + α pro i N S. n S Díky definici konstant α a ε a tomu, že z je efektivní výplata, platí y i v(i) a y i = y i + y i = z i +ε+ v({i})+α = v(s)+v(n) v(s) = v(n), i N i S i N S i S i N S takže y je efektivní výplata a z její definice se snadno ověří, že y S z. To je ale spor s tím, že z leží v množině C 1 (v). Pro další vlastnost jádra budeme potřebovat následující definici (Lachout, 2011, str. 14). Definice 3.9. Množina A R n se nazývá konvexní polyedrická množina, jestliže existuje konečný počet uzavřených poloprostorů H 1, H 2,..., H k tak, že A = k j=1 H j. Věta 3.4. Jádro hry (v, N) je konvexní polyedrická množina. Důkaz. Tvrzení plyne přímo z Definic 3.8 a 3.9. 11

3.4 Shapleyho hodnota Další možností jak definovat řešení hry je Shapleyho hodnota, kterou poprvé popsal Shapley (1953) následovně. Definice 3.10. Shapleyho hodnota φ i (v) hráče i ve hře (v, N) je φ i (v) = S N I(i S) ( S 1)! (n S )! n! [v(s) v(s \ {i})], kde S je počet členů koalice S, a I(i S) je rovno 1 pro i S a 0 jinak. Shapleyho hodnota každému hráči přiřadí nezáporné číslo, které představuje výhru, jakou může tento hráč očekávat. Ze vzorce v Definici 3.10 je vidět, že jde vlastně o odhad střední hodnoty výhry hráče i. Pro tuto interpretaci Shapleyho hodnoty musíme předpokládat, že do hry hráči postupně vstupují a přidávají se k jednotlivým koalicím. Pro nějakou koalici S takovou, že v ní i leží, předpokládáme, že do hry nejprve vstoupí hráči této koalice, potom postupně přicházejí hráči druhé koalice a tak dále, dokud není všech n hráčů ve hře. Hráč i se přidá do hry jako poslední člen koalice S, bude tedy S -tý v pořadí. Spočítáme hodnotu v(s) v(s \ {i}), která vyjadřuje hodnotu hráče i pro koalici S, když se k ní přidá jako poslední. Pravděpodobnost, že se tak stane, vyjádříme zlomkem, kde v čitateli je počet všech možných pořadí v jakých hráči vstupují do hry s tím, že hráč i přijde jako S -tý (tj. ( S 1)! (n S )!) a ve jmenovateli je počet všech možných seřazení hráčů (n!). Sčítáme tedy příspěvky hráče i k výhře koalicí S vynásobené odhady pravděpodobností, že se hráč i přidá právě ke koalici S. Vektor Shapleyho hodnot představuje očekávání všech hráčů a bylo by tak možné jej použít jako řešení hry. Bohužel ale vektor Shapleyho hodnot nemusí ležet v jádru hry, takže když použijeme Shapleyho hodnotu, musíme se vzdát řešení, které nám poskytuje jádro hry. V následujícím příkladě (Thomas, 2003, str. 88) je ukázáno, že vektor Shapleyho hodnot obecně neleží v jádru. Příklad. Necht (v, N) je hra tří hráčů s charakteristickou funkcí v definovanou takto: v(1) = 1, v(2) = v(3) = v(2, 3) = 0, v(1, 2) = 2, v(1, 3) = v(1, 2, 3) = 3. Nejdříve najdeme jádro hry (v, N). Podle Definice 3.8 hledáme takové trojice (x 1, x 2, x 3 ), které splňují x 1 + x 2 + x 3 = 3 a x 1 1, x 1 + x 2 2, x 2 0, x 1 + x 3 3, x 3 0, x 2 + x 3 0. 12

Snadno se ověří, že jádro je ve tvaru C(v) = {(x, 0, 3 x) : x (2, 3)}. Podle vzorce z Definice 3.10 spočítáme Shapleyho hodnoty pro všechny tři hráče: φ 1 (v) = φ 2 (v) = φ 3 (v) = 0! 2! 1! 1! 1! 1! 2! 0! 1 + 2 + 3 + 3 = 13 3! 3! 3! 3! 6 0! 2! 1! 1! 1! 1! 2! 0! 0 + 1 + 0 + 0 = 1 3! 3! 3! 3! 6 0! 2! 3! 0 + 1! 1! 3! 2 + 1! 1! 3! 0 + 2! 0! 3! 1 = 2 3. Vektor Shapleyho hodnot je φ(v) = (13/6, 1/6, 2/3) a vzhledem k tomu, že φ 2 (v) 0, nemůže φ(v) ležet v jádru hry (v, N). Na tomto příkladu je vidět, že záleží na tom, jak přesně budeme definovat řešení hry. Když vezmeme jádro, tedy množinu výplat, ke kterým se hráči dostanou dohadováním mezi sebou a blokováním výplat, které v jádru neleží, hráč 2 nedostane nic. Výplaty (x, 0, 3 x) pro x (2, 3) v tomto případě nejsou dominované žádnou jinou výplatou a hráč 2 nemůže jejim přijetí zabránit. Pokud totiž nepřistoupí na takové rozdělení výhry ve velké koalici {1, 2, 3}, hráči 1 a 3 se obejdou bez něj. 13

4. Neprázdnost jádra 4.1 Nepodstatné hry Nalezení jádra nepodstatné hry, tedy hry pro kterou platí v(i) = v(n), i N je velmi snadné. Z podmínky superaditivity nejdříve odvodíme následující tvrzení. Lemma 4.1. Pro libovolnou koalici S N platí i S v(i) v(s). Důkaz. Důkaz provedeme indukcí podle počtu prvků množiny S, který označíme k = S. Pro k = 1 máme S = {j}. Je tedy zřejmé, že v(i) = v(j) = v(s), i S takže nerovnost je splněna jako rovnost. Nyní budeme předpokládat, že tvrzení platí pro k = 1, 2,..., l, kde l N, a že máme množinu S takovou, že S = l+1. Pak s využitím indukčního předpokladu a definice superaditivity z Definice 3.2, bodu (ii), platí pro libovolné j S v(i) = v(i) + v(j) v(s \ {j}) + v(j) v(s), i S a důkaz je hotov. i S\{j} Věta 4.2. Nepodstatná hra (v, N) má jednoprvkové jádro a platí C(v) = {(v(1),..., v(n))}. Důkaz. Označíme x = (v(1),..., v(n)). Z Lemmatu 3.2 víme, že jádro leží ve stabilní množině hry, C(v) S(v). Z Věty 3.1 víme, že pro nepodstatnou hru je S(v) = {x}. To znamená, že platí bud C(v) = nebo C(v) = {x}. Pro spor budeme předpokládat, že výplata x neleží v jádru, a jádro je tedy prázdné. Protože hra (v, N) není podstatná, výplata x splňuje podmínku (i) z Definice 3.8. Předpokládáme, že x / C(v), což může platit pouze v případě, že není splněna podmínka (ii) z Definice 3.8. To znamená, že existuje koalice S N taková, že v(i) = x i < v(s). i S i S Z Lemmatu 4.1 plyne, že i (N\S) v(i) v(n \ S). 14

Platí tedy v(i) = i N i S v(i) + v(i) < v(s) + v(n \ S) v(n). i (N\S) To znamená, že hra (v, N) je podstatná a to je spor. Jádro nepodstatných her vždy obsahuje právě jednu výplatu. Z tvaru této výplaty je vidět, že hra n hráčů, která není podstatná, má vždy řešení, ve kterém hráči nebudou spolupracovat, není to pro ně totiž vůbec výhodné. Z tohoto důvodu nejsou nepodstatné hry příliš zajímavé a vzhledem k tomu, že již známe tvar jejich jádra, nebudeme se jimi dále zabývat. 4.2 Podstatné hry s konstatním součtem V této části se budeme zabývat podstatnmi hrami, které navíc splňují podmínku definovanou následovně. Definice 4.1. Řekneme, že kooperativní hra n hráčů je s konstantním součtem, když pro každou koalici S platí v(n \ S) + v(s) = v(n). Pro podststané hry s konstantním součtem platí následující tvrzení (Thomas, 2003, str. 93). Věta 4.3. Jádro podstatné hry (v, N) s konstantním součtem je prázdné. Důkaz. Pro spor budeme předpokládat, že existuje výplatní vektor x = (x 1,..., x n ), který v jádru C(v) leží. Pro libovolné j N platí z podmínky (ii) definice jádra (Definice 3.8) a z toho, že hra je s konstantním součtem x i v(n \ {j}) = v(n) v(j). (4.1) i (N\{j}) Protože x je efektivní strategie, musí platit x j + i (N\{j}) x i = i N x i = v(n). Přičtením hodnoty x j k oběma stranám (4.1) získáme nerovnost v(j) x j, která platí pro každé j z N, protože index j jsme zvolili libovolně. Platí x i v(i) < v(n), i N i N protože hra je podstatná. Protože výplata x leží v jádru, musí být i N x i = v(n), takže jsme došli ke sporu a tvrzení věty je dokázáno. 15

4.3 Nutná a postačující podmínka Dále se budeme zabývat pouze hrami které jsou podstatné, a které nejsou s konstantním součtem. Pro takové hry můžeme použít přístup pomocí balancovaných systémů, které poprvé popsali Bondareva (1963) a Shapley (1967). Definice 4.2. Řekneme, že systém množin {S 1,..., S k }, kde S i N pro každé i N, je balancovaný, jestliže existují nezáporné konstanty λ 1,..., λ k takové, že pro každé i N platí λ j I(i S j ) = 1, j N kde I je indikátorová funkce, tj. I(i S j ) = 1; pro i S j = 0; pro i / S j. Použití balancovaných systémů pro rozhodování o prázdnosti jádra je popsáno v následující větě (Bondareva, 1963 a Shapley, 1967). Věta 4.4. Jádro hry (v, N) je neprázdné právě tehdy, když pro každý balancovaný systém {S 1,..., S k } s koeficienty λ 1,..., λ k platí k λ j v(s j ) v(n). (4.2) j=1 Důkaz. Nejdříve dokážeme, že pokud je jádro neprázdné, pak je podmínka (4.2) splněna. Necht existuje výplatní vektor x C(v). Pro spor budeme předpokládat, že existuje balancovaný systém S 1,..., S k s koeficienty λ 1,..., λ k, pro který neplatí podmínka (4.2), to znamená, že k λ j v(s j ) > v(n). (4.3) j=1 Z podmínky (ii) definice jádra (Definice 3.8) a z toho, že S 1,..., S k je balancovaný systém, platí pro levou stranu nerovnosti (4.3) k λ j v(s j ) j=1 k λ j j=1 = i N x i x i = i S j k k λ j x i I(x i S j ) j=1 i N j=1 λ j I(x i S j ) = i N Zkombinováním s (4.3) tak dostáváme, že x i > v(n), i N to je ale spor, protože x C(v) a podle podmínky (i) definice jádra (Definice 3.8) musí být i N x i = v(n). 16 x i.

U druhé implikace předpokládáme, že platí (4.2) a chceme dokázat, že jádro není prázdné, což se provede převedením na úlohu lineárního programování. Platí totiž, že jádro hry (v, N) je neprázdné, právě když má úloha min x x i = z i N za podmínek x i v(s), S N, i S x i 0, i = 1,..., N optimální řešení takové, že optimální hodnota z opt v(n). To nastane právě tehdy, když má duální úloha max y S v(s) = w (4.4) y S N za podmínek y S I(i S) = 1, i = 1,..., n, S N y S 0, S N optimální řešení s optimální hodnotou w opt v(n). Existence optimálního řešení plyne z Lemmatu 4.5 a z výsledků teorie lineárního programování (Lachout, 2011, str. 18 a 31). Nyní budeme pro spor předpokládat, že w opt > v(n). Pak existuje příslušné optimální řešení y opt = {y opt S : S N}, které splňuje podmínky úlohy (4.4). To znamená, že množina {S : S N} je balancovaný systém s koeficienty y opt. Pro tento systém platí S N y opt S v(s) = wopt > v(n) To je ale ve sporu s podmínkou (4.2). Musí proto být w opt v(n) a tvrzení věty je dokázáno. V následujícím lemmatu dokážeme některé vlastnosti množiny přípustných řešení úlohy (4.4), kterou budeme značit M. Tyto výsledky budeme potřebovat v důkazech dalších tvrzení. Lemma 4.5. Necht (v, N) je kooperativní hra n hráčů. Označíme množinu přípustných řešení úlohy (4.4) M = {y : S N y S I(i S) = 1, pro každé i N, y S 0, pro každou S N}, kde y = {y S : S N}. Pak množina M je neprázdná, konvexní a existuje konečné číslo γ takové, že y S v(s) γ. S N 17

Důkaz. Definujeme vektor y = {y S : S N} y S = 1, S = N, = 0, jinak. Pak y zřejmě leží v množině M a M je proto neprázdná. Kdyby v množině M ležel pouze jeden prvek y, byla by M konvexní. Necht množina M obsahuje více než jeden vektor. Vezmeme libovolné y a z z množiny M, takové, že y z. Pro libovolné λ z uzavřeného intervalu [0,1] platí pro každé i N y S + (1 λ)z S ] I(i S) = λ S N[λ y S I(i S) + (1 λ) z S I(i S) S N S N = λ + 1 λ = 1. Navíc pro každou množinu S N platí λ y S + (1 λ)z S 0, takže vektor λ y + (1 λ)z leží v množině M. Tím je dokázáno, že M je konvexní. Ze superaditivity funkce v (Definice 3.2) plyne, že pro každou koalici S N je v(s) v(n). Necht y je libovolný vektor z množiny M. Platí, že y S 1 pro každou koalici S. Kdyby totiž existovala koalice T N taková, že y T > 1, pak by pro j T muselo být y S I(j S) = y T + y S I(j S) > 1, S N to je ale spor s tim, že y M. Je tedy S (N\T ) S N y S v(s) v(n) S N pro dokončení důkazu stačí položit γ = 2 n v(n). 1 = 2 n v(n), Nutná a postačující podmínka z Věty 4.4 je příliš komplikovaná. Pro její ověření bychom museli postupně projít všechny balancované systémy, což by při vyšším n byl problém. Nutnou a postačující podmínku je možné zjednodušit pomocí minimálních balancovaných systémů (Bondareva, 1963 a Shapley, 1967). Definice 4.3. Řekneme, že S = {S 1,..., S k } je minimální balancovaný systém, když je S balancovaný a neexistuje balancovaný podsystém T S, T S. Vektor λ balancovaného systému S budeme dále chápat jako vektor s 2 n složkami, ve kterém λ S = 0 pro každou koalici S / S. Jde tedy o koeficienty balancovaného systému doplněné o nuly Pro upravení postačující a nutné podmínky neprázdnosti jádra z Věty 4.4 budeme potřebovat následující definici a větu (Owen, 1995, str. 228). Definice 4.4. Necht M R p je neprázdná konvexní množina. Pak x M je krajní bod množiny M, jestliže neexistují y, z M, y z a λ (0, 1) tak, že x = λ y + (1 λ)z. Věta 4.6. Necht M je množina přípustných řešení úlohy (4.4). Prvek x je krajní bod M právě tehdy, když je vektorem koeficientů nějakého minimálního balancovaného systému. 18

Důkaz. Nejdříve budeme předpokládat, že x je krajní bod množiny M. To znamená, že x v množině M leží a je tedy přípustným řešením úlohy (4.4). Musí proto platit x S I(i S) = 1, i = 1,..., n, S N x S 0, S N, takže {x S : x S 0} jsou koeficienty pro balancovaný systém S = {S : S N, x S > 0}. Pro spor budeme předpokládat, že systém S není minimální. Pak musí existovat balancovaný podsystém C = {C 1,..., C l } S, C S, s nezápornými koeficienty λ 1,..., λ l. Definujeme vektor y = {y S : S N}: y S = λ j, když S = C j pro nějaké j {1,..., l}, = 0, pro S / C. Platí, že pokud y S > 0 pro nějakou koalici S, pak nutně x S > 0, což plyne z konstrukce y a z toho, že C S jsou balancované systémy. Díky tomu existuje dostatečně malé t z otevřeného intervalu (0, 1), že platí u = (1 t)x + t y 0 a v = (1 + t)x t y 0. Snadno se ověří, že u i v leží v množině M. Dále platí 1 2 (u + v) = 1 ((1 t)x + t y + (1 + t)x t y) = x, 2 takže x není krajní bod. To je spor s předpokladem, takže jsme dokázali, že x je vektor koeficientů minimálního balancovaného systému. Nyní budeme předpokládat, že x je vektor koeficientů minimálního balancovaného systému S, leží tedy v množině M. Pro spor budeme předpokládat, že x není krajní bod. Musí tedy existovat body u,v M, u v a konstanta λ z intervalu (0, 1) tak, že x = λ u + (1 λ)v. Když je x S = 0, musí být také u S = 0 a v S = 0, takže pro systémy B = {S : u S > 0} a C = {S : v S > 0} platí B S a C S. Protože u a v jsou z množiny M, jsou systémy B a C balancované. Vzhledem k tomu, že S je minimální, musí být B = S = C. Necht u x. Pak existuje koalice S S taková, že u S > x S. Z toho plyne, že musí existovat i koalice T, pro kterou u T < x T. Kdyby koalice T neexistovala, pak by pro libovolné j S bylo 1 = x P I(j P ) = x S + x P I(j P ) < u S + u P I(j P ) P S = P S u P I(j P ) = 1. P S\S P S\S Nyní definujeme konstantu t jako { } xs t = min : u S > x S u S x S (4.5) a systém D = {S N : (1 + t)x S t = x Z /(u Z x Z ). Platí t u S }. Pro nějakou koalici Z S je (1 + t)x Z = u Z x Z u Z x Z = t u Z, 19

koalice Z tak leží v systému S, ale v systému D ne. Pro koalici T je u T < x T, zároveň z (4.5) víme, že x Z < u Z, takže x Z u T < u Z x T a (1 + t)x T = u Z x T u Z x Z > x Z u T u Z x Z = t u T. Koalice T tedy leží v systému D, který je tak neprázdný a zároveň jde o podsystém S. Zbývá dokázat, že systém D je balancovaný, pak by totiž S nemohl být minimální, což by byl spor s předpokladem. Definujeme hodnoty w P = (1 + t)x P t u P pro všechny koalice P ze systému D. Z definice t plyne, že všechny w P jsou nezáporné. Když totiž máme koalici P z D takovou, že u P x P, je w P zřejmě nezáporné. Aby bylo w P nezáporné, při u P > x P, musí být (1 + t)x P t u P, což je splněno právě když x P t. (4.6) u P x P Konstanta t byla definována tak, aby splňovala (4.6) pro všechny koalice P, pro které je u P > x P. Pro libovolné i Q, kde Q je libovolná koalice z D, platí [(1 + t)x P t u P ] I(i P ) P D w P I(i P ) = P D = P S[(1 + t)x P t u P ] I(i P ) = 1. Dokázali jsme, že balancovaný systém S není minimální, což je spor. Neplatí proto náš předpoklad, podle kterého jsou vektory u a x různé. Stejným způsobem lze dokázat, že i vektory v a x se rovnají a celkem je u = x = v. Na začátku jsme ale předpokládali, že u a v se nerovnají. Opět jsme se tak dostali ke sporu, takže x musí být krajním bodem M, což jsme chtěli dokázat. Nyní můžeme formulovat a dokázat praktičtější verzi Věty 4.4 (Bondareva, 1963 a Shapley, 1967). Věta 4.7. Jádro hry (v, N) je neprázdné právě tehdy, když pro každý minimální balancovaný systém S = {S 1,..., S k } s koeficienty λ 1,..., λ k platí k λ j v(s j ) v(n). (4.7) j=1 Důkaz. Necht je jádro neprázdné. Pak podle Věty 4.4 podmínku 4.7 splňuje každý balancovaný systém, tedy i každý minimální. V důkazu Věty 4.4 bylo dokázáno, že neprázdnost jádra hry je ekvivalentní tomu, že optimální řešení úlohy (4.4) je menší nebo rovno hodnotě v(n). Optimální řešení úlohy (4.4) se nabývá v některém z krajních bodů množiny přípustných řešení, to plyne z výsledků teorie lineárního programování (Lachout, 2011, str. 28) a z Lemmatu 4.5. Podle Věty 4.6 jsou všechny krajní body množiny přípustných řešení vektory koeficientů minimálních balancovaných systémů a zároveň jsou všechny vektory koeficientů minimálních balancovaných systémů krajními body M. Jádro je tedy neprázdné, když pro všechny krajní body x platí x S v(s) v(n). S N 20

Krajní body jsou vektory koeficientů minimálních balancovaných systémů, takže tvrzení je dokázáno. Pro ověření toho, jestli je jádro prázdné nebo ne, potřebujeme ověřit podmínku (4.7) pro všechny minimální balancované systémy. Výsledek z Věty 4.7 tak výrazně zmenšil počet balancovaných systémů, kterými se musíme zabývat. 4.4 Zobecnění jádra V případě, kdy je jádro hry prázdné, jej můžeme nahradit jedním ze dvou zobecnění, která navrhli Shapley a Shubik (1966), a která jsou popsána v následujících dvou definicích. Definice 4.5. Necht ε R. Množinu výplatních vektorů { C w (ε) = x R n x i = v(n), } x i v(s) S ε pro každou koalici S i N i S nazveme slabé epsilon-jádro. Definice 4.6. Necht ε R. Množinu výplatních vektorů { C s (ε) = x R n x i = v(n), } x i v(s) ε pro každou koalici S i S i N nazveme silné epsilon-jádro. Z toho, že každá koalice S má nejméně jednoho člena plyne, že pro libovolnou S a libovolné reálné číslo ε je v(s) S ε v(s) ε. Takže každý prvek ze silného epsilon-jádra C s (ε) musí ležet i ve slabém jádru C w (ε) a je tedy C s (ε) C w (ε). Dále platí, že při ε rovném nule se silné a slabé jádro rovnají jádru hry C(v). Pokud je jádro hry prázdné, můžeme místo něj použít silné epsilon-jádro s kladným ε. Tím dostaneme řešení hry, u kterého některá z koalic S dosáhne menší výhry než kdyby opustila velkou koalici. Kdyby opustila velkou koalici, získala by výhru v(s), ale výplaty ze silného epsilon-jádra jí zajišt ují pouze v(s) ε. V takovém případě by nahrazení jádra epsilon-jádrem nebylo příliš vhodné, protože velká koalice by se okamžitě rozpadla. Tento problém jde obejít zavedením pokuty za opuštění N. Koalice S, která se rozhodne vystoupit, by musela zaplatit pokutu ε. Tím přestane být rozbití velké koalice výhodné. Pokud naopak existuje neprázdné jádro C(v), můžeme se ho pokusit zmenšit pomocí epsilon-jádra se záporným ε. Tím zesílíme požadavky na výhry všech koalicí o přidanou hodnotu ε. Tento postup se dá použít k definici nejmenšího jádra. Definice 4.7. Nejmenší jádro je průnik všech neprázdných silných epsilon-jader C s (ε). Vzhledem k tomu, že pro libovolnou dvojici reálných čísel a, b takovou, že a < b, platí C s (a) C s (b), můžeme nejmenší jádro definovat jako silné epsilonjádro C s (ˆε), kde ˆε je nejmenší ε, pro které C s (ε). Nejmenším jádrem, které je jednoznačně určené můžeme bud nahradit jádro, pokud je prázdné, nebo můžeme zmenšit neprázdné jádro na množinu výplatních vektorů, které budou pro hráče nejzajímavější. 21

5. Těžiště jádra Když se nám podaří nalézt jádro kooperativní hry, stále tím nezískáváme odpověd na otázku, kterou z výplat by měli hráči vybrat. Jádro může obsahovat velké množství výplat a je tedy potřeba najít pravidlo, které by pomohlo určit, která výplata je nejlepší. Hledáním nejlepší výplaty se budeme zabývat v této kapitole. 5.1 Nukleolus Jednou z možností, jak vybrat nejlepší výplatu, je nalezení takové výplaty, proti které bude mezi všemi možnými koalicemi nejmenší možný odpor. V definici nukleolu se používá lexikografické uspořádání spolu s konstrukcí pomocného vektoru, který vyjadřuje nespokojenost jednotlivých koalic. Definoval ho Schmeidler (1969). Pro libovolnou efektivní výplatu x = (x 1,..., x n ) budeme přes všechny koalice S N porovnávat hodnoty e(s, x) = v(s) i S x i, (5.1) které vyjadřují míru nespokojenosti koalice S s výplatním vektorem x. Dále zavedeme zobrazení θ, které každé efektivní výplatě přiřadí vektor hodnot (5.1) pro všechny koalice, seřazených podle velikosti od největší k nejmenší. Pro efektivní výplatu x je tedy θ(x) = (θ(x) 1,..., θ(x) 2 n), kde θ(x) 1 = max{θ(x) k, k = 1, 2,..., 2 n } a θ(x) k = e(s, x), pro nějakou koalici S. Ted s pomocí zobrazení θ zavedeme výše zmíněné lexikografické uspořádání. Pro libovolné dvě výplaty x a y platí, že x je lepší než y podle zobrazení θ (x θ y), jestliže bud θ(x) 1 < θ(y) 1, nebo existuje 2 k n, že θ(x) k < θ(y) k a pro každé 1 j < k je θ(x) j = θ(y) j. Nyní již můžeme definovat nukleolus, podle Schmeidlera (1969). Definice 5.1. Nukleolus hry (v, N) je množina efektivních výplat x E(v) takových, že pro každé y E(v) je x θ y. Nukleolus budeme značit N θ (v). V nukleolu hry (v, N) jsou tedy takové výplaty, proti kterým je mezi všemi možnými koalicemi nejmenší odpor, a jsou v tomto smyslu nejlepší. Schmeidler (1969) zároveň dokázal, že nukleolus na neprázdné kompaktní množině výplat x je neprázdný. V následující větě (Owen, 1995, str. 324) je dokázáno, že nukleolus je jednoprvková množina. Poskytuje nám proto jednoznačně určené řešení hry, narozdíl od ostatních řešení, která jako výsledek určí množinu výplat. Věta 5.1. Nukleolus N θ (v) hry (v, N) obsahuje nejvýše jednu výplatu. 22

Důkaz. Pro spor budeme předpokládat, že v nukleolu leží dvě různé výplaty x a y. Protože jsou z nukleolu, musí nutně být θ(x) = θ(y). Z definice zobrazení θ víme, že θ(x) = (e(s 1, x), e(s 2, x),..., e(s 2 n, x)), θ(y) = (e(t 1, y), e(t 2, y),..., e(t 2 n, y)), kde {S 1, S 2,..., S 2 n} a {T 1, T 2,..., T 2 n} jsou množiny všech podmnožin N takové, že e(s l, x) e(s l+1, x) a e(t l, y) e(t l+1, y) pro každé l {1, 2,..., 2 n 1} a když e(s l, x) = e(s l+1, x), pak e(s l, y) e(s l+1, y). Pro libovolnou konstantu λ (0, 1) a libovolnou koalici S dále platí, že e(s, λ x + (1 λ) y) = v(s) i S (λ x i + (1 λ) y i ) ( = λ v(s) ) ( x i + (1 λ) v(s) ) y i i S i S = λ e(s, x) + (1 λ) e(s, y). Definujeme konstantu c jako nejmenší číslo z {1, 2,..., 2 n } takové, že e(s c, x) e(s c, y). Pro každé l < c pak platí e(s l, x) = e(s l, y) = e(s l, λ x + (1 λ) y). Pro l c dokážeme, že e(s l, y) e(s c, x). Necht existuje index k c takový, že e(s k, y) > e(s c, x). Pro každou koalici S, která splňuje e(s, x) > e(s c, x) (tj. S = S l pro nějaké l {1, 2,..., c 1}) platí e(s, y) = e(s, x) > e(s c, x). Zároveň podle našeho předpokladu víme, že existuje k c, pro které e(s k, y) > e(s c, x). Z definice θ(x) a konstanty c plyne, že vektor θ(x) obsahuje nejvýše c 1 hodnot, které jsou větší než e(s c, x). Zároveň ale z výše popsaného plyne, že ve vektoru θ(y) je takových hodnot nejméně o jednu více než v θ(x). Vektory θ(x) a θ(y) se proto nemohou rovnat, což je spor s tím, že x a y leží v nukleolu. Tím je dokázáno, že pro l c je e(s l, y) e(s c, x). Podle definice konstanty c je e(s c, x) e(s c, y), musí tak být e(s c, y) < e(s c, x). Jeden z výše popsaných požadavků na množinu {S 1, S 2,..., S 2 n} dále říká, že když e(s l, x) = e(s l+1, x), pak e(s l, y) e(s l+1, y). Necht l > c takové, že e(s l, x) = e(s c, x). Pak z konstrukce θ plyne, že e(s c, x) = e(s c+1, x) = = e(s l, x) a e(s l, y) e(s l 1, y) e(s c+1, y) e(s c, y) < e(s c, x). Pro l > c tak platí bud e(s l, x) < e(s c, x) a e(s l, y) e(s c, x), nebo e(s l, x) = e(s c, x) a e(s l, y) < e(s c, x). Definujeme výplatu z = 0.5 x + 0.5 y. Pro l < c je e(s l, z) = 0.5 (e(s l, x) + e(s l, y)) = e(s l, x). Pro l = c je e(s c, z) = 0.5 (e(s c, x) + e(s c, y)) < e(s c, x). Při l > c platí e(s l, z) = 0.5 (e(s l, x) + e(s l, y)) < e(s c, x). Z toho plyne, že z θ x. To je ale ve sporu s tím, že x leží v nukleolu. V následující větě je dokázáno, že když je jádro hry (v, N) neprázdné, nukleolus v něm leží. Vzhledem k tomu, že je jednoznačně určený, a ve výše popsaném smyslu nejlepší, můžeme ho použít jako řešení hry. Problém s jádrem hry totiž spočívá v tom, že jádro je jednoprvkové pouze v některých speciálních případech. Věta 5.2. Necht je jádro C(v) hry (v, N) neprázdné. Pak nukleolus x leží v jádru C(v). 23

Důkaz. Předpokládáme, že x je nukleolus, tedy efektivní výplata splňující podmínku z Definice 5.1. Pro důkaz, že x leží v jádru C(v) stačí ověřit podmínky z definice jádra (Definice 3.8). Protože x je efektivní výplata, platí i N x i = v(n). Dále potřebujeme dokázat, že pro každou koalici S je x i v(s). (5.2) Je zřejmé že podmínka (5.2) je ekvivalentní podmínce i S θ(x) k 0, pro každé k = 1,..., 2 n. (5.3) Pro spor budeme předpokládat, že θ(x) 1 > 0 (za tohoto předpokladu x neleží v jádru hry). Z definice nukleolu víme, že pro každou efektivní výplatu y musí být θ(y) 1 θ(x) 1 > 0, takže pro každou efektivní výplatu y existuje koalice S y taková, že v(s y ) i S y y i = θ(y) 1 > 0, to ale znamená, že y nemůže ležet v jádru hry a jádro je prázdné. To je spor s předpokladem věty, takže θ(x) 1 0 a protože θ(x) 1 = max{θ(x) k, k = 1, 2,..., 2 n }, je podmínka (5.3) splněna. 5.2 Těžiště Těžiště jádra je dalším způsobem, jak lze najít jednoznačně určenou výplatu, která leží v jádru (předpokládáme, že jádro je neprázdné) a zároveň může představovat spravedlivé rozdělení výhry mezi hráče. Těžiště a některé jeho hlavní vlastnosti popsali Díaz a Rodríguez (2003, 2007). Pro definování těžiště jádra předpokládáme, že všechny výplaty z jádra budou přijaty se stejnou pravděpodobností. Tento předpoklad je přirozený, protože výplatní vektory, které leží v jádru jsou ve smyslu dominance navzájem neporovnatelné, není tedy důvod si myslet, že by některý měl být hráči upřednostňován. Můžeme proto uvažovat spojité rovnoměrné rozdělení na jádru C(v) hry (v, N). Těžiště jádra je pak definované jako střední hodnota tohoto rozdělení. Definice 5.2. Necht C(v) je neprázdné jádro hry (v, N). Pak těžiště jádra c = (c 1,..., c n ) definujeme pro i = 1,..., n jako 1 c i = V (C(v)) x i dx 1 dx n, C(v) kde V (C(v)) = 1 dx 1 dx n. C(v) Vzhledem k tomu, že těžiště jádra je střední hodnotou při rovnoměrném rozdělení, je toto řešení v určitém smyslu spravedlivé. Když se hráči spojení do velké koalice rozhodují, jaké rozdělení výhry (výplatu z jádra) si vyberou, každý z hráčů se snaží získat pro sebe co nejvíc. Je tedy nutné najít takovou výplatu, která bude přijatelná pro všechny. 24