4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné Po vyřešení prvních čtyř příkladů nechávám studentům svobodu volby Při řešení nerovnic, které obsahují tg nebo cotg používáme grafy funkcí V této hodině se projeví, jak jsou na tom studenti opravdu s představami o zachycení goniometrických funkcí v jednotkové kružnici Pokud se objeví tyto problémy, je třeba nejdříve odstranit je a pak se teprve zabývat nerovnicemi Pedagogická poznámka: Připravená látka zaplňuje dvě vyučovací hodiny, v té první se řeší prvních šest příkladů, v té druhé zbytek Goniometrické funkce (zejména sinus a cosinu) mají něco společného s kvadratickou funkcí nejsou prosté řešení goniometrický nerovnic probíhá podobně jako řešení kvadratických nerovnic ve dvou krocích: vyřešíme rovnici kořeny získané v předchozím kroku využijeme k nakreslení obrázku nebo vynesení do grafu, podle kterého rozhodneme o řešení nerovnice Př : sin x Umíme vyřešit rovnici s pomocí obrázku sin x = Nakreslíme jednotkovou kružnici a vyřešíme nerovnost - S x π 5 x R Řešení rovnice x =, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která sin x mají y-ovou souřadnici větší (nebo rovnou) jsou výše (nebo stejně vysoko) než čísla vyhovující rovnici sin x =
- S x x R Řešením nerovnice jsou všechna čísla π 5 v intervalu ; π - Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval π 5 K = + k π; π + k π k Z π 5 + k π; π + k π Př : y = cos x cos x Kromě jednotkové kružnice využij i graf funkce Umíme vyřešit rovnici cos x = x x - S R 5 7 Řešení rovnice x = π, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která cos x mají x-ovou souřadnici menší (nebo rovnou) jsou více vlevo (nebo stejně vlevo) jako čísla vyhovující rovnici cos x =
x x - S R Řešením nerovnice jsou všechna čísla 5 7 v intervalu π ; π - Kontrola pomocí grafu funkce Do grafu vyznačíme hodnotu y = cos x y = : x x - Na ose x hledáme čísla, pro která rovny) cos x hodnoty funkce jsou menší (nebo jsou jsou níže (nebo stejně nízko) jako body přímky 5 7 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π π ; Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval 5 7 K = π + k π; π + k π k Z y = 5 7 π + k π; π + k π Pedagogická poznámka: U slabších studentů povoluji, aby ve všech následujících příkladech používali metodu, která je pro ně jednodušší
Př : sin x > Při řešení využij obrázek jednotkové kružnice - S x x R Základní řešení rovnice 4 5 x = π, x = π sin x = - Hledáme čísla, pro která sin x > mají y-ovou souřadnici větší než jednotkové kružnici výše než čísla vyhovující rovnici sin x = leží na - S x x R - Vybarvená čísla nemůžeme zapsat intervaly: 5 4 π ; π (v intervalu píšeme vždy nejdříve menší číslo) 4 5 π ; π (ten obsahuje mimo krajní body čísla, která nejsou řešením nerovnice) použijeme pro jeden z krajních bodů číslo, které není v intervalu 0;π ) dvě možnosti: 5 π π = π získáme interval 4 π ; π, 4
4 0 5 0 π + π = π získáme interval π ; π Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval 4 K = π + k π; π + k π k Z 4 π + k π; π + k π Př 4: cos x Při řešení využij graf funkce y = cos x π 7 Rovnice cos x = má v intervalu 0;π dvě řešení: x =, x = π 4 4 Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu 0,5-0,5 - Řešení v intervalu 0;π ) bychom museli zapsat pomocí dvou intervalů Zápis se značně zjednoduší, když vybereme čísla mimo interval 0;π ) : π 7 0; π;π 4 4 π π řešení pomocí intervalu kolem 0 ;, 4 4 7 9 řešení pomocí intervalu kolem π π ; π 4 4 Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π π π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval + k π; + k π 4 4 π π K = + k π ; + k π 4 4 k Z 5
Př 5: tg x > π π Rovnice tg x = má v intervalu ; jediné řešení: π x = Nakreslíme graf funkce y = tg x a zobrazíme do něj hodnotu - π π π π Řešení v intervalu ; můžeme zapsat jako ;, hodnoty funkce tg y = x se π π opakují s periodou π K = + k π; + k π k Z Př 6: cotg x Rovnice cotg x = má v intervalu ( 0;π ) jediné řešení: Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu x = π 4 6
4 - - - -4 Řešení v intervalu ( 0;π ) můžeme zapsat jako opakují s periodou π 0; π, hodnoty funkce y = cotg x se 4 K = 0 + k π; π + k π k Z 4 Pedagogická poznámka: Před řešením následujících příkladů je dobré zdůraznit dvě věci: jde o těžší příklady, které nemusí zvládnout každý (on je také zdaleka každý nestihne), k jejich řešení není třeba nic nového mimo využití postupů, které jsme používali už dříve u jiných typů rovnic Př 7: < sin x Problém: Nerovnice obsahuje dvě nerovnosti dvě možnosti řešení: vyřešíme každou nerovnost samostatně a výsledek určíme jako průnik obou řešení (musí platit obě nerovnosti současně) nevýhoda dvojí práce s kreslením grafu (nebo kružnice), 7
samostatně řešíme pouze rovnice sin x = a sin x =, získané úhly nakreslíme do jednoho obrázku, kde rovnou určíme řešení (rychlejší postup s menší pravděpodobností chyby) Základní řešení rovnic: 7 sin x = x = π, x = π (šestinové úhly v záporné polorovině), π sin x = x =, x4 = π (čtvrtinové úhly v kladné polorovině) 4 4 Do grafu vyznačíme přímky y =, y = a všechny čtyři určené hodnoty úhlů: x x4 x x - Na ose x hledáme čísla, pro která: sin x hodnoty funkce leží pod (nebo stejně nízko) přímkou sin x > hodnoty funkce leží nad přímkou y = y =, - x x x x4 x5 7 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalech π ; π 9 a ; 4 6 π π + π = π 6 4 4 Hodnoty se opakují s periodou π 7 9 K = π + k π; π + k π π + k π ; π + k π k Z 4 6 6 4 8
Př 8: π sin x > Problém: uvnitř sinu je složitější výraz substituce π Substituce: z = x nerovnice sin z > π Základní řešení rovnice: sin z = z =, z = π (třetinové úhly v kladné polorovině) Do grafu vyznačíme přímku y = a určené hodnoty úhlů z, z Na ose x hledáme čísla, pro která sin z > hodnoty funkce leží nad přímkou y = x x - π Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ; π π Hodnoty se opakují s periodou π K = + k π; π + k π k Z Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů) π π π z = x = + k π z = x = π + k π π π π π π x = + k π / + x = π + k π / + x = π + k π / : x = π + k π / : π x = + k π x = π + k π 9 π K = π + k π ; + k π k Z 9 Pedagogická poznámka: Při substituci nepoužíváme standardní označení proměnné y, kvůli možnosti záměny s označením osy y v grafu Studenti samozřejmě budou y při substituci často používat, pokud se jim nezačne plést s označením osy, není to na závadu 9
Př 9: cos x > Problém: cos x je uvnitř absolutní hodnoty substituce Substituce: a = cos x nerovnice a = a 0 > Hledáme čísla vzdálená od nuly více než o platí y ; ; Přepíšeme interval hodnot a = cos x pomocí nerovnic: a = cos x ; ; a = cos x < nebo a = cos x > Získali jsme dvě nerovnice, každou vyřešíme zvlášť Protože stačí, aby nalezená hodnota x splňovala jednu z podmínek, získáme celkové řešení jako sjednocení a) cos x < Základní řešení rovnice: polorovině osy x) 5 7 cos x = x = π, x = π (šestinové úhly v záporné Do grafu vyznačíme přímku y = a určené hodnoty úhlů x, x Na ose x hledáme čísla, pro která cos x < hodnoty funkce leží pod přímkou y = x x - Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu 5 7 π K = π + k π ; π + k π k Z b) y = cos x > 5 7 π ; π, hodnoty se opakují s periodou 0
Základní řešení rovnice: polorovině osy x) π cos x = x =, x = π (šestinové úhly v kladné Do grafu vyznačíme přímku y = a určené hodnoty úhlů x, x Na ose x hledáme čísla, pro která cos x > hodnoty funkce leží nad přímkou y = x x - π π Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ;, hodnoty se opakují s periodou π π π K = + k π ; + k π k Z 5 7 π π K = π + k π; π + k π + k π; + k π k Z Př 0: sin x Problém: sin x je uvnitř absolutní hodnoty substituce Substituce: y = sin x nerovnice a Nerovnici nemůže ihned interpretovat pomocí vzdálenosti obrazů bodů na číselné ose upravíme: a = a a / : a Hledáme čísla vzdálená od více než o (nebo přesně o) platí a ( ;0 ; ) Přepíšeme interval hodnot a = sin x pomocí nerovnic: a = sin x ;0 ; a = sin x 0 nebo a = sin x ( ) Získali jsme dvě nerovnice, každou vyřešíme zvlášť Protože stačí, aby nalezená hodnota x splňovala jednu z podmínek, získáme celkové řešení jako sjednocení
a) a = sin x 0 Základní řešení rovnice: sin x = 0 x = 0, x = π Do grafu vyznačíme přímku y = 0 a určené hodnoty úhlů x, x Na ose x hledáme čísla, pro která sin x 0 hodnoty funkce leží pod nebo na přímce y = 0 - x x Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π;π, hodnoty se opakují s periodou π K = π + k π;π + k π k Z b) a = sin x π Základní řešení rovnice: sin x = x = Do grafu vyznačíme přímku y = a určenou hodnotu úhlu x Na ose x hledáme čísla, pro která sin x hodnoty funkce leží nad nebo na přímce y = - x π π Řešením nerovnice je číslo, hodnoty se opakují s periodou π K = + k π k Z π K = π + k π;π + k π + k π k Z Př : Petáková: strana 55/cvičení 6 a) b) e) f) strana 55/cvičení 7 a) b)
Shrnutí: Při řešení goniometrických nerovnic využíváme grafy goniometrických funkcí (nebo znázornění pomocí jednotkové kružnice) a řešení odpovídajících goniometrických rovnic