Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes

Komplexní čísla Základní pojmy analýzy v C Holomorfní funkce Integrální reprezentace holomorfní funkce Reprezentace holomorfní funkce mocninnou řadou Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou Reziduová věta a její aplikace Fourierova transformace Laplaceova transformace Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte katedra matematiky, FEL ČVUT 18. listopadu 2009 Jan Hamhalter http://math.feld.cvut.cz/hamhalte Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes

Hlavní témata Funkce komplexní proměnné Fourierova transformace, Laplaceova transformace, Z -transformace Základy teorie stochastických procesů (spektrální teorie, Markovovy řetězce)

Literatura J.Hamhalter, J.Tišer: Funkce komplexní proměnné. Skripta FEL ČVUT, 2001. H.A.Priestly: Introduction to Complex Analysis, Oxford University Press, 2003. M.Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, Skripta FEL ČVUT, 2007. Z.Prášková a P.Lachout: Základy náhodných procesů I, MFF UK, 2005. J.Veit: Integrální transformace, XIV, SNTL, Praha 1979.

1. Komplexní čísla Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou hledat kořeny polynomů Geronimo Cardano (1501-1576) - vzorce pro řešení kvadratické a kubické rovnice René Descartes (1596-1615) - pojem imaginární řešení Carl Friedrich Gauss (1777-1855) - korektní zavedení komplexních čísel, komplexní rovina William Rowan Hamilton (1805-1856) - komplexní čísla jako dvojice čísel reálných, zavedl i kvaterniony

Chceme model rozšiřující množinu reálných čísel R a obsahující element (imaginární jednotku) j tak, že j 2 = 1. 1.1. Definice. Symbolem C označíme množinu uspořádaných dvojic {(x, y) x, y R} s následujícími operacemi: Sčítání: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Násobení: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) C... množina komplexních čísel (1, 0) (x, y) = (x, y), (0, 1) (x, y) = ( y, x) a tedy pro j (0, 1) platí j 2 = ( 1, 0) 1. Obecně: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) x + jy.

komplexní čísla se násobí jako dvojčleny s využitím j 2 = 1. Terminologie a značení z = x + j y, x, y R x = Re z... reálná část, y = Im z... imaginární část z = x j y... číslo komplexně sdružené z = x 2 + y 2 = z z... absolutní hodnota (modul) Algebraické zákony: z 1 z 2 = z 2 z 1, z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3, z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Pravidla pro konjugaci: (i) z = z, (ii) z w = z w (iii) Re z = z+z 2 (iv) Im z = z z 2 j (v) z = z.

Komplexní (Gaussova) rovina Re z = z cos ϕ Im z = z sin ϕ. Argument: z 0 Arg z = {ϕ R z = z (cos ϕ + j sin ϕ) }. Hlavní hodnota argumentu: z 0 arg z Arg z, arg z ( π, π >. Příklad: z 1 = 1 + j, z 2 = 1 (1 j 3). 2 z 1 = 2, cos ϕ = 2 2 = sin ϕ arg z 1 = π 4. z 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 arg z 2 = π 3.

Geometrický význam sčítání:... otočení o úhel ϕ kolem počátku a pak stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem a. a C z z + a... posun v rovině o vektor a. Geometrický význam násobení: z 1 z 2 = z 1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) z 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) = z 1 z 2 [cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 +j(cos ϕ 1 sin ϕ 2 +sin ϕ 1 cos ϕ 2 )] = z 1 z 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + j sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]. Tedy z 1 z 2 = z 1 z 2 arg z 1 + arg z 2 Arg(z 1 z 2 ). z z a, kde a = a (cos ϕ + j sin ϕ)

Příklad: Je dán trojúhelník s vrcholy 1 + j, j, 1 + j. Otočte tento trojúhelník o pravý úhel vzhledem k počátku otočené vrcholy: j(1 + j) = 1 + j, j 2 = 1, j( 1 + j) = 1 j další varianta: 1 j, 1, 1 + j. Dělení - inverzní operace k násobení z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2. Geometrická interpretace dělení: z z a a = a (cos ϕ + j sin ϕ), a 0... otočení o úhel ϕ a stejnolehlost s koeficientem 1 a. Příklad: 1 x + jy = x jy x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 j y x 2 + y 2.

1.2. Věta. (Moivrova věta) Pro z = z (cos ϕ + j sin ϕ) platí z n = z n (cos nϕ + j sin nϕ). Příklad: (1 + j) n = 2 n (cos n π 4 + j sin n π 4 ). Binomická rovnice: z n = a z n (cos nϕ + j sin nϕ) = a (cos ψ + j sin ψ) z = n a, nϕ = ψ + 2kπ, ϕ = ψ + 2kπ n Stačí vzít k = 0, 1,..., n 1.... vrcholy pravidelného n-úhelníka na kružnici z = n a.

Příklad: Nalezněte 4 1 j. Tj. řešíme rovnici z 4 = a, a = 1 j. a = 2, ψ = π 4 úhly: π 16, 7π 16, 15π 16, 23π 16 z 1 = 8 2(cos π 16 j sin π 16 ) z 2 = 8 2(cos 7π 16 z 3 = z 1 z 4 = z 2. + j sin 7π 16 ) "Odmocniny v komplexním oboru jsou víceznačné funkce"

Vzdálenost bodů z 1, z 2 : z 1 z 2. Nerovnosti 1 Re z, Im z z 2 z + w z + w (trojúhelníková nerovnost) 3 z + w z w 4 z Re z + Im z. Důkaz (2) z + w 2 = (z + w)(z + w) = z 2 + w 2 + (wz + zw) = = z 2 + w 2 + 2 Re(zw) z 2 + w 2 + 2 z w = = ( z + w ) 2. (3) z = z + w w z + w + w w = z + w z z + w + z

(4) z 2 = Re z 2 + Im z 2 Re z 2 + Im z 2 + 2 Re z Im z = ( Re z + Im z ) 2 Poznámka: C nemá uspořádání! Cvičení důležité geometrické útvary v rovině a jejich popis z a = r, r > 0, a C z a r, r > 0, a C [z 1, z 2 ] = {z 1 + t(z 2 z 1 ) t < 0, 1 >} úsečka Re z 5 π 4 arg z 3π 4 a b, z a = z b... osa úsečky [a, b].

Apolloniovy kružnice: α = α 1 + jα 2, β = β 1 + jβ 2, α β, λ > 0, λ 1. z α z β = λ. Konstantní poměr vzdáleností k daným bodům. Výpočet v kartézských souřadnicích pro z = x + jy. z α 2 = λ 2 z β 2 (x α 1 ) 2 + (y α 2 ) 2 = λ 2 (x β 1 ) 2 + λ 2 (y β 2 ) 2 Po zjednodušení: ( x α 1 λ 2 ) β 2 ( 1 1 λ 2 + y α 2 λ 2 ) β 2 2 1 λ 2 = r 2

Střed: a = α 1 λ 2 β 1 1 λ 2 + j α 2 λ 2 β 2 1 λ 2 = a 1 + ja 2 Fakt: α, β, a leží na jedné přímce: [ λ 2 ] (β 1 α 1 ) [α 1 a 1, α 2 a 2 ] = 1 λ 2, λ2 (β 2 α 2 ) 1 λ 2 [ β1 α 1 [β 1 a 1, β 2 a 2 ] = 1 λ 2, β ] 2 α 2 1 λ 2 Zobecněná kružnice (circline) = kružnice nebo přímka inverzní body vůči přímce jsou body souměrně sdružené inverzní body vůči kružnici z a = r : body α, β ležící na polopřímce procházející středem kružnice, pro které platí α a β a = r 2.

1.3. Tvrzení. Pro Apolloniovu kružnici K s určujícími body α, β platí, že α a β jsou inverzní vůči K. Ověření: Periferní body z 1, z 2 z 1 α = λ(z 1 β) z 2 α = λ(z 2 β) a = 1 2 (z 1 + z 2 ), r = 1 2 z 1 z 2. α a = 1 2 ((α z 1) + (α z 2 )) = 1 2 λ[(β z 1) (β z 2 )] = 1 2 λ(z 2 z 1 )

Obdobně Tedy λ(β a) = 1 2 (z 2 z 1 ) (α a)(β a) = 1 4 (z 2 z 1 )(z 2 z 1 ) = r 2 Závěr: α a β jsou inverzní body a navíc α a = r 2 β a K = {z z a = r} Kruhová inverze vůči K je zobrazení f (z) = r 2 z a + a. transformace z 1/z realizuje kruhovou inverzi vůči jednotkové kružnici.

Příklad: Určete parametry kružnice z + 1 = λ z λ 1, λ > 0. 1, 0 jsou inverzní body, a proto jeden průměr leží na reálné ose; periferní body z 1 z 2 jsou řešením rovnice z 1 = 1 λ 1 ; z 2 = 1 λ 1. střed: 1 2 ( 1 poloměr: 1 2 λ 1 + 1 λ 1 ) = 1 λ+1 = 1 2 1 λ 1 + 1 z + 1 = ±λz λ 2 1 2λ λ 2 1 = λ λ 2 1.

Rozšířená rovina komplexních čísel a Riemannova sféra Riemannova sféra neboli S : x 2 + y 2 + (u 1/2) 2 = 1 4 x 2 + y 2 + u 2 = u. Φ(z)... stereografická projekce C na S \ N, kde N = [0, 0, 1]. Pro z = x + jy je Φ(z) průsečík přímky spojujícící z a N se sférou S.

Výpočet explicitní podoby: přímka: [0, 0, 1] + t[(x, y, 0) (0, 0, 1)] = [tx, ty, 1 t]. dosazeno do rovnice sféry: t 2 x 2 + t 2 y 2 + (1 t) 2 = 1 t t 2 (1 + x 2 + y 2 ) t = 0 t = 1 1 + x 2 + y 2

[ Φ(x + jy) = x 1 + x 2 + y 2, y 1 + x 2 + y 2, x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 Φ je vzájemně jednoznačné zobrazení C na S \ {N}. Na sféře se blížíme k N z. N S C { } = C... rozšířená komplexní rovina Rozšířená aritmetika: pro a C. a =, a ± =, = 0, a 0 = proa 0. ].

Co odpovídá rovnoběžkám? Kružnice se středem v počátku Co odpovídá kulovému vrchlíku? Vnějšek kruhu se středem v počátku. Jaké útvary v C se zobrazí na kružnice na S? Každá kružnice je průnik S s rovinou ax + by + cu = d Složky Φ musí vyhovovat této rovnici, tj. ax 1 + x 2 + y 2 + by 1 + x 2 + y 2 + c(x 2 + y 2 ) 1 + x 2 + y 2 = d. (c d)(x 2 + y 2 ) + ax + by = d

c d... rovnice kružnice c = d... rovnice přímky (právě když nejdeme přes severní pól) kružnice na S zobecněné kružnice v C.

2. Základní pojmy analýzy v C Základem analýzy je pojem limity, k tomu potřebujeme pojem okolí bodu z C. U(z) = U(z, ε) = {w C w z < ε}.... ε-okolí bodu z, (ε > 0).... prstencové okolí bodu z. U(z, ε) \ {z}... okolí nekonečna. U(, ε) = {w C w > ε}.

2.1. Definice. Posloupnost (z n ) C má limitu z C, jestliže pro každé okolí U(z) platí, že pouze konečně mnoho členů posloupnosti (z n ) neleží v U(z). 2.2. Tvrzení. 1 lim n z n = z C právě tehdy když lim n Re z n = Re z a současně lim n Im z n = Im z. 2 lim n z n = právě tehdy když lim n z n =. Důkaz: (1) lim n z n = z C lim n z z n = 0. Re(z z n ), Im(z z n ) z z n Re(z z n ) + Im(z z n ) Příklad z n = (1 + 1 n )n + j cos 1 n lim n z n = lim n (1 + 1 n )n + j lim n cos 1 n = e + j

lim n ( 1) n n =. Tato limita neexistuje v oboru reálných čísel!! 2.3. Definice. 1 Necht G C. Řekneme, že množina G je otevřená jestliže s každým svým bodem z G obsahuje i jisté jeho okolí U(z, ε) G. 2 Bod z C se nazývá hraničním bodem množiny M, jestliže pro každé jeho okolí U(z, ε) platí U(z, ε) M a současně U(z, ε) (C \ M). 3 Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M a značí se M. 4 Uzávěr M množiny M je definován jako M M. Množiny, pro které platí, že M = M se nazývají uzavřené.

M je uzavřená C \ M je otevřená M M. je otevřená "souvislý celek nelze roztrhnout na dvě části" 2.4. Definice. Množina D neni souvislá, jestliže existují dvě disjunktní otevřené množiny G a H takové, že 1 D G H (pokrýváme) 2 G D a H D. (efektivní pokrytí) V opačném případě nazýváme množinu D souvislou.

2.5. Tvrzení. Úsečka [a, b] je souvislá množina. Důkaz: přednáška tabule 2.6. Definice. Souvislá otevřená množina se nazývá oblast. 2.7. Věta. Necht G C je otevřená neprázdná množina. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní. 1 Každé dva body z G lze spojit lomenou čarou ležící v G. 2 G je oblast. Důkaz: přednáška tabule, skripta

2.8. Definice. Množina G C se nazývá konvexní, jestliže lze každé dva body z G spojit úsečkou ležící v G. 2.9. Tvrzení. Otevřená konvexní množina je oblast. Opačné tvrzení neplatí!!! - Budeme zacházet s oblastmi, které "nemají díry".

2.10. Definice. Oblast G C se nazývá jednoduše souvislá, jestliže její steregrafická projekce Φ(G) na Riemannovu sféru má souvislý doplněk. 2.11. Tvrzení. Omezená oblast G C je jednoduše souvislá právě tehdy když C \ G je souvislá množina.

2.12. Tvrzení. Otevřená konvexní množina G je jednoduše souvislá. Důkaz: Lze předpokládat, že 0 G. Dva body v doplňku Φ(G) lze spojit poledníky procházejícími přes severní pól. Detaily - přednáška tabule.

3. Holomorfní funkce 3.1. Funkce komplexní proměnné 3.1. Definice. f : D(f ) C, D(f ) C je komplexní funkce. možné interpretace: f (x + jy) = u(x, y) + j v(x, y), x, y R dvojice reálných funkcí vektorové pole. Re f = u, Im f = v. z f (z)... jistá transformace roviny

Příklad: f (z) = z 2. (x + jy) 2 = x 2 y 2 + j2xy u(x, y) = x 2 y 2 ; v(x, y) = 2xy

geometricky: z (cos ϕ + j sin ϕ) z 2 (cos 2ϕ + j sin 2ϕ). například: 1. kvadrant horní polorovina; horní polorovina C \ R +. Deformace souřadnicové sítě: Re z = c {(c 2 y 2 ) + j2cy y R}. c = 0... R c 0... parabola.

3.2. Definice. Necht f : C C je komplexní funkce a z 0 C { }. Řekneme, že f má limitu A C { } v bodě z 0, jestliže pro každé okolí U(A, ε) existuje okolí U(z 0, δ) takové, že každý bod z U(z 0, δ) \ {z 0 } se zobrazí do U(A, ε). Řekneme, že f je spojitá v bodě z 0, jestliže lim f (z) = f (z 0 ). z z 0 Příklady: z 1) lim z 0 z neexistuje. 2) lim z z 2 =. 1 3) lim z 0 z =!! Na rozdíl od reálného oboru!! Funkce f (z) = arg z je spojitá v C \ R. Přechodem přes zápornou část reálné osy zaznamenáme skok 2π.

3.2. Diferencovatelnost komplexních funkcí 3.3. Definice. Komplexní funkce f (z) má v bodě z C derivaci, jestliže existuje vlastní limita f (z + h) f (z) lim. h 0 h Hodnota této limity se označuje f (z). Dvourozměrnost limity má silné důsledky Pro derivování platí běžná pravidla se stejným důkazem jako v reálném oboru.

1 (f + g) (z) = f (z) + g (z). 2 (fg) (z) = f (z)g(z) + g (z)f (z). 3 ( f g ) (z) = f (z)g(z) f (z)g (z) g 2 (z) 4 [f (g(z))] = f (g(z))g (z). je-li g(z) 0. 5 Je-li g inverzní funkce k funkci f, pak g (z) = 1 f (g(z)), za předpokladu, že derivace f (g(z)) existuje a je nenulová

Příklad: Určete f (z) pro f (z) = z n, n N. f (z) = nz n 1. Ověříme indukcí: n = 1... f (z) = 1 Necht hypotéza platí pro n. Pak (z n+1 ) = (z z n ) = z n + z n z n 1 = (n + 1)z n. Příklad: f (z) = Re z. f (z + h) f (z) h = Re h h Limita pro h 0 tohoto výrazu neexistuje (testujte limity po osách). f (z) je příklad spojité funkce, která nemá derivaci v žádném bodě. Najdete takto snadno příklad reálné funkce s týmiž vlastnostmi?

3.4. Věta. Necht f je diferencovatelná v bodě z = x + jy. Pak reálná složka u i imaginární složka v funkce f mají parciální derivace v bodě (x, y). Tyto parciální derivace splňují následující Cauchy-Riemannovy podmínky: u x v u (x, y) = (x, y), y y (x, y) = v (x, y). x Navíc platí, že f (z) = u x Důkaz: f (z) = lim h 0 f (z+h) f (z) h. Jdeme po reálné ose: v (x, y) + j (x, y). x f u(x + h, y) u(x, y) v(x + h, y) v(x, y) (z) = lim + j h 0,h R h h = u x v (x, y) + j (x, y). x

Jdeme po imaginární ose: f u(x, y + h) u(x, y) v(x, y + h) v(x, y) (z) = lim + j h 0,h R j h j h = 1 j u y v (x, y) + (x, y). y = u x + j v x = Cauchy-Riemannovy podmínky. - Příklad: f (z) = z, f (z) = x jy, u x = j u y + v y. Tedy f nemá derivaci v žádném bodě. = 1; v y = 1.

Příklad: f (z) = 1 pro Re z 0 Im z 0; f (z) = 0 jinak. Parciální derivace u a v jsou v bodě (0, 0) nulové, nicméně f (h) f (0) f (h) lim = lim h 0 h h 0 h neexistuje. - 3.5. Věta. Komplexní funkce f (z) má v bodě z = x + jy derivaci právě tehdy když její složky u a v splňují Cauchy-Riemannovy podmínky a mají obě totální diferenciál v bodě (x, y). Spojitost parciálních derivací + Cauchy-Riemannovy podmínky existence derivace.

3.3. Holomorfní funkce 3.6. Definice. Funkce f je holomorfní v otevřené množině G C, jestliže má derivaci v každém bodě množiny G. Funkce f je holomorfní v bodě z 0, je-li holomorfní v nějakém okolí bodu z 0. 3.7. Tvrzení. Je-li f holomorfní v otevřené množině G, pak je v G spojitá. Argument zcela stejný jako v reálném případě. - 3.8. Věta. Má-li funkce f nulovou derivaci v oblasti G, pak je konstantní. Důkaz: nulovost derivace nulovost parciálních derivací složek+ věta o střední hodnotě f je konstantní.

Další význam derivace - zachování úhlů, konformita. ϕ :< a, b > C... parametrizace křivky C. t < a, b >. Tečna ke křivce v bodě ϕ(t)... z = ϕ(t) + sϕ (t); s R. úhel křivek v bodě ϕ 1 (t) = ϕ 2 (s) = úhel tečen... arg ϕ 1 (t) arg ϕ 2 (s), ϕ 1(t) = ϕ 2 (s) Co se děje v transformaci z f (z) s úhly? 3.9. Věta. Věta o zachování úhlu Necht f je holomorfní v oblasti G. Předpokládejme, že ϕ 1 a ϕ 2 jsou parametrizace dvou křivek C 1 a C 2 ležících v G, které se protínají v bodě z = ϕ 1 (t) = ϕ 2 (s). Necht f (z) 0. Pak f zachová úhel mezi křivkami C 1 a C 2. Důkaz: (f ϕ 1 ) (t) (f ϕ 2 ) (s) = f (z)ϕ 1 (t) f (z)ϕ 2 (s) = ϕ 1 (t) ϕ 2 (s)

Z toho vyplývá: arg(f ϕ 1 ) (t) arg(f ϕ 2 ) (s) = arg ϕ 1 (t) arg ϕ 2 (t) mod 2π. - Příklad: f (z) = z 2. Uvažujme dvě kolmé přímky p 1 = {1 + jt t R}, t = 1 p 2 = {s + j s R}, s = 1 f (p 1 ) = {1 t 2 + 2jt t R}. f (p 2 ) = {s 2 1 + 2js s R}. vektory tečen jsou kolmé: ( 2t, 2) tj. pro t = 1 ( 2, 2) (2s, 2) tj. pro s = 1 (2, 2). Pro z = 0 je f (z) = 0 a úhly se nezachovají. -

3.10. Definice. Holomorfní funkce v otevřené množině G se nazývá konformní, jestliže f (z) 0 pro všechna z G. 3.11. Tvrzení. Složení dvou konformních zobrazení je konformní zobrazení. Inverze k prostému konformnímu zobrazení je konformní. založeno na skutečnosti, že (f g) (z) = f (g(z)) g (z) a (f 1 ) (z) = 1 f (f 1 (z)).

Dalším aspektem je harmoničnost. Předpokládejme, že f (z) = u(x, y) + jv(x, y). f je holomorfní v G a u, v mají spojité parciální derivace v G. Vezměme Cauchy-Riemannovy podmínky: u x = v y ; u y = v x První identitu derivujme podle x a druhou podle y. Dostaneme 2 u x 2 = 2 v x y ; 2 u y 2 = 2 v y x. Tedy u splňuje Laplaceovu rovnici v G. 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0

Taktéž v splňuje Laplaceovu rovnici. Funkce splňující Laplaceovu rovnici se nazývají harmonické. Závěr: Reálná a imaginární složka holomorfní funkce je harmonická. Má význam pro hledání potenciálu v rovinném poli.

3.4. Elementární funkce Afinní funkce f (z) = az + b, a 0, b C. složení rotace, stejnolehlosti a posunu. f (z) = a f je holomorfní v C, f ( ) =.

Polynomy polynom stupně n: f (z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + + a n 1 z + a n, a 0 0 Holomorfní funkce v C, konformní až na konečně mnoho bodů. 3.12. Věta. Základní věta algebry Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden komplexní kořen. - 3.13. Definice. Řekneme, že α C je k-násobný kořen polynomu p(z) (k = 0, 1,...), jestliže p(z) = (z α) k q(z), kde q je polynom, pro který platí q(α) 0.

3.14. Tvrzení. Pro polynom p(z) s reálnými koeficienty platí, že α je k-násobný kořen polynomu p právě tehdy když α je k-násobný kořen polynomu p. Důkaz: p(α) = a 0 α n +a 1 α n 1 + +a n = a 0 α n + a 1 α n 1 + + a n = p(α). rovnost násobností přednáška Důležité jsou algoritmy pro lokalizaci kořene polynomu. K tomu se hodí následující obraty: substituce z z a posune kořeny o a Substituce z z a (a 0) pronásobí kořeny faktorem a. Jestliže α 0 je kořenem polynomu p, pak 1 α je kořenem polynomu s koeficienty psanými v opačném pořadí.

výpočet: 1 a n α n +a 1 n 1 α n 1 + +a 0 = 1 α n (a n+a n 1 α+a n 2 α n 2 + +a 0 α n ) = 1 α n p(α). Lineární lomené zobrazení (Möbiova transformace) Nebo-li f (z) = az + b cz + d ad bc 0, c 0. f (z) = a c + 1 c 2 (bc ad) z + d c Tedy f je složení afinních zobrazení, kruhové inverze vůči jednotkovému kruhu a osové souměrnosti dle reálné osy.

složením lineárních lomených zobrazení je lineární lomené zobrazení linerní lomené zobrazení je prosté, jeho inverze je opět lineární lomené zobrazení Dodefinování v rozšířené komplexní rovině: f ( ) = a c f ( d c ) =. - Příklad: Nalezněte Möbiouvu transformaci, která zobrazí polorovinu Im z > 0 na otevřený jednotkový kruh. Řešení: Im z > 0 z j < z + j z j z+j < 1 Tedy f (z) = z j z+j.

Důležitý princip: 3.15. Věta. Lineární lomené zobrazení zachová zobecněné kružnice a body inverzní vůči nim. 3.16. Tvrzení. Předpokládejme, že α a β jsou body inverzní vůči kružnici K. Pak K je Apolloniova kružnice s řídícími body α, β. Důkaz - redukce na jednotkovou kružnici. - přednáška. Pomocí rotace lze vzít inverzní body β = a > 1, 0 < α = 1 a < 1. Obecný bod na kružnici: (cos ϕ, sin ϕ) Vzdálenosti od α a β: (cos ϕ a) 2 + sin 2 ϕ = 2a cos ϕ + 1 + a 2 (cos ϕ 1 a )2 + sin 2 ϕ = 2 cos ϕ a + 1 a 2 + 1

Poměr kvadrátů vzdáleností: 2a cos ϕ + 1 + a 2 2 cos ϕ a + 1 + 1 = 2a3 cos ϕ + a2 + a4 2a cos ϕ + 1 + a 2 = a3 ( 2 cos ϕ + 1 a + a) a( 2 cos ϕ + 1 a 2 a + a) = a 2 Odvození věty o zachování zobecněných kružnic a symetrií: Detaily přednáška 1. Redukce na f (z) = 1 z 2. Každá kružnice je Apolloniova. Popis zobecněné kružnice: z α z β = λ α β, λ > 0 Předpokládejme, že α, β 0. w = 1 z pak 1 w α 1 w β = λ w 1 α w 1 β = λ β α

Závěr: f (K) je zobecněná kružnice a body 1 α, 1 β jsou vůči ní inverzní. Případ α = 0 nebo β = 0 je podobný. Rozšíření definice : střed kružnice je sdružený s. Princip platí i pro tuto dvojici. Příklad: f (z) = j 1+z 1 z. Určete obraz jednotkové kružnice. 1 K a tedy obraz je přímka. Stačí vzít obraz dvou bodů. Nebo j, 0 j implikuje, že j a j jsou sdružené a tady obraz je jejich osa reálná osa.

Příklad: G = {z z < 1, Im z > 0} Stanovte f (G), kde f (z) = z + 1 z 1. Řešení: Návod: f je konformní C \ {1}. Hraniční zobecněné kružnice přejdou na kolmé přímky. Podrobné řešení - přednáška. Výsledek: f (G) = {z C π < arg z < π 2 } Příklad: Nalezněte konformní zobrazení oblasti G = {z z < 1, Im z > 0, Re z > 0} na disk H = {z z < 1}. Řešení: přednáška, výsledek: f (z) = j z4 + 2jz 2 + 1 z 4 2jz + 1.

Racionální funkce kde p a q jsou polynomy. f (z) = p(z) q(z), f je holomorfní a konformní v C až na kořeny polynomu q.

Exponenciální funkce e z = e Re z (cos(im z) + j sin(im z)), z C. u(x, y) = e x cos y v(x, y) = e x sin y.

Cauchy-Riemannovy podmínky + spojitost derivací e z je holomorfní v C. e z = u x + j v x = ex cos y + je x sin y = e z. e z 0 e z je konformní v C. e z = e z

Eulerova identita: e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ, ϕ R.

Některé vlastnosti exponenciální funkce: 1 e z = e Re z 2 e z 1 e z 2 = e z 1+z 2 3 e z+2πj = e z e 2πj = e z. Perioda 2πj!!

Příklad: Řešte rovnici e z = a, kde a C \ {0}. e z = a (cos(arg a) + j sin(arg a)). = Re z = ln a Im z = arg a + 2kπ, k Z. Množina řešení je {ln a + j(arg a + 2kπ) k Z}. Deformace souřadnicové sítě.... kružnice s poloměrem e c. v c = {z C Re z = c}. e z = e c+jy = e c e jy, y R

h c = {z C Im z = c} e z = e x+jc = e x e jc, x R... polopřímka bez počátku, úhel c. Příklad: Na co zobrazí e z následující množiny? a) {z π Im z π} b) {z π Re z π} c) {z 0 Re z ln π}.

Logaritmus z 0 Ln z = {ln z + j arg z + 2kπj k Z}. Hlavní větev logaritmu z 0 ln z = ln z + j arg z. Hlavní větev logaritmu je inverzní funkcí k e z na množině {z C π < Im z π}.

Příklady: Ln 1 = {2kπj k Z}, ln 1 = 0, ln(1 + j) = ln 2 + jπ/4, ln( 1) = πj. ln z je spojitá funkce na množině D = C \ { t t R, t > 0}.

Zkoumejme diferencovatelnost ln z na množině D. Necht z D. Vyšetřujeme výraz ln(z + h) ln z h Substituce ln z = w, v = ln(z + h) ln z. Pak h = e v+w e w. Jestliže h 0, pak v 0. lim v 0 Tedy ln(z + h) ln z h =. v e v+w e w = 1 v e w e v 1 v e v 1 = 1 (Použít derivaci ez v bodě 0!!!) ln(z + h) ln z lim h 0 h = 1 e w = 1 z. Závěr: ln z je funkce holomorfní na D, přičemž (ln z) = 1 z

Goniometrické a hyperbolické funkce cos z = ejz + e jz 2 sin z = ejz e jz 2j cosh z = ez +e z 2 sinh z = ez e z 2 Osbornova pravidla: cos jz = cosh z sin jz = j sinh z. Reálné a imaginární složky: (x, y R) cos(x + jy) = cos x cosh y j sin x sinh y sin(x + jy) = sin x cosh y + j cos x sinh y výpočet ze vzorce, součtové vzorce,... Identity platí stejně (věty o jednoznačnosti).

Goniometrická deformace souřadnicové sítě v c = {z C Re z = c}, c R. sin(c + jy) = sin c cosh y + j cos c sinh y I. sin c, cos c 0. ( ) sin c cosh y 2 ( ) cos c sinh y 2 = cosh 2 y sinh 2 y = 1. sin c cos c... větev hyperboly II. sin c = 0, tj. c = kπ, k Z. sin(kπ + jy) = j( 1) k sinh y.... imaginární osa

III. cos c = 0, c = π 2 + kπ, k Z.... (1, ) nebo (, 1). sin(kπ + π/2 + jy) = ( 1) k cosh y. - h c = {z Z Im z = c}, c R. sin(x + jc) = sin x cosh c + j cos x sinh c. I. c 0. ( ) sin x cosh c 2 ( ) cos x sinh c 2 + = 1. cosh c sinh c... elipsa, poloosy a = cosh c, b = sinh c ; ohniska ±(a 2 b 2 ) 1/2 = ±(cosh 2 c sinh 2 c) = ±1

II. c = 0... sin x, interval < 1, 1 >. Důsledek: sin z < 1, 1 > z R. tg z = sin z z {π/2 + kπ k Z} cos z cotg z = cos z z {kπ k Z}. sin z - Pro derivace platí stejné vzorce jako v reálném oboru. Např: ( e sin jz e jz ) z = = jejz + je jz 2j 2j = ejz + e jz 2.

Cyklometrické funkce mnohoznačnost Arcsin z = {a C sin a = z} Arccos z = {a C cos a = z} Dají se logaritmicky vyjádřit: Výpočet: Arcsin z = { ja a Ln(jz + w), w substituce: p = e ja. e ja e ja 2j = z. p 1 p = 2jz p2 2jzp 1 = 0 1 z 2 } p 1,2 = 2jz + 4z 2 + 4 2 = jz + 1 z 2 ).

Příklad: Rovnice tg a = z má řešení právě tehdy když z {j, j}. Množinou řešení je 1 1 + jz Ln 2j 1 jz. Výpočet: sin a cos a = eja e ja j(e ja + e ja ) = e2ja 1 j(e 2ja + 1) Substituce: e 2ja = p z j. Pak p 1 = jz(p + 1) p = 1 + jz 1 jz, z j e 2ja = 1 + jz 1 jz. a 1 2j Ln 1 + jz 1 jz.

Můžeme definovat větve: arctg z = 1 2j ln 1 + jz 1 jz. Tato funkce je diferencovatelná právě tehdy když 1+jz 1 jz R. Domácí cvičení: z {jt t 1}. Derivace této funkce: (arctg z) = 1 2j = 1 jz j(1 jz) (1 + jz)( j) 1 + jz (1 jz) 2 =... 1 (1 + jz)(1 jz) = 1 z 2 + 1.

4. Integrální reprezentace holomorfní funkce 4.1. Křivkový integrál a primitivní funkce Motivace: hledáme primitivní funkci 4.1. Definice. Množina C se nazývá oblouk, jestliže existuje spojité zobrazení ϕ :< a, b > C intervalu < a, b > na množinu C splňující následující podmínky: 1 ϕ je prosté zobrazení 2 ϕ má spojitou a nenulovou derivaci na < a, b >. (V krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace.)

4.2. Definice. Množina C C se nazývá křivka, jestliže existuje spojité zobrazení ϕ :< a, b > C takové, že < a, b > lze rozdělit na konečně mnoho podintervalů tak, že na každém dílčím intervalu má ϕ vlastnosti (i) a (ii) v definici oblouku. Navíc žádame, aby ϕ bylo prosté zobrazení až na konečně mnoho bodů. Zobrazení ϕ se nazývá parametrizací oblouku nabo křivky C. Křivka se nazývá uzavřená, jestliže ϕ(a) = ϕ(b). Křivka se nazývá jednoduchá, jestliže ϕ(t) ϕ(s) pro všechna s t s výjimkou počátečního a koncového bodu.

Tečný vektor... ϕ (t) Délka křivky... l(c) = b a ϕ (t) dt. Orietace... způsob probíhání křivky, kladná a záporná. Příklady: 1. [a, b] ϕ(t) = a + t(b a), t [0, 1]. ϕ (t) = b a. 2. Elipsa se středem 1 + j, polosy a = 1, b = 2, osy rovnoběžné se souřadnou soustavou. ϕ(t) = 1 + j + cos t + 2j sin t t < 0, 2π >. ϕ (t) = sin t + 2j cos t.

3. Elipsa, stejné parametry, osy rovnoběžné s osami kvadrantů. ϕ(t) = 1 + j + e jπ/4 (cos t + 2j sin t) t < 0, 2π > ϕ (t) = e jπ/4 ( sin t + 2j cos t). 4.3. Definice. Uzavřená jednoduchá křivka se nazývá Jordanova křivka. 4.4. Věta. Jordanova věta Je-li C Jordanova křivka pak C \ C je sjednocením omezené oblasti a neomezené oblasti. Int(C)... omezená oblast, vnitřek křivky Ext(C)... neomezená oblast, vnějšek křivky

4.5. Definice. Necht C je křivka s parametrizací ϕ :< a, b > C a necht f : C C je funkce spojitá v bodech křivky C. Křivkový integrál funkce f podél křivky C je (komplexní číslo) b f (z) dz = f (ϕ(t))ϕ (t) dt. C a Příklad: C (z z 0) k dz, kde k Z a C je kladně orientovaná kružnice se středem v bodě z 0 a poloměrem r > 0. ϕ(t) = z 0 + r e jt, t < 0, 2 π >. ϕ (t) = r j e jt.

C (z z 0 ) k dz = 2π 0 r k e j kt j r e j t dt = r k+1 j 2π 0 e j(k+1)t dt Je-li k = 1 je výsledek 2πj. Je-li k 1 pokračujeme: C [ ] e = j r k+1 j (k+1)t 2π = 0. j (k + 1) 0 { (z z 0 ) k 2πj k = 1 dz = 0 k 1.

Křivkový integrál je stejný pro všechny parametrizace dávající stejnou orientaci. - Značení: C křivka s opačnou orientací; C 1 + C 2 napojení navazujících křivek C 1 a C 2. Vlastnosti křivkového integrálu: C f (z) + g(z) dz = C f (z) dz + C g(z) dz C α f (z) dz = α C f (z) dz α C C f (z) dz = C f (z) dz C 1 +C 2 f (z) dz = C 1 f (z) dz + C 2 f (z) dz.

Technické příklady: 1. C 1/z dz, C je úsečka C = [j, 1]. C 1/z dz = 1 = (1 j) = j ϕ(t) = t + (1 t)j, t < 0, 1 >. 0 1 1 0 ϕ (t) = 1 j. 1 (1 j) dt = (1 j) t + (1 t)j 0 1 2t 2 2t + 1 dt + 1 2t 2 2t + 1 dt + 1 2 1 0 1 0 1 0 t (1 t)j t 2 + (1 t) 2 dt = 2t 2t 2 2t + 1 dt = 4t 2 2t 2 2t + 1 dt t 2 + (1 t) 2 = 2t 2 2t + 1 = 1 2 [4(t 1 2 )2 + 1]

[ ( = j arctg 2 t 1 )] 1 + 1 [ ] 1 ln 2 t 2 2t + 1 = j π 2 0 2 0 2. - 2. C z2 dz, kde C je kladně orientovaná křivka sjednocení intervalu < R, R > (R > 0) na reálné ose a horní polokružnice se středem v počátku a poloměrem R. π 0 ϕ 1 (t) = t, t < R, R >. R [ ] t t 2 3 R dt = = 2 R 3 R 3 R3. ϕ 2 (t) = R e jt t < 0, π >. [ ] 1 π R 2 e 2jt j R e jt dt = 3 R3 e 3jt = 2 0 3 R3. z 2 dz = 0 C

4.6. Věta. Odhad modulu křivkového integrálu Necht C je křivka a f (z) funkce spojitá v bodech křivky C. Pak f (z) dz max f (z) l(c). Důkaz - přednáška C z C Příklad: Odhadněte velikost C 1/z dz, kde C je kružnice z 1 = 2. 1/z dz max 1 4π 4π. z C z C

Příklad: Určete limitu lim e az2 dz, R C R kde a > 0, C R je úsečka [R, R + jp], kde R, p > 0. z C R z = R + jy, y < 0, p >. e az2 = e a(r2 +2jRy y 2) = e ar2 e ay 2 e ar2 e ap2. C R e az2 dz e ar2 e ap2 p 0 pro R.

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí (f n (z)) k funkci f (z) na množině M C znamená lim sup f n (z) f (z) = 0. n z M 4.7. Tvrzení. Jestliže (f n (z)) je posloupnost spojitých funkcí stejnoměrně konvergujících k funkci f na křivce C, pak f n (z) dz = f (z) dz. lim n C - Důkaz: f n (z) dz f (z) dz = f n (z) f (z) dz C C C sup f n (z) f (z) l(c) 0, n. z C C

4.8. Tvrzení. Necht f je funkce spojitá v bodě z 0 C. Pak 1 lim f (z) dz = f (z 0 ). h 0 h [z 0,z 0 +h] - Důkaz: 1 f (z) dz f (z 0 ) h = 1 1 f (z 0 + th)h dt f (z 0 ) h = [z 0,z 0 +h] = 1 0 [f (z 0 + th) f (z 0 )] dt f je spojitá v bodě z 0 = pro každé předepsané ε je f (z 0 + th) f (z 0 ) < ε pro dostatečně malá h. Tedy i 1 f (z) dz f (z 0 ) h ε [z 0,z 0 +h] 0

Primitivní funkce je v reálném případě konstruována jako neurčitý integrál F(x) = x c f (t) dt. Každá spojitá reálná funkce má funkci primitivní. V komplexním oboru je situace složitější - více možností křivek vedoucích k danému bodu. 4.9. Definice. Necht G C je otevřená množina. Funkce F(z) se nazývá funkce primitivní k funkci f (z) na množině G, jestliže F (z) = f (z) pro každé z G. 4.10. Definice. Křivkový integrál funkce f na oblasti G nezávisí na cestě, jestliže f (z) dz = f (z) dz C 1 C 2 pro všechny křivky C 1, C 2 G se stejným koncovým a počátečním bodem.

Nezávislost na cestě odpovídá konzervativnímu poli ve fyzice. 4.11. Tvrzení. Křivkový integrál funkce f v oblasti G nezávisí na cestě právě tehdy když f (z) dz = 0 pro každou uzavřenou křivku C ležící v G. C 4.12. Věta. Newtova-Leibnitzova formule. Necht F (z) je primitivní funkce k funkci f (z) na oblasti G. Necht C je křivka ležící v G s počátečním bodem z 1 a koncovým bodem z 2. Pak platí f (z) dz = F(z 2 ) F(z 1 ). C

Důkaz: ϕ :< a, b > C parametrizace křivky C. C f (z) dz = b a f (ϕ(t))ϕ (t) dt = = [F(ϕ(t))] b a = F (ϕ(b)) F(ϕ(a)) = F(z 2 ) F(z 1 ). - Důsledek: Má-li f primitivní funkci, pak její křivkový integrál nezávisí na cestě. Re z je příklad funkce spojité v C, která nemá primitivní funkci nebot např. C Re z dz = j 0, kde C je hranice jednotkového čtverce s vrcholy 0, 1, 1 + j, j. -

Příklad: C 1/z dz, C... [j, 1]. 1/z dz = ln 1 ln j = j π 2. C 4.13. Věta. Necht G je oblast a f (z) spojitá funkce na G. Následující tvrzení jsou ekvivalentní 1 f (z) má primitivní funkci na oblasti G. 2 Křivkový integrál funkce f (z) nezávisí na cestě. 3 C f (z) dz = 0 pro každou uzavřenou (Jordanovu) křivku C ležící v G. Důkaz: přednáška, skripta

Příklad: C z2 dz, kde C je kladně orientovaná křivka sjednocení intervalu < R, R > (R > 0) na reálné ose a horní polokružnice se středem v počátku a poloměrem R. z 2 má v C primitivní funkci a tudíž integrál je nulový. 4.14. Věta. Funkce f (z) má v konvexní oblasti G primitivní funkci právě tehdy když C f (z) dz = 0 pro každý obvod trojúhelníka C ležícího v G. primitivní funkce analogie potenciálu vektorového pole.

4.2. Cauchyova věta Cauchy 1814 za předpokladu spojitosti derivace, použil vpodstatě Greenovu větu přístup ze skript Goursant v pozdním 19 století obecný případ 4.15. Věta. Cauchyova věta. Necht f je holomorfní funkce v jednoduše souvislé oblasti. Pak f (z) dz = 0 pro každou uzavřenou křivku C G. C Důsledek: Každá holomorfní funkce má v jednoduše souvislé oblasti primitivní funkci.

Důkaz Cauchyovy věty proveden po částech: 1. Nulovost integrálu, je-li křivka obvodem trojúhelníka přednáška, tabule. 2. Cauchyova věta pro konvexní oblast přednáška, tabule. 3. Obecný případ později v kapitole o Taylorových řadách. Příklad: C z (z 1) 3 (z 2 + z + 1) dz = 0, kde C je jakákoliv Jordanova křivka mající body 1, 1 2 ± 3j 2 ve své vnější oblasti.

V Cauchyově větě je důležité aby se vnitřní oblast křivky dala "zabalit" do jednoduše souvislé množiny. Předpoklad jednoduché souvislosti je v Cauchyově větě podstatný integrál funkce 1 z přes jednotkovou kružnici je roven 2πj. Příklad: Aplikace Cauchyovy věty na výpočet Fourierova obrazu gaussovské funkce. Spočtěte integrál e t2 e j pt dt, kde p je reálný parametr, pomocí Laplaceova integrálu e t2 dt = π.

e t2 e jpt dt = e (t+ jp 2 )2 p2 4 = e p2 4 e (t+ jp 2 )2 dt. Substituce u = t + jp 2. = e p2 4 + jp 2 + jp 2 e u2 du. Ukážeme, že + jp 2 + jp 2 e u2 du = e t2 dt, což dá výsledek e t2 e j pt dt = π e p2 4.

Předpokládejme, že p > 0. Vezměme kladně orietovaný obvod obdélníka s vrcholy R, R, R + jp, R + jp jako křivku C R a uplatněme Cauchyovu větu na funkci f (z) = e z2. Dostaneme dz = 0. C R e z2 Horizontální úsečky C 1, C 3, vertikální C 2, C 4. Na základě předchozího příkladu máme pro i = 2, 4: lim f (z) dz = 0. R C i Limitním přechodem R v identitě 4 f (z) dz = 0 C i dostaneme i=1 +jp/2 e t2 dt e t2 dt = 0. +jp/2

4.16. Věta. Princip deformace. Předpokládejme, že C 1 a C 2 jsou Jordanovy křivky s kladnou orientací takové, že Int C 1 C 1 Int C 2. Necht z 0 Int C 1. Předpokládejme, že f je holomorfní v každém bodě množiny Int C 2 C 2 kromě bodu z 0. Pak f (z) dz = f (z) dz. C 1 C 2 Důkaz: přednáška

Příklad: Ukažte, že C 1 z z 0 dz = 2πj, kde C je kladně orientovaná Jordanova křivka mající z 0 ve své vnitřní oblasti. Řešení: Princip deformace zredukuje na kružnici a využije se předchozí příklad. Příklad: 2 C dz, kde C je kladně orientovaná kružnice 4z 2 1 z = 2. 2 4z 2 1 = 1 2z 1 1 2z + 1. 1 2z 1 dz = 1 2z 1 dz = 1 2(z 1 2 ) dz = 2πj 1 2 = πj. C K... z 1 2 = 1 2. K K

C L... z + 1 2 = 1 2 Závěr: C 1 2z + 1 dz = 1 L 2(z + 1/2) dz = 2πj 1 2 = πj. 2 4z 2 1 dz = 0

4.3. Cauchyův integrální vzorec a jeho důsledky 4.17. Věta. Cauchyův integrální vzorec Necht funkce f (z) je holomorfní v jednoduše souvislé oblasti G C. Pro každou kladně orientovanou Jordanovu křivku C ležící v G a pro každý bod z 0 Int C platí 1 f (z) dz = f (z 0 ). 2πj C z z 0 možnost rekonstrukce všech hodnot z hraniční křivky. Důkaz: přednáška, skripta.

Příklady: 1. f (z) = 1 C 1 z z 0 dz = 2πj je-li C kladně orientovaná Jordanova křivka mající bod z 0 ve svém vnitřku. 2. C cos z (z 1)(z 5) 2 dz, kde C je kladně orientovaná Jordanova křivka obsahující bod 1 ve svém vnitřku a bod 5 ve svém vnějšku. C f (z) = cos z (z 5) 2, z 0 = 1. cos z cos 1 πj cos 1 dz = 2πj =. (z 1)(z 5) 2 16 8

4.18. Důsledek. Gaussova věta o střední hodnotě Necht f (z) je holomorfní funkce v jednoduše souvislé oblasti G a z 0 G. Pak kdykoliv U r (z 0 ) G. f (z 0 ) = 1 2π f (z 0 + r e jt ) dt 2π 0 Důkaz: f (z 0 ) = 1 f (z) dz = 1 2π f (z 0 +r e jt ) 1 2πj K r (z 0 ) z z 0 2πj 0 re jt rjejt dt = = 1 2π f (z 0 + r e jt ) dt. 2π 0

4.19. Definice. Funkce holomorfní v C se nazývá celistvá. 4.20. Věta. Liouvillova věta Omezená celistvá funkce je konstantní. Důkaz přednáška 4.21. Věta. Základní věta algebry Každý polynom stupně alespoň jedna má alespoň jeden komplexní kořen. Důkaz: P(z) polynom stupně alespoň jedna. Sporem: Je-li P(z) nenulové pro všechna z C, pak 1 P(z) je omezená celistvá funkce a tedy konstantní funkce, což je spor.

5. Reprezentace holomorfní funkce mocninnou řadou 5.1. Mocninné řady Cíl rozvoj v Taylorovu řadu, "digitalizace funkce" 5.1. Definice. Řada tvaru a n (z z 0 ) n = a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 + n=0 se nazývá mocninná řada se středem v bodě z 0 a koeficienty a n. Částečné součty řady jsou funkce S m (z) = m a n (z z 0 ) n. n=0

Mocninná řada konverguje bodově k funkci f (z) na množině M C jestliže pro všechna z M S m (z) f (z) 0 pro m. Mocninná řada konverguje stejnoměrně k funkci f (z) na množině M C jestliže sup S m (z) f (z) 0 pro m. z M Funkce, která je součtem mocninné řady je "nekonečný polynom".

Příklady geometrická řada z n = 1 + z + z 2 + n=0 Konverguje právě tehdy když z < 1 se součtem 1 + z + z 2 + = 1 1 z. Otázka stejnoměrné konvergence: S m (z) = m n=0 z n = 1 zm+1 1 z Na M = {z z < 1} nemáme stejnoměrnou konvergenci nebot : sup S m (z) S(z) = sup 1 z m+1 1 z M z M 1 z 1 z = sup z m+1 z M 1 z =..

Avšak pro M ϱ = {z C z < ϱ}, 0 < ϱ < 1, máme stejnoměrnou konvergenci nebot : sup z M z m+1 1 z ϱm+1 1 ϱ 0 pro m. n=0 n zn Odmocninové kritérium lim n n n z = z. Řada absolutně konverguje právě pro z < 1.

Podílové kritérium: n=0 z n n! lim n z n+1 (n + 1)! n! z n = lim n Řada konverguje absolutně v C. 1 n + 1 z = 0. 5.2. Tvrzení. Konverguje-li řada n=0 a n (z z 0 ) n pro w C pak konverguje absolutně na množině {z C z z 0 < w z 0 }.

Důkaz: z 0 = 0. Z konvergence pro z = w vyplývá omezenost členů řady, tedy existuje konstanta M 0 tak, že pro všechna n N, a n w n M. Pro z C s z < w volme ϱ tak, že z < ϱ < w. Pak můžeme odhadnout a n z n = a n z n a n ϱ n = a n w n ϱn w n M ϱn w n. n=0 M ϱn w n <, a proto n=0 a n z n <.

5.3. Definice. Poloměr konvergence R mocninné řady n=0 a n (z z 0 ) n je definován jako R = sup{r 0 a n r n < }. n=0 - Důsledek Tvrzení??: Je-li R poloměr konvergence mocninné řady n=0 a n (z z 0 ) n, pak tato řada 1 Konverguje absolutně pro všechna z s z z 0 < R. 2 Nekonverguje pro žádné z s z z 0 > R.

Příklady: 1 n=0 zn, R = 1. 2 n=0 n zn, R = 1. 3 4 n=0 zn n!, R = n=0 n!zn Podílové kritérium: (n + 1)! z n+1 n! z n = n z pro z 0. 5 R = 0. n=0 a nz n, kde a n = { m n = 2 m 0 jinak Pomocná řada : m=1 mz2m. Odmocninové kritérium:

lim m m m z 2m = lim m m m z 2 m m = {0 z < 1 z > 1 = R = 1. 5.4. Tvrzení. Necht (c n ) je posloupnost nezáporných čísel, pro kterou platí, že n cn = 1. Potom řady a n z n n=0 lim n mají stejný poloměr konvergence. a c n a n z n n=0

Důkaz: R poloměr konvergence pro n=0 a nz n. lim n n cn = 1 = pro každé ε > 0 je n c n 1 + ε až na konečně mnoho n. pro každé ε > 0 je c n (1 + ε) n až na konečně mnoho n. Volme 0 < q < R a z < Až na konečně mnoho n platí: q (< R). 1 + ε c n a n z n (1 + ε) n a n z n < (1 + ε) n a n q n (1 + ε) n = a n q n. Ovšem n=0 a n q n <. Přechodem ε 0, q R máme: n=0 c n a n z n konverguje absolutně pro z < R.

Tedy R R, kde R je poloměr konvergence řady n=0 c n a n z n. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že c n jsou n kladné. Jelikož lim n = 1, můžeme řadu n=0 c n a n z n 1 c n pronásobit koeficienty 1 c n a dle předchozích argumentů získat opačnou nerovnost mezi poloměry konvergence. 5.5. Důsledek. Řady n=0 a n z n a n=1 np a n z n, kde p Z, mají stejný poloměr konvergence, nebot lim n n n p = 1. - Řady se stejným poloměrem: n=0 zn, n=0 n zn, n=0 n2 z n, n=1 1 n zn, n=1 1 z n n 2

Problematika stejnoměrné konvergence: 5.6. Věta. Weierstrasseovo kritérium Platí-li pro posloupnost funkcí f n (z), že kde f n (z) a n pro všechna z M, a n <, n=0 pak řada n=0 f n(z) konverguje stejnoměrně na množině M. - Důkaz: Bodová konvergence plyne ze srovnávacího kritéria. f n (z) n=0 pro N. N f n (z) n=0 n=n+1 f n (z) n=n+1 a n 0

5.7. Věta. Pokud má mocninná řada n=0 a n (z z 0 ) n poloměr konvergence R > 0, pak konverguje stejnoměrně na každém kruhu {z z z 0 < ϱ}, kde ϱ < R. Důkaz: Pro z {z z z 0 < ϱ} máme a n (z z 0 ) n a n ϱ n a n ϱ n < n=0 Aplikujeme Weirstrasseovo kritérium. -

Jaké jsou vlastnosti funkce f (z) = a n (z z 0 ) n? n=0 5.8. Věta. Necht R > 0 je poloměr konvergence mocninné řady a n (z z 0 ) n. n=0 Funkce f (z) = a n (z z 0 ) n (1) n=0 je holomorfní v kruhu z z 0 < R a platí pro ni, že f (z) = n a n (z z 0 ) n 1 = a 1 +2 a 2 (z z 0 ) 2 +3 a 3 (z z 0 ) 2 +. n=1 "Derivace řady člen po členu" (2)

Důkaz: Řady v (??) a (??) mají stejný poloměr konvergence (viz výše). z 0 = 0, z < R n=0 f (z + h) f (z) h n a n (z z 0 ) n 1 n=1 [ = (z + h) n z n ] a n nz n 1 h a n (z + h) n z n nz n 1 h n=0

Volme δ (0, R z ) a h < δ. (Binomická formule). (z + h) n z n nz n 1 = 1 h h h n k=2 ( ) n z n k h k 2 h k δ 2 n k=2 h δ 2 [ z + δ]n. Použitím tohoto odhadu dostáváme: f (z + h) f (z) h n=1 n a n z n 1 h δ 2 ( ) n z n k h k k n k=2 ( ) n z n k δ k k a n [ z +δ] n 0 pro h 0 n=2

Příklady: 1 1 z = n=0 z n, 1 (1 z) 2 = n z n 1, n=1 (1 z) 3 = n=2 2 n (n 1) z n 2. 5.9. Věta. Funkce f (z) = n=0 a n (z z 0 ) n má na kruhu konvergence z z 0 < R mocninné řady n=0 a n (z z 0 ) n derivace všech řádů, přičemž platí, že f (k) (z) = a n n (n 1) (n k + 1) (z z 0 ) n k. n=k Speciálně, f (n) (z 0 ) = a n n!.

Důkaz indukcí Koeficienty řady jsou určeny hodnotami součtu na libovolně malém okolí bodu z 0. Princip neurčitých koeficientů: a n (z z 0 ) n = n=0 na jistém okolí bodu z 0 implikuje b n (z z 0 ) n n=0 a n = b n pro všechna n.

5.10. Věta. Integrální vyjádření koeficientů Předpokládejme, že f (z) = a n (z z 0 ) n n=0 a R > 0 je poloměr konvergence řady n=0 a n (z z 0 ) n. Pro jakoukoliv Jordanovu křivku C {z z z 0 < R}, obsahující bod z 0 ve své vnitřní oblasti platí a n = 1 2πj C f (z) dz. (z z 0 ) n+1

Důkaz: C f (z) dz = (z z 0 ) n+1 C a k (z z 0 ) k n 1 dz = k=0 Díky stejnoměrné konvergenci na každém kruhu z z 0 < ϱ < R máme = a k k=0 = a n = 1 2πj C (z z 0 ) k n 1 dz = a n 2πj. C f (z) dz. (z z 0 ) n+1

5.11. Věta. Integrace člen po členu Má-li řada n=0 a n (z z 0 ) n poloměr konvergence R > 0, pak funkce a n F(z) = n + 1 (z z 0) n+1 n=0 je primitivní funkce k funkci f (z) = a n (z z 0 ) n n=0 na množině {z z z 0 < R}. -

Příklad: Nalezněte součet řady Řešení: n=0 f (z) = f (z) = z n 2 z n n=0 n 2 z n 1 n=0 ( ) n 2 z n 1 = n z n. n=0 n=0 ( ) n z n = z n z n 1 = z z n = z n=0 ( f (z) = z n=0 z (1 z) 2 ( ) 1 = 1 z ) = z + z2 (1 z) 3. z (1 z) 2

5.12. Věta. Jednoznačnost mocninné řady Funkce f (z) je dána součtem mocninné řady f (z) = a n (z z 0 ) n n=0 s kladným poloměrem konvegence R. Necht existuje posloupnost (z k ) neobsahující z 0 tak, že f (z k ) = 0 pro všechna k a lim k z k = z 0. Pak f je nulová funkce. Důkaz: indukcí dokážeme, že a n = 0 pro všechna n. 1. a 0 = f (z 0 ) = lim k f (z k ) = 0. 2. a 0 = a 1 = = a n 1 = 0. f (z) = a n (z z 0 ) n + a n+1 (z z 0 ) n+1 + = g(z k ) = 0 a tedy a n = 0. = (z z 0 ) n [a n + a n+1 (z z 0 ) + ] }{{} g(z)

5.2. Taylorovy řady 5.13. Definice. Necht f (z) je funkce mající všechny derivace v z 0. Taylorova řada funkce f (z) v bodě z 0 je mocninná řada n=0 f (n) (z 0 ) n! (z z 0 ) n. 5.14. Věta. Existence Taylorova rozvoje Necht f (z) je holomorfní funkce v oblasti G. Necht K je kružnice se středem v bodě z 0 taková, že Int K K G. Pak existuje mocninná řada n=0 a n (z z 0 ) n konvergující v Int K tak, že f (z) = a n (z z 0 ) n pro všechna z Int K. n=0

5.15. Důsledek. Holomorfní funkce má v otevřené množině derivace všech řádů! - Důkaz: r... poloměr kružnice K Volme 0 < ϱ < r a označme K ϱ = {z z z 0 < ϱ}. Vyjdeme z Cauchyova vzorce pro z Int K ϱ w z 0 = ϱ: f (z) = 1 2πj K ϱ f (w) w z dw. 1 w z = 1 w z 0 + z 0 z = 1 w z 0 z z 0 w z 0 = z z 0 < 1. ϱ 1 1 z z. 0 w z 0

Tedy 1 w z = 1 w z 0 n=0 Omezenost f : f (w) M na K ϱ. (z z 0 ) n (w z 0 ) n = (z z 0 ) n (w z 0 ) n+1 n=0 f (w) (z z 0) n (w z 0 ) n+1 M z z 0 n ϱ n+1 = M 1 ( z z0 ϱ ϱ ( ) z z0 n <. ) n n=0 ϱ

Weierstrasseovo kritérium: f (z) = 1 2πj K ϱ = 1 2πj f (w) w z dw = 1 2πj K ϱ ( n=0 K ϱ n=0 f (w) (w z 0 ) n+1 (z z 0) n dw = ) f (w) dw (z z (w z 0 ) n+1 0 ) n. = existence rozvoje s koeficienty a n = 1 f (w) dw 2πj (w z 0 ) n+1 K ϱ Zbytek věta o jednoznačnosti

Zobecněný Cauchyův vzorec: Je-li f (z) holomorfní v otevřené množině G, z 0 G a C je kladně orientovaná Jordanova křivka z 0 Int C C G, pak f (n) (z 0 ) = n! f (w) dw. 2πj C (w z 0 ) n+1 5.16. Věta. Věta o jednoznačnosti Je-li f (z) holomorfní funkce v oblasti G a existuje-li prostá poslupnost (z k ) G s lim k z k = a G taková, že f (z k ) = 0 pro všechna k, pak f (z) = 0 pro všechna z G. Důkaz přednáška, skripta

Klasické Taylorovy řady a techniky rozvoje: 5.17. Příklad. f (z) = v bodě z 0 a. 1 z a = 1 z z 0 + z 0 a = 1 1 (z a) k, k N, z 0 a 1 1 + z z 0 z 0 a Pro z z 0 < z 0 a. Postupná derivace: = f (z) = n=0 = ( 1) n (z z 0) n (z 0 a) n+1. n=0 ( ) 1 (k 1) = ( 1)k 1 (k 1)! z a (z a) k ( 1) n k+1 1) (n k + 2) n(n (z z (z 0 a) n+1 0 ) n k+1. (k 1)!

5.18. Příklad. f (n) (0) = 1 pro všechna n. f (z) = e z z 0 = 0 e z = n=0 z n n! z C 5.19. Příklad. Goniometrické funkce: sin z = ( 1) n z 2n+1 (2n + 1)! z C. n=0 cos z = ( 1) n z2n (2n)! n=0

f (z) = ln z, z 0 = 1. f (z) = 1 z = 1 (z 1) + 1 = ( 1) n (z 1) n Integrace člen po členu: f (z) = n=0 ( 1) n n + 1 (z 1)n+1 + c = n=0 ( 1) n 1 (z 1) n + c n n=1 f (1) = 0 c = 0. ( 1) n 1 ln z = (z 1) n z 1 < 1. n n=1

5.20. Příklad. f (z) = arctg z, z 0 = 0. f (z) = 1 1 + z 2 = ( 1) n z 2n z < 1. f (z) = f (0) = 0 c = 0. arctg z = n=0 n=0 n=0 ( 1) n z2n+1 ( 1) n z2n+1 2n + 1 + c. 2n + 1 z < 1.

Leibnizova formule (f (z)g(z)) (n) = n k=0 ( ) n f (k) (z)g (n k) (z) k Důkaz indukcí: 1. n = 1 OK 2. Platí pro n pak platí pro n + 1. = k=0 = ( n ( ) n [f (z)g(z)] (n+1) = f (k) g (z)) (n k) = k n k=0 k=0 ( ) n [f (k) (z) g (n k+1) (z) + f (k+1) (z)g (n k) (z)] = k n ( ) n n+1 ( ) n f (k) (z)g (n k+1) (z)+ f (k) (z)g (n k+1) (z) = k k 1 = f (z)g (n+1) (z)+ n ( ) n [ k k=1 k=1 ( n + } {{ } =( n+1 k ) ) ]f (k) (z)g (n k+1) (z)+f (n+1) (z)g(z k 1

5.21. Věta. Násobení mocninných řad Necht pro bod z 0 mají funkce f (z) a g(z) v okolí bodu z 0 Taylorovy rozvoje f (z) = a n (z z 0 ) n g(z) = n=0 b n (z z 0 ) n. n=0 Pak funkce h(z) = f (z)g(z) má v daném okolí bodu z 0 Taylorův rozvoj h(z) = c n (z z 0 ) n, kde c n = n=0 n a k b n k. k=0

Důkaz: c n = 1 n! h(n) (z 0 ) = 1 n! = 1 n! n k=0 n k=0 ( ) n f (k) (z 0 )g (n k) (z 0 ) = k n! k!(n k)! k!a k(n k)!b n k = n a k b n k k=0 Mocninné řady násobíme jako polynomy Příklad: Napište počáteční členy Taylorova rozvoje funkce f (z) = e (z 1)2 ln z pro z 0 = 1. (1 (z 1) 2 + (z 1)4 + )((z 1) 4! (z 1)2 + 2 = (z 1) (z 1) 2 /2 2/3(z 1) 3 + (z 1)3 3 (z 1)4 + 4

6. Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou 6.1. Laurentovy řady Motivace: f (z) = 1 1 z. Pro z < 1 je f (z) = Co pro z > 1? n=0 zn. f (z) = 1 1 z = 1 z 1 1/z 1 = n=0 1 z n+1. - 6.1. Definice. Řada tvaru a n (z z 0 ) n a 2 = (z z 0 ) 2 + a 1 +a 0 +a 1 (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 + z z 0 n= kde (a n ) n= je posloupnost komplexních čísel a z 0 C se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z 0 a koeficienty (a n ) n=.

Řada n=0 a n(z z 0 ) n se nazývá regulární část Laurentovy řady, řada 1 n= a n(z z 0 ) n se nazývá hlavní část Laurentovy řady Laurentova řada konverguje v daném bodě z C konverguje-li současně v tomto bodě její hlavní i regulární část. Její součet je přitom definován jako součet regulární a hlavní části, tj. n= a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. n=1 n=0

6.2. Definice. Řada n= a n z n se nazývá Laurentova řada se středem v bodě. Řada 1 n= an z je hlavní část, n řada n=0 an z se nazývá regulární část Laurentovy řady se n středem v.

Otázka konvergence řady n= a n(z z 0 ) n : 1. regulární část: n=0 a n (z z 0 ) n... mocninná řada se středem z 0 a poloměrem konvergence R 2. 2. hlavní část n=1 a n(z z 0 ) n = a 1 z z 0 + a 2 + (z z 0 ) 2 Substituce: w = 1 z z 0. a 1 w + a 2 w 2 + mocninna řada s poloměrem konvergence R. R 1 = 1 R... poloměr konvergence hlavní části. Hlavní část konverguje absolutně pro z z 0 > R 1. Zobecněné mezikruží: 0 R 1, R 2 P(z 0, R 1, R 2 ) = {z C R 1 < z z 0 < R 2 }

6.3. Věta. Necht n= a n(z z 0 ) n je Laurentova řada s poloměrem konvergence hlavní části R 1 a regulární části R 2. Je-li R 1 < R 2 pak Laurentova řada konverguje absolutně v mezikruží P(z 0, R 1, R 2 ) a nekonverguje v žádném bodě mimo uzávěr tohoto mezikruží. Příklady: 1. 2 n (z 1) n. regulární část: lim n n= 2 n (z 1) n. n=0 n 2 n z 1 = 1/2 z 1 < 1 = z 1 < 2.

hlavní část: lim n 1 n= 2 n (z 1) n = n=1 2 n 1 (z 1) n. n 1 2 n z 1 = 1 1 2 z 1 < 1 = z 1 > 1 2. Závěr: mezikruží konvergence P(1, 1 2, 2). 2. 1 n= 2 n z n + 3 n z n. n=0 R 1 = 1 2, R 2 = 1 3. Závěr: Nekonverguje v žádném bodě.

3. 1 n= Konverguje v P(0, 1, ). - Otázka stejnoměrné konvergence: 6.4. Věta. Konverguje-li Laurentova řada v mezikruží P(z 0, R 1, R 2 ), kde R 1 < R 2, pak konverguje stejnoměrně v každém mezikruží P(z 0, ϱ 1, ϱ 2 ), kde R 1 < ϱ 1 < ϱ 2 < R 2. Důkaz: přednáška, skripta. Funkce f (z) = n= a n (z z 0 ) n je holomorfní v oblasti P(z 0, R 1, R 2 ). Existují totiž dvě holomorfní funkce g, h tak, že ( ) 1 f (z) = g(z z 0 ) + h. z z 0 Opačná otázka: Má funkce holomorfní v mezikruží rozvoj v Laurentovu řadu? z n

6.5. Věta. Cauchyův vzorec pro mezikruží Necht C 1, C 2 jsou kladně orientované Jordanovy křivky takové, že Int C 1 C 1 Int C 2. Necht f je funkce holomorfní v otevřené množině O Int C 2 \ Int C 1. Pak pro každé z Int C 2 \ Int C 1 je f (z) = 1 2πj ( C 2 f (w) w z dw C 1 Důkaz: Přednáška, skripta. f (w) w z dw ).

6.6. Věta. Rozvoj v Laurantovu řadu Necht f (z) je funkce holomorfní v mezikruží P(z 0, r, R), kde 0 r < R. Pak existuje právě jedna Laurantova řada n= a n (z z 0 ) n tak, že Přitom f (z) = n= a n (z z 0 ) n z P(z 0, r, R). a n = 1 f (w) dw n Z, 2πj C (w z 0 ) n+1 kde C je libovolná kladně orientovaná Jordanova křivka ležící v P(z 0, r, R) a z 0 IntC.

Důkaz: 1. Existence rozvoje z 0 = 0, z P(0, r, R). volme ϱ 1, ϱ 2 s r < ϱ 1 < z < ϱ 2 < R. C 1... z = ϱ 1 C 2... z = ϱ 2 kladná orientace w C 1 : f (z) = 1 2πj Odhad hodnoty ( f (w) w z = C 2 f (w) w z dw C 1 f (w) z( w z 1) = f (w) ) f (w) w z dw. n=0 f (w) w n (max f (w) ) 1 z n+1 w C 1 z w n z n+1. ϱ n 1 z n Jelikož ϱ 1 z < 1 dá horní odhad konvergentní číselnou řadu.

Tedy 0 f (w) w n konverguje stejnoměrně pro w C z n+1 1. ( C 1 f (w) w z dw = n=0 C 1 f (w)w n dw ) 1 z n+1. Rozvoj pro C 2 vede na regulární část - viz věta o Taylorově rozvoji. Jednoznačnost a integrální vyjádření koeficientů: C f (w) = f (w) w n+1 = k= k= f (w) dw = w n+1 a k w k 1 w n+1 a k w k n 1 k= a k C C dw. w k n 1 dw.

f (w) C w n+1 dw = 2πj a n. Příklady: f (z) = 1 z 2 = 1 z 1 (z 2)(z 3), z 0 = 0, v P(0, 2, 3). f (z) = 1 z 3 1 z 2. 1 z 3 = 1 1 z n 3 1 z = 3 3 n+1. 1 1 2 z = n=0 2 n z n+1 = n=0 1 n= 2 n 1 z n.

z n 1 f (z) = 3 n+1 n=0 n= f (z) = Derivace člen po členu: 2 n 1 z n, 2 < z < 3. 1 (z 2) 2, z 0 = 0, z > 2. 1 z 2 = 2 n z n+1 n=0 1 (z 2) 2 = ( n 1) 2n n=0 1 (z 2) 2 = (n + 1) 2n f (z) = 2 n= n=0 z n+2 z n+2 ( n 1)2 n 2 z n. -

f (z) = z 2 e 1/z, z 0 =, f (z) = z 2 1 1 z n n! = 1 1 z2 + z + (n + 2)! z n. n=0 n=0 ( f (z) = ln 1 + 1 ), z 0 = z Integrace: c = 0 f (z) = g(z) = ln(1 + z), z 0 = 0 g (z) = 1 1 + z = ( 1) n z n g(z) = n=0 n=0 ( 1) n zn+1 n + 1 + c ( 1) n 1 n + 1 1, z > 1. zn+1 n=0

6.2. Singularity 6.7. Definice. Necht f je funkce holomorfní v prstencovém okolí bodu z 0 C. Bod z 0 není v definičním oboru funkce f. Pak se bod z 0 nazývá izolovaným singulárním bodem (singularitou) funkce f. Řekneme, že z 0 je 1 odstranitelná singularita funkce f, jestliže existuje vlastní limita f v bodě z 0 ; 2 pól funkce f, jestliže lim z z0 f (z) = ; 3 podstatná singularita funkce f jestliže f nemá limitu v bodě z 0. Příklad: sin z z...0, ; e1/z...0,

6.8. Věta. Necht f je funkce holomorfní a omezená na prstencovém okolí bodu z 0. Pak z 0 je odstranitelná singularita funkce f. Navíc, dodefinujeme-li funkci f v bodě z 0 její limitou, stane se f holomorfní v bodě z 0. Nemá analogii v reálném oboru... sin 1/x, sin x, sgn x, x 2 x. Důkaz: f (z) = a n (z z 0 ) n. C n= Pro n = 1, 2,... a n = 1 f (w) 1 dw = 2πj (w z 0 ) n+1 2πj C je kružnice o poloměru r a středu z 0. C f (w)(w z 0 ) n 1 dw.

Omezenost f znamená: na jistém okolí bodu z 0. Tedy f (w)(w z 0 ) n 1 M a n 1 M 2πr = Mr. 2π Protože r může být libovolně malé, máme a n = 0 pro všechna n = 1, 2.... Tedy hlavní část Laurentova rozvoje je nulová. -

Poznámka: k = 0 neni kořenem, k = znamená nulovost na celém okolí. Tvrzení vyplývá ze skutečnosti, že nulovost všech derivací znamená nulovost Taylorova rozvoje. - Např. 0 je izolovaný singulární bod funkce f (z) = sin z z. Po dodefinování hodnotou 1 v bodě 0 se stanu funkce f (z) celistvou. - Póly mají jemnější klasifikaci vystihující rychlost konvergence k. Souvisí s řádem kořene holomorfní funkce. - 6.9. Tvrzení. Necht f je funkce holomorfní v bodě z 0, která není identicky rovna nule na žádném okolí bodu 0. Pak existuje (jediné) číslo k = 0, 1,... tak, že f (z 0 ) = = f (k 1) (z 0 ) = 0, f (k) (z 0 ) 0. Číslo k se nazývá násobnost kořene z 0 funkce f

z 0 je kořenem násobnosti k f (z) = f (k) (z 0 ) (z z 0 ) k + f (k+1) (z 0 ) k! (k + 1)! (z z 0) k+1 + = (z z 0 ) k g(z), kde g(z) je holomorfní v bodě z 0 a g(z 0 ) 0. z 0 je pól funkce f = h(z) = 1 f (z) je nenulová v nějakém okolí bodu z 0 a má v bodě z 0 limitu 0. Tedy h ze dá rozšířit na holomorfní funkci, pro kterou je z 0 kořenem. Řád (stupeň, násobnost) pólu z 0 funkce f (z) je definován jako stupeň kořene z 0 funkce h(z). -

z 0 je pólem násobnosti k 1 f (z) = (z z 0) k g(z), kde g(z) je holomorfní a nenulová v bodě z 0. 6.10. Tvrzení. Bod z 0 C je pólem násobnosti k právě tehdy když f (z) = h(z) (z z 0 ) k, kde h(z) je holomorfní a nenulová v bodě z 0. Každý pól má svůj řád konvergence k je "kvantovaná" a ne libovolná jako v reálném oboru -

Příklady f (z) = 1 z(z 2) 2. jednoduchý pól 0 a dvojnásobný pól 2.

f (z) = z sin z z 8. 0 je pól násobnosti 5-1... pól násobnosti 2 f (z) = ez 1 1 (z 1) 3 6.11. Definice. Necht f je holomorfní v prstencovém okolí nekonečna. Řekneme, že je pól funkce f řádu k jestliže f (z) = z k g(z), kde g je holomorfní funkce s vlastní nenulovou limitou v.

je pól násobnosti k 0 je pól čádu k funkce g(z) = f (1/z). Příklad: je pól násobnosti 2 funkce f (z) = z 2 e 1/z. - 6.12. Věta. Necht n= a n (z z 0 ) n (resp. n= an z ) je Laurentův rozvoj funkce f v prstencovém okolí bodu z 0 C n. 1 f má v bodě z 0 odstranitelnou singularitu právě tehdy když a n = 0 pro všechna n < 0. 2 f má v bodě z 0 pól násobnosti k právě tehdy když a k 0 a a n = 0 pro všechna n < k. 3 f má v bodě z 0 podstatnou singularitu právě tehdy když nekonečně mnoho koeficientů v hlavní části Laurentovy řady je nenulových.

Důkaz (2) f (z) = g(z) (z z 0 ) k kde g je holomorfní a nenulová v z 0. b 0 g(z) = f (z) = b n (z z 0 ) n, b 0 0 n=0 1 (z z 0 ) k b n (z z 0 ) n = n=0 = (z z 0 ) k + b 1 (z z 0 ) k 1 + + b k + b k+1 (z z 0 ) +

Příklady: f (z) = sin z z 3 dvojnásobný pól - = 1 z 2 1 3! + z2 5! + f (z) = e 1/z = n=0 1 n!z n 0... podstatná singularita,... odstranitelná singularita. f (z) = sin z = n=0 je podstatná singularita je pól násobnosti 2 z 2n+1 (2n + 1)! f (z) = z 2 e 1/z = z 2 1 1 + z + (n + 2)! z n n=0

6.3. Reziduum Motivace: integrální vyjádření koeficientů Laurentovy řady: a n = 1 f (z) dz 2πj (z z 0 ) n+1 dá ve speciálním případě C a 1 = 1 2πj C f (z) dz Laurentovým rozvojem se středem v dané singularitě rozumíme Laurentův rozvoj v nějakém prstencovém okolí singularity - 6.13. Definice. Necht z 0 C (resp.z 0 = ) je singularita funkce f (z). Koeficient a 1 (resp. a 1 ) Laurenotva rozvoje f v bodě z 0 se nazývá reziduum funkce f v bodě z 0. Značení: res z0 f.

Příklady: res 0 sin z z 3 = 0 sin z z 3 = 1 z 2 1 3! + z2 5! res z 2 e 1/z = 1 3!. z 2 e 1/z = z 2 1 1 + z + (n + 2)! z n n=0 Reziduum co zbyde po integraci kolem bodu. Například, je-li C dostatečně velká záporně orientovaná kružnice se středem v nule je pro singularitu : C f (z) dz = n=0 C a n z n dz = a 1 C z dz = a 12πj = 2πjres f (z).

Některé metody výpočtu rezidua (mimo Laurentův rozvoj) 6.14. Tvrzení. Necht z 0 C je k-násobný pól funkce f. Pak 1 d k 1 [ ] res z0 f = lim z z0 (k 1)! d z k 1 (z z 0 ) k f (z). Důkaz: f (z) = a k (z z 0 ) k + a k+1 (z z 0 ) k 1 + + a 1 z z 0 + a 0 + (z z 0 ) k f (z) = a k +a k+1 (z z 0 )+ +a 1 (z z 0 ) k 1 +a 0 (z z 0 ) k + d k 1 [ ] d z k 1 (z z 0 ) k f (z) = (k 1)!a 1 + k!a 0 (z z 0 ) +. Limitou z z 0 jde poslední výraz k (k 1)!a 1.

Příklad: res 2j z + 2 (z 2j) 2 (z + 1) = lim z 2j d d z Speciálně pro jednonásobný pól platí ( ) z + 2 = lim z + 1 z 2j res z0 f = lim z z0 (z z 0 ) f (z). - 1 (z + 1) 2 = 3 + 4j 25. 6.15. Tvrzení. Necht f a g jsou funkce holomorfní v z 0 C. Necht z 0 je jednonásobný kořen funkce g (tj. g(z 0 ) = 0, g (z 0 ) 0). Pak res z0 f (z) g(z) = f (z 0) g (z 0 ).

Důkaz: přednáška, skripta - Příklady: f (z) = z3 + 1 sin z res 0 f = 1 cos 0 = 1. f (z) = cotg z cos z res kπ f (z) = res kπ sin z = cos kπ cos kπ = 1.

6.16. Tvrzení. Necht f je holomorfní v bodě z 0 C a g má v bodě z 0 jednonásobný pól. Pak res z0 f (z)g(z) = f (z 0 )res z0 g(z). Důkaz: přednáška, skripta. - Příklad: res kπ z 3 cotg z = (k 3 π 3 )res kπ cotg z = k 3 π 3. Případ. Má-li f odstranitelnou singularitu v, pak f ( ) = lim z f (z) = a 0.

6.17. Tvrzení. 1 Necht f má v odstranitelnou singularitu. Pak res f = lim z z[f ( ) f (z)] res f = lim z z 2 f (z) 2 Má-li f v pól řádu k, pak ] res f = [z ( 1)k (k + 1)! lim k+2 d k+1 f (z) z d zk+1 Příklad: res e 1/z = lim z z[1 e 1/z ] = 1. res e 1/z = lim z z 2 (e 1/z ) = 1. - res e 1/z 2z = lim e1/z z z 2z = 1 2.

7. Reziduová věta a její aplikace 6.1. Reziduová věta Motto: Jacques Hadamard (1865-1963): "Nejkratší cesta mezi dvěma pravdami v reálném oboru vede přes obor komplexní." 7.1. Věta. Reziduová věta Necht G je oblast a f (z) funkce holomorfní v množině G \ {z 1, z 2,..., z n }. Nechtˇ C je kladně orientovaná Jordanova křivka ležící v G a mající ve svém vnitřku body z 1, z 2,..., z k, k n. Předpokládejme dále, že G obsahuje vnitřní oblast křivky C. Potom k f (z) dz = 2πj res zi f. C i=1

Cauchyův vzorec i Cauchyova věta se dají chápat jako důsledek Reziduové věty. Víme již, že reziduová věta platí pro jednu singularitu. - Důkaz: H i (z)... součet hlavní části Laurentova rozvoje v bodě z i. Jedná se o funkci holomorfní v C \ {z i }. Položme g(z) = f (z) H 1 (z) H 2 (z) H k (z). g je (po dodefinování) v bodech z i holomorfní v G. Dle Cauchyovy věty: 0 = C g(z) dz = = C C f (z) dz f (z) dz 2πj k i=1 C k res zi f (z). i=1 H i (z) dz =

7.2. Důsledek. Je-li funkce f (z) holomorfní v C až na konečně mnoho bodů z 1, z 2,..., z k C, pak k res zi f + res f = 0. i=1 Důkaz: Pro kladně orientovanou Jordanovu křivku C mající body z 1, z 2,..., z k ve svém vnitřku platí C f (z) dz = 2πj C k res zk f i=1 f (z) dz = 2πj res f. -

Příklady: C 1 (z 2 1)(z 3) 2 dz, kde C je kladně orientovaná asteroida x 2/3 + y 2/3 = 2 2/3. Singularity uvnitř 1, 1, jednoduché póly. res 1 1 (z 2 1)(z 3) 2 = 1 2 ( 2) 2 = 1 8. 1 res 1 (z 2 1)(z 3) 2 = 1 ( 2) ( 4) 2 = 1 32. ( 1 1 C (z 2 dz = 2πj 1)(z 3) 2 8 1 ) = 3π 32 16 j.

C 1 dz, 1 + z100 kde C je kladně orientovaná kružnice z = 2. Celkem sto singularit z 1, z 2,..., z 100. (Tvoří vrcholy pravidelného stoúhelníka na jednotkové kružnici.) 100 res zk f = res f. k=1 z res f (z) = lim z 1 + z 100 = 0. 1 dz = 0. C 1 + z100 -

C sin z z + 1 dz, kde C je kladně orientovaná kružnice z = 2. sin ( z z + 1 = sin 1 1 ) 1 = sin 1 cos z + 1 z + 1 cos 1 sin 1 z + 1. 1 cos z + 1 = k (z + 1) 2k ( 1) (2k)! k=0 1 sin z + 1 = k (z + 1) 2k 1 ( 1) (2k + 1)! k=0 = res 1 cos = res 1 sin Závěr: z sin dz = 2πj cos 1. C z + 1-1 z + 1 = 0. 1 z + 1 = 1.

6.2. Výpočet určitých integrálů a) Integrály racionálních funkcí P(x) Q(x) dx P, Q... polynomy s reálnými koeficienty, st Q > st P + 1, Q nemá reálné kořeny. C R (R > 0)... kladně orientovaná křivka skládající se z úsečky L R = [ R, R] a oblouku kružnice K R = {z C z = R, Im z 0}. f (z) = P(z) Q(z) R zvolme tak, aby všechny singularity funkce f v polorovině Im z > 0 ležely uvnitř křivky C R. Podle reziduové věty f (z) dz = 2πj res z f (z). C {z Q(z)=0,Im z>0}

Ukážeme, že f (z) dz = C R f (z) dz + L R f (z) dz. K R L R f (z) dz = R R f (x) dx (R ) lim f (z) dz = 0. R K R P(x) Q(x) dx. Existuje okolí nekonečna, P, tak, že z 2 P(z) Q(z) M tj. P(z) Q(z) M z 2, z P. f (z) dz délka(k R) max f (z) πr M K R z K R R 2 = πm R 0 pro R

Závěr: P(x) dx = 2πj Q(x) {z Q(z)=0,Im z>0} res z f (z). Příklad: x 2 (x 2 + a 2 ) 2 dx, a > 0. P(z) res aj ((z Q(z) = lim aj) 2 z 2 ) ( z 2 ) z aj (z 2 + a 2 ) 2 = lim z aj (z + aj) 2 = x 2 2ajz = lim z aj (z + aj) 3 = 1 4aj (x 2 + a 2 ) 2 dx = 2πj res P(z) aj Q(z) = 2πj 1 = π 4aj 2a. -

b) Integrály z goniometrických funkcí 2π 0 R(cos x, sin x) dx. R(x, y)... racionální funkce definovaná na jednotkové kružnici. 2π ( z 2 ) + 1 R(cos x, sin x) dx = R, z2 1 dz 2z 2jz jz, 0 kde C je kladně orientovaná jednotková kružnice. Odvození : přednáška, skripta - Příklad: 2π 0 C dx a + b cos x, a > b > 0.

Položme F(z) = 1 a + b z2 +1 2z 1 jz = 2 j 1 bz 2 + 2az + b. Funkce F(z) má singularity v kořenech polynomu tj. v bodech bz 2 + 2az + b z 1 = a + a 2 b 2, z 2 = a a 2 b 2. b b z 1 < 1, z 2 > 1. 2π 0 dx a + b cos x = 2πj res z 1 2 jb(z z 1 )(z z 2 ) = 4π b(z 1 z 2 ) = = 4π b 2 1 a 2 b 2 b = 2π a 2 b 2.

c) integrály typu R(x) ejx dx kde R(x) je racionální funkce s reálnými koeficienty, nemá póly na reálné ose, lim z R(z) = 0. Dle Eulerovy identity: R(x)e jx dx = R(x) cos x dx + j R(x) sin x dx. 7.3. Věta. Jordanovo lemma Necht K r je polokružnice {z C z = r, Im z 0}. Předpokládejme, že f (z) je spojitá funkce definovaná na průniku jistého okolí nekonečna s horní polorovinou. Označme M(r) = max z K r f (z). Jestliže lim r M(r) = 0, pak lim r K r f (z)e jz dz = 0.

Důkaz: f (z)e jz dz = K r π 0 f (re jt )e jrejt jre jt dt. Protože f (z) M(r) na K r můžeme odhadnout f (z)e jz π dz rm(r) e jrejt dt. (3) K r 0 Pro z = x + jy, x, y R máme e jz = e jx y, e jz = e y. Pro z = re jt dá výše uvedená identita e jrejt = e r sin t. Dle (??) dostaneme f (z)e jz π dz rm(r) e r sin t dt. K r 0

Pro t < 0, π 2 > platí nerovnost (konkávita). sin t 2 π t. Díky symetrii funkce sinus k bodu π/2 máme π 0 π e r sin t 2 dt = 2 e r sin t dt. 0

Platí tedy π 2 0 π e r sin t 2 dt 2 e r 2 π t dt < 2 0 0 e r 2 π t dt = 2 1 2 π r = π r. Závěr: f (z)e jz dz rm(r)π = πm(r) 0 pro r. K r r

Pro racionální funkci R(z) s lim z R(z) = 0 platí Jordanovo lemma, a proto můžeme postupovat stejně jako v bodě (a). Tímto získáme R(x) e jx dx = 2πj {z C z je pól R(z),Im z>0} Pozn. Nebylo podstatné, že R(z) je racionální funkce. res z R(z) e jz.

Příklad: e jx x 2 + 4 dx. e jx x 2 + 4 dx = cos x x 2 + 4 dx = e jz = 2πj res 2j z 2 + 4 = 2πj e 2 = π 2 2j 2 e 2.

d) Obcházení jednoduchých pólů 7.4. Tvrzení. Předpokládejme, že funkce f (z) má jednoduchý pól v bodě z 0 C. Necht C je oblouk kružnice o středu z 0 a poloměru ϱ parametrizovaný funkcí ϕ(t) = z 0 + ϱe jt t < ϕ, ϕ + α >, kde 0 ϕ < ϕ + α < 2π. Pak f (z) dz = jα res z0 f (z). lim ϱ 0+ C

Důkaz: Skutečnost, že f má v bodě z 0 jednoduchý pól znamená, že f (z) je možno vyjádřit: f (z) = res z 0 f (z) z z 0 + g(z), kde g je funkce holomorfní v z 0. Je tedy res z0 f (z) f (z) dz = dz + z z 0 Přitom C C C res z0 f (z) ϕ+α dz = z z 0 = jres z0 f (z) ϕ ϕ+α ϕ C g(z) dz. (4) res z0 f (z) ϱe jt jϱe jt dt = dt = jα res z0 f (z). Funkce g je omezená v jistém okolí bodu z 0. Pro ϱ 0+ konverguje délka křivky k nule. = C g(z) dz αϱ max g(z) 0, pro ϱ 0 +. C

Závěr: lim f (z) dz = jα res z0 f (z). ϱ 0+ C - Příklad: Newtonův integrál (detaily přednáška) sin x x dx = π. Integrujeme přes velké polokružnice (Jordanovo lemma) a malé plokružnice kolem bodu 0 (předchozí tvrzení) e jz z dz = πj res 0 e jz z = πj.

8. Fourierova transformace 8.1. Fourierovy řady zpracování periodické funkce, spektrální rozklad předpoklady: 1 f (t) :< a, a + T > C, T > 0 nebo f je periodická funkce s periodou T. 2 f je integrovatelná tj. a+t a f (t) dt <.

Fourierova řada v komplexním tvaru funkce f je řada c n e jnωt = kde n= = + c 2 e 2jωt + c 1 e jωt + c 0 + c 1 e jωt + c 2 e 2jωt + a+t ω = 2π T, c n = 1 f (t) e jnωt dt. T a Fourierovy koeficienty funkce f, c n, (n Z) "poměřují" f (t) s periodickým pohybem e jnωt, tj. násobnými harmonickými kmitočty a to pomocí skalárního součinu. Skalární součin pro funkce: V tomto značení: (f, g) = a+t a f (t)g(t) dt. c n = (f (t), 1 T ejnωt ).

8.1. Věta. Schwarzova nerovnost Je-li a+t a f (t) 2 dt < a a+t a g(t) 2 dt <, pak a+t a+t a+t f (t)g(t) dt f (t) 2 dt g(t) 2 dt. a a Přitom v předchozí nerovnosti nastává rovnost pravě tehdy když jsou f a g lineárně závislé (tj. jedna funkce je komplexním násobkem druhé). a+t Při značení f = a f (t) 2 dt (norma f ) můžeme Schwarzovu nerovnost psát a Pro c n to znamená (f, g) f g. c n f 1 T ejnωt = f 1 T.

Schwarzova nerovnost aplikována na c n implikuje ekvivalenci následujících tvrzení: 1 f má maximální korelaci s 1 T ejnωt 2 f (t) = c e jnωt, kde c C 3 Fourierova řada funkce f má pouze jeden člen c n e jnωt (f je čistá frekvence) -

Důkaz Schwarzovy nerovnosti: 1) a+t a+t f (t)g(t) dt f (t) g(t) dt a Stačí tedy uvažovat pouze reálné nezáporné funkce. 2) dokazovaná rovnost je ekvivalentní nerovnosti ( ) f f, g 1. g Stačí tedy uvažovat pouze nezáporné funkce s a+t 3) Pro takovéto funkce: a+t a a f (t)g(t) dt f (t) 2 dt = a+t a a+t a a g(t) 2 dt = 1. 1 2 (f (t)2 + g(t) 2 ) dt = 1.

Princip: Spojité funkce integrovatelné s kvadrátem se stejnými Fourierovými koeficienty jsou stejné. Fourierovy koeficienty kódují funkce, charakterizují je ve frekvenční oblasti. Důkaz tohoto faktu je obtížnější. f je reálná funkce právě tehdy když c n = c n pro všechna n N. Důkaz: 1) f (t) je reálné: T c n = T c n = a tedy c n = c n. a+t a a+t a f (t) e jnωt dt = j +j a+t a f (t) e jnωt dt = a+t a a+t a f (t) sin nωt dt a+t a f (t) sin nωt dt f (t) cos nωt dt f (t) cos nωt dt

2) Předpokládejme, že c n = c n a ukažme, že f = f. Spočítáme koeficienty pro f : 1/T a+t a a+t f (t)e jnωt dt = 1/T f (t) e jn ωt dt = a = c n = c n. Tedy f a f mají stejné koeficienty a můžeme použít Princip. Je-li f reálná funkce můžeme sloučit dva komplexně sdružené členy dohromady a dostat tak čistě reálnou řadu: n 1 c n e jnωt + c n e jnωt = c n (cos nωt + j sin nωt) + c n (cos nωt j sin nωt) = = (c n + c n ) cos nωt + (j c n jc n ) sin nωt = = 2 Re c n cos nωt 2 Im c n sin nωt.

Označme a n = 2 Re c n = 2 T kosínově-sínový tvar: Amplituda: b n = 2 Im c n = 2 T a 0 a+t a a+t a f (t) cos nωt dt f (t) sin nωt dt 2 + a n cos nωt + b n sin nωt, n=1 A n = a 2 n + b 2 n. Transformační vztahy mezi koeficienty: n 1 a n = 2 Re c n c n = a n 2 j b n 2 b n = 2 Im c n. c n = a n 2 + j b n 2

Důležité je, že Fourierovy koeficienty umožní zrekonstruovat funkci (jsou vlastně souřadnicemi vůči nekonečné bázi). V některých případech je funkce přímo rovna součtu své Fourierovy řady. 8.2. Věta. Dirichletova věta Je-li reálná funkce f (t) s periodou T po částech spojitá a má po částech spojitou derivaci, pak f (t+) + f (t ) 2 = a 0 2 + a n cos nωt + b n sin nωt, n=1 pro všechna t R.

Souvislost Fourierovy a Laurentovy řady Příklad: Pomocí Laurentovy řady nalezněte Fourierovu řadu funkce f (t) = - 1 2 + cos t. Řešení: Spočítáme si nejdříve f (z) = 1 2 + z2 +1 2z = 2z z 2 + 4z + 1.