Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n
|
|
- Jindřich Macháček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n Metrické vlastnosti prostoru R n Funkce a zobrazení v R n Funkce a jejich grafy Úlohy Posloupnosti v prostoru R n Základní terminologie a symbolika Limita posloupnosti Vlastnosti limity posloupnosti Příklady Úlohy Spojitost funkce Motivace pojmu spojitost funkce více proměnných Spojitost funkce Úlohy Limita funkce Motivace na příkladech Limita funkce vzhledem k množině Operace s limitami Vlastnosti limit Příklady Úlohy Diferenciální počet funkcí více proměnných Parciální derivace a diferenciály 1. řádu Parciální derivace Úlohy Diferenciál Úlohy Parciální derivace složené funkce Úlohy Lagrangeova věta o přírůstku funkce Regulární zobrazení Regulární zobrazení Transformace souřadnic
2 4 OBSAH 2.3 Parciální derivace a diferenciály vyššího řádu Parciální derivace vyššího řádu Úlohy Diferenciál k-tého řádu Úlohy Transformace diferenciálních operátorů Úlohy Použití diferenciálního počtu Zobrazení definované implicitně Lokální popis křivky pomocí grafu funkce Funkce jedné proměnné Příklady Funkce dvou proměnných Příklady Vektorová funkce jedné proměnné Příklady Vektorová funkce dvou proměnných Příklady Úlohy Extrémy funkcí Lokální extrémy Kritéria pro lokální extrémy Příklady Vázané extrémy Příklady Extrémy na kompaktních množinách Úlohy
3 Kapitola 1 Reálné funkce více reálných proměnných 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Klíčová slova: n rozměrný euklidovský prostor, soustava souřadnic, souřadnicová osa, vzdálenost bodů, trojúhelníková nerovnost, sférické okolí bodu, prstencové okolí bodu, vnitřní bod množiny, vnější bod množiny, hraniční bod množiny, hromadný bod množiny, izolovaný bod množiny, otevřená množina, uzavřená množina, omezená množina, kompaktní množina, vnitřek množiny, hranice množiny Algebraické vlastnosti prostoru R n V přednášce z lineární algebry jsme se zabývali n-rozměrným vektorovým prostorem R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Pro každé dva prvky a, b R n, a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) jsme definovali rovnost a součet a = b právě tehdy, když a i = b i pro všechna i = 1, 2,..., n (1.1) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). (1.2) Dále pro každý prvek a R n, a = (a 1, a 2,..., a n ), jsme definovali násobek skalárem α a opačný prvek Definovali jsme rovněž nulový prvek αa = (αa 1, αa 2,..., αa n ) (1.3) a = ( a 1, a 2,..., a n ). (1.4) o = (0, 0,..., 0). (1.5) V prostoru R n jsme také definovali skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2,..., u n ) a v = (v 1, v 2,..., v n ) jako číslo u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. (1.6) 5
4 6 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH Víme, že skalární součin (1.6) má tyto vlastnosti: u u 0 pro všechna u R n ; u u = 0 právě tehdy, když u = o ; u v = v u pro všechna u, v R n ; (αu) v = u (αv) = α(u v) pro všechna u, v R n, α R ; (u + v) w = u w + v w pro všechna u, v, w R n. Dalším důležitým pojmem, který musíme ještě připomenout, je pojem báze vektorového prostoru R n. Rozumíme tím každou uspořádanou n-tici lineárně nezávislých vektorů z R n. Pomocí báze zavedeme v prostoru R n soustavu souřadnic. Nechť p je libovolně, ale pevně zvolený prvek prostoru R n a nechť b 1, b 2,..., b n (1.7) je libovolná pevně zvolená báze prostoru R n. Pak každý prvek x R n můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru x = p + c 1 b 1 + c 2 b c n b n. (1.8) Zřejmě hodnoty koeficientů c 1, c 2,..., c n závisí na tom, jak jsme zvolili bod p a bázi (1.7), tj. na volbě vektorů p, b 1, b 2,..., b n. (1.9) Každý takový soubor (1.9) prvků prostoru R n nazýváme soustavou souřadnic v prostoru R n. Vektorový prostor R n se skalárním součinem, v němž jsme zvolili soustavu souřadnic, budeme nazývat n-rozměrným euklidovským prostorem R n. S takto zavedeným euklidovským prostorem jsme se seznámili již v hodinách geometrie na střední škole při vyšetřování různých objektů v rovině a v prostoru. Tam jsme prvky roviny nebo prostoru nazývali body a každé dvojici bodů A, B byl přiřazen vektor, geometricky interpretovaný jako orientovaná úsečka AB, jejímž počátečním bodem je bod A a koncovým bodem bod B. Tuto terminologii můžeme převzít i pro naše další úvahy. Prvky euklidovského prostoru R n budeme nazývat body a koeficienty c 1, c 2,..., c n, přiřazené předpisem (1.8) bodu x, budeme nazývat souřadnicemi bodu x v soustavě souřadnic (1.9). Zvolíme-li speciálně p = o = (0, 0,..., 0), b 1 = e 1 = (1, 0,..., 0), b 2 = e 2 = (0, 1,..., 0),..., b n = e n = (0, 0,..., 1), pak dostaneme kartézskou soustavu souřadnic o, e 1, e 2,..., e n. (1.10) Zřejmě souřadnicemi bodu x = (x 1, x 2,..., x n ) v kartézské soustavě souřadnic jsou přímo jeho složky, tj. platí x = o + x 1 e 1 + x 2 e x n e n. (1.11) Množina bodů {x R n x = p + tb i, t R}, i = 1, 2,..., n, (1.12) se nazývá i-tá souřadnicová osa euklidovského prostoru R n. Souřadnicové osy jsou tedy přímky procházející bodem p a jejich směrové vektory jsou prvky báze b i. Zřejmě i-tá souřadnicová osa v kartézské soustavě souřadnic je přímka daná vztahem x = te i, t R, i = 1, 2,..., n. (1.13)
5 1.1. EUKLIDOVSKÝ N-ROZMĚRNÝ PROSTOR R N 7 Vraťme se ještě jednou k naší dohodě o názvu prvků euklidovského prostoru. Prvky euklidovského prostoru R n jsou uspořádané n tice reálných čísel, a tedy aritmetické n členné vektory. Díváme-li se na příslušný euklidovský prostor jako na množinu nějakých objektů, jako např. bodů přímky, roviny nebo prostoru, pak každý aritmetický vektor při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic je vektorem souřadnic právě jednoho bodu. Označíme-li P bod, který jsme zvolili za počátek soustavy souřadnic, tedy bod, který v této soustavě souřadnic má vektor souřadnic o = (0, 0,..., 0) a je-li B bod s vektorem souřadnic b = (b 1, b 2,..., b n ), pak aritmetický vektor b můžeme geometricky interpretovat jako orientovanou úsečku P B, a tedy opět důvod pro to, abychom v dalších úvahách pro prvky euklidovských prostorů používali název body. Je samozřejmé, že se setkáme se situacemi, kdy budeme muset mluvit i o vektorech, jako například u derivace ve směru, u diferenciálů, u tečné roviny apod. V takových případech bude toto rozlišení mezi body a vektory ukázáno zcela zřetelně. V celé řadě dalších případů, kdy toto rozlišování nehraje podstatnou roli, nebudeme úvahy komplikovat a budeme mluvit jen o bodech prostoru R n. V textu se budeme setkávat zejména s úlohami v euklidovských prostorech dvou a třírozměrných, tedy v R 2 a R 3. Pro označení souřadnicových os v prostoru R 2, resp. R 3 je obvyklé používat symboly x 1, x 2, resp. x 1, x 2, x 3, nebo x, y, resp. x, y, z, nebo u, v, resp. u, v, w Metrické vlastnosti prostoru R n Vzdálenost bodů v euklidovském prostoru R n Jedním z nejdůležitějších pojmů používaných při vyšetřování vlastností euklidovských prostorů je pojem vzdálenosti dvou bodů. Tento pojem můžeme zavést mnoha různými způsoby. Zde k tomu využijeme pojem normy vektoru. Pomocí skalárního součinu vektorů můžeme definovat tzv. euklidovskou normu vektoru u = (u 1, u 2,..., u n ) R n jako číslo u = (u u) 1/2 = u u u 2 n. (1.14) Interpretujeme-li aritmetický vektor b jako orientovanou úsečku P B s počátečním bodem v počátku P soustavy souřadnic a koncovým bodem v bodě B, jehož souřadnice tvoří vektor b, pak se na číslo b můžeme dívat jako na vzdálenost bodu B od počátku soustavy souřadnic. Místo euklidovské normy můžeme použít i jiné normy, jako např. čtvercovou normu, definovanou předpisem u 1 = max{ u 1, u 2,..., u n }, (1.15) nebo kosočtvercovou normu, definovanou předpisem u 2 = u 1 + u u n. (1.16) Čtenář si snadno dokáže, že mezi těmito normami platí vztah u 1 u 2 n u n 2 u 1. (1.17) Pro označení kterékoliv z takto definovaných norem vektoru u budeme používat společný symbol u.
6 8 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH Pomocí normy aritmetického vektoru můžeme definovat vzdálenost bodů jako normu rozdílu vektorů jejich souřadnic v libovolné kartézské soustavě souřadnic. V této definici vzdálenosti vystupují sice souřadnice bodu, ale dá se ukázat, že takto definovaná vzdálenost dvou bodů nezávisí na volbě kartézské soustavy souřadnic. Podobně z nerovností (1.17) plyne, že takto definovaná vzdálenost bodů nezávisí podstatně ani na konkrétní volbě normy. Rozumíme tím skutečnost, že když se bod x blíží k bodu a ve smyslu vzdálenosti definované pomocí jedné z uvedených norem, pak se bod x blíží k bodu a také ve smyslu vzdálenosti definované pomocí kterékoli jiné z uvedených norem. Uvedené definice norem nám tak poskytují tři možnosti pro definici vzdálenosti bodů a = (a 1, a 2,..., a n ) a b = (b 1, b 2,..., b n ). x 2 a 2 x 2 a 2 a x 2 a 2 a b 2 a a b b x 1 a 1 b 1 b 2 a 1 a b b b 1 x 1 b 2 a 1 a b b b 1 x 1 a) euklidovskou b) kosočtvercovou c) čtvercovou Obrázek 1.1: Vzdálenosti bodů v rovině R 2 s normou Nejužívanější a také nejpřirozenější je euklidovská vzdálenost, definovaná předpisem a b = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) (a n b n ) 2. (1.18) Je to vlastně délka úsečky, jejíž koncové body jsou body a a b, a tedy odpovídá zcela naší běžné představě vzdálenosti. Pro případ n = 2 je ilustrována na obr. 1.1 a). Avšak v situacích, kdy při přechodu od bodu a do bodu b musíme obcházet nějakou překážku, nedává nám euklidovská vzdálenost tu pravou potřebnou informaci. Např. při procházení ulicemi města může být vhodnější použít pojem vzdálenosti, definovaný pomocí kosočtvercové normy a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. (1.19) Tato vzdálenost je pro n = 2 ilustrovaná na obr. 1.1 b). Jindy je vhodné používat vzdálenost definovanou pomocí čtvercové normy a b = max{ a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n }. (1.20) Ilustrace této vzdálenosti pro n = 2 je na obr. 1.1 c). Přenecháváme čtenáři, aby si promyslel situace, kdy je vhodné použít takto definovanou vzdálenost dvou bodů. Každá z uvedených vzdáleností a b má tyto tři vlastnosti: a b = b a, a, b R n ; (1.21) a a = 0, a b > 0 pro a b, a, b R n ; (1.22) a b + b c a c, a, b, c R n. (1.23)
7 1.1. EUKLIDOVSKÝ N-ROZMĚRNÝ PROSTOR R N 9 x 2 x < ε ε x 1 x 2 ε x < ε ε x 1 x 2 ε x < ε ε x 1 a) euklidovskou b) kosočtvercovou c) čtvercovou Obrázek 1.2: Sférické okolí bodu v rovině R 2 s normou x 2 ε 0 < x < ε x 1 x 2 ε 0 < x < ε ε x 1 x 2 ε ε 0 < x < ε x 1 d) euklidovskou e) kosočtvercovou f) čtvercovou Obrázek 1.3: Prstencové okolí bodu v rovině R 2 s normou Vlastnost (1.23) se nazývá trojúhelníková nerovnost. (Je to zobecnění známé vlastnosti trojúhelníku, že totiž součet délek jeho dvou stran nemůže být menší než délka zbývající třetí strany.) Sférická a prstencová okolí bodu Pomocí vzdálenosti definujeme nyní dva základní pojmy našich dalších úvah. Je to pojem sférického okolí bodu a pojem prstencového okolí bodu. Sférickým okolím bodu a o poloměru ε > 0, nebo stručně ε okolím bodu a nazýváme množinu U(a, ε) = {x R n x a < ε}. (1.24) Podobně prstencovým okolím bodu a o poloměru ε > 0 nazýváme množinu P (a, ε) = {x R n 0 < x a < ε}. (1.25) Zřejmě P (a, ε) = U(a, ε) \ {a}. Sférická okolí bodu a pro n = 2 a pro vzdálenosti definované předpisy (1.18), resp. (1.19), resp. (1.20) jsou nakreslena na obr. 1.3 a), resp. b), resp. c). Podobně prstencová okolí bodu a pro n = 2 a pro vzdálenosti definované předpisy (1.18), resp. (1.19), resp. (1.20) jsou nakreslena na obr. 1.3 d), resp. e), resp. f). Klasifikace bodů prostoru R n vzhledem k dané množině Předpokládejme, že je dána množina M R n a bod a R n. Říkáme, že bod a je vnitřním bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okolí U(a, ε) bodu a, které celé leží v množině M; vnějším bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okolí U(a, ε) bodu a, které celé leží v doplňku R n \ M;
8 10 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH hraničním bodem množiny M právě tehdy, když každé okolí U(a, ε) bodu a má neprázdný průnik jak s množinou M, tak i s jejím doplňkem R n \ M; hromadným bodem množiny M právě tehdy, když každé prstencové okolí P (a, ε) bodu a má s množinou M neprázdný průnik; izolovaným bodem množiny M právě tehdy, když a M a existuje takové prstencové okolí P (a, ε) bodu a, které neobsahuje žádný bod množiny M. Klasifikace množin v R n Předpokládejme, že je dána množina M R n. Říkáme, že množina M je otevřená právě tehdy, když každý její bod je jejím vnitřním bodem; uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body; omezená právě tehdy, když je obsažena v nějakém sférickém okolí počátku; kompaktní právě tehdy, když je omezená a uzavřená. Vnitřkem množiny M nazýváme množinu všech jejích vnitřních bodů. Hranicí množiny M nazýváme množinu všech jejích hraničních bodů. Pro označení vnitřku množiny M se používá obvykle symbol M, pro označení hranice množiny M se používá obvykle symbol M. Je užitečné, aby si čtenář již zde učinil alespoň hrubou představu o otevřených a uzavřených množinách v rovině a v prostoru. Otevřené množiny jsou zpravidla popsány pomocí ostrých nerovností. Například polorovina x > 0 v rovině je otevřená. Skutečně, leží-li bod a = (a 1, a 2 ) v této polorovině, je nutně a 1 > 0. Pak ovšem celé sférické okolí bodu a o poloměru např. a 1 /2 leží také v této polorovině. Pomocí neostrých nerovností jsou popisovány uzavřené množiny. Příslušné rovnosti v těchto popisech pak udávají hranice takových uzavřených množin. 1.2 Funkce a zobrazení v R n Klíčová slova: reálná funkce více reálných proměnných, předpis a definiční obor funkce, obor hodnot funkce, skalární pole, ekvipotenciála skalárního pole, vektorová funkce, zobrazení, vektorové pole Funkce a jejich grafy Reálné funkce více reálných proměnných V diferenciálním počtu reálných funkcí jedné reálné proměnné jsme se zabývali chováním zobrazení z R 1 do R 1, tj. zobrazení, která reálným číslům přiřazují reálná čísla. Nyní budeme tyto úvahy zobecňovat. Budeme se zabývat zobrazeními, která bodům prostoru R n přiřazují body nějakého prostoru R k. Nejvíce nás budou zajímat případy, kdy bodům prostoru R 2, resp. R 3 jsou přiřazována reálná čísla. Takovým zobrazením říkáme reálné funkce dvou, resp. tří reálných proměnných. Tyto funkce mají velice přirozenou fyzikální interpretaci. Je-li v rovině nebo v prostoru rozložena nějaká fyzikální veličina, k jejímuž popisu stačí udat v každém bodě roviny nebo prostoru jediný číselný údaj, pak říkáme, že v příslušném prostoru je zadáno skalární pole. Takové skalární pole v prostoru R n je tedy zadáno nějakou reálnou funkcí n proměnných. Příkladem skalárního pole je například pole potenciálu v okolí elektricky nabitého tělesa, teplotní pole apod. Při matematickém studiu skalárního pole se zpravidla toto pole ztotožňuje s funkcí, která jej popisuje. Množiny bodů prostoru R n, ve kterých
9 1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 11 skalární funkce nabývá dané konstantní hodnoty c, budeme nazývat ekvipotenciálami skalárního pole f. Např. ekvipotenciálami skalárního pole f(x, y) = x 2 + y 2 v rovině R 2 jsou pro c > 0 kružnice o rovnicích x 2 + y 2 = c, pro c = 0 je to jediný bod (0, 0) a pro c < 0 je to prázdná množina. Vektorové funkce Později, zejména v integrálním počtu, budeme často potřebovat i obecnější případ, kdy bodům prostoru R 1, resp. R 2, resp. R 3 jsou přiřazovány body prostoru R k. Jde tedy o zobrazení f: R n R k. Takovým zobrazením budeme říkat vektorové funkce, a to pro n = 1, resp. n = 2, resp. n = 3 vektorové funkce jedné, resp. dvou, resp. tří reálných proměnných. Je užitečné již nyní si uvědomit, že vektorová funkce není nic jiného, než uspořádaná k tice reálných funkcí n reálných proměnných. To totiž znamená, že když se naučíme provádět nějaké operace s reálnými funkcemi n reálných proměnných, pak tyto operace vhodným způsobem, nejčastěji přímo po složkách přeneseme i na vektorové funkce. Podobně, jako jsme fyzikálně interpretovali skalární funkci, můžeme to učinit i s vektorovou funkcí. Je-li v prostoru rozložena nějaká fyzikální veličina, která je v každém bodě jednoznačně určena nějakým vektorem, pak říkáme, že v prostoru je zadáno vektorové pole. Takové vektorové pole v prostoru R n je tedy zadáno vektorovou funkcí n reálných proměnných. Příklady vektorových polí jsou různá silová pole, např. pole zemské gravitace, elektrostatické pole elektrického náboje apod. Definiční obor, obor hodnot a graf funkce Každé zobrazení z prostoru R n do prostoru R k je dáno nějakým předpisem f, který popisuje, jak se bodům prostoru R n přiřazují body prostoru R k, a množinou D f R n bodů, kterým jsou předpisem f body prostoru R k přiřazovány. Množinu D f pak nazýváme definičním oborem zobrazení f: R n R k. Bude-li v dalším textu zadán pouze předpis f, budeme definičním oborem D f rozumět množinu všech bodů prostoru R n, pro které má předpis f: R n R k smysl. Množinu všech bodů prostoru R k, přiřazených bodům množiny D f, budeme nazývat oborem hodnot zobrazení f a budeme jej značit H f. Je-li M D f, pak množinu f(m) = {y R k y = f(x) pro všechna x M} (1.26) nazýváme obrazem množiny M v zobrazení f. Zřejmě H f = f(d f ). Je-li f: D f R n R 1 reálná funkce n reálných proměnných, pak grafem funkce f nazýváme množinu graf f = {(x, y) R n R 1 y = f(x), x D f }. (1.27) Složené zobrazení Zavedeme ještě pojem složeného zobrazení. Předpokládejme, že jsou dána dvě zobrazení g: R n R k a f: R k R m taková, že obor hodnot H g zobrazení g je podmnožinou definičního oboru D f zobrazení f. Nyní definujeme složené zobrazení h: R n R m předpisem h(x) = f(g(x)) pro všechna x D g. (1.28) Podle předpokladu je g(x) D f, a tedy složené zobrazení h je takto definováno pro všechna x D g. Nyní uvedeme několik příkladů definičních oborů a grafů funkcí. Budou to zejména příklady funkcí dvou reálných proměnných, jejichž grafy jsou nějaké plochy v třírozměrném
10 12 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH prostoru R 3 = R 2 R 1. Souřadnicové osy v tomto prostoru budeme značit x, y, z a příslušné předpisy budeme uvádět ve tvaru z = f(x, y). Příklady 1. Máme najít definiční obory následujících funkcí, definovaných daným předpisem f(x, y). (a) f(x, y) = arcsin(1 x 2 y 2 ). Máme najít definiční obor D f funkce f(x, y) = arcsin(1 x 2 y 2 ). Víme, že definiční obor funkce arcsin je intervalu 1, 1, a tedy musí platit 1 1 x 2 y 2 1. Odtud snadnou úpravou dostáváme nerovnost x 2 + y 2 2. Definičním oborem naší funkce f je tedy uzavřený kruh se středem v počátku a poloměrem 2. (b) f(x, y) = ln xy. Máme najít definiční obor D f funkce f(x, y) = ln xy. Víme, že funkce ln má definiční obor interval (0, ), takže musí být xy > 0. To znamená, že definičním oborem D f naší funkce f je sjednocení otevřeného prvního a otevřeného třetího kvadrantu roviny xy. (c) f(x, y) = ln x + ln y. Definičním oborem funkce f(x, y) = ln x + ln y je zřejmě množina dvojic (x, y) s x > 0, y > 0, tj. první otevřený kvadrant. Tento výsledek a výsledek předchozího příkladu ukazují, že rovnost ln xy = ln x + ln y neplatí obecně, ale pouze na otevřeném 1. kvadrantu, přestože levá strana je definovaná i na otevřeném 3. kvadrantu. 2. Máme najít definiční obor funkce f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). Hledáme definiční obor funkce f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). Musí platit z 2 x 2 y 2 1 > 0. Odtud dostáváme dvě podmínky vyjadřující vztah mezi složkami uspořádaných trojic (x, y, z) tvořících definiční obor D f, a sice z > 1 + x 2 + y 2 nebo z < 1 + x 2 + y 2. Definičním oborem funkce f je tedy množina D f = {(x, y, z) R 3 (z > 1 + x 2 + y 2 ) (z < 1 + x 2 + y 2 )} (1.29) tvořená vnitřky dvoudílného rotačního hyperboloidu, jak je načrtnut na obr Máme určit grafy následujících funkcí. (a) z = x 2 + y 2, (x, y) D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Předpisem z = x 2 + y 2, (x, y) D f je definována funkce dvou proměnných, jejímž grafem je část kuželové plochy pro z 0. Skutečně, je to rotační plocha s osou v ose z, jelikož pro z = z 0 dostáváme kružnici x 2 + y 2 = z 2 0. Dále
11 1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 13 z x y Obrázek 1.4: K ilustraci definičního oboru z 2. příkladu vyšetříme řezy grafu souřadnicovými rovinami x = 0 a y = 0. Z rovnosti z 2 = x 2 + y 2 pro x = 0 dostáváme z 2 = y 2, tj. z = y, nebo z = y. To znamená, že řezem souřadnicové roviny x = 0, tj. roviny yz s grafem funkce f je dvojice úseček ležících na polopřímkách z = y, z = y, z 0. Analogicky v rovině y = 0 dostáváme jako řez dvojici úseček ležících na polopřímkách z = x, z = x, z 0. Graf funkce je načrtnut na obr. 1.5 a). (b) z = x 2 + y 2, (x, y) D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Předpisem z = x 2 + y 2, (x, y) D f je definována funkce dvou proměnných, jejímž grafem je část rotačního paraboloidu. Skutečně, řezy souřadnicovými rovinami x = 0, resp. y = 0 s grafem funkce jsou části parabol z = y 2, resp. z = x 2. Řez rovinou z = z 0 je kružnice x 2 + y 2 = z 0, takže se jedná o rotační plochu s osou v ose z. Graf funkce je načrtnut na obr. 1.5 b). (c) z = 1 + x 2 + y 2, (x, y) D f = R 2. Předpisem z = 1 + x 2 + y 2, (x, y) D f = R 2, je definována funkce, jejímž grafem je část rotačního dvoudílného hyperboloidu pro z 1. Skutečně, řezem souřadnicové roviny x = 0 s grafem funkce je větev hyperboly popsané rovnicí z 2 y 2 = 1. Analogicky v rovině xz, tj. pro y = 0 dostáváme rovnici z 2 x 2 = 1. Část grafu této funkce je načrtnuta na obr. 1.6 a). (d) z = x 2 y 2, (x, y) R 2. Grafem funkce z = x 2 y 2, (x, y) R 2 je hyperbolický paraboloid (zvaný také koňské sedlo ), znázorněný na obr. 1.6 b). Zde jako řezy grafu funkce souřadnicovými rovinami a rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami dostáváme paraboly nebo hyperboly, jak je ukázáno na obr. 1.6 b). Např. pro
12 14 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH z z x f(x, y) D f (x, y) a) kužel y D f x y b) paraboloid Obrázek 1.5: Grafy funkcí dvou proměnných. y = 0 dostáváme parabolu z = x 2. Pro z = 1 dostáváme dvě větve hyperboly 1 = x 2 y 2, pro x = x 0 dostáváme parabolu z = x 2 0 y 2 apod. z z x y a) větev dvoudílného hyperboloidu x y b) hyperbolický paraboloid Obrázek 1.6: Grafy funkcí dvou proměnných 4. V následujících příkladech popíšeme některé vektorové funkce. (a) Vektorová funkce g = (g 1, g 2 ): 0, 2π R 2, definovaná předpisem g 1 (t) = cos t, g 2 (t) = sin t, zobrazuje zřejmě interval 0, 2π na jednotkovou kružnici se středem v počátku, jak ukazuje obr. 1.7 a). (b) Ponecháme-li předpis z předchozího příkladu, ale změníme definiční obor na
13 1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 15 interval 0, π, dostaneme vektorovou funkci g = (g 1, g 2 ): 0, π R 2, g(t) = (cos t, sin t), která zobrazuje interval 0, π na horní půlkružnici kružnice z obr. 1.7 a). (c) Vektorová funkce g = (g 1, g 2 ): 0, 2π R 2, g(t) = (cos t, sin 2t), zobrazuje interval 0, 2π na křivku v rovině xy, jak ukazuje obr. 1.7 b). Označíme-li x = cos t, y = sin 2t, vidíme, že je x = 0 pro t = π/2 a t = 3π/2, zatímco y = 0 pro t = 0, t = π/2, t = π, t = 3π/2 a t = 2π. (d) Ukažme ještě, jak lze popsat trojúhelník na obr. 1.7 c) jako obraz intervalu 0, 4. Příslušnou vektorovou funkci g = (g 1, g 2 ): 0, 4 R 2 můžeme definovat předpisem g(t) = (t, 2t) pro t 0, 1), (t, 4 2t) pro t 1, 2), (4 t, 0) pro t 2, 4. (1.30) y y 1 1 y 2 B 1 1 x 1 1 x 1 1 a) 1 b) A 1 2 C c) x Obrázek 1.7: Ilustrace k příkladům vektorových funkcí (e) V integrálním počtu funkcí dvou proměnných se setkáme s vektorovou funkcí g: R 2 R 2 : g(ϱ, ϕ) = (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ), (ϱ, ϕ) (0, ) (0, 2π), (1.31) kterou se v rovině transformují tzv. polární souřadnice do kartézských souřadnic. Podrobněji se touto vektorovou funkcí budeme zabývat později. (f) Zobecněním předchozího příkladu jsou tzv. sférické souřadnice, což je vektorová funkce g: R 3 R 3, definovaná předpisem x = g 1 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ cos ϕ cos ϑ, y = g 2 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϕ cos ϑ, z = g 3 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϑ, (1.32) ϱ (0, ), ϕ (0, 2π), ϑ ( π 2, π ). 2
14 16 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH Úlohy 1. Nalezněte definiční obor D f následujících funkcí f(x, y). (a) f(x, y) = y x y. [D f = {(x, y) R 2 (y x 2 ) (y 1)}.] (b) f(x, y) = 1 x 2 + y 2 1. [D f = {(x, y) R 2 ( x 1) ( y 1)}.] (c) f(x, y) = x y. [D f = {(x, y) R 2 (x 0) (0 y x 2 }.] (d) f(x, y) = (4 x 2 y 2 )(x 2 + y 2 1). [D f = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 4}.] (e) f(x, y) = 1 x 2 y 2. [D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}.] (f) f(x, y) = 1 (x 2 y) 2. [D f = {(x, y) R 2 x 2 1 y x 2 + 1}.] (g) f(x, y) = ln(1 x 2 y 2 ). [D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}.] (h) f(x, y) = ln(4 x2 y 2 ) xy. [D f = {(x, y) R 2 (x 2 + y 2 < 4) (xy > 0)}.] (i) f(x, y) = arcsin y 1 x. [D f = {(x, y) R 2 ((x > 0) (1 x y 1 + x)) ((x < 0) (1 + x y 1 x))}.] x 2 + y 2 x (j) f(x, y) = 2x x 2 y. 2 [D f = {(x, y) R 2 ((x 1/2) 2 + y 2 1/4) ((x 1) 2 + y 2 < 1)}.] (k) f(x, y) = arctg(xy) x 2 + y 2. [D f = {(x, y) R 2 (x, y) (0, 0)}.] (l) f(x, y) = arccos(1 + (x + y) 2 ). [D f = {(x, y) R 2 y = x}.] (m) f(x, y) = sin(π(x 2 + y 2 )). [D f = {(x, y) R 2 2k x 2 + y 2 2k + 1, k N}.] (n) f(x, y) = ln(y 2 4x + 8). [D f = {(x, y) R 2 x < 2 + y 2 /4}.] 2. Nalezněte definiční obor D f následujících funkcí f(x, y, z). (a) f(x, y, z) = 1 x + 1 y + 1 z. [D f = {(x, y, z) R 3 (x > 0) (y > 0) (z > 0)}.] (b) f(x, y, z) = arccos z x2 + y 2. [D f = {(x, y, z) R 3 (0 < z 2 x 2 + y 2 ) ((z = 0) (x 2 + y 2 0)}.] z (c) f(x, y, z) = arccos x2 + y. [D 2 f = {(x, y, z) R 3 ( z x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 0)}.] (d) f(x, y, z) = R 2 x 2 y 2 z 2 + (e) f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). 1 x2 + y 2 + z 2 r 2 r < R. [D f = {(x, y, z) R 3 r < x 2 + y 2 + z 2 R}.] [D f = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2 < 1}.]
15 1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 17 (f) f(x, y, z) = ln(xyz). [D f = {(x, y, z) R 3 ((x > 0) (y > 0) (z > 0)) ((x > 0) (y < 0) (z < 0)) ((x < 0) (y > 0) (z < 0)) ((x < 0) (y < 0) (z > 0))}.] 3. Určete grafy následujících funkcí z = f(x, y). (a) z = x + 2y 4. [Rovina v R 3 určená body (4, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4).] (b) z = y. [Rovina v R 3 určená osou x a bodem (0, 1, 1).] (c) z = x 2. [Parabolický válec v R 3, vytvořený translací paraboly z = x 2 podél osy y.] (d) z = 4x 2 + 9y 2. [Eliptický paraboloid v R 3.] (e) z = 1 x 2. [Polovina rotačního válce v R 3, vytvořeného translací kružnice x 2 + z 2 = 1 podél osy y.] (f) z = 9 x 2 y 2. [Dolní polovina kulové plochy se středem v počátku a poloměrem 3.] 4. Ukažte, že obrazem dané množiny A v zobrazení g je daná množina g(a). (a) A = R 1, g(t) = (0, 1). ( 2t 1 + t, 1 ) t2, g(a) je kružnice x 2 + y 2 = 1 bez bodu t 2 (b) A = 0, 2π, g(t) = (R cos 2 t, R sin t cos t, R sin t), R > 0, g(a) je tzv. Vivianiho křivka určená rovnicemi x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 = Rx. ( ) 2t (c) A = R 1, g(t) = 2 + t, 2t t, t2 2, g(a) je kružnice určená rovnicemi t 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1, x y = 0. (d) A = 0, 1 0, 2π, g(ρ, t) = (3ρ cos t, 4ρ sin t), g(a) je elipsa x2 9 + y (e) A = 0, 2π π/2, π/2, g(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v), g(a) je kulová plocha x 2 + y 2 + z 2 = 1. (f) A = 0, 0, 2π, g(ρ, ϕ) = ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ρ), g(a) je rotační paraboloid z = x 2 + y Nalezněte ekvipotenciály následujících skalárních funkcí f. (a) f(x, y) = x2 + y 2, x 0, f(0, y) = 0. 4x [Kružnice (x 2c) 2 + y 2 = 4c 2 pro c 0 ; přímka x = 0 pro c = 0.] (b) f(x, y) = x 2 4y 2. [Hyperboly x 2 4y 2 = c pro c 0 ; dvojice přímek x = ±2y pro c = 0.] (c) f(x, y) = x y 2 32y. [Elipsy x (y 1) 2 = 16 + c pro c > 16 ; bod (0, 1) pro c = 16 ; prázdna množina pro c < 16.]
16 18 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH (d) f(x, y) = 2x y + 1 x 2, x 0. [Části parabol y (1 + 1 c ) = c(x 1 c )2 pro c 0 a x 0 ; polopřímky y = 2x + 1 pro c = 0 a x 0.] (e) f(x, y) = y2 x 2 + 9, x 0. x [Hyperboly y 2 (x + c 2 )2 = ( c 2 )2 9 pro c R a x 0.] (f) f(x, y) = xy + y + 4, x 0. 6x [Části hyperbol (x + 1)(y 6c) = (6c + 4) pro c R, c 2 a x 0 ; části 3 dvojice přímek x = 1, y = 4 pro c = 2 a x 0.] 3 (g) f(x, y) = 4x 5y + 3 xy, xy 0. [Části hyperbol (x + 5 c )(y 4 c ) = 1 c (3 20 c ) pro c R \ {0, 20} a xy 0 ; části dvojice přímek x = 3, y = 3 pro c = a xy 0 ; části přímky 4x 5y + 3 = 0 pro c = 0 a xy 0.] 2 (h) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z, x2 + y 2 + z 0. [Rotační paraboloidy x 2 + y 2 = 2 z pro c R \ {0} ; prázdná množina pro c c = 0.] 1 (i) f(x, y, z) = x2 + y 2 + z, 2 x2 + y 2 + z 2 0. [Sféry x 2 + y 2 + z 2 = 1 c 2 pro c > 0 ; prázdná množina pro c 0.] (j) f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2. [Rotační hyperboloidy x 2 + y 2 z 2 = c pro c 0 ; rotační kužel x 2 + y 2 = z 2 pro c = 0.] (k) f(x, y, z) = xy 4z, z 0. [Části hyperbolických paraboloidů xy = 4cz pro c 0 ; části dvojice rovin x = 0, y = 0, z 0 pro c = 0.] 6. Nalezněte ekvipotenciály daných skalárních funkcí f obsahující daný bod a. (a) f(x, y) = 2 + x 2 + y 2, a = (3, 5). [Kružnice x 2 + y 2 = 34.] (b) f(x, y) = 4x 2 y 2, a = (2, 1). [Hyperbola 4x 2 y 2 = 15.] (c) f(x, y) = 4x 2 y 2, a = (1, 2). [Přímka y = 2x.] x 2 + y 2 (d) f(x, y) =, pro x 0 ; x a = (4, 0). [Kružnice (x 2) 2 + y 2 = 4.] 0, pro x = 0. (e) f(x, y) = x 2 + 9y 2 18y, a = (3, 1). [Elipsa x 2 + 9(y 1) 2 = 45.] 4x 5y + 6 (f) f(x, y) =, xy 0, a = (1, 1). xy [Hyperbola (x + 1)(y 4) = 2 bez bodů (0, 6) a ( 3, 0).]
17 1.3. POSLOUPNOSTI V PROSTORU R N Posloupnosti v prostoru R n Klíčová slova: posloupnost, k-tý člen posloupnosti, vybraná posloupnost, součet posloupností, α násobek posloupnosti, omezená posloupnost, limita posloupnosti, konvergentní posloupnost, divergentní posloupnost Základní terminologie a symbolika Posloupnostmi reálných čísel jako speciálním případem reálných funkcí definovaných na množině N všech přirozených čísel jsme se zabývali již při studiu funkcí jedné proměnné. Definici a některé vlastnosti posloupností lze zcela přirozeně zobecnit i na prvky prostoru R n. To také nyní učiníme. Posloupností bodů prostoru R n budeme rozumět i nyní zobrazení f, které každému přirozenému číslu k N přiřazuje jeden bod prostoru R n. Místo zápisu f(k) pro bod přiřazený zobrazením f přirozenému číslu k budeme používat zápis tvaru a k = (a (k) 1, a (k) 2,..., a n (k) ). Jelikož definičním oborem posloupnosti je vždy celá množina N všech přirozených čísel, nebudeme ji dále uvádět, ale vystačíme jenom s předpisem pro výpočet členů a k. Podobně jako u posloupností reálných čísel, i nyní budeme posloupnosti zapisovat pomocí symbolů a 1, a 2, a 3,..., a k,..., (1.33) případně stručněji (a k ) k=1,2,..., nebo prostě (a k ). Bod a k se nazývá k-tý člen posloupnosti (a k ). Nechť m 1, m 2, m 3,... je posloupnost přirozených čísel taková, že m 1 < m 2 < m 3 <.... Vyberme z posloupnosti (a k ) členy a m1, a m2, a m3,..., a mk,... a označme b k = a mk, k = 1, 2,.... Pak takto vytvořenou posloupnost b 1, b 2, b 3,..., b k,... (1.34) nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti (1.33). Je dobré si uvědomit, že body b 1, b 2, b 3,... jsou členy posloupnosti (a k ), z níž jsme je postupně vybírali a pak jsme je přeindexovali, protože indexy u posloupnosti musí probíhat všechna přirozená čísla. Tedy např. bod b 2 = a m2 je druhým členem vybrané posloupnosti (b k ), ale (m 2 ) tým členem původní posloupnosti (a k ). Existuje-li číslo A tak, že pro všechna k přirozená platí a k A, pak říkáme, že posloupnost (a k ) je omezená. Ekvivalentně můžeme říci, že posloupnost (a k ) je omezená právě tehdy, když existuje sférické okolí počátku (nebo kteréhokoli jiného bodu prostoru R n ), které obsahuje všechny členy této posloupnosti. Jelikož členy posloupnosti bodů prostoru R n jsou uspořádané n tice reálných čísel, je přirozené definovat součet posloupností (a k ), (b k ), kde a k (b (k) 1, b (k) 2,..., b (k) ) a α násobek posloupnosti předpisy Příklady n = (a (k) 1, a (k) 2,..., a (k) n ), b k = (a k ) + (b k ) = (a (k) 1 + b (k) 1, a (k) 2 + b (k) 2,..., a n (k) + b (k) n ), (1.35) αa k = (αa (k) 1, αa (k) 2,..., αa (k) n ). (1.36)
18 20 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH 1. Příkladem posloupnosti (a k ) v prostoru R 4 je posloupnost a k = ( 3 k, 2k + 1 3k 5, 1 ) k, 1. (1.37) 2 Je a 1 = (3, 3/2, 1, 1), a 2 = (3/2, 5, 1/4, 1), atd. Z této posloupnosti vybereme vybranou posloupnost například tak, že vybereme jenom členy se sudými indexy. Podle definice vybrané posloupnosti to znamená, že položíme m k = 2k, k = 1, 2,.... Dostaneme tak posloupnost b k = a 2k = ( 3 2k, 4k + 1 ) 6k 5, 1 (2k), 1. 2 Pak je b 1 = a 2 = (3/2, 5, 1/4, 1), b 2 = a 4 = (3/4, 9/7, 1/16, 1), atd. 2. Máme ukázat, že posloupnost (1.37) je omezená. To znamená, že máme najít číslo A > 0 tak, že pro všechna přirozená čísla k platí nerovnost a k < A. Na posloupnost (a k ) se můžeme dívat jako na uspořádanou čtveřici číselných posloupností (3/k), ((2k + 1)/(3k 5)), (1/k 2 ) a konstantní posloupnost (1). Snadno se ověří, že každá z těchto posloupností je omezená a že za horní mez množiny absolutních hodnot jejich členů můžeme vzít číslo 5. Pak ovšem platí ( ) 3 2 a k = + k ( ) 2 ( ) 2k k 5 k 2 < = Příkladem neomezené posloupnosti je například posloupnost (k, k 2, 1/k, 0, cos kπ) Limita posloupnosti Řekneme, že posloupnost (a k ) má limitu a R n právě tehdy, když ke každému číslu ε > 0 existuje k 0 N tak, že pro všechna k N, k > k 0, platí nerovnost a k a < ε. Píšeme pak lim a k = a (1.38) k a říkáme, že posloupnost (a k ) konverguje k bodu a. Posloupnosti, které mají limitu, nazýváme konvergentními. Posloupnosti, které nemají limitu, nazýváme divergentními. Z definice konvergentní posloupnosti bezprostředně plyne, že posloupnost (a k ) konverguje k bodu a právě tehdy, když číselná posloupnost ( a k a ) konverguje k nule. Uvědomme si, že bod a je limitou posloupnosti (a k ) právě tehdy, když pro každé okolí bodu a platí, že mimo toto okolí leží nejvýše konečně mnoho členů posloupnosti (a k ). Přímo z definice limity vidíme, že číslo k 0 závisí na čísle ε, tj. k 0 = k 0 (ε). Zpravidla když zmenšíme číslo ε, musíme zvětšit číslo k 0 = k 0 (ε). Nyní uvedeme několik vlastností limity, analogických těm, s nimiž jsme se seznámili při popisu limit číselných posloupností.
19 1.3. POSLOUPNOSTI V PROSTORU R N Vlastnosti limity posloupnosti (i) Jednoznačnost limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz Předpokládejme, že posloupnost (a k ) má dvě různé limity a b. Pak existují disjunktní okolí bodů a, b a každé z těchto okolí má podle definice limity obsahovat až na konečný počet všechny body posloupnosti (a k ), což není možné. Tedy náš předpoklad vede ke sporu. (ii) Omezenost konvergentní posloupnosti Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz V každém sférickém okolí limity leží až na konečný počet všechny členy konvergentní posloupnosti. Zvolme jedno okolí. Obsahuje-li toto okolí celou posloupnost, pak všechny členy posloupnosti mají od limity vzdálenost nejvýše rovnou poloměru tohoto okolí, a tedy posloupnost je omezená. Leží-li nějaký konečný počet členů posloupnosti mimo toto okolí, pak stačí ze členů ležících mimo okolí vybrat ten, který má od limity největší vzdálenost. Tato vzdálenost udává poloměr sférického okolí limity, v němž leží všechny členy posloupnosti. Poznámka Obrácená věta neplatí. Omezená posloupnost nemusí být konvergentní. Např. posloupnost (( 1) n, 1) v prostoru R 2 je omezená ale není konvergentní. (Proč?) (iii) Věta o konvergenci po složkách Nechť (a k ) je posloupnost bodů prostoru R n a nechť a je bod prostoru R n. Nechť a = (a 1, a 2,..., a n ) a nechť a k = (a (k) 1, a (k) 2,..., a n (k) ). Pak posloupnost (a k ) má limitu a právě tehdy, když platí lim k a(k) i = a i pro všechna i = 1, 2,..., n, (1.39) tj. právě tehdy, když posloupnosti souřadnic bodů a k konvergují k příslušným souřadnicím bodu a. Důkaz Ze zřejmé nerovnosti a (k) i a i (a (k) 1 a 1 ) 2 + (a (k) 2 a 2 ) (a (k) n a n ) 2, i = 1, 2,..., n, plyne, že když konverguje posloupnost bodů a k k bodu a, konverguje posloupnost i tých souřadnic bodů a k k i té souřadnici bodu a. Předpokládejme nyní, že pro každé i = 1, 2,..., n konverguje posloupnost i tých souřadnic (a (k) i ) k i té souřadnici a i bodu a. To znamená, že pro každé i = 1, 2,..., n konverguje a i ) k nule. Pak ovšem musí konvergovat k nule také posloupnost čísel posloupnost ( a (k) i ( a k a ) = ( (a (k) 1 a 1 ) 2 + (a (k) 2 a 2 ) (a (k) n a n ) 2 ). To však znamená, že posloupnost bodů a k konverguje k bodu a. (iv) Věta o limitním přechodu v aritmetických operacích Jsou-li (a k ), (b k ) konvergentní posloupnosti, α reálné číslo a platí-li lim a k = a, lim b k = b, pak existuje také k k limita jejich součtu, jejich rozdílu a limita α násobku a platí lim (a k ± b k ) = a ± b, (1.40) k
20 22 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH lim (αa k) = αa. (1.41) k Důkaz Věta je bezprostředním důsledkem příslušných vět pro limity posloupností čísel a předchozí věty. (v) Konvergence vybrané posloupnosti Každá posloupnost vybraná z konvergentní posloupnosti (a k ) s limitou a je konvergentní a má limitu a. Důkaz Plyne bezprostředně z definice (1.34) vybrané posloupnosti. (vi) Posloupnost (a k ) konverguje k nulovému vektoru právě tehdy, když posloupnost ( a k ) konverguje k nule. Důkaz Zřejmě a k leží v daném ε okolí nulového vektoru právě tehdy, když platí a k < ε Příklady Máme určit, zda daná posloupnost (a k ) je konvergentní. Je-li konvergentní, máme najít její limitu. 1. a k = ( 1 k, k + 1 ). k Použijeme větu o konvergenci po složkách. Z početní techniky posloupností v R 1 víme, že posloupnost (1/k) konverguje k nule a posloupnost ((k + 1)/k) konverguje k jedné. Odtud plyne, že vyšetřovaná posloupnost je konvergentní a její limita je (0, 1). 2. a k = sin kπ 1 + k, e ( 1 k + 1 k 2 ) (, ln ) k k. Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladě. Víme, že posloupnost ( k π) konverguje k číslu π a že posloupnost (( k k )k ) konverguje k číslu e. Odtud posloupnost (sin kπ k+1 ) konverguje k číslu sin π = 0, posloupnost (e1 k 1+k 2 ) konverguje k číslu e 1 0 = e a posloupnost (ln(1 + 1 k )k ) konverguje k číslu ln e = 1. Je tedy vyšetřovaná posloupnost konvergentní a její limita je (0, e, 1). ( k 2 3. a k = 1 + k, k + 1 ) k, ( 1)k. Zřejmě posloupnost ( k2 ) diverguje do nekonečna, takže daná posloupnost nemůže 1+k konvergovat. Podobně můžeme argumentovat pomocí posloupnosti třetích členů ( 1) k, která nemá limitu Úlohy 1. Rozhodněte, zda daná posloupnost (a k ) je ohraničená.
21 1.4. SPOJITOST FUNKCE 23 (a) a k = (1 1, cos k ). [Je.] k k+1 (b) a k = ( 1, 3 ) k k+1 k. [Je.] ( ) 2 1 (c) a k = k+1. [Není.] (d) a k = ( 1 k, 3 k, 3 0,001k k+1 k 2 ). [Není.] (e) a k = ( ( 1 2 )k, ( 3) k). [Není.] 2. Rozhodněte, zda daná posloupnost (a k ) je konvergentní. Je-li konvergentní, najděte její limitu. (a) a k = ( 1 1 k, (1 + 1 k )k). (b) a k = (cos kπ, sin kπ). [Konverguje k (1, e).] [Není.] (c) a k = ( ( 1) k e k, cos 1 k ). [Konverguje k (0, 1).] 1.4 Spojitost funkce Klíčová slova: spojitost funkce f v bodě a vzhledem k množině M, funkce spojitá v bodě, funkce spojitá na množině, Weierstrassova věta Motivace pojmu spojitost funkce více proměnných Při vyšetřování vlastností funkcí jedné proměnné jsme viděli, jak velikou roli zde hraje spojitost. Stejně je tomu i u funkcí více proměnných. I tady můžeme spojitost funkce f v bodě a D f popsat volně tak, že bodům x blízkým bodu a odpovídají funkční hodnoty f(x) blízké hodnotě f(a), i když v případě funkcí dvou proměnných není situace tak názorná jak tomu bylo u funkcí jedné proměnné. Při vyšetřování spojitosti funkce f jedné proměnné v bodě a jsme se zabývali chováním funkce f v nějakém okolí bodu a. Stejně budeme postupovat i u funkcí více proměnných. Nejdříve si toto chování pro konkrétní funkce dvou proměnných ukážeme na příkladech. Příklady 1. Uvažujme funkci f definovanou předpisem 1 pro xy > 0, f(x, y) = sgn (xy) = 0 pro xy = 0, 1 pro xy < 0, (x, y) R 2. (1.42) Označme M 1 = {(x, y) R 2 xy > 0}, M 2 = {(x, y) R 2 xy < 0}, M x = {(x, y) R 2 y = 0}, M y = {(x, y) R 2 x = 0}. (1.43) Množiny M 1 a M 2 jsou popsány pomocí ostrých nerovností, a jsou tedy otevřené. Proto ke každému bodu a M 1, resp. a M 2 existuje okolí U(a, ε), které leží celé
22 24 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH v množině M 1, resp. M 2. To však znamená, že pro každý bod (x, y) U(a, ε) je f(x, y) = 1, resp. f(x, y) = 1. Tedy každý bod množiny M 1, resp. M 2 má okolí, v jehož každém bodě je funkce konstantní a nabývá hodnotu 1, resp. 1. Zcela jinak se chová funkce v množinách M x a M y. Zvolme např. bod a = (1, 0) M x. Pak f(a) = 0 a každé okolí U(a, ε) obsahuje body množiny M 1 i množiny M 2. Jakmile se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M 1, je stále f(x) = 1, a tedy i pro body blízké bodu a se funkční hodnota f(x) značně liší od funkční hodnoty f(a) = 0. Jinými slovy, žádná funkční hodnota f(x) pro x z množiny M 1 neleží v žádném ε okolí funkční hodnoty f(a) = 0 pro ε < 1. Podobná situace nastává i v případě, kdy se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M 2. Pak je f(x) = 1, a tedy funkční hodnota f(x) se rovněž značně liší od funkční hodnoty f(a). Jedině když se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M x, je f(x) = 0, a tedy pouze v tomto případě leží funkční hodnoty f(x) pro x M x blízká bodu a v libovolně malém okolí funkční hodnoty f(a). 2. Uvažujme funkci f, definovanou předpisem f(x, y) = { 2 pro xy > 0, x 2 + y 2 < 1, 1 + x 2 + y 2 pro xy 0, x 2 + y 2 < 1. (1.44) Graf této funkce je načrtnut na obr Označme M 1 = {(x, y) R 2 xy > 0, x 2 + y 2 < 1}, M 2 = {(x, y) R 2 xy 0, x 2 + y 2 < 1}. (1.45) z z x a c b M 2 b M 1 y x y 2 a) b) Obrázek 1.8: K ilustraci definice spojitosti Množina M 1 je otevřená, a tedy ke každému bodu a M 1 existuje okolí U(a, ε) M 1. To však znamená, že pro každý bod (x, y) U(a, ε) je f(x, y) = 2. Tedy každý bod množiny M 1 má okolí, v němž funkce nabývá hodnotu 2.
23 1.4. SPOJITOST FUNKCE 25 Zcela jiná situace je v množině M 2. Zvolíme-li v ní bod c tak, aby byl jejím vnitřním bodem, pak vždy, jakmile se bod x blíží k bodu c, blíží se funkční hodnoty f(x) funkční hodnotě f(c). Zvolíme-li však bod b na společné hranici množin M 1 a M 2, pak každé jeho okolí obsahuje také body z množiny M 1, v nichž funkce nabývá hodnotu 2. Podle definice funkce f je f(a) 2. Pro x blížící se bodu b dostáváme dvě různé situace: jestliže se blížíme k bodu b uvnitř množiny M 2, blíží se hodnoty f(x) k funkční hodnotě f(b). Blížíme-li se uvnitř množiny M 1, blíží se hodnoty f(x) k číslu 2 f(b). Vidíme, že když zvolíme na ose z dostatečně malé ε okolí čísla 2, pak pro x M 2 dostatečně blízká bodu b leží funkční hodnoty f(x) v tomto okolí, zatímco pro x M 1 libovolně blízká bodu b leží funkční hodnoty f(x) mimo toto okolí. Může nastat ještě řada dalších situací, o nichž se už nebudeme zmiňovat. Příklady nám ukázaly, že chování funkce v okolí daného bodu závisí podstatně na tom, uvnitř které podmnožiny definičního oboru toto chování vyšetřujeme. Tato skutečnost se odráží i v následující definici Spojitost funkce 1. Definice spojitosti funkce f v bodě a vzhledem k množině M. Předpokládejme, že je dána funkce f: D f R n R 1, množina M D f a bod a D f. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když ke každému okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a) existuje okolí U(a, δ) bodu a tak, že pro každý bod x U(a, δ) M leží jeho funkční hodnota f(x) v ε okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a). 2. Zápis pomocí kvantifikátorů Zapíšeme ještě definici spojitosti funkce v bodě a vzhledem k množině M ve dvou dalších formulacích. V první formulaci nahradíme okolí příslušnými nerovnostmi s absolutními hodnotami a normami. V druhé formulaci použijeme kvantifikátory. (i) Funkce f je spojitá v bodě a D f vzhledem k množině M D f právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x M, pro něž platí x a < δ je f(x) f(a) < ε. (ii) Pomocí kvantifikátorů můžeme definici spojitosti funkce v bodě a vzhledem k množině M zapsat takto. Funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když U(f(a), ε) U(a, δ) tak, že (x U(a, δ) M f(x) U(f(a), ε)), (1.46) nebo pomocí nerovností ε > 0 δ > 0 tak, že (x M, x a < δ f(x) f(a) < ε). (1.47) Je důležité uvědomit si pořadí kvantifikátorů a. Uvědomme si ještě, že kdybychom v (1.46) nahradili obecný kvantifikátor existenčním kvantifikátorem, dostali bychom definici spojitosti, podle které by každá funkce f omezená v nějakém okolí U(a, δ) bodu a D f byla v tomto bodě spojitá. Kdybychom totiž směli
24 26 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH číslo ε zvolit libovolně veliké, pak bychom ho zvolili tak, aby do něj padly obrazy všech bodů z tohoto okolí U(a, δ). Definice spojitosti, jak jsme ji formulovali my, takovou možnost pochopitelně nedává. Ona totiž požaduje, aby i pro jakkoli malé ε okolí bodu f(a) platilo, že všechny body definičního oboru ležící dostatečně blízko bodu a se zobrazují do tohoto okolí. 3. Příklad Vraťme se ještě jednou k funkci definované předpisem (1.44). Tato funkce je spojitá v každém bodě (x, y) M 1 = {(x, y) R 2 (xy > 0) (x 2 + y 2 < 1)} vzhledem k množině M 1 a analogicky je spojitá v každém bodě (x, y) M 2 = {(x, y) R 2 (xy 0) (x 2 + y 2 < 1)} vzhledem k množině M 2. V bodech (x, y), kde buď x = 0 nebo y = 0, tj. v bodech souřadnicových os je tedy spojitá vzhledem k M 2, ale není spojitá vzhledem k M Spojitost v bodě a na množině Budeme říkat, že funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je spojitá v bodě a vzhledem k D f. Budeme říkat, že funkce f je spojitá na množině M právě tehdy, když je spojitá v každém bodě množiny M. Je-li funkce f spojitá na celém prostoru R n, pak říkáme prostě, že funkce f je spojitá. Někdy se definuje spojitá funkce jako taková funkce, která je spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Pak ovšem musíme v tomto smyslu považovat za spojité i funkce typu f(x, y) = 1/x + 1/y, nebo funkci definovanou předpisem f(x, y) = 2 pro xy > 0, f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 pro xy < 0. Ukážeme ještě jiný přístup k definici spojitosti funkce. V článku 1.3 jsme se zabývali posloupnostmi a jejich limitami. Nyní budeme charakterizovat spojitost funkce pomocí posloupností a jejich limit. 5. Funkce f : D f R n R 1 je spojitá v bodě a D f vzhledem k množině M D f právě tehdy, když pro každou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a konverguje posloupnost (f(x k )) funkčních hodnot k bodu f(a). Důkaz Nechť jsou splněny předpoklady definice 1 a ukažme, že pak platí naše tvrzení. Zvolme libovolnou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a a ukažme, že pak posloupnost (f(x k )) funkčních hodnot konverguje k bodu f(a). To je však jednoduché. Zvolme libovolně okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a). Pak existuje takové okolí U(a, δ) bodu a, že pro každý bod x U(a, δ) M leží jeho funkční hodnota f(x) v okolí U(f(a), ε). Jelikož posloupnost (x k ) konverguje k bodu a, existuje přirozené číslo k 0 N takové, že pro všechna k > k 0 je x k U(a, δ). Pak ovšem podle definice 1 musí být f(x k ) U(f(a), ε), a tedy posloupnost funkčních hodnot f(x k ) konverguje k bodu f(a). Nyní předpokládejme, že jsou splněny předpoklady tvrzení 5 a ukažme, že pak funkce f(x) má vlastnost, popsanou v definici 1. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že pro každou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a konverguje posloupnost funkčních hodnot f(x k ) k bodu f(a) a že funkce f(x) nemá vlastnost popsanou v definici 1. To znamená, že existuje okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a) takové, že v každém okolí U(a, δ) bodu a existuje bod x U(a, δ) M tak, že funkční hodnota f(x) neleží v okolí U(f(a), ε). Nyní stačí pro každé číslo δ = 1/k, k N, vybrat x k U(a, 1/k) M tak, aby funkční hodnota f(x k ) neležela v okolí U(f(a), ε). Dostaneme tak posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a, pro
25 1.4. SPOJITOST FUNKCE 27 kterou posloupnost funkčních hodnot f(x k ) nekonverguje k bodu f(a), což je spor s naším předpokladem. 6. Spojitost vektorových funkcí Všechny pojmy, které jsme v tomto článku zavedli pro skalární funkci f: D f R n R 1 můžeme nyní po složkách přenést na vektorové funkce f = (f 1, f 2,..., f m ): D f R n R m tak, že vektorová funkce f má danou vlastnost právě tehdy, když každá její složka f i má tuto vlastnost. Např. vektorová funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když každá její složka je spojitá v bodě a vzhledem k množině M. Operace se spojitými funkcemi Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a vzhledem k množině M, pak tutéž vlastnost mají i funkce f + g, f g, fg a v případě g(a) 0 i f/g. Tyto vlastnosti spojitosti funkce nám umožňují dokazovat spojitost funkcí, které vznikly ze spojitých funkcí s použitím algebraických operací sčítání, odečítání, násobení a dělení. Další velice účinný nástroj pro tuto oblast práce je následující tvrzení. Spojitost složeného zobrazení Předpokládejme, že jsou dána dvě zobrazení (tj. dvě vektorové funkce) g: R n R k, f: R k R m, a D g, b = g(a) D f. Je-li vektorová funkce g spojitá v bodě a, vektorová funkce f spojitá v bodě b = g(a), pak také složená vektorová funkce h = f g: R n R m je spojitá v bodě a. Volně říkáme, že kompozice spojitých zobrazení je spojité zobrazení. Důkaz Naznačíme myšlenku důkazu. Nechť (x k ) je posloupnost v D g konvergující k bodu a. Označme y k = g(x k ) a b = g(a). Ze spojitosti funkce g(x) v bodě a plyne, že posloupnost (y k ) = (f(x k )) konverguje k b = f(a). Odtud a ze spojitosti funkce f(y) v bodě b nyní plyne, že i posloupnost f(y k ) musí konvergovat k bodu f(b). Weierstrassova věta Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M R n. Pak funkce f nabývá na množině M svého maxima a minima, tj. existují body x m a x M v množině M takové, že f(x m ) = min{f(x) x M}, f(x M ) = max{f(x) x M}. Příklady 1. Máme ukázat, že funkce f(x, y) = x 2 y x 4 + y 2 pro (x, y) (0, 0), 0 pro (x, y) = (0, 0) (1.48) (i) není spojitá v bodě (0, 0); (ii) je spojitá v bodě (0, 0) vzhledem ke každé přímce procházející počátkem; (iii) není spojitá v bodě (0, 0) vzhledem k žádné parabole o rovnici y = kx 2, k 0.
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více