Matematické metody kvantové mechaniky

Matematické metody kvantové mechaniky Seminář současné matematiky Ing. Tomáš Kalvoda tomas.kalvoda@fit.cvut.cz KM FJFI & KTI FIT ČVUT místnost M102, FIT 11. listopadu 2010 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 1 / 31

Obsah 1 Klasická mechanika 2 Připomenutí známých pojmů z lineární algebry 3 Zobecnění některých pojmů 4 Kvantová mechanika Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 2 / 31

Klasický mechanický systém Klasický mechanický systém o n stupních volnosti je popsán pomocí kanonicky sdružených souřadnic q = {q k } n k=1 a hybností p = {p k} n k=1 náležících do tzv. fázového prostoru P daného systému, (q, p) P. Stav systému je dán bodem ve fázovém prostoru P. Každé měřitelné veličině A odpovídá reálná funkce A : P R. Možné výsledky měření veličiny A jsou prvky ran A. Dynamika systému je určena jeho Hamiltonovou funkcí H : P R R pomocí kanonických Hamiltonových rovnic, tedy počáteční úlohy q k(t) = H p k ( q(t), p(t), t ), p k (t) = H q k ( q(t), p(t), t ), kde k = 1,..., n a počáteční podmínky ( q(0), p(0) ) P jsou zadány. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 3 / 31

Poznámka Předcházející slide se nekvalifikuje do Semináře současné matematiky, neboť odpovídá první polovině 19. století. Současnější pohled by zněl zhruba takto: Souřadnice q jsou body n-rozměrné diferencovatelné variety Q, nazývané konfigurační prostor. Fázovým prostorem je kotečný bundle P = T Q. Hamiltonova funkce indukuje vektorové pole na P, jehož integrální křivky udávají časový vývoj systému. Reklama Pro zájemce (nejen) o tyto partie matematiky doporučuji: Geometrické metody ve fyzice, Tolar Diferenciální počet na varietách, Tušek Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 4 / 31

Příklad mechanického systému Volná částice hmotnosti m na přímce Fázový prostor a Hamiltonova funkce P = R R, Pozorovatelnou je například rychlost částice, H (q, p, t) = p2 2m. v : P R, v(q, p) = p m. p P m q q Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 5 / 31

pre-hilbertův prostor Definice Lineární vektorový prostor (nad tělesem C) vybavený zobrazením, : V V C takovým, že pro libovolná x, y V a α C platí x, αy + z = α x, y + x, z, x, y = y, x, x, x 0, rovnost nastává právě tehdy, když x = 0, nazýváme pre-hilbertovým prostorem. Zobrazení, se nazývá skalární součin. Poznámka Dimenze V může být konečná či nekonečná. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 6 / 31

Příklady pre-hilbertových prostorů Konečná dimenze Pro přirozené n položme V = C n. Skalární součin je definován předpisem n x, y := x k y k, kde x = {x k } n k=1 V a y = {y k} n k=1 V. Nekonečná dimenze Pro omezený uzavřený interval J = [a, b] uvažme prostor V všech spojitých funkcí [a, b] C. Algebraické operace jsou definovány bodově. Pro f, g V klademe f, g := f (x)g(x)dx J k=1 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 7 / 31

Spektrum operátoru na prostoru konečné dimenze Uvažme konečněrozměrný komplexní vektorový prostor V a lineární zobrazení (operátor) A : V V. Pokud existuje nenulový vektor x V a komplexní číslo λ splňující Ax = λx, pak λ nazýváme vlastním číslem a x vlastním vektorem operátoru A. Množina všech vlastních čísel tvoří spektrum σ(a) operátoru A, σ(a) = { λ C λ je vlastním číslem A }. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 8 / 31

Spektrum operátoru na prostoru konečné dimenze Uvažme konečněrozměrný komplexní vektorový prostor V a lineární zobrazení (operátor) A : V V. Pokud existuje nenulový vektor x V a komplexní číslo λ splňující Ax = λx, pak λ nazýváme vlastním číslem a x vlastním vektorem operátoru A. Množina všech vlastních čísel tvoří spektrum σ(a) operátoru A, σ(a) = { λ C λ je vlastním číslem A }. Proč? Proč se σ(a) nazývá spektrum a co to všechno má společného s fyzikou? Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 8 / 31

Hilbertův prostor Posloupnost {x k } k=1 V v pre-hilbertově prostoru ( V,, ) se nazývá Cauchyovská právě, když pro každé ɛ > 0 existuje n 0 > 0 takové, že pro všechna n, m > n 0 platí x n x m < ɛ, Definice kde x = x, x je norma indukovaná skalárním součinem,. Každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Je-li každá Cauchyovská posloupnost ve V konvergentní, nazýváme V úplný. Pre-Hilbertův prostor ( V,, ), který je úplný nazýváme Hilbertův. K označení se většinou používají velká psací písmena H, G, atp. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 9 / 31

Příklady Hilbertových prostorů Konečnědimenzionální prostory Libovolný pre-hilbertův prostor konečné dimenze je Hilbertův. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 10 / 31

Příklady Hilbertových prostorů l 2 Uvažme množinu všech komplexních posloupností { l 2 = x = {x k } } k=1 C x k 2 <. k=1 Algebraické operace jsou definovány po složkách, x, y l 2, α C, x + αy := {x k + αy k } k=1. Inkluze x + αy l 2 je zaručena Minkowského nerovností. Skalární součin x, y := x k y k k=1 je dobře definován díky Schwarzově (Hölderově) nerovnosti. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 11 / 31

Příklady Hilbertových prostorů L 2 (R, dx) Uvažme množinu { L 2 (R, dx) = f : R C f měřitelná, R } f (x) 2 dx < Algebraické operace jsou definovány bodově, f, g L 2 (R, dx), α C, (f + αg)(x) := f (x) + αg(x). Inkluze f + αg L 2 (R, dx) je zaručena Minkowského nerovností v integrálním tvaru. Skalární součin f, g := f (x)g(x)dx. R je dobře definován díky Schwarzově (Hölderově) nerovnosti v integrálním tvaru. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 12 / 31

Příklad neúplného pre-hilbertova prostoru ad slide 7 Uvažme pre-hilbertův prostor V všech spojitých funkcí f : [0, 1] C se skalárním součinem f, g = Tento prostor není úplný. 1 0 f (x)g(x)dx. Domácí úloha č. 1 Dokažte neúplnost výše zmíněného pre-hilbertova prostoru. Téma na rešerši č. 1 Dokažte Minkowského a Hölderovu nerovnost v případě prostorů posloupností l p, p > 1, a zformulujte odpovídající integrální tvary těchto nerovností v případě prostorů funkcí. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 13 / 31

Lineární operátory na Hilbertových prostorech Definice Lineární zobrazení A : H H definované na lineárním hustém podprostoru dom A H nazýváme (lineární) operátor na H. Definiční obor Všimněte si, že definiční obor dom A operátoru A nemusí být celé H! Operátory objevující se ve fyzikálních aplikacích zpravidla nejsou všude definované. Definice Operátor A nazýváme omezený, právě když je všude definovaný (dom A = H ) a existuje konstanta C > 0 taková, že Aψ C ψ pro každé ψ H. Infimum ze všech takovýchto C se nazývá (operátorová) norma A a značí se A. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 14 / 31

Domácí úloha č. 2 Dokažte, že každý operátor na prostoru konečné dimenze je omezený. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 15 / 31

Samosdružený operátor Definice Buď A hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru H. Označme { } dom A := ψ H ( ϕ H )( η dom A) : ψ, Aη = ϕ, η Pro ψ dom A položme A ψ := ϕ. Takto definované zobrazení A je lineární a nazývá se operátor sdružený s A. Poznámka Element ϕ H existuje nejvýše jeden. Pro každé ψ dom A a η dom A platí ψ, Aη = A ψ, η. Definice Hustě definovaný operátor A se nazývá samosdružený, právě když A = A. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 16 / 31

Poznámka Samosdružený operátor zobecňuje pojem Hermitovského operátoru na konečněrozměrném pre-hilbertově prostoru. Jsou tyto tanečky okolo definičního oboru nutné? Ano V kvantové mechanice hrají důležitou roli tzv. komutační relace, to jest rovnice typu [A, B] := AB BA = αi, (1) kde A a B jsou operátory na jistém Hilbertově prostoru, I je identita a α nenulová komplexní konstanta. Neexistují omezené operátory A a B splňující rovnici (1). Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 17 / 31

Každá prezentace má obsahovat aspoň jeden důkaz. Sporem Předpokládejme, že A a B jsou omezené operátory na Hilbertově prostoru H splňující AB BA = αi pro jisté nenulové komplexní α. Potom pro každé n = 1, 2,... platí AB n B n A = αnb n 1. Odtud (přímo z definice plyne AB A B ) α n B n 1 = αnb n 1 2 A B B n 1, n = 1, 2,.... Neboť B n je nenulové pro libovolné n 0, dostáváme spor α n 2 A B, n = 1, 2,.... Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 18 / 31

Příklady Domácí úloha č. 3 Nalezněte přirozený definiční obor operátoru A na l 2 daného předpisem (Ax) k := a k x k, kde {a k } k=1 je omezená komplexní posloupnost. Je-li tento operátor omezený, nalezněte jeho normu. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 19 / 31

Spektrum lineárního operátoru Definice Spektrum uzavřeného lineárního operátoru A je tvořeno všemi komplexními čísly z pro něž operátor A zi není bijektivní (jakožto zobrazení dom A H ). Pokud není injektivní, pak z patří do bodového spektra, z σ p (A). Pokud je injektivní, ale není surjektivní pak jestliže obor hodnot A zi je hustý, pak z patří do spojitého spektra, z σ c(a). jestliže obor hodnot A zi není hustý, pak z patří do reziduálního spektra, z σ r(a). Poznámky Disjunktní rozklad spektra: σ(a) = σ p (A) σ c (A) σ r (A) Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožina reálné osy. Tj. pokud A = A pak σ(a) R. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 20 / 31

Kvantově mechanický systém Každému kvantově mechanickému systému odpovídá Hilbertův prostor H a samosdružený operátor H na H, nazývaný Hamiltonián, nebo Hamiltonův operátor. Stav systému je dán jednotkovým vektorem ψ H. Každé měřitelné veličině A odpovídá samosdružený operátor A. Možné výsledky měření veličiny A jsou prvky σ(a) R. Střední hodnota měření veličiny A na systému ve stavu ψ dom A je dána skalárním součinem ψ, Aψ. Dynamika systému je určena Schrödingerovou rovnicí i ψ (t) = H ψ(t), ψ(0) dom H. t Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 21 / 31

Pozoruhodnost Řešení Schrödingerovy rovnice Díky samosdruženosti Hamiltoniánu je zaručena (Spektrální teorém) existence unitárního zobrazení U (t) = e ith/, t R, takového, že U (t) dom H dom H, t R, a je-li dáno ψ 0 dom H, pak ψ(t) := U (t)ψ 0 splňuje i ψ (t) = H ψ(t), t R. t Operátor U (t) se nazývá unitární propagátor. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 22 / 31

Princip korespondence, kvantování Od Hamiltonovy funkce k Hamiltoniánu Je-li H (q, p) klasická Hamiltonova funkce, P = (a, b) R, pak formální Hamiltonián obdržíme záměnou q Q = x, p P = i d dx, kde Q a P jsou formální operátory na L 2( (a, b), dx ). Připouštíme i možnost a =, b = +. Operátor polohy Operátoru Q lze vždy dát dobrý význam: (Qψ)(x) = xψ(x), ψ dom Q = {ψ L 2( (a, b), dx ) b a } xψ(x) 2 dx < Jedná se o hustě definovaný samosdružený operátor, ať už je a, b jakékoliv. Dále víme, že σ(q) = σ c (Q) = [a, b]. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 23 / 31

Vlnová funkce Poznámka Pokud se uvažuje H = L 2 (R, dx) potom se o ψ H mluví jako o vlnové funkci. Význam vlnové funkce Střední hodnota měření polohy na systému ve stavu ψ dom Q je dána ψ, Qψ = x ψ(x) 2 dx. Tudíž ψ(x) 2 vyjadřuje hustotu pravděpodobnosti naměření polohy x. Všiměte si též důležitosti normalizace: 1 = ψ 2 = ψ(x) 2 dx. R R Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 24 / 31

Motivace pro volbu operátorů Q a P Poznámka (Kanonické komutační relace) Vzpomeňte, že kanonicky sdružená souřadnice a hybnost splňují {q, p} = 1, {q, q} = 0, {p, p} = 0, kde {, } je Poissonova závorka. Operátory Q a P formálně splňují [Q, P] = i I, [Q, Q] = 0, [P, P] = 0. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 25 / 31

Operátor hybnosti Problém Jak dát dobrý význam operátoru hybnosti, tedy formálnímu výrazu P = i d dx? Můžeme nejprve definovat operátor P 0 na H = L 2( (a, b), dx ) : P 0 ψ := i ψ, ψ dom P 0 = C 0 ( (a, b) ). Tento operátor je symetrický (Hermitovský) ψ, P 0 ϕ = P 0 ψ, ϕ, ψ, ϕ dom P 0. Pozor! To znamená pouze P 0 P 0. Nevíme, jestli je P 0 samosdružený. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 26 / 31

Operátor hybnosti Řešení Odpověď dává von Neumannova teorie (1. polovina 20. století, hledání samosdružených rozšíření symetrických operátorů). Konkrétně: a) a = a b = +. Potom existuje právě jedno samosdružené rozšíření operátoru P 0. Pψ = i ψ, ψ dom P = { ψ H ψ AC(R), ψ H } b) a i b konečná. Existujte jednoparametrická množina samosdružených rozšíření operátoru P 0. Pro každé θ [0, 2π) je P θ ψ = i ψ, ψ dom P θ = samosdružené rozšíření P 0. = { ψ H ψ AC([a, b]), ψ H, ψ(b) = e iθ ψ(a) } c) Právě jedno z a,b je nekonečné. Neexistuje samosdružené rozšíření operátoru P 0. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 27 / 31

Volná částice na polopřímce Hamiltonián Podle principu korespondence H = 2 2m Minimální operátor d 2 dx 2 a H = L 2 (R +, dx). Opět začneme se symetrickým operátorem H 0 ψ = 2 2m ψ, ψ dom H 0 = C 0 (R + ). Samosdružená rozšíření Existuje jednoparametrická množina samosdružených rozšíření operátoru H 0. Pro každé c R { } máme H c ψ = 2 2m ψ, kde { {ψ H ψ, ψ AC(R + ), ψ H, ψ (0) + cψ(0) = 0}, c R, ψ dom H c = {ψ H ψ, ψ AC(R + ), ψ H, ψ(0) = 0} c =. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 28 / 31

Význam různých rozšíření (Zobecněné vlastní funkce) Spektrum Pokud c 0, pak σ(h c ) = [0, + ). V případě c > 0 je σ(h c ) = { 2 c 2 /(2m) } [0, + ). Dopadající a odražená vlna Uvažme k R +. Funkce ϕ k (x) = e ikx/ + Re ikx/, kde R = ik/ c ik/ + c splňuje hraniční podmínku ale nepatří do H. Představuje superpozici dopadající a odražené rovinné vlny. Dále formálně H (c)ψ k = k2 2m ψ k. Pro c = podobně dostáváme R = 1. Závěr Každému c odpovídá jiný odraz. Tato konstanta udává kvalitu stěny. Různé fyzikální situace jsou popsány různými samosdruženými rozšířeními. Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 29 / 31

Domácí úloha č. 4 Buďte a, b R zadány, nalezněte stav ψ H takový, že střední hodnota polohy Q je a a střední hodnota hybnosti P je b. Téma na rešeši č. 2 Pojednejte o kvantovém harmonickém oscilátoru na přímce. Tedy H = L 2 (R, dx) a H = 2 d 2 2m dx + m 2 2 ω2 x 2. (Spektrum, vlastní funkce, vztah s klasickým oscilátorem). Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 30 / 31

Kam dál? Analogií Lagrangeovské formulace klasické mechaniky je Feynmanova teorie dráhového integrálu (konec 1. poloviny 20. století). K uspokojivé matematické formulaci Diracova formalismu nelze vystačit pouze s Hilbertovým prostorem, je třeba ho vystrojit. (Gelfand, Rigged Hilbert spaces, 2. polovina 20. století). Vlastní funkce Q Pokuste se nalézt vlastní funkce operátoru Q na přímce! Matematická problematika je stále aktuální: G. Bonneau, J. Faraut, G. Valent, Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics, American Journal of Physics, 69, 3, 2001 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné matematiky 11. listopadu 2010 31 / 31