2. kapitola Stavební mechanika 2 Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil Teoretická část: V tomto příkladu máme za úkol vyšetřit průběhy vnitřních sil na rovinné konstrukci zatížené libovolným spojitým zatížením, osamělou silou, případně momentem. Rovinným prutem se rozumí prut, u kterého je střednice rovinná křivka nebo rovinná lomená čára. Stejně jako v první kapitole se bude jednat o nosník, tedy vnějšími podporami podepřený prut. Dále musí platit, že vnější síly (reakce a zatížení) tvoří rovnovážnou soustavu v rovině střednice. Co jsou to vnitřní síly, jakými způsoby se dají určit, to vše jsme se naučili v první kapitole. Zde bych rád uvedl zjednodušení, které získáme tím, že se budeme pohybovat pouze v rovině. Orientace vnitřních sil zůstane stejná vzhledem k průřezům. Pořád budeme rozeznávat kladně a záporně orientovaný průřez, vzhledem k námi zvolenému lokálnímu souřadnicovému systému. Ten volíme tak, aby osa byla vždy tečna ke střednici prutu. Osu preferujeme ve směru zemské tíže nebo zleva doprava, vždy ale pravotočivě. Vnitřní síly prutu: x g A N normálová síla N V (Q) posouvající síla N z g B M ohybový moment Nm A M N M N V B x x V z z Takto vypadá kladně orientovaný průřez (kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnými osami). Vidíme ho ze směru kladné poloosy x. Zde je znázorněn záporně orientovaný průřez (kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy). 1
Všimněme si, že pokud uvažujeme spojité zatížení, které působí na přímý rovinný prut, pak se, se změnou vzdálenosti průřezu, mění velikosti vypočtených vnitřních sil. Vnitřní síly můžeme vyjádřit, jako funkce polohy průřezu. Pokud máme vykreslit průběhy vnitřních sil, musíme se řídit následujícími konvencemi: a) vnitřní síly znázorňujeme po délce prutu jako graf, kde vodorovná osa je proměnná vzdálenost ( ) průřezu od pevně zvoleného počátku a na svislou osu nanášíme velikosti vnitřních sil b) normálová síla : N > + N < c) posouvající síla : z x V > + V < d) ohybový moment : z x M < M > + z x ohybový moment vykreslujeme vždy na stranu tažených vláken V některých úlohách se můžeme setkat ještě s výpočty extrémů funkcí vnitřních sil. Ty snadno určíme, známe-li analytické vyjádření funkcí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nesmíme zapomenout prošetřit krajní body zkoumaného intervalu, ve kterých extrém může nastat také (zejména u lineárních průběhů). Hodnotu daného extrému zjistíme tak, že za neznámou hodnotu. do předpisu funkce dosadíme vypočítanou 2
Příkladová část: Nyní již známe všechny potřebné informace a můžeme se dát do počítání příkladu. 5 /m φ F M m m m 5 m m 5 m m Je důležité určit stupně statické neurčitosti. Jelikož se jedná o tuhou desku v rovině, definujeme pro ni tři stupně volnosti ( tedy dva posuny a jednu rotaci neboli pootočení). Tuto tuhou desku podpírá jeden posuvný kloub, který odebírá jeden stupeň volnosti ( ), objevuje se zde také jeden pevný kloub, který odebírá dva stupně volnosti ( ). V našem případě je: ( + ) z čehož vyplývá, že konstrukce je staticky i kinematicky určitá (pokud se nejedná o výjimkový případ podepření) Nejdříve se podíváme, jak to bude vypadat se spojitým zatížením, které působí na naši konstrukci. Musíme si uvědomit, že šipky, které charakterizují spojité zatížení, nám udávají směr a orientaci silového působení na určitou linii. Jejich délka se rovná velikosti intenzity silového působení v daném bodě linie. 5 /m Toto lineární spojité zatížení si můžeme rozložit do směru našich lokálních souřadnicových os. Tomuto úkonu se říká transformace spojitého zatížení. s m m φ Pokud bychom měli rozložit sílu daného směru a orientace jako je spojité zatížení, postupovali bychom takto: F F x F z F x F sin F z F cos + Něco podobného můžeme použít pro funkci vyjadřující velikost intenzity spojitého zatížení v závislosti na s (spojité momentové zatížené zde není, protože spojité zatížení uvažujeme rovnou ke střednici): f x (s) f z (s) 5 s sin s /m s cos s /m 5 3
Další věc, kterou musíme vypočítat, jsou vnější reakce. Zavedeme si globální soustavu souřadnic a předpokládané orientace reakcí ve vazbách (zde si orientaci volíme sami). x g z g 5 /m φ F M m E x B E z m m 5 m m 5 m m ( 5 ) 5 5 5 + 5 + + 5 5 Z výsledků je patrné, že všechny orientace vnějších reakcí jsme předpokládali správně. Dalším krokem je, rozdělení konstrukce na jednotlivé části. 5 /m φ F M m a b c d e f g m m 5 m m 5 m m Obecně platí, že prut rozdělujeme na úseky v místech kde: a) se mění funkce zatížení ( ) b) působí osamělá síla nebo moment ( ) c) je podpora nebo vazba ( ) d) je konec nosníku ( ) e) se mění tvar střednice f) se stýká více prutů v těchto všech bodech může nastat nespojitost funkcí vnitřních sil, proto počítáme velikosti vnitřních sil v přilehlých průřezech (z tohoto důvodu často označujeme vnitřní síly dvěma indexy, zavádíme souřadnici, shodně orientovanou s lokální osou průřezu ). Průběh vnitřních sil vyšetřujeme v každém intervalu zvlášť. 4
1. způsob řešení Zadanou úlohu lze nejrychleji řešit tak, že si určíme velikosti vnitřních sil v průřezu těsně před a za bodem nespojitosti. Tyto hodnoty potom vyneseme kolmo ke střednici. Podle charakteru zatížení určíme, zda je průběh vnitřních sil konstantní, lineární atd. Potom dané funkce schematicky vykreslíme. Vždy je dobré uvést, v jakém intervalu vyšetřujeme vnitřní síly. Interval Když se podíváme na obrázek, zjistíme, že těsně za začátkem prutu (ve vzdálenosti vnější síly ani momenty ani vlastně spojité zatížení. Proto zde budou vnitřní síly nulové. ), nepůsobí, žádné Nyní budeme vyšetřovat tento interval z druhé strany (těsně před podporou )*: f z (s) f x (s) f z (s) 5 s sin s /m 5 s cos s /m s ab m f x (s) M ba V ba N ba + + * Pozn.: Přerušovaná čára v daném obrázku nám značí, že maximální velikost intenzity spojitého zatížení není pro směr a stejná 5
Na tomto úseku prut si ukážeme další alternativní způsoby výpočtu velikosti a průběhů vnitřních sil: Tyto dva způsoby jsou profesionální, vychází z toho, že určíme předpis daných funkcí vnitřních sil v závislosti na proměnné. 2. způsob řešení Pokud si úsek prutu rozdělíme řezem a tuto vzdálenost od počátku si označíme například, vyjádříme si funkce vnitřních sil v závislosti na dané proměnné, pomocí podmínek rovnováhy. Jednoduchým dosazení si můžete ověřit výsledky z postupu 1. 3. způsob řešení: s f z (s) f x (s) M(s) N(s) V(s) N(s) N(s) + f x(s) s s2 4 V(s) + f z(s) s V(s) 3 4 s2 s M(s) + f (s) z s s M(s) 3 12 s3 Třetí varianta řešení spočívá v tom, že platí následující diferenciální rovnice: x dn(s) ds dv(s) ds dm(s) ds V R f x N R f z V m přímý prut R (a m ) x dn(s) ds dv(s) ds dm(s) ds f x f z V je spojité momentové zatížení Tomuto typu řešení se říká řešení úlohy s okrajovými podmínkami protože platí: N(s) f x ds + C 1 V(s) f z ds + C M(s) V(s)ds f z ds + C s + C 3 Schwedlerova věta K přesnému určení rovnic, které nám charakterizují průběh vnitřních funkcí, potřebujeme znát integrační konstanty ( ). Ty snadno určíme z okrajových podmínek, kde hodnoty vnitřních sil už známe. Velkou výhodou tohoto způsobu řešení je, že často nemusíme vůbec počítat vnější reakce (ty nám pak poslouží například pro kontrolu). 6
Vycházíme z těchto vztahů pro výpočty daných složek spojitého zatížení: f x (s) s N(s) s ds + C1 s2 4 + C 1 hodnotu integrační konstanty zjistíme z velikosti normálové síly v bodě ( ) + 1 1 (stejně tomu bude i u ostatních vztahů výpočtům konstant) f z (s) s V(s) sds + C 3 4 s2 (C ) M(s) s ds 3 12 s3 + C 3 (C 3 ) Pozn.: Druhý a třetí způsob je výhodný, zejména když máme v úloze řešit velikosti extrémů, protože již máme připravené rovnice, které snadno zderivujeme a položíme rovné nule pro získání polohy extrému. Nyní pokročíme ve výpočtu. Potřebujeme určit hodnoty vnitřních sil těsně za posuvným kloubem. Reakce, která zde působí, bude mít za následek uskočení posouvací síly a změnu předpisu funkce pro ohybový moment. Bude nejlepší si celou situaci znázornit na obrázku. f z (s) f x (s) M bc N bc Zde bude nejpraktičtější použít postup číslo 1. V bc m + + + 7
Pro další výpočty potřebujeme analyticky vyjádřit funkci spojitého zatížení na intervalu. f x c 5 /m f z c 5 f x b f z b /m /m s bc m Vidíme, že dané složky spojitého zatížení mají lineární průběh, hledáme pro ně funkční předpisy. Posunutí ( ) získáme z hodnot v bodě Dané rovnice pak jsou: a směrnici ze vztahu 3. ( ) + Vše je připravené k výpočtu, podle postupu číslo 3. ( ) + Pustíme se do řešení podle postupu číslo 3 (počítáme už s proměnou ): ( ) 1 + ( ) ( ) + 1 ( ) 1 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 5 5 Pozn.: V tomto případě by byl jednodušší postup číslo 1, kde bychom si celé spojité zatížení nahradili náhradními břemeny. Výsledek vyjde samozřejmě stejný. Pracně vytvořené rovnice se nám ale neztratí, použijeme je na konci pro snadnější vykreslení. Svou úlohu sehrají i v případě, že budeme počítat velikosti extrémů. ( ) + ( ) ( + 5 ) 3 + 5 + 3 ( ) 55 3 55 ( ) + 8
Teď už snadno vypočteme vnitřní síly před ukončením spojitého zatížení: ( ) 5 ( ) ( ) Jednoduchou úvahou zjistíme, že vnitřní síly jsou stejně velké jako síly. Toto zjištění nám snadno vyplyne, pokud bychom vnitřní síly řešili postupem 1. V tomto bodě nepůsobí žádná osamělá síla ani moment. Dále už nám spojité lineární zatížení nepůsobí, bude dobré si interval vyjmout. Nesmíme zapomenout na účinek vnitřních sil, které působí na počátku vyňatého intervalu (ty vyjadřují účinek předchozího intervalu). M cd N cd V cd s cd M(s) V(s) N(s) K řešení použijeme postup 2: N(s) N cd N(s) 5 V(s) V cd V(s) s M(s) M cd s M(s) s + m Snadno získáme vnitřní síly X dc dosazením délky oddělené části prutu do vzorců vlevo: N dc 5 V dc M dc m Pokračujeme dále ve výpočtu vnitřních sil v průřezu těsně za osamělou silou: M cd V cd M de N de N cd 5 m V de N de N cd N de 5 V de V cd + V de 5 d M de M cd 5 M de 9 m
Nyní zase vyjmeme prut zatížení.. Tento způsob je nejvýhodnější používat, pokud nám na těleso nepůsobí spojité M de N de V de s de M(s) V)s) N(s) N(s) N de N(s) 5 V(s) V de V(s) 5 s M(s) M de s ( 5 ) M(s) 5 s + m Podobně získáme vnitřní síly X ed dosazením délky do vzorců vlevo: N ed 5 V ed 5 m M ed Vnitřní síly v průřezu za podporou: V de M de 5 M ef N ef N de m 5 V ef N ef N de 5 N ef e M ef M de ( 5 ) M ef m V ef V de 5 V ef Vyjmeme prut. V ef M ef M(s) N s N ef s ef V s N(s) N ef N(s) V(s) V ef V(s) s M(s) M ef s M(s) m Vnitřní síly X fe vypočteme dosazením délky prutu do vzorců vlevo: N fe V fe M fe m 10
Vnitřní síly v průřezu těsně za osamělým momentem: M ef V ef m M fg N fg N ef V gf 5 m N fg V fg N fg N ef V fg V ef f M fg M ef + M fg m Poslední vnitřní síly budou nulové, protože se nacházíme na konci rovinného prutu, kde nepůsobí žádné spojité zatížení ani osamělá síla ani osamělý moment. Zde si uvedeme pro kontrolu velikosti všech vypočtených vnitřních sil v daných průřezech: N ab V ab M ab N ba m V ba M ba 55 m N bc V bc 5 M bc 55 m N cb 5 V cb M cb N cd 5 V cd M cd N de 5 V de 5 m M de N ed 5 V ed 5 m M ed N ef V ef M ef N fe V fe M fe N fg V fg M fg m m m N dc 5 V dc M dc m N gf V gf M gf m 11
Posledním naším úkolem je zobrazit průběhy daných vnitřních sil graficky. Budeme se držet konvencí, které jsme si uvedli na začátku. Z matematiky a ze znalosti Schwedlerovy věty si můžeme odvodit následující jednoduché tabulky: Spojité zatížení Kladné (+) Záporné (-) Normálová síla Klesající Rostoucí Posouvající síla Klesající Rostoucí Ohybový moment Konkávní Konvexní Posouvající síla Kladná (+) Záporná (-) Ohybový moment Rostoucí Klesající Pozn.: Při vykreslování ohybového momentu si musíme dát pozor na orientaci spodních vláken. Pokud jsou spodní vlákna zespodu prutu (dole), pak kladné momenty vynášíme pod střednici a tím se rostoucí funkce zobrazí na klesající, konvexní na konkávní atd.. Spojité zatížení Rostoucí Klesající Normálová síla Konkávní Konvexní Posouvající síla Konkávní Konvexní Spojité zatížení 0 Konstantní Lineární Polynom Normálová síla Konstantní Lineární Kvadratická Polynom ( + ) Spojité zatížení 0 Konstantní Lineární Polynom Posouvající síla Konstantní Lineární Kvadratická Polynom ( + ) Ohybový moment Lineární Kvadratická Kubická Polynom ( + ) Spojité zatížení 0 Konstantní Lineární Polynom Ohybový moment Konstantní Lineární Kvadratická Polynom ( + ) 12
5 /m F φ M m 5 a b c d e f g 5 m m 5 m m 5 m m Vykreslení normálové síly : Vykreslení posouvací síly : 5 5 5 Vykreslení ohybového momentu m 55 13
Nakonec bychom měli zjistit extrémy funkcí vnitřních sil a to buď z jejich analytických rovnic v závislosti na (viz teoretická část), nebo přímým odečtením z grafu vykreslených vnitřních sil. V našem případě nastávají extrémní hodnoty funkcí vnitřních sil pouze v krajních bodech vyšetřovaných intervalů. Je to z důvodu, že na velké části prutu jsou předpisy funkcí vnitřních sil funkce konstantní (zde maximum a minimum nerozlišujeme) nebo lineární, která nabývá své maximální resp. minimální hodnoty právě v krajních bodech daných úseků. Vyskytují se nám zde i intervaly, v kterých jsou předpisy složitější. Pokud bychom si analytické předpisy funkcí vnitřních sil zderivovali a daný výraz položily rovný nule, zjistili bychom, že extrém nastává mimo náš vyšetřovaný interval. Z toho plyne, že daná funkce zde bude nabývat své maximální a minimální hodnoty právě v krajních bodech určitého úseku prutu. Pro ohybový moment je zjišťování extrémů daleko snazší, pokud už máme vykreslenou posouvající sílu. Známe ze Schwedlerovy věty vztah mezi posouvající silou a ohybovým momentem. Z něhož můžeme usoudit, že extrém ohybového momentu bude právě v tom úseku prutu, kde se nám bude měnit funkce posouvající síly z kladné na zápornou a naopak. Tedy tam, kde bude vykreslený graf posouvající síly na daném úseku nulový. 14