Stochastické diferenciální rovnice

KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto nemoci je chřipka. Předpokládáme konstantní velikost populace N, která je rozdělena do tří skupin: x t... zdraví jedinci, kteří mohou být nakaženi, y t... nakažení jedinci, kteří mohou šířit danou nemoc, z t... jedinci, kteří nemohou nemoc šířit ani nemohou být znovu nakaženi.

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Tento model je popsán následující diferenciální rovnicí: dx t = βx t y t dt dy t = βx t y t dt γy t dt dz t = γy t dt. kde β značí intenzitu přenosu nemoci a 1 γ je intenzita léčby (tj. γ popisuje střední dobu trvání nemoci).

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací subpopulations 0 200 400 600 800 1000 subpopulations 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 time 0 20 40 60 80 time Průběh epidemie s parametry β = 0.0005, γ = 0.45 (levý obrázek) a β = 0.0005, γ = 0.25 (pravý obrázek).

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Tento model je zobecňením předchozího modelu. Uvažujeme obecnější formu intenzity šíření nemoci β a vakcinační funkci ϑ(.). Model je popsán následující diferenciální rovnicí: dx t = β(z t )[x t ϑ(z t )] + y t dt dy t = β(z t )[x t ϑ(z t )] + y t dt γy t dt dz t = γy t dt.

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Lze ukázat, že z je řešením rovnice: z = N X (z), kde X (z) = [ x 0 + z 0 { u β(u) 0 ϑ(u) exp β(s)ds γ γ exp { z } 0 β(u)du γ du } ].

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací subpopulations 0 200 400 600 800 1000 subpopulations 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 time 0 20 40 60 80 time Průběh epidemie s různou vakcinační strategíı. Levý obrázek ukazuje vývoj s ϑ(z) = 300 + 0.2z, pravý obrázek s ϑ(z) = z. Celkově 363 vakcinovaných jedinců v prvním případě a 443 jedinců v druhém připadě.

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací maximum of Y 50 100 150 number of removals in time t=200 0 200 400 600 800 0 100 200 300 400 500 600 700 number of vaccinated people 0 100 200 300 400 500 600 700 number of vaccinated people Na obrazcích je znázorněn efekt vakcinace (modrá čára) a předvakcinace (černá čára) vzhledem k maximálnímu počtu nakažených jedinců (obrázek vlevo) a celkovému počtu nakažených jedinců (obrázek vpravo).

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Pro určení optimální vakcinační strategie zvolme následující penalizační funkci: kde f = c(y T + z T ) + c 0 ϑ 0 + c 1 ϑ 1, y T + z T... počet lidí, kteří byli infikováni do času T, ϑ 0... počet jedinců, kteří dostali vakcínu před začátkem epidemie, ϑ 1... počet jedinů navakcinovaných během časového intervalu (0, T ), c... penalizace za jednoho nakaženého jedince, c 0, c 1... penalizace za předvakcinaci, resp. vakcinaci, jednoho jedince.

Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací V našem případě hladáme optimální lineární vakcinační strategii, tj. ϑ(z) = v 0 + v 1 z.

f f Deterministické modely epidemíı Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací 400000 350000 350000 300000 300000 250000 250000 200000 15 10 v1 5 1e+05 4e+05 3e+05 2e+05 v0 10 v1 5 1e+05 4e+05 3e+05 2e+05 v0 0 0e+00 0 0e+00 Na obrazcích je znázorněna penalizační funkce f v závislosti na volbě koeficientů lineární vakcinace v 0 a v 1. Vlevo jsou zvoleny penalizační koeficienty c 0 = 0.607 a c 1 = 0.3061, vpravo c 0 = c 1 = 0.5.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Nechť (Ω, F, P) je pravděpodobnostní prostor, pak množinu náhodných veličin (X (t), t 0) definovaných na tomto pravděpodobnostním prostoru nazveme náhodným procesem. Na náhodný proces lze také nahĺıžet jako na zobrazení popřípadě X (t, ω) : R + Ω R, X (., ω) : Ω R R+. X (., ω) se nazýva trajektorie procesu X.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Wienerův proces (Brownův pohyb) W t je náhodný proces s následujícímy vlastnostmi: W 0 = 0 skoro jistě, Wienerův proces má nezávislé přírůstky, rozdělení Wienerova procesu v čase t je N(0, t), Wienerův proces má spojité trajektorie.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 1

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Stochastický integrál b a X (t)dw (t) si lze velmi zjednodušeně představit jako limitu n 1 lim 0 i=0 X (t i )(W (t i+1 ) W (t i )) kde a = t 0 < t 1 <... < t n = b a t i+1 t i =.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Stochastický proces X t je řešením stochastické diferenciální rovnice dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t, X 0 = x 0, pokud t t X t = x 0 + b(x s )ds + σ(x s )dw s. 0 0

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) dx t = β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dt + β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dw t, dy t =β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dt γy t dt (1) β(z t )Y t [X t ϑ(z t )] + dw t, dz t =γy t dt,

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) ssubpopulation 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 time Pět realizací řešení stochastické diferenciální rovnice (1).

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Histogram of Ymax Histogram of Tmax Density 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Density 0.00 0.05 0.10 0.15 120 140 160 180 200 220 10 15 20 25 30 Ymax Na levém obrázku je znázorněn histogram a odhad hustoty maximálního počtu nakažených jedinců, vpravo je histogram a odhad hustoty času kulminace epidemie. Tmax

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Histogram of Z[, deleni + 1] Density 0.000 0.005 0.010 0.015 700 750 800 850 Z[, deleni + 1] Histogram celkového počtu nakažených jedinců během epidemie.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) K určení optimální vakcinační strategie zvolme následující penalizační funkci: kde f = E[c(Y T + Z T ) + c 0 ϑ 0 + c 1 V 1 + c 2 T ep ], Y T + Z T... počet lidí, kteří byli infikováni do časut, ϑ 0... počet jedinců, kteří dostali vakcínu před začátkem epidemie, V 1... počet jedinů navakcinovaných během časového intervalu (0, T ), T ep... délka časového intervalu, po který bylo nakaženo více než 5% populace, c... penalizace za jednoho nakaženého jedince, c 0, c 1... penalizace za předvakcinaci, resp. vakcinaci, jednoho jedince, c 2... penalizace za každý den, po který bylo nakaženo více než 5% populace.

f f Deterministické modely epidemíı Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) 350 450 400 300 350 250 300 200 250 200 6 4 600 6 4 400 600 v1 2 200 v0 400 v1 2 200 v0 0 0 0 0 Penalizační funkce f = E[Z 150 + 0.3 ϑ 0 + 0.4 ϑ 1 Z 150 + 0.5 T ep ] (levý obrázek) a f = E[Z 150 + 0.6 ϑ 0 + 0.304 ϑ 1 Z 150 ] (pravý obrázek).

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) Mějme populaci, jejíž velikost se v čase mění. Sledujeme vývoj nemoci s více pathogeny, kde očekáváme, že žadný jedinec nemůže být infikován více než jedním pathogenem nemoci. N t... počet jedinců v populaci v čase t, X t... počet zdravých jedincu v čase t, Y k t... počet jedinců, kteří jsou nakaženi k-tým pathogenem sledované nemoci v čase t, b, b k... intenzity rození v populaci, b k < b, k, d(n t ), α k... intenzity vymírání populace, β k... intenzita přenosu k-tého pathogenu.

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) dx t =X t (b d(n t ) + dyt j =Yt j d k=1 d k=1 ) β k Yt k dt N t d+1 b k Yt k dt + B 1.k (X t, Yk 1,..., Y k d )dw t k, k=1 ( b b j d(n t ) α j + β jx t N t d+1 + k=1 ) dt B j+1.k (X t, Y 1 k,..., Y d k )dw k t, j = 1,..., d,

Stochastický model s vakcinací Model s více patogeny (Allen, Kirupaharan) 5 0 200 400 600 800 1000 5 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 100 0 200 400 600 800 1000 100 Průběh epidemie s jedním patogenem (levý obrázek) a se dvěma patogeny (pravý obrázek).

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model kde dxt 0 = ρ(t, ω)xt 0 dt, X0 0 = 1 m dxt i = µ i (t, ω)dt + σ ij (t, ω)dwt i, X0 i = x 0. j=1 X 0... vývoj hodnoty bezrizikového aktiva X i, i = 1,..., m... vývoj hodnoty rizikového aktiva

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Označíme θ t = (θ 0 t, θ 1 t,..., θ n t ) portfólio v čase t. Pak hodnota tohoto portfólia V t je dána rovnicí dv t = θ t dx t = θ 0 t dx 0 t + = θ 0 t ρ(t, ω)x 0 t dt + V 0 = θ 0 0 + n θ0x i i. i=1 n θtdx i t i i=1 n θtµ i i (t, ω)dt + i=1 m σ ij (t, ω)dw i j=1 t

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Velmi často se pro modelování ceny finančních aktiv používá Geometrický Brownův pohyb. Tento proces je dán rovnicí: dx t = µx t dt + σx t dw t, X 0 = x 0. Lze ukázat, že X t = x 0 exp } {(µ σ2 2 )t + σw t s.j.

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Označme a Tedy p t = (µ σ2 2 )t + σw t r t = p t+1 p t = ln X t+1 ln X t N E(r t ) = ) (µ σ2, var(r t ) = σ 2. 2 ) (µ σ2 2, σ2.

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Z odhadů dostaneme r = n t=1 r t, s 2 r = 1 n 1 ˆσ = n (r t r) 2, t=1 s 2r, ˆµ = r + ˆσ2 2.

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model cena 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 cena 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 0 50 100 150 200 250 300 cas 0 50 100 150 200 250 300 cas

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Odhad modelu: dx t = 0.00083506X t dt + 0.01134243X t dw t, X 0 = 1406.75

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model cena 1000 1500 2000 2500 0 50 100 150 200 250 300 cas

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Uvažujme model trhu: dxt 0 = ρxt 0 dt, X0 0 = 1, dxt 1 = µxt 1 dt + σxt 1 dw t, X0 1 = x 0 > 0, kde T... čas splatnosti, K... prováděcí cena.

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model (Fischer Black a Myron Scholes 1973). Spravedlivá cena call opce je p = x 0 φ(η + 1 2 σ T ) Ke ρt φ(η 1 2 σ T ), kde ( η = σ 1 T 1 2 ln x ) 0 K + ρt a φ je distribuční funkce normovanéno normálního rozdělení. Nobelova cena pro R. Mertona a M. Scholese 1997.

Model Trhu Geometrický Brownův pohyb Evropská opce, Black-Scholes model Uvažujme call opci na unci zlata s dobou splatnosti jeden rok, tedy 11.11.2012 a s prováděcí cenou K = 1850 ($/unci). Použijme model odhadnutý na předchozích slidech, tedy model geometrického Brownova pohybu s parametry µ = 0.00083506 a σ = 0.01134243, ale s počáteční podmínkou X 0 = 1790.55 (tedy s cenou ze dne 11.11.2011). Uvažujeme-li roční výnos u bezrizikového aktiva 3%, pak cena Evropské call opce je 120.11$.