- 4-7 SEINÁŘ Z ECHANIKY 4 7 Prázdný železniční agón o hotnosti kgse pohbuje rchlostí,9 s po 4 odoroné trati a srazí se s naložený agóne o hotnosti kgstojící klidu s uolněnýi brzdai Jsou-li oba oz při nárazu spolu spojen, najděte a) Jejich rchlost po srážce a úbtek kinetické energie b) Jakou rchlostí b se usel pohboat naložený agón, ab oba zůstal po srážce klidu? 4 kg;,9 s 4 ; kg,? a) Zákon zachoání celkoé hbnosti ( + ), + +,,7 s Úbtek kinetické energie (tato část echanické energie sousta se přeění e nitřní energii částic): E k ( ) k E + + b) + Ek ( + ), Ek 7 J,,,45 s 7 Střela o hotnosti, kg bla střelena do balistického kadla o hotnosti 5 kg Po náraze se hotný střed kadla zedl o h, Určete rchlost střel (před náraze), kg ; 5 kg ; h, ;? + h Zákon zachoání hbnosti po niknutí střel do kadla: + ( + ) Zákon zachoání energie sousta (střela + kadlo) po srážce:
- 4 - + + gh g h + g h 73 Chlapec, opírající se o zeď, hodil káen odoroně rchlostí o elikosti 5 s Hotnost kaene je kg, hotnost chlapce je 49 kg a) Jakou rchlost b udělil kaeni při rhu stejnou silou a e stejné sěru, kdb stál na bruslích na hladké ledě? b) Jaká bude relatiní rchlost kaene ůči chlapci prní a e druhé případě? 5 s ; kg ; 49 kg ;, up,? u Rchlost chlapce opírajícího se o stěnu po rhu je nuloá, je to ted ektor u W konaná chlapce je rona kinetické energii kaene; je ted W Práce a) Ze zákona zachoání celkoé hbnosti sousta [chlapec (na bruslích) + káen] dostanee pro (složku u, ) rchlosti u chlapce + u u,, u, u, u Stejná práce W chlapce (působícího stejnou silou) je nní rona součtu kinetické energie kaene a chlapce + u Dosadíe-li do ztahu pro energii za rchlost u ze zákona zachoání hbnosti, dostanee pro rchlost kaene + +, <, + Pro rchlost chlapce pak platí + u + u, u ( + ) ( + ) b) Relatiní rchlost kaene ůči chlapci je prní případě rel, u Do této ektoroé ronice usíe dosadit složk ektorů relatiní rchlosti ted dostááe a u ( ) Pro složku rel,a,
- 43 - rel,, rel, Ve druhé případě platí rel, u ; rel,, + + + + + + + rel,,, rel, + + 74 Na ozíku ( kg), pohbující se rchlostí s, stojí chlapec ( 4 kg ) Chlapec hodí káen ( kg) e sěru pohbu ozíku pod eleační úhle 6 rchlostí s zhlede k zeskéu porchu Jaká bude po hození kaene rchlost ozíku? řecí sílu a odpor zduchu zanedbááe kg ; 4 kg ; 3 kg ; s ; s ; 6 ;? ( ) 3 i, ( ) Platnost zákona zachoání celkoé hbnosti sousta žaduje ab prní složka celkoé hbnosti sousta po rhu bla rona prní složce celkoé hbnosti před rhe (pohb ozíku s chlapce e sěru os není ožný) Platí ted p p + + + + 3, 3 cos, + + 3 3 + cos ;,94 s 75 Káen hotnosti, kg leží na odoroné, dokonale hladké roině Střela o hotnosti,5 kg letící odoroně rchlostí 4 s narazí na káen a odrazí se odoroně praé úhlu ke séu půodníu sěru rchlostí Vpočtěte elikost a sěr rchlosti kaene po nárazu a ipuls I 3 s, který střela kaeni udělí j Zákon zachoání celkoé hbnosti SHB, kg ;, 5 kg ; 4 s ; ; 3 s, I? Káen a střelu poažujee za dnaick izoloanou SHB i 4i ; 3 j ; i + j + ( )
- 44 -, (,, ), s ;, (,, ), 7,5 s, i 7,5 j ;,5 s arctg, arctg,75 I F t I I, 5 Ns 37 76 Čloěk loďce A, která i s ní á hotnost 3 kg, táhne za lano silou F N Druhý konec lana je přiázán a) ke strou, b) k loďce B o hotnosti kg Jakou rchlost bude ít loďka A obou případech na konci třetí sekund pohbu? Jaký je toto okažiku ýkon čloěka a jakou práci konal za tři sekund? Hotnost lana a odpor od proti pohbu loděk zanedbááe [a) s ; W 5 J; P W b) s ; W 375 J; P 5 W ] 3 kg ; F N ; kg ; t 3 s ;, W, P? a) Reakce strou, co do elikosti stejná jako síla čloěka F, uděluje loďce A (i sobě saéu) stálé zrchlení a F Pro okažitou rchlost loďk A ted platí () t t ; at F 3 s Práce čloěka za čas t je rona přírůstku kinetické energie loďk Ft W E ka W( a)() t ; a Okažitý ýkon okažiku t Ft P( a) F F Ft Ft P( a)() t ; W 3 5 J a P 3 W a b) Působí-li čloěk na lano stejnou tahoou sílu, jako případě a), odpoídá lano stejnou reakcí zrchlení loďk A je ted stejné, jako předchozí případě Proto je stejná i okažitá rchlost loďk A na konci 3 sekund jejího pohbu Lano je tentokrát připeněno k loďce B K určení rchlosti loďk B ůžee použít zákon zachoání celkoé hbnosti pro A+ B dnaick izoloanou soustau F F t () t t Práce čloěka je nní rona přírůstku kinetické energie obou loděk F F W t t + b + W t () Okažitý ýkon: F F P P P F F F F t t b F + t ( b) + + ( + ) + ( b)() + P t F t
- 45 - W ( 3 ) 375 J > W b ( a)( 3 ), P( 3) 5W P b ( a)( 3) > 77 Na klidné odní hladině stojí loďka o délce L a hotnosti Na zádi loďk stojí čloěk hotnosti O jakou zdálenost zhlede ke břehu se posune loďka, přejde-li čloěk na její příď? Odpor od proti pohbu loďk zanedbááe L s Řešení A L ; ; s? Předpokládeje, že čloěk přejde ze zá di na příď ronoěrně rchlostí u konst zhlede ke břehu Pro zachoání (půodně s nuloé) celkoé hbnosti sousta čloěk + loďka se běhe pohbu čloěka usí pohboat i loďka zhlede ke břehu ronoěrně rchlostí u a běhe přesunu čloěka urazí (hledanou) dráhu s t Připoeňe, že k přechodu čloěka ze zádě na příď stačí čloěku urazit pouze dráhu s < L, neboť loďka u jede stříc Rchlost loďk určíe ze zákona zachoání celkoé hbnosti sousta p p + p u+ u Dobu t pohbu loďk i čloěka určíe ze ztahu Řešení B s L s L s ( s ) u u u t ; s t u s L u L s + Vzhlede k nuloé ýslednici nějších sil (ektoroého součtu tíhoé síl působící na čloěka a loďku a hdrostatické ztlakoé síl) toří čloěk a loďka dnaick izoloanou soustau - platí ěta o zachoání pohbu hotného středu jeho relatiního klidu soustaě spojené s břehe r konst L - l s s ( ) l s s Poloha sousta (čloěk a loďka) zhlede k břehu se ted neění V soustaě s počátke bodě ( r polohoý ektor čloěka, r - polohoý ektor hotného středu loďk) platí stále r r + r ; r r r + r Před přechode je ted ( r l, r s): l s s l, po přechodu je ( r L l s, r s ): s ( L l s) s ( ) L l s
- 46 - Pro přesun loďk zhlede k břehu ted platí s s+ s L l s l+ L l s L s s + s + s L s L + 78 Částice hotnosti a rchlosti se dokonale pružně srazí s klidnou částicí hotnosti 3 Po srážce se druhá částice pohbuje pod úhle θ 45 zhlede k půodníu sěru pohbu prní částice u Ai + Bj Najděte úhel θ odklonění prní částice a rchlosti u,u částic po srážce, 3; i θ ; ; E k konst, θ θ 45 θ, u, u? u Ci C j Ze zadání úloh plne pro ektor rchlosti obou částic před a po srážce i ; ; u Ai + Bj ; u Ci Cj; C > Zákon zachoání celkoé hbnosti sousta u + u i Ai + Bj + 3 Ci Cj i A+ 3C i + B 3C j A+ 3 C ; B 3C A 3 C; B 3C Zákon zachoání celkoé kinetické energie sousta při dokonale pružné srážce u + u ( A + B ) + 3 ( C + C ) 3 A + B + 6C 3C + 9C + 6 C C ; A ; B Pro rchlosti částic po srážce ted dostááe 3 u i + j; u i j 4 4 4 4 4 4 4 Úhel θ určíe ze složek ektoru u : tgθ u u 3 θ 7,6 79 ěleso ( kg), pohbující se na seer rchlostí 6 s se (nepružně) srazí s klidný tělese, jehož hotnost je kg Po srážce se prní těleso pohbuje pod úhle 45 zhlede ke séu půodníu sěru na seeroýchod rchlostí u,8 s a) Jaká je rchlost u druhého tělesa po srážce? b) Jaká část kinetické energie těles se při srážce přeění jejich nitřní energii? c) O jaký úhel se odkloní po srážce prní těleso soustaě hotného středu? kg ; kg ; 6 s ; 45 ; u,8 s ; u, E k,?
- 47 - ělesa poažujee za dnaick izoloanou soustau hotných bodů Rchlosti těles před srážkou jsou (šechn souřadnice rchlostí jsou s ) ; 6 6 j ; a) Rchlosti těles po srážce: u u u u u sin u u,8 sin 45 u i + j Ze zákona zachoání celkoé hbnosti sousta dostanee u + u u u ; ( ) u u ( u ) u ; ( u ) u u i + ; j u 5,4 s b) Úbtek kinetické energie při nepružné (nedokonale pružné) srážce (tato část echanické energie sousta se při toto tpu srážk přeění e nitřní energii částic): Ek Ek E k ( ) Ek 9 J c) Řešení souřadnicoé soustaě hotného středu: r r r ransforace souřadnic a složek ektorů: r + r + r + + r r + r r r r ; Rchlost pohbu hotného středu před srážkou: + ; 6 j ; + j Rchlosti jednotliých těles soustaě hotného středu před srážkou:, 6 j 4 j ; H S, j Rchlost hotného středu po srážce: u + u u ; u i j; u i j + + + u j u u ento ýsledek je potrzení platnosti ět o zachoání pohbu hotného středu dnaick izoloané sousta Rchlosti jednotliých těles soustaě hotného středu po ;
- 48 - : srážce ( u j) u u u ; u i + j u i, u u u ; u i + j u i Odchlka pohbu prního tělesa po srážce soustaě hotného středu je 9 7 Jakou iniální rchlostí se usí kole odoroné os souěrnosti otáčet dutý álec s nitřní poloěre R, ab se alé částice unitř álce pohboal spolu s álce a neklouzal po jeho nitřní stěně? Statický součinitel třecí síl ezi částicei a nitřní stěnou álce je k F n F g F F o F t řecí síla s rozdíle F ezi částicí a stěnou álce roste F F o n ω R g sin setračné odstředié síl F o a noráloé složk F n tíh částice; elikost třecí síl je ( g sin ) F k ω R Podínkou pro to, ab částice neklouzal, je Ft ( sin ) k ω R g g cos k dostanee ω ( cos+ sin ) Pro álce určíe ze ztahu g R g ω in ( cos + sin ) R Velikost ω in iniální rchlosti otáčení Výraz hranaté záorce dosahuje aia pro ( π 4) + nπ; hodnota aia je g R Dostááe ted g R ω in a