M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod. Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 3 x - y = -1 x = 3 - y (3 - y) - y = -1 3 - y - y = -1-2y = -4 y = 2 x = 3-2 x = 1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] Zkouška: L 1 = 1 + 2 = 3 P 1 = 3 1 z 25
L 2 = 1-2 = -1 P 2 = -1 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 Řešení: 2. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + 2y) + 7. (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7 7x - 3y = 17 24x + 41y = 7 17 + 3y x = 7 17 + 3y 24. + 41y = 7 7 408 + 72y + 41y = 7 7 408 + 72y + 287y = 49 359y = -359 y = -1 x = 2 Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1] Zkouška: L 1 = 2. [2 + (-1)] - 5. (-1-2) = 2-5. (-3) = 17 P 1 = 17 L 2 = 3. [2 + 2.(-1)] + 7. [3. 2 + 5. (-1)] = 3. 0 + 7. 1 = 7 P 2 = 7 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 3x - 3y = 3 x = 1 + y 3. (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0 = 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) 2 z 25
Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L 1 = 1-0 = 1 P 1 = 1 L 2 = 3. 1-3. 0 = 3 P 2 = 3 L 1 = P 1 L 2 = P 2 Příklad 4: Řešte soustavu rovnic: 3x + y = 2 z + 1 3y + z = 2 x + 1 3x + z = 2 y + 1 -------------------- Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1 3x + y = 2. (z + 1) 3y + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (y + 1) 3x + y = 2z + 2 3y + z = 2x + 2 3x + z = 2y + 2 3x + y - 2z = 2-2x + 3y + z = 2 3x - 2y + z = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + 2z + 2 (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3. (-3x + 2z + 2) + z = 2. (x + 1) 3x + z = 2. (-3x + 2z + 2 + 1) -9x + 6z + 6 + z = 2x + 2 3x + z = -6x + 4z + 4 + 2-11x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - 2 (2) Dosadíme do první rovnice: -11x + 7. (3x - 2) = -4-11x + 21x - 14 = -4 10x = 10 x = 1 Dosadíme do rovnice (2): z = 3. 1-2 = 1 Dosadíme do rovnice (1): y = -3. 1 + 2. 1 + 2 = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] 3 z 25
Zkouška: 3.1+ 1 4 L = = 1+ 1 2 1 = 2 P 1 = 2 L 1 = P 1 3.1+ 1 4 L = = 2 2 = 1+ 1 2 P 2 = 2 L 2 = P 2 3.1+ 1 4 L = = 2 3 = P 3 = 2 L 3 = P 3 1+ 1 2 Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti 2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí. Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic: 2. (x - 3y) = 15 4x - y = -3 2x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 12y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 12y - y = -30-3 11y = -33 4 z 25
y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): 2x - 6y = 15-24x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: 2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18-22 x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5. ± Soustavy rovnic - jednoduché procvičovací příklady 1. 907 Nemá řešení 2. 894 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] 3. 908 Řešením je uspořádaná dvojice [3; 2] 5 z 25
4. 898 Řešením je uspořádaná dvojice [4; -3] 5. 899 Řešením je uspořádaná dvojice [4; 2] 6. 902 Nemá řešení. 7. 906 Řešením je uspořádaná dvojice [8; 3] 8. 904 Řešením je uspořádaná dvojice [11; 6] 9. 895 Soustava nemá řešení. 6 z 25
10. 897 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1]. 11. 893 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] 12. 896 Řešením je uspořádaná dvojice [1; 2] 13. 901 Nekonečně mnoho řešení 14. 905 Řešením je uspořádaná dvojice [7; 5] 15. 892 7 z 25
16. 903 Nekonečně mnoho řešení 17. 900 Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3] 18. 891 Nekonečně mnoho řešení ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = 1 Řešení: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = 1 1+ 2y x = 3 2 1 2 æ + 2y ö ç + y è 3 ø ( + 2y) 2 1 2 9 + y + 4y + 4y 9 = 74 = 74 2 1 2 + y (1) = 74 1 + 4y + 4y 2 + 9y 2 = 666 13y 2 + 4y - 665 = 0 8 z 25
y 1,2 - = 4 2 ± æ ç è 2 4 ö -13. 2 ø 13 (- 665) y 1 = 7 y 2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x: x x 1+ 2.7 = 5 3 æ 95 ö 1 + 2. ç - è 13 = ø = 3 1 = 2 - Závěr: 59 13-2 ± 8649 = 13 = - 2 ± 93 13 ì P = í î [ 5;7 ], Příklad 2: é 59 95ùü ê - ;- úý ë 13 13ûþ Řešte soustavu rovnic: x 2 - y 2 = 640 x : y = 7 : 3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2 æ 7 y ö ç - y 2 = 640 è 3 ø 49 2 y - y 2 = 640 9 49y 2-9y 2 = 5760 40y 2 = 5760 4y 2 = 576 y 2 = 144 y 1 = 12 y 2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x 1 = 7. 12 : 3 = 28 x 2 = 7. (-12) : 3 = -28 Závěr: [ 28;12 ]; [- 28; - ]} K = { 12 ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady 9 z 25
1. 1171 2. 1170 K = {[3; 0]} 3. 1175 K = {[0; 0], [2; 4]} 4. 1169 5. Řešte soustavu rovnic: 1174 6. 1176 K = {[0; -1]} 7. 1173 10 z 25
8. 1172 9. 1177 K = {[3; 0]} ± Soustavy rovnic - procvičovací příklady 1. 924 [0; 0; 0] 2. 932 [3; 2; 1] 3. 916 [15; 12; 10] 4. 917 [1; -1; 2] 11 z 25
5. 926 Nekonečně mnoho řešení 6. 935 [3; 2; 2; 3] 7. 930 [3; 4] 8. 911 [1/3; 1/2] 12 z 25
9. 910 [3; 4; 5] 10. 915 [8; 5; 3] 11. 912 [1; 6] 12. 927 [0,2; -1; 1] 13 z 25
13. 921 [4; 6; 8] 14. 918 [4; 1; 2; 3] 15. 925 Nemá řešení 16. 936 Nemá řešení 17. 922 [1; 2; -2] 18. 928 [5; 2; 0] 14 z 25
19. 909 [5; 4; 1; 2; 1] 20. 913 [10; 1] 21. 933 [7; 5; -3] 22. 920 [1; 1; 1; 1] 23. 934 [0; 0,5; 0] 15 z 25
24. 931 [3; 2,5] 25. 923 [5; 5; 5] 26. 919 [-0,25; 3,75; 7,75; 0,25] 27. 929 é5 5 ê ;- ;- ë3 3 4 ; 3 7ù 3ú û 28. 914 [20; 17; 5] ± Nerovnice Nerovnice Nerovnice je zápis nerovnosti dvou matematických výrazů. 16 z 25
Nerovnice, podobně jako rovnice, může obsahovat jednu nebo více neznámých. Postup řešení nerovnic je obdobný, jako při řešení rovnic s tou výjimkou, že pokud násobíme nebo dělíme nerovnici záporným číslem, mění se znak nerovnosti v opačný. >... čteme větší <... čteme menší... čteme menší nebo rovno ³... čteme větší nebo rovno Výsledek řešení nerovnice zpravidla graficky znázorňujeme, zapisujeme intervalem a provádíme ověření správnosti řešení. Pozn.: Ověření správnosti, ne tedy zkouška, proto, že většinou je řešením celý interval a my nemáme možnost všechna čísla z daného intervalu dosadit. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme čtyřmi, což je kladné číslo, proto znak nerovnosti se nemění. 2x - 1-2. (x + 3) > 4 2x - 1-2x - 6 > 4-7 > 4 Výsledkem je nepravdivá rovnost, proto nerovnice nemá řešení. Příklad 2: Řešení: Celou nerovnici vynásobíme dvanácti: 2. (7-2x) > 3x - 7 14-4x > 3x - 7-7x > -21 V tomto případě budeme celou nerovnici dělit číslem (-7), což je číslo záporné, proto se znak nerovnosti změní v opačný: x < 3 Výsledek zapíšeme intervalem: x Î (- ; 3) 17 z 25
Graficky znázorníme: Provedeme ověření správnosti řešení pro libovolné číslo z výsledného intervalu - např. pro x = 0: 7-2.0 7 L = = 6 6 L > P Pokud by při řešení nerovnice vyšel závěr, kterým je pravdivá nerovnost, pak řešením je každé reálné číslo, které však nesmí odporovat podmínce řešitelnosti. ± Nerovnice - procvičovací příklady 1. 943 2. 940 3. 944 Řešením je libovolné přirozené číslo. 4. 946 5. 939 18 z 25
6. 942 7. 938 8. 945 9. 937 10. 941 ± Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru Pokud máme nerovnici v podílovém tvaru, tzn. že ve jmenovateli je výraz s neznámou, nemůžeme takovouto nerovnici násobit nejmenším společným jmenovatelem jako tomu bylo u rovnic, protože nevíme, zda je jmenovatel kladný nebo záporný. Použijeme tedy jiný postup. Stejný postup použijeme i tehdy, budeme-li mít na jedné straně nerovnice součin (nebo podíl) a na druhé straně nerovnice číslo nula. Do takového tvaru lze nerovnici poměrně často převést. Postup je pak následující: 1. Zvážíme, zda podíl (nebo součin) má být kladný nebo záporný (případně nezáporný nebo nekladný) 2. Má-li být kladný, musí být oba činitelé, příp. dělenec i dělitel, buď oba kladné nebo oba záporné; to využijeme v dalším řešení. Má-li být záporný, pak musí být buď první činitel kladný a druhý záporný nebo 19 z 25
první činitel záporný a druhý kladný (obdobně pro zlomek). 3. Ze dvou situací, které tak postupně řešíme, nakonec uděláme sjednocení. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Vidíme, že nerovnice je v podílovém tvaru, na pravé straně je číslo 0. Aby byla splněna, mohou tedy nastat dvě situace: 1. možnost: x - Ö3 > 0 Ù 2x + Ö2 > 0 Odtud: x > Ö3 Ù x > -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic děláme průnik (musí platit současně); vhodné je grafické znázornění: Řešením je to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (Ö3; + ) 2. možnost: x - Ö3 < 0 Ù 2x + Ö2 < 0 Odtud: x < Ö3 Ù x < -Ö2/2 Z těchto dvou nerovnic opět děláme průnik (musí platit současně); vhodné je opět grafické znázornění: Řešením je opět to, co je šrafováno obousměrně, tedy interval (- ; -Ö2/2 ) Celkovým řešením je sjednocení obou intervalů, tedy x Î (- ; -Ö2/2 ) È (Ö3; + ) Celkové řešení graficky znázorníme: Ověření správnosti: Pro x = 2: 20 z 25
2-3 2-3 L = = = přibližně 0,05 > 0 2.2 + 2 4 + 2 P = 0 L > P Příklad 2: Převedeme vše na levou stranu a poté na společného jmenovatele: ( x + 2 )(. x - 2) - ( x - 5 )(. x + 2) + 3. ( x - 5) ( x - 5 )(. x + 2) V čitateli roznásobíme a sloučíme: x 2-4 - x 2 6x - 9 ( x - 5 )(. x + 2) 3. ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) - 2x + 5x + 10 + 3x -15 > 0 ( x - 5 )(. x + 2) > 0 > 0 > 0 Celou nerovnici vydělíme třemi, znak nerovnosti se nezmění: ( 2x - 3) ( x - 5 )(. x + 2) > 0 Nyní mohou nastat následující situace: 1. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 < 0 x > 3/2 Ù x < 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 2. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 < 0 x < 3/2 Ù x > 5 Ù x < -2 Závěr: x Î { } 3. možnost: 2x - 3 < 0 Ù x - 5 < 0 Ù x + 2 > 0 x < 3/2 Ù x < 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (-2; 3/2) 4. možnost: 2x - 3 > 0 Ù x - 5 > 0 Ù x + 2 > 0 x > 3/2 Ù x > 5 Ù x > -2 Závěr: x Î (5; + ) 21 z 25
Celkové řešení: x Î (-2; 3/2) È (5; + ) Graficky znázorníme: Ověření správnosti řešení: Pro x = 0: 0-2 2 L = = 0-5 5 3 3 P = 1- = 1- = -0,5 0 + 2 2 L > P Příklad 3: Řešení: 22 z 25
± Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru - procvičovací příklady 1. 965 2. 958 3. 955 4. 957 5. 950 x 4 - x 3 -x 2 - x - 2 0 6. 964 7. 962 8. 954 23 z 25
9. 961 10. 948 11. 963 12. 951 13. 947 14. 959 15. 949 16. 960 24 z 25
17. 953 18. 956 19. 952 25 z 25
Obsah Soustavy rovnic 1 Soustavy rovnic - jednoduché procvičovací příklady 5 Soustava kvadratické a lineární rovnice 8 Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady 9 Soustavy rovnic - procvičovací příklady 11 Nerovnice 16 Nerovnice - procvičovací příklady 18 Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru 19 Nerovnice v součinovém nebo podílovém tvaru - procvičovací příklady 23 18.2.2007 15:34:52 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)