III. MKP vlastní kmitání

Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací 5. Metoda iterace podprostoru 6. Příklady

2 1. Rovnice vlastního kmitání určení základních dynamických charakteristik systému: - vlastní frekvence a tvary kmitání Mr( t) Kr( t) 0 r( t) ( A cos t B sin t) r n n n n n 2 ( t) nr( t) K M 0 2 n n soustava pohybových rovnic pro netlumené vlastní kmitání soustav s n - SV řešení pohybových rovnic harmonické kmitání rovnice vlastního kmitání problém vlastních čísel n - vlastní tvar kmitání ω n - vlastní (kruhová) frekvence 2 det K n M 0 podmínka netriviálního řešení frekvenční rovnice polynom stupně N pro pro řešení praktických úloh nevhodná metoda 2 n

3 2. Rayleighova Ritzova metoda redukce původního problému vl. čísel s N stupni volnosti na řešení problému vlastních čísel s J stupni volnosti K M 0 2 n n K M 0 K M K M Rayleighův kvocient libovolný vektor Vlastnosti 1. Je-li vlastní vektor n, potom Rayleighův kvocient je roven 2 odpovídajícímu vlastnímu číslu n 2. Rayleighův kvocient je ohraničen nejnižším a nejvyšším vlastním číslem 2 2 1 n a dále platí: 2 2 2 1 1 2 2... n n

4 2. Rayleighova Ritzova metoda nalezení minima Rayleighova kvocientu Ritzovou metodou Ψz vlastní tvary se vyjádří jako kombinace lineárně nezávislých vektorů ψ i, i = 1,2 J <N Ritzovy vektory ψ i tvoří sloupce matice Ψ typu N x J z vektor J zobecněných souřadnic substituce Ritzových vektorů (Ritzova transformace) do Rayleighova kvocientu K z Ψ KΨz ( ) ( z) M z Ψ MΨz M Ψ MΨ K Ψ KΨ transformace matic K, M typu N x N na matice typu J x J z Kz () z z Mz

5 2. Rayleighova Ritzova metoda podmínka minima Rayleighova kvocientu ( z) z i z Kz 0 i1,2,... J () z z Mz ( z) 2 Kz z Mz ( z)2mz z i Kz ( z) Mz = 0 K M z 0 redukovaný problém vlastních čísel i, z i i = 1,2 J <N K M 0 2 n n i 2 i i Ψz i aproximace vlastních čísel a vektorů

6 3. Jacobiho metoda určení všech vlastních čísel a vektorů využití např. redukovaný problém vl. čísel v Rayleighově-Ritzově metodě základní myšlenka transformace matic tuhosti a hmotnosti na matice diagonální pomocí transformačních matic (matice rotace) iterační proces vytváří se posloupnost transformovaných matic K resp.. M 1 K K M M k1 k k k k1 k k k na konci iteračního cyklu platí vlastní frekvence: vlastní tvary: (spektrální matice) k 2 ii i mii Φ 1 2... k 1 1 řádek i řádek j 1 transformační matice pro nulování mimodiagonálního prvku (i,j)

7 4. Metoda inverzních iterací (Stodolova metoda postupných aproximací) Iterace vzad - inverzní iterace určení nejnižší vlastní frekvence Kx Mx x K Mx x x 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 1/ 2 ( xk 1Mxk1) k 1 1 x pro k Iterace vpřed určení nejvyšší vlastní frekvence Mx Kx x M Kx x x 1 k 1 k k 1 k x k 1 k 1 1/ 2 ( xk 1Mxk1) k1 n pro k 1 i 2 i n

8 4. Metoda inverzních iterací 1. Startovací vektor x 0 libovolný 2. R Mx 0 0 Kx R x K R 1 1 0 1 0 x Kx x Mx ( k 1) k 1 k 1 k 1 k xk 1Mxk 1 xk 1Mxk 1 3. (Rayleighův kvocient) 4. Kx x k1 ( k1) ( k) ( k 1) Mx x tol 5. Není-li kritérium konvergence splněno: normování k 1 k 1 1/ 2 xk 1Mxk1 k x K Mx Mx 1 k1 k k a návrat do bodu 2 (k = k+1)

9 4. Metoda inverzních iterací 6. Je-li kritérium konvergence splněno: pro iteraci (k+1) 2 ( k 1) 1 x k 1 1 k 1 1/ 2 xk 1Mxk1 Grammova-Schmidtova ortogonalizace x (normování vl. tvaru) v této formulaci metoda konverguje k 1. vlastnímu tvaru vyšší tvary lze určit tak, že se do algoritmu zavedou podmínky ortogonality mezi hledaným (m+1) tvarem a všemi předcházejícími vlastními tvary (nutno určit všech m předcházejících vlastních tvarů) modifikace vektoru x k+1 provádí se v každém iteračním kroku před návratem do bodu 2 m k 1 k 1 cjj kde cj j k 1 j1 x x Mx

10 4. Metoda inverzních iterací Inverzní iterace s posunutím μ umožňuje výpočet libovolného vlastního čísla λ i K M K K M 1. vlastní vektory původního problém i problému s posunutím jsou stejné 2. inverzní iterace konverguje k vl. číslu, které je nejblíže k hodnotě posunutí μ tj. např. k v (c) 3

11 5. Metoda iterace podprostoru metoda vhodná pro řešení rozsáhlých úloh pro určení několika nejnižších vlastních tvarů a frekvencí spojení inverzních iterací a Rayleighovy-Ritzovy metody iterace se provádějí s několika vektory současně jejich počet je m m menší z čísel (2p) a (p+8), kde p je počet hledaných vlastních čísel (p je obvykle podstatně menší než počet stupňů volnosti N) 1. Startovací vektory X 0 R KX MX 0 0 R 1 0 2. Iterace podprostoru a) inverzní iterace KX k1 MX k K X KX M X MX b) Ritzova transformace k1 k1 k1 k1 k1 k1

12 5. Metoda iterace podprostoru c) redukovaný problém vlastních čísel (m vlastních čísel) Ω spektrální matice, Q modální matice K Q Ω M Q 2 k1 k1 k1 k1 k1 řešení - např. Jacobiho metoda d) výpočet nových vektorů X X Q k1 k1 k1 e) návrat do bodu 2 a) 3. Sturmova kontrola ověření, zda byla vypočtena požadovaná vlastní čísla (vl. frekvence) a vlastní vektory (vl.tvary) t.j. právě prvních p vl. čísel

13 6. Příklady 6.1 Jednoduchý rám přesné 3 6 12 řešení prvky prvků prvků f 1 [Hz] 7,270 7,282 7,270 7,270 f 2 [Hz] 28,693 34,285 28,845 28,711 EI = 32 000 knm 2 μ = 252 kgm -1 f 3 [Hz] 46,799 74,084 47,084 46,854 1. vl. tvar 2. vl. tvar 3. vl. tvar

14 6. Příklady 6.1 Jednoduchý rám přesné 3 6 řešení prvky prvků f 1 [Hz] 28,662 34,285 28,845 f 2 [Hz] 41,863 65,623 42,393 EI = 32 000 knm 2 μ = 252 kgm -1 f 3 [Hz] 50,653-51,474 1. vl. tvar Doporučení: při vytváření výpočetního modelu MKP vkládat alespoň 1 uzel mezi styčníky jednotlivých prutů vede k podstatnému zvýšení přesnosti výpočtu (zejména u jednoduchých konstrukcí)

6. Příklady 6.2 Rovinný rám budova 15 1. tvar kmitání f 1 = 2.19 Hz 2. tvar kmitání f 2 = 6.91 Hz 3. tvar kmitání f 3 = 12.64 Hz 4. tvar kmitání f 4 = 19.47 Hz 5. tvar kmitání f 5 = 27.70 Hz

6. Příklady 16 6.2 Rovinný rám budova 6. tvar kmitání f 6 = 30.93 Hz 7. tvar kmitání f 7 = 36.49 Hz 8. tvar kmitání f 8 = 37.78 Hz 9. tvar kmitání f 9 = 41.62 Hz 10. tvar kmitání f 10 = 48.33 Hz

6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 17

6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 18

6. Příklady 6.3 Prostorový rám základ turbosoustrojí 19

6. Příklady 6.4 Prostorový rám + pružné podloží 20

6. Příklady 6.5 Zavěšený most 21

22 6. Příklady 6.5 Zavěšený most

23 6. Příklady 6.5 Zavěšený most

6. Příklady 6.6 rojský most 24 f (1) = 0,841 Hz f (2) = 0,885 Hz

6. Příklady 25 6.6 rojský most f (4) = 1,359 Hz f (3) = 1,129 Hz f (5) = 1,385 Hz