PŘETVOŘENÍ PŘÍHRADOVÝCH KONSTRUKCÍ

Zdání PŘETVOŘENÍ PŘÍHRADOVÝCH KONSTRUKCÍ Příkd č. Uvžujte příhrdovou konstruki z Or., vypočítejte svisý posun v odě (znčený ). odře vyznčené pruty (pruty 3, 4, 5, 6 7) jsou ztíženy rovnoměrným otepením střednie o 0 C, tepotní roztžnosti uvžujte hodnotou pokesem prvé podpory o m. α 0 6 K -. Konstruke je tké ztíženy Způso řešení Or. : Zdání příkdu č. Pro výpočet ude opět použit prinip virtuáníh si. Oený vzore pro tuto úohu y mě podou: Tdh Q N + RB + α + Q + + α T s N ds (.) s y h GA EA Znčení viz vičení 04. Jeikož prujeme s modeem Kirhhoffov nosníku, tk neuvžujeme, že posouvjíí síy mjí viv n průhy nosníku. Dáe vím, že n příhrdové konstruki nevznikjí ohyové momenty tedy ni virtuání ohyové momenty. Rovnie (.) se tk redukuje n tvr: Což po roznásoení úprvě dá: N + RB + + α Ts N ds (.) EA s s N N ds + Ts N s RB EA α d (.3) s Jeikož normáová tuhost EA součinite tepené roztžnosti α jsou po eé dée nosníku konstntní, ze je vytknout před integrá. N N s + Ts N s RB EA d α d (.4) s s posun od siového ztížení f posun od rovnoměrného ztížení tepotou t posun od předepsného posunu podpor r

Jk je vidět ze vzthu (.4) úoh se rozpdne n tři podúohy, ve kterýh se ude smosttně f t řešit svisý posun odu od siovýh účinků, svisý posun odu od ztížení tepotou svisý posun odu od ztížení předepsného přemístěním podpory Siové ztížení Shém siové ztížení konstruke je uvedeno n Or.. r. Or. : Siové ztížení Reke soustvy od siovýh účinků jsou ez podroného řešení ptrné z Or. 3. Or. 3: Siové ztížení odpovídjíí reke [kn] Průěhy normáovýh si od siovýh účinků jsou pk vykreseny n Or. 4. Or. 4: Průěhy normáovýh si ( N ) od siového ztížení [kn] Pro výpočet veikosti svisého posunu je potře uvžovt virtuání stv, ve kterém se do odu umístí jednotková svisá sí. Tento stv je ptrný z Or. 5. Or. 5: Virtuání stv [-]

Reke soustvy pro virtuání stv jsou ez podroného řešení ptrné z Or. 6 Or. 6: Virtuání stv jeho reke ( R ) [-] Průěhy normáovýh si od virtuáního stvu jsou pk vykreseny n Or. 7. Or. 7: Průěhy normáovýh si ( N ) od virtuáního stvu [-] A nyní již k smotnému výpočtu posunu od siového ztížení. Integri přes eý příhrdový nosník je možné rozděit n integri po jednotivýh pruteh: f N Nds NNdsi (.5) EA EA s Jeikož normáové síy od siového ztížení i od virtuáního ztížení jsou n jednotivýh pruteh konstntní, výpočet integráů z rovnie (.5) je jednoduhý přenásoíme hodnotu normáové síy od ztížení hodnotou normáové síy od virtuáního ztížení přenásoíme dékou prutu. Podroně tedy: f i [ 3.5 ( ) 4 + ( 4.5) ( 0.3) 4 + 9.375.5 5 + 5.65 0.46 5 3 + 3 0.6 4 ] EA 9.75 EA Poh průřezu je: Normáová tuhost EA se tedy rovná: 6 ( 0.00 0.09 ).5 0 m A π & si Posun f se tk rovná: EA 0 0 6.5 0 6 & 5730kN f 9.75 8.93 0 3 m 5730 3

Ztížení tepotou Z rovnie (.4) víme, že posun od ztížení tepotou se vypočte jko: t α T s Nds (.6) Integrovt udeme pouze po pruteh, které jsou ztíženy tepotou, tedy oeně: s t 7 α T Nds (.7) s i 3 si i A konkrétně: t 0 0 Předepsné přemístění podpory De rovnie (.4) pro posun Veikosti virtuání reke předepsného posunu získáme: Výsedný posun [ 0 + ( ) 4 + 0.46 5 + 0.6 4 + 0] 9 0 m 6 5 r od předepsného přemístění podpor r ( R ) B ptí: (.8) RB ze odečíst z orázku Or. 6. Reke jde proti směru, proto ude mít záporné znménko. Doszením do rovnie (.8) pk r 3 ( 0.5 0.0).5 0 m Výsedný posun pk vznikne sečtením díčíh posunů od jednotivýh sožek ztížení, tedy: f + t + r 8.93 0 + 9 0 +.5 0.5 0 3 5 3 m Zdání STATICKY NEURČITÁ KONSTRUKCE - SILOVÁ ETODA Příkd Vykresete průěhy vnitřníh si n konstruki zorzené n Or. 8. Or. 8: Shém zdání příkdu č.. 4

Zákdní prinip siové metody y již předstven n vičení 03, nyní se k siové metodě vrátíme použijeme zryheného postupu, ve kterém sie hvní myšenk metody již není tk viditená, e nznčený postup je sndno zpmtovtený je vemi doře použitený pro prktiké počítání. Způso řešení Siová metod má násedujíí kroky určíme, koikrát je konstruke sttiky neurčitá ( n krát sttiky neurčitá konstruke) odeereme n vze, y vznik sttiky určitá konstruke (tzv. zákdní soustv), pozor všk, y oderáním vze nenst výjimkový přípd podepření (viz SR)! oderné reke (momenty) přestvují zákdní neznámé X, X,..., X n zákdní soustvu ztížíme násedujíími ztěžovími stvy: o od zdného siového ztížení 0. ztěžoví stv o jednotkovou siou (momentem) půsoíí v místě oderné vzy. (přípdně., 3.,, n -tý) ztěžoví stv o od tepoty o od předepsného přemístění podpor využijeme geometriké podmínky nuového průhyu (příp. ntočení) v místě oderné vzy tzn. sožením průhyů od všeh ztěžovíh stvů musíme získt nuový průhy (příp. ntočení) oeně pro i -tou odernou vzu ptí: X + X +... + X + 0 (.) i0 + ii i ij j in n it ir kde ze pomoné koefiienty vypočítt jko: i 0 i0 d (.) i i ii d (.3) i j ij d (.4) Tdh it α id + Ts Nid h α (.5) ir R xi u + R zi + yi ϕ i i yi (.6) podroný význm symoů viz přednášky doporučená itertur. při n odernýh vzáh vede rovnie (.) n soustvu n ineárníh gerikýh rovni o n neznámýh vyřešením soustvy rovnie (.) získáme neznámé reke X X,..., X, n. zývjíí reke ze sndno dopočítt npř. z podmínek rovnováhy (viz SR) n zákdní soustvě de známýh určíme průěhy vnitřníh si (viz SR). 5

Vo zákdní soustvy Konstruke z Or. 8 je x sttiky neurčitá, odeereme tedy jednu vzu tk, y vznik sttiky určitá konstruke. Některé možné způsoy (možností je i víe) oderání vze jsou nznčeny n Or. 9 vrint D je nepřípustná, protože y se jedno o výjimkový přípd podepření. Or. 9: Vrinty - voy zákdní soustvy V dším postupu udeme pokrčovt pode vrinty A vyrná zákdní je tedy zorzen n Or. 0. Or. 0: Zákdní soustv V místě uvoněné vzy ve styčníku d ude půsoit neznámá sí s oznčení X. Zákdní soustv je tk ztížen předepsným siovým ztížením (Or. 8 červená sí) hednou siou X - viz Or.. Or. : Zákdní soustv uvžovná ztížení. Nyní je potře zvést jednotivé ztěžoví stvy npočítt přísušné reke vnitřní síy. 0. ztěžoví stv Tento ztěžoví stv odvodíme z Or., kde převezmeme pouze siové účinky (červená sí). 0. Ztěžoví stv je tk zorzen n Or.. Or. : 0. ztěžoví stv. 6

Reke (ez ižšího výpočtu) od 0. ztěžovího stvu R 0 jsou zorzeny n Or. 3. Or. 3: Půsoíí ztížení reke R 0 [kn] Průěhy momentů (ez podroného výpočtu) od 0. ztěžovího stvu 0 jsou zorzeny n Or. 4.. ztěžoví stv Or. 4: Průěhy momentů 0 [knm] Tento ztěžoví stv vznikne umístěním svisé jednotkové síy ve styčníku d orientovné stejným směrem jko neznámá reke X.. ztěžoví stv je tk zorzen n Or. 5. Or. 5:. ztěžoví stv. Reke (ez ižšího výpočtu) od. ztěžovího stvu R jsou zorzeny n Or. 6. Or. 6: Půsoíí ztížení reke R [-] Průěhy momentů (ez podroného výpočtu) od. ztěžovího stvu jsou zorzeny n Or. 7. Or. 7: Průěhy momentů [m] 7

Výpočet síy X Jeikož se jedná o x sttiky neurčitou konstruki konstruke není ztížen od změny tepoty ni od předepsného posunu podpory, má rovnie (.) pro tento příkd tvr: + X 0 (.7) 0 Nyní je potře npočítt jednotivé koefiienty. De rovnie (.): Vytkneme udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: 0 0 d (.8) d 0 d x + x + 0d 0d 0dx (.9) Přičemž jednotivé integráy jsou: -60-6 0 dx ( ) 3 0 dx d 60 4 4 480kNm 60 3 5 450kNm ( ) 3 0dx 0 A tedy doszením do rovni (.9) (.8) získáme: Dáe de rovnie (.3): 480 + 450 + 0 930 0 (.0) Vytkneme udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: Přičemž jednotivé integráy jsou: dx d d (.) d d dx + dx (.) 6 4 4 48m ( ) 3 d dx ( ) 3-60 -6-3 -6-6 -6-6 6 6 4 7m 8

A tedy doszením do rovni (.) (.0) získáme: 48 + 7 0 (.3) Doszením z rovni (.0) (.3) do rovnie (.7) dostneme: 930 + 0 X 0 (.4) Ohyovou tuhostí můžeme rovnii zkrátit (tzn. ni nepotřeujeme znát její konkrétní hodnotu) úprvou vyjádřit hednou síu X. 0 X 930 X 930 0 X 7.75kN Sí X tk předstvuje svisou reki ve styčníku d. Znménko mínus u síy X pouze znčí, že sí půsoí opčným směrem, než yo původně uvžováno. Z podmínek rovnováhy n zákdní soustvě ze pk již určit zývjíí reke (ez podroného výpočtu viz Or. 8): Or. 8: Půsoíí siové ztížení výsedné reke příkdu [kn]. Vykresení průěhů vnitřníh si n sttiky neurčité konstruki je stejné jko n sttiky určitýh konstrukíh (viz SR). Výsedné průěhy posouvjííh si ohyovýh momentů jsou tk zorzeny n Or. 9 ez dšíh komentářů. Or. 9: Výsedné průěhy vnitřníh si z příkdu. 9

Příkd 3 Zdání Vykresete průěhy vnitřníh si n konstruki zorzené n Or. 0. Součinite tepotní roztžnosti uvžujte α 0 6 K -. Způso řešení Siová metod. Vo zákdní soustvy Or. 0: Shém zdání příkdu č. 3. Konstruke z Or. 0 předstvuje x sttiky neurčitá, odeereme tedy dvě vzy tk, y vznik sttiky určitá konstruke. Některé možné způsoy (možností je i víe) oderání vze jsou nznčeny n Or.. Or. : Vrinty - voy zákdní soustvy V dším postupu udeme pokrčovt pode vrinty B vyrná zákdní je tedy zorzen n Or.. 0

Or. : Zákdní soustv V místě uvoněnýh vze ve styčníku ude půsoit neznámý moment X neznámá sí X. Zákdní soustv je tk ztížen předepsným siovým ztížením (Or. 0 červená sí) hednými simi momentem X, X, tepotou (jk npočítt ztížení tepotou, viz vičení 04) předepsným přemístěním podpory viz Or. 3. Or. 3: Zákdní soustv uvžovná ztížení. Nyní je potře zvést jednotivé ztěžoví stvy npočítt přísušné reke vnitřní síy. 0. ztěžoví stv Tento ztěžoví stv odvodíme z Or. 3, kde převezmeme pouze siové účinky (červená sí). 0. Ztěžoví stv je tk zorzen n Or. 4. Or. 4: 0. ztěžoví stv. Reke (ez ižšího výpočtu) od 0. ztěžovího stvu R 0 jsou zorzeny n Or. 5.

Or. 5: Reke R 0 [kn] Průěhy momentů (ez podroného výpočtu) od 0. ztěžovího stvu 0 jsou zorzeny n Or. 6.. ztěžoví stv Or. 6: Průěhy momentů 0 [knm] Tento ztěžoví stv vznikne umístěním jednotkového momentu do styčníku orientovného stejným směrem jko neznámý moment X.. ztěžoví stv je tk zorzen n Or. 7. Or. 7:. ztěžoví stv [-]. Reke (ez ižšího výpočtu) od. ztěžovího stvu R jsou zorzeny n Or. 8.

Or. 8: Půsoíí. ztěžoví stv odpovídjíí reke R [m - ] Průěhy momentů (ez podroného výpočtu) od. ztěžovího stvu jsou zorzeny n Or. 9. Or. 9: Průěhy momentů [-] Průěhy normáovýh si (ez podroného výpočtu) od. ztěžovího stvu N jsou zorzeny n Or. 30.. ztěžoví stv Or. 30: Průěhy normáovýh si N [m - ] Tento ztěžoví stv vznikne umístěním jednotkové vodorovné síy do styčníku orientovného stejným směrem jko neznámá sí X.. ztěžoví stv je tk zorzen n Or. 3. 3

Or. 3:. ztěžoví stv [-]. Reke (ez ižšího výpočtu) od. ztěžovího stvu R jsou zorzeny n Or. 3. Or. 3: Půsoíí. ztěžoví stv odpovídjíí reke R [-] Průěhy momentů (ez podroného výpočtu) od. ztěžovího stvu jsou zorzeny n Or. 33. Or. 33: Průěhy momentů [m] Průěhy normáovýh si (ez podroného výpočtu) od. ztěžovího stvu N jsou zorzeny n Or. 34. 4

Výpočet si X X Or. 34: Průěhy normáovýh si N [-] Jeikož se jedná o x sttiky neurčitou konstruki ztíženou siovými účinky, tepotou posunem podpory, vede rovnie (.) n násedujíí soustvu dvou rovni o dvou neznámýh: X + X + 0 (3.) 0 + t r X + X + 0 (3.) 0 + t r Nyní je potře npočítt jednotivé koefiienty. De rovnie (.) vzhedem k tomu, že 0 0 n eé konstruki, pk: Podoně 0. 0 0 d 0 (3.3) Dáe de rovnie (.3): 0 0 d 0 (3.4) Vytkneme udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: Přičemž jednotivé integráy jsou: dx d (3.5) d dx + dx (3.6) 4.5.5m 3 dx 3 ( ) 3m - - oment setrvčnosti průřezu k vodorovné ose: 5

Ohyová tuhost I y y se tedy rovná: 3 4 0.6 0.3 5.4 0 m 4 y 6 4 30 0 5.4 0 600kNm A tedy doszením do rovni (3.6) (3.5) získáme:.5 + 3 4.5 4 - -.7 0 m kn 600 Dáe de rovnie (.4) tké s uvážením redukční věty (viz přednášk 4): d (3.7) Vytkneme udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: Přičemž jednotivé integráy jsou: dx dx d dx + dx (3.8) A tedy doszením do rovni (3.7) (3.8) získáme: Dáe de rovnie (.3): 4.5 3 3 ( 3) 3 ( ) 4.5 + 4.5 9 4-5.5 0 kn 600 Vytkneme udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: Přičemž jednotivé integráy jsou: -3-3 4.5m 4.5m d (3.9) d dx + dx (3.0) dx dx 3 3-3 -3 A tedy doszením do rovni (3.0) (3.9) získáme: 3 4.5 3 3.5m 3 3 3 3 9m 3 3 3 6

3.5 + 9.5 600 3 -.38 0 mkn Dáe zhrneme viv tepoty de rovnie (.5) ptí: Tdh t Ts N d h d α + α (3.) Vytkneme α udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: T dh Tdh x + x + T N x + T t α d d s d s Ndx (3.) h h Přičemž jednotivé integráy jsou: dx 4.5.5m dx 3 3m N dx 0 N dx 0. 3 0. 6 A tedy doszením do rovni (3.) (3.) získáme: - 0. Dáe de rovnie (.5) ptí: 30 0.3 5 0.3 6 3 t 0.5 + ( 3) + 5 0 +.5 ( 0.6) 4.6 0 Tdh t Ts N d h d α + α (3.3) Vytkneme α udeme integrovt po jednotivýh úseíh, tedy: T dh Tdh x + x + T N x + T t α d d s d s N dx (3.4) h h Přičemž jednotivé integráy jsou: dx dx -3 3 3 4.5 7.75m 3 3 4.5m N dx 4.5 4.5m 7

0.6 3 m N dx A tedy doszením do rovni (3.3) (3.4) získáme: t 0.66 0 6 30 5 7.75 + ( 4.5) + 5 4.5 +.5.37 0 0.3 0.3 Dáe zhrneme viv přemístění podpor de rovnie (.6) ptí: -3 r R Cz 0. 0.0 4.4 0 r RCz 0.6 0.0.3 0 Doszením všeh vypočtenýh koefiientů do rovnie (3.) (3.) dostneme: 0 + 0.0007X + 0.0005X + 0.0046 0.004 0 (3.5) 0 + 0.0005X + 0.0038X + 0.037 0.033 0 (3.6) Vyřešení soustvy rovni získáme hedný moment X hednou síu X X 6.936kNm X 8.88kN Sí X tk předstvuje momentovou reki ve styčníku sí X předstvuje vodorovnou reki ve styčníku. Znménko mínus u momentu X pouze znčí, že moment půsoí opčným směrem, než yo původně uvžováno. Z podmínek rovnováhy n zákdní soustvě ze pk již určit zývjíí reke (ez podroného výpočtu viz Or. 35): - m m Or. 35: Siové ztížení výsedné reke příkdu 3 [kn, knm]. Vykresení průěhů vnitřníh si n sttiky neurčité konstruki je stejné jko n sttiky určitýh konstrukíh (viz SR). Výsedné průěhy posouvjííh si ohyovýh momentů jsou tk zorzeny n Or. 36 ez dšíh komentářů. 8

Or. 36: Výsedné průěhy vnitřníh si z příkdu. Příkdy k provičování Příkd 4: Uvžujte příhrdovou konstruki z Or. 37, vypočítejte svisý posun v odě od půsoíího siového ztížení ( ), od tepoty ( ), od posunu podpory ( ) ekový posun ( ). odře f t vyznčené pruty (pruty 3, 4 5) jsou ztíženy rovnoměrným otepením střednie o 0 C, tepotní roztžnosti uvžujte hodnotou podpory o 3 m. Řešení: α 0 6 K - r. Konstruke je tké ztíženy pokesem prvé 3 t 4 r &.345 0 m, 6.8 0 m, 0 m, &.305 0 m f 9

Příkd č. 5 Or. 37: Shém zdání příkdu č. 4 Vykresete průěhy vnitřníh si n konstruki zorzené n Or. 38. Řešení: viz Or. 40. Or. 38: Shém zdání příkdu č. 5. Příkd č. 6 Vykresete průěhy vnitřníh si n konstruki zorzené n Or. 39Or. 0. Prut je ztížen tepotou pouze n úseku ž. Součinite tepotní roztžnosti uvžujte α 0 6 K -. Řešení: viz Or. 4. Or. 39: Shém zdání příkdu č. 6. 0

Or. 40: Řešení příkdu č. 5.

Příkd č. 7 Or. 4: Řešení příkdu č. 6. Příkdy k příprvě n zápočtový test Uvžujte rámovou konstruki z Or. 4, vypočítejte ntočení ve styčníku e (kdný směr po směru hodu hodinovýh ručiček) od půsoíího siového ztížení ( ϕ ), od tepoty ( ϕ ), od posunu r podpory ( ϕ e ) ekové ntočení ( ϕ e ). Prut je ztížen tepotou pouze n úseku d ž, tepotní roztžnosti uvžujte hodnotou α 0 6 K -. Řešení: 4 t 4 r 3 3 ϕ & 4.84 0 rd, ϕ 0 rd, ϕ 3.333 0 rd, ϕ &.75 0 rd f e e e f e e t e Or. 4: Shém zdání příkdu č. 7.

Příkd č. 8 Vykresete průěhy vnitřníh si n konstruki zorzené n Or. 43Or. 0. Řešení: viz Or. 44. Or. 43: Shém zdání příkdu č. 8. Or. 44: Řešení příkdu č. 8. Tento text souží výhrdně jko dopněk k přednáškám vičením z předmětu Stvení mehnik R pro studenty stvení fkuty ČVUT. I přes veškerou snhu utor se mohou v textu ojevovt hyy, nepřesnosti překepy udu rád, když mě n ně upozorníte. ioš Hüttner (mios.huttner@fsv.vut.z), posední ktuize 6. 3. 04 3