Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5
Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat pomalu se měící referečí sigál Struktura: FF řízeí s přibližou iverzí s modelem v FB a velkým zesíleím a malých frekvecích Zesíleí realizujeme itegrátorem (má zesíleí pro ω=0) Můžeme testovat v Simuliku model tak.mdl Fuguje dobře, ale je když model je přesý model a soustava mají skoro stejý počátečí stav referece má je ízké frekvece 2 yt () Michael Šebek Pr-ARI-09-20 2
Příklad: Přibližá iverze referece pomalá pp. a zesíleí stejé ref. pomalá, pp. růzé zesíleí stejé x0m = x0s = 0.25, gm = gs = 2 x0m = 4, x0s = 0.25, gm = gs = 2 ref. pomalá, pp. stejé zesíleí růzé x0m = x0s = 0.25, gm = 2, gs = špaté O.K. špaté referece s vyššími frekvecemi (pulsy) tvarovací filtr - dolí propust ahraze čistým zesíleím špaté Michael Šebek Pr-ARI-09-20
Proč a kdy vůbec použijeme ZV?. Do ZV obvodu se skutečou soustavou G(s) 2. uměle přikreslíme její zámý model G 0 (s). a ozačíme ový regulátor (s modelem soustavy) Tím jsme ic ezměili! Ks () Cs () = + G () sks () 0 G () s 0 Gs () Gs () G () s 0 4. Pro ovou strukturu platí [ ] f = d + G G u 0 Gs () ( ) 5. ZV sigál zřejmě zmizí f = 0 právě když současě a) G tj. přesě záme soustavu a přitom 0 () s = Gs () b) d = 0 porucha/počátečí stav jsou ulové G () s 0 Pokud bychom to vše zali, eí třeba ZV! Michael Šebek Pr-ARI-09-205 4
Proč citlivost? Porovejme přeos otevřeé smyčky ys () = Lsrs ()() + ds () s přeosem uzavřeé smyčky ys () = Ss () Lsr ()() s + S( s) ds () r Ls () d y Zřejmě S(s) vyjadřuje redukci citlivosti systému, dosažeou pomocí ZV Ve skutečosti teto ázev poprvé použil Bode z jiého důvodu: Pro skalárí přeosy formálí derivováí T podle G dává dt d( GK ( + GK)) ( + GK)( K) ( GK)( K) K = = = dg dg ( + GK) ( + GK) K G GK TS = = = + GK G + GK + GK G G 2 ( ) 2 2 dt T dg G = S Ls () = K() sgs () Tedy S(s) je citlivost relativí změy CL přeosu T(s) a relativí změu (chybu) modelu soustavy G(s) Michael Šebek Pr-ARI-09-20 5
Př. : Posuutí pólu - Zrychleí pece a pizzu Specifikace: zrychlit 4x změit dobu áběhu a T r = 0.55 hod tj. zmešit časovou kostatu a T = 0.25 tedy posuout pól z - do -4 k s + Řešeí ZV + zesíleí (P regulátor) ávrh je jedoduchý obecý CL charakteristický polyom je chceme ho změit a proto zvolíme k = dostaeme výsledý přeos T() s cs () = ( s+ ) + k = s+ ( + k ) cs () = s+ 4 L = = + L s + 4 přechod je skutečě 4x rychlejší, ale co ustáleá hodota? T = Michael Šebek Pr-ARI-09-20 6 T r 2.2
Model matchig Lepší bude: posuout pól, ale zachovat ustáleé zesíleí tj. původí přeos změit a Gs () = Fs () = 4 s + s + 4 K tomu je třeba složitější struktura Miule jsme avrhli a tím dostali k = T() s = l s + 4 r l k s + y Teď už je stačí vzít a dostaeme l = 4 4 T() s = s + 4 Systém je 4x rychlejší a ustáleá hodota je stejá! Michael Šebek Pr-ARI-09-20 7
Diskuse Zadáí jsme splili, ale je to opravdu tak jedoduché? Můžeme soustavu zrychlovat libovolě? Tedy pól posouvat libovolě? Podle RL se zdá, že ao Ale podívejme se a vstup do soustavy R 4 s + Y s + us () = 4 rs () s + 4 u 0 + s + = lim 4 s = 4 s s+ 4 s Vstupí sigál má vysokou špičku: Čím dále posueme pól, tím bude špička vstupu větší až přestae platit lieárí model Poučeí: Póly esmíme posouvat moc daleko od původích poloh Michael Šebek Pr-ARI-09-20 8
Diskuse Jak se projeví skoková změa vější teploty? viz pizza.mdl 4 d s + ys 4 () () () 4 rs 4 ds = + yss = rss + dss s+ s+ a Systém edokáže elimiovat vliv skokové změy vější teploty Na to musí mít regulátor itegračí složku 6 7 + 4 s d s + 7s+ 6 s ys () = rs () + ds () 2 2 ( s+ 4) ( s+ 4) y = r + 0d ss ss ss Michael Šebek Pr-ARI-09-20 9
Příklad - 2. řád Navrhěte k tak, aby T 4s a OS% 5% s k s( s+ 2) Y T s 4 4 = = 4 ςω σ σ l(%os 00) ζ = 2 2 π + l (%OS 00) %OS=5 ζ 0.7 ϕ 45 45 RL k k = k [, 2] k = 0 Michael Šebek Pr-ARI-09-20 0
Příklad a druhý a vyšší řád: Spojitý deadbeat Napodobuje typickou diskrétí strategii Skoková odezva se rychle přiblíží pásmu ustáleí a s miimálím překmitem tam už zůstává Typická specifikace:. Rychlá odezva(= miimálí T r a T s ) 2. OS mezi 0,% a 2%. podkývutí < 2% 4. E ss = 0 Empiricky zjištěé hodoty pro výsledé přeosy ω T s s T db2=[.82 0 0 0 0 ] db=[ 2.20.9 0 0 0] db4=[ 2.80.5 2.2 0 0] db5=[.4 5.4 4.9 2.7 0] db6=[ 4.05 7.55 8.7 6.5.5 ] db=[;moo(0:6)*db2.';moo(0:6)*db.';moo(0:6)*db4.';moo(0:6)*db5.';moo(0:6)*db6.'] T=./db step(tf(t(2)),tf(t()),tf(t(4)),tf(t(5)),tf(t(6)),0) 2 2řád () = =, = 2 2 2 s + αωs+ ω s + αs + ω ω řád () s = = 2 2 2 s + αωs + βωs+ ω s + αs + β s + Michael Šebek Pr-ARI-09-20 s
Příklad a druhý a vyšší řád: Spojitý deadbeat Soustava se ZV regulátorem dává přeos uzavřeé smyčky s+ z Gs () =, Cs () = k s s+ s+ p ( ) () s = ( + z) + ( + ) + ( + ) + 2 s p s p k s kz Pomocí předfiltru vykrátíme (stabilí!) ulu a dostaeme celkový přeos z Fs () = s + z T celk T fb k s kz ω () s = = s p s p k s kz s s s 2 2 2 + ( + ) + ( + ) + + αω + βω + ω Máme parametr avíc, takže třeba zvolíme T s a k tomu vypočteme (ze vzorce pro 2. řád) ω = 4,04 T s Z porováím koeficietů u jedotlivých moci ve 2 2 2 s + ( p + ) s + ( p + k) s + kz = s + αωs + βωs + ω dostaeme p+ = αω p= αω ( ) p+ k = βω k = βω p 2 2 kz = ω z = ω k Michael Šebek Pr-ARI-09-20 2
Příklad a druhý a vyšší řád: Spojitý deadbeat s+ z z s s s p s z Soustava, ZV regulátor a předfiltr Gs () =, Cs () = k, Fs () = Nejprve zvolíme T s = 2s a k tomu ( + ) + + vypočteme (ze vzorce pro 2. řád) ω = 4,04 Ts = 2,02 Z tabulky odečteme pro. řád α =,9; β = 2, 2, porováme koeficiety ve 2 2 2 2 s + ( p + ) s + ( p + k) s + kz = s + αωs + βωs + ω = s +,84s + 8,98s + 8, 24 A dostaeme p 2,84; k 6,4; z,4 A z toho hledaé s+ z s+, 4 Cs ( ) = k = 6,4 s + p s + 2,84 z, 4 Fs () = = s+ z s+, 4 Tcelk T fb () s = s () s = 8.24 2 +.84s + 8.98s + 8. 24 6.4s + 8.24 +. 84 + 8.98 + 8.24 2 s s s Michael Šebek Pr-ARI-09-20