definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

Transkript

1 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se začeí a termiologie (A L Cauchy, C G Jacobi, A Cayley) Až po zavedeí pojmu matice (A Cayley, 858) se dostaly determiaty do souvislosti se čtvercovými maticemi a determiat se pak stal módím pojmem matematiky 9 století Koečě bylo také objeveo, že z geometrického hlediska vyjadřuje determiat řádu objem -rozměrého rovoběžostěu Jelikož pro prví sezámeí s teorií determiatů eí potřeba zát o moc více ež sčítáí a ásobeí reálých čísel, byly ještě v 9 století zavedey základy učiva o determiatech do osov středích škol apříklad v Rakousku-Uhersku, Německu ebo Rusku Determiat Determiatem čtvercové matice A ( a rs ) řádu azýváme číslo A det( A) defiovaé pro jedotlivé řády takto: o : det( A) a o 2 : a a2 det( A) aa22 a2a2 a a o 3: 2 22 det( A) a a + a, atd a32 a33 a3 a33 a3 a o Obecě pro 2 platí tzv Laplaceův vzorec: s ( ) + s s det( A) a A, kde A s je determiat matice řádu, která vzike z matice A vyecháím řádku a s -tého sloupce s Příklady Uveďme dva příklady pro determiaty ízkých řádů Pro 2 : Pro 3 si můžeme zázorit a zapamatovat výpočet tzv Sarussovým pravidlem: (3)

2 Kokrétě: Pozámka (Laplaceův rozvoj) Laplaceův vzorec umožňuje sížit řád determiatu o jedičku: místo determiatu matice řádu počítáme obecě determiatů (často však méě) řádu Můžeme jej totiž použít s drobou úpravou pro libovolý řádek ebo sloupec, det( A) det( A) s r ( ) a A, rozvoj podle r-tého řádku, ( ) r+ s r+ s rs rs a A, rozvoj podle s-tého sloupce rs rs To je výhodé zejméa jsou-li v zadaé matici ulové prvky a zejméa je-li jich více v ěkterém řádku ebo sloupci Počítejme apříklad z defiice Použitím Laplaceova rozvoje podle třetího sloupce si však můžeme výpočet začě zjedodušit: (32) 33 Pozámka (Sarussovo pravidlo) Sarussovo pravidlo eplatí pro 4 Důkaz Determiat matice A řádu se dá ekvivaletě defiovat pomocí pojmu permutace jako součet všech součiů prvků matice, z ichž každý leží a jiém řádku a v jiém sloupci, tedy tzv Leibizovou součiovou formulí: det A sig( σ ) a σ () a2 σ (2) a σ ( ), (33) σ S kde σ je permutace možiy { },2,,, tedy sloupcových idexů, a sig( ) σ je zaméko permutace, tedy počet zámě, kterými z permutace σ získáme idetickou permutaci 2

3 Počet těchto součiů, které musíme ve formuli (33) sečíst, je rove počtu permutací - prvkové možiy, tedy P( )!, kokrétě v ašem případě 4 je to 24 součiů Sarussovým pravidlem pro 4 však sečteme je 8 součiů, chybí všechy hodě přeházeé čley apř souči a a24 a 32 a43 34 Aplikace: Geometrický výzam determiatu řádu : objem -rozměrého rovoběžostěu, jehož hray tvoří polohové vektory z řádků matice Například v rovoběžíku s vrcholy A [ 0,0], B [,2], C [,5] a D [ 2,3] můžeme popsat stray polohovými vektory u (,2 ),, (viz obrázek 3) Jeho obsah spočítáme sado pomocí determiatu v ( 2,3) 2 S det 2 3 Podobě lze spočítat objem rovoběžostěu jehož hray jsou dáy umístěím vektorů b,0,5 c 3,3, do společého vrcholu (viz obrázek 32): a ( 3,0,0), ( ), ( ) V 30 Obrázek 3 Rovoběžík Obrázek 32 Rovoběžostě 2 Pro matice popisující lieárí trasformace (tedy geometrická zobrazeí, viz miulá předáška) pomáhají determiaty zodpovědět otázku o jaký druh zobrazeí se jedá Například pro matice M všech shodých zobrazeí platí, že det M ±, pro matici popisující stejolehlost je det M rove koeficietu stejolehlosti Záporý determiat Speciálě pro tzv přímé shodosti (eměí orietaci zobrazeých objektů, apř otáčeí) platí det(m) Ověřte si to pro otáčeí v roviě popsaé maticí (2) 3

4 matice zobrazeí idikuje, ze při zobrazováí dochází ke změě orietace zobrazovaých objektů 2 3 Chceme-li geometrická zobrazeí zmíěá v předchozím odstavci blíže studovat, zejméa chceme-li vědět o jaký typ zobrazeí jde, stačí alézt jejich vlastí vektory, tedy vektory, které se zobrazeím A přeesou a svůj λ -ásobek Determiat se využívá k alezeí těchto tzv vlastích čísel λ Získáme je jako řešeí rovice det( A λe) 0 Ke každému λ pak dopočítáme příslušé vektory 4 V ěkterých případech lze pomocí determiatu určit hodost matice A : Je-li det( A) 0, pak je hodost h( A) Naopak, je-li det( A ) 0, pak je hodost h( A) < Tato iformace ám často stačí, ale pro výpočet hodosti třeba použít jiou metodu 5 Z předchozího vyplývá, že pomocí determiatu můžeme určit, zda zadaá možia vektorů u, u 2,, u tvoří bázi vektorového prostoru R Sestavíme z vektorů čtvercovou matici B řádu (i) Je-li det( B ) 0, pak daé vektory etvoří bázi (ii) Je-li det( B) 0, pak daé vektory u, u 2,, u tvoří bázi Navíc můžeme báze roztřídit podle jejich orietace Je-li det( B ) > 0, pak je báze u, u 2,, u orietováa souhlasě s kaoickou bází (5) a azýváme ji kladou (případě pravotočivou) bází Naopak, je-li det( B ) < 0, pak je báze u, u 2,, u orietováa esouhlasě s kaoickou bází a azýváme ji záporou (případě levotočivou) bází 6 Pomocí determiatu se popisují tzv ivertibilí matice Pro kokrétí čtvercové matice A se a základě jejich determiatů dá rozhodout existují-li k im iverzí matice A, které mají opět důležitou geometrickou iterpretaci, viz ásledující kapitola 7 Determiaty se využívají při řešeí soustav lieárích rovic o ezámých (stejý počet rovic jako ezámých) pomocí tzv Cramerova pravidla 8 Později během studia se při studiu problémů matematické aalýzy (apř při hledáí extrémů fukcí ebo při řešeí difereciálích rovic) setkáme s ěkolika tzv fukcioálími determiaty, tedy determiaty matic, jejichž prvky jsou fukce Tyto determiaty se azývají podle svých objevitelů Jacobiá, Hessiá ebo Wroskiá Vlastosti determiatu Pro 4 je výpočet determiatu početě zdlouhavý, 3 zejméa pokud je v matici pouze málo ulových prvků Naštěstí se dá výpočet zjedodušit upraveím matice do výhodějšího tvaru použitím ekvivaletích (řádkových ebo sloupcových) úprav Při ekvivaletích úpravách se totiž determiat buď vůbec eměí ebo se sice změí, ale tak, že to můžeme sado kompezovat 2 Proto eí chybou, když ám při výpočtu objemu rovoběžostěu vyjde záporé číslo Toto zaméko pouze idikuje, že vybraé vektory defiující rovoběžostě tvoří záporou bázi (viz bod 5(ii) íže) 3 Výpočetí áročost determiatu Laplaceovým rozvojem roste expoeciálě s rostoucím, obecě je k výpočtu determiatu řádu potřeba ( )! operací Např pro determiat řádu 0 je to zhruba 32,6 milióu operací, pro 20 je to již 9 4,6 0 operací (To je řádově stáří vesmíru v sekudách Jeho výpočet by počítači s GHz procesorem trval téměř,5 milióu let), pro 30 je to 3,2 0 mohem méě áročé metody (viz pozámka o LU-rozkladu íže) 33 7,7 0 operací, pro 40 je to 49 operací, atd Naštěstí eí často potřeba takové determiaty počítat a avíc existují výpočetě 4

5 35 Věta (vliv řádkových úprav a determiat) Pro determiat matice A platí při řádkových úpravách tato pravidla: Vyměíme-li v matici dva řádky, musíme u determiatu změit zaméko, 2 Vyásobíme-li libovolý řádek eulovým reálým číslem k, musíme determiat tímtéž číslem k vydělit 3 Přičteme-li k ěkterému řádku libovolou lieárí kombiaci zbývajících řádků, determiat se ezměí Speciálě: determiat se ezměí přičteím k -ásobku ěkterého řádku k jiému řádku 4 Nalezeme-li v matici A dva stejé řádky, pak je det( A ) 0 5 Traspoujeme-li matici A, její determiat se ezměí, tedy T det( A ) det( A) 36 Příklad ( ) 2 3 ( ) 0 3 ( ) ( 3) V prvím kroku jsme vyměili prví a třetí řádek ( úprava), v druhém kroku jsme přičetli ke druhému řádku ( 2)-ásobek prvího řádku (3 úprava), ve třetím kroku jsme vyásobili třetí řádek 3 (2 úprava) a koečě jsme matici traspoovali (5 úprava) Výzam řádkových úprav roste u determiatů vyšších řádů Při výpočtech determiatů vyšších řádů můžeme postupovat tak, že přičítáím vhodých ásobků řádků dostaeme v ěkterém sloupci pouze jede eulový prvek Potom Laplaceovým rozvojem podle tohoto řádku převedeme determiat matice řádu a determiat řádu Takto postupujeme až k determiatu řádu 3, který můžeme spočítat Sarussovým pravidlem ebo pokračovat v úpravách a převést matici a horí trojúhelíkovou matici U Pro i platí det( U ) a a22 a 37 Příklad Věta (Cauchy) Pro determiat součiu matic platí, že det( A B) det( A) det( B) Tato věta má velký výzam při výpočtech determiatů vysokého řádu, kdy se používá tzv LU-rozklad matice A do tvaru součiu horí a dolí trojúhelíkové matice, tedy A L U Obě matice a pravé straě jsou trojúhelíkové a jejich determiaty se tedy spočítají prostě vyásobeím diagoálích prvků: det( A) det( L) det( U ) l l22 l u u22 u 5

6 Iverzí matice V miulé předášce jsme defiovali ásobeí matic, poukázali a jeho výzamé vlastosti a důležité aplikace Otázkou však zůstává jak defiovat (alespoň pro čtvercové matice) iverzí prvek vzhledem k ásobeí matic 4 Při ásobeí reálých čísel existuje ke každému eulovému číslu x R iverzí prvek a rová se jeho převráceé hodotě x x Jelikož ásobeí matic eí komutativí, dá se iverze defiovat pouze pro čtvercové matice, a to ještě je pro ěkteré z ich Díky vlastostem ásobeí matice jsou také metody výpočtu iverzí matice (viz íže) mohem komplikovaější ež tomu je u reálých čísel, a to přesto, že defiice je v podstatě stejá: 39 Defiice Iverzí maticí ke čtvercové matici A řádu rozumíme matici A, pro kterou platí A A E A A (34) 30 Příklady a aplikace Z geometrického hlediska popisují iverzí matice opačá eboli zpětá zobrazeí, která trasformují vektor A( u ) A u, tedy obraz vektoru u při zobrazeí A, zpět a původí vektor u Iverzí zobrazeí k R π bude tedy popsáo maticí 2 0 Rπ R π Maticová iverze se používá při výpočtech při vytvářeí i 3D grafiky (krom vážých aplikací a vědeckých problémů zejméa při programováí počítačových her) 3 Iverzí matice se také používá u tzv maticových rovic, tedy apř u rovic u kterých máme stálou matici soustavy a měí se je vstupí data popsaá pravou straou rovice, viz příští předáška 4 Dodejme akoec, že pro rozkódováí lieárích šifer by stačilo vyásobit kód maticí iverzí k šifrovací matici, viz předáška 2, s 3 ) Pro většiu praktických výpočtů jsou však metody založeé a iverzí matici velmi pomalé, iverzí matice tak složí spíše jako ástroj k teoretickým úvahám a ástroj k dokazováí tvrzeí potřebých k vybudováí praktického aparátu 3 Defiice Regulárí maticí azýváme čtvercovou matici A řádu, pro kterou platí det( A) 0 (35) Naopak, sigulárí maticí rozumíme čtvercovou matici A řádu, pro kterou je det( A ) 0 4 Iverzím prvkem k prvku a (vzhledem k ásobeí) se většiou rozumí takový prvek b, jehož souči s prvkem a dá jedotkový prvek příslušé možiy (jedičku v reálých číslech, jedotkovou matici, apod) Začíme jej většiou a 6

7 32 Věta Buď A čtvercová matice řádu (i) Je-li h( A), pak je matice A regulárí (ii) Je-li h( A) <, pak je matice A sigulárí 33 Věta (o existeci a jedozačosti iverzí matice) (i) K matici A existuje iverzí matice A tehdy a je tehdy když je matice A regulárí (ii) Existuje-li k matici A iverzí matice, pak je jedozačá Důkaz Metody výpočtu iverzí matice Existuje ěkolik metod výpočtu iverzí matice, zde však zmiňujeme pouze dvě elemetárí Prví z ich je založea a pojmu determiatu (resp z determiatu odvozeého pojmu adjugovaé matice), a hodí se proto je pro malá, zejméa pro 2 a 3 Druhá metoda (ozačovaá jako Gaussova) využívá elemetárích řádkových úprav a hodí se zejméa pro vyšší Pokud je ovšem det( A) ±, musíme při výpočtu Gaussovou metodou počítat se zlomky, což výpočet bez kalkulátoru dosti zepříjemňuje 34 Výpočet maticové iverze pomocí adjugovaé matice Mějme zadáu čtvercovou matici A řádu Spočítáme det( A ) 2 Traspoujeme A 3 V traspoovaé matici spočítáme tzv subdetermiaty A sr, tedy determiaty matic T řádu, které vzikou z matice A vyecháím s -tého řádku a r -tého sloupce podobě jako u Laplaceova rozvoje 4 Každý subdetermiat vyásobíme zamékem ( ) s+ r, opět podobě jako u Laplaceova rozvoje a zapíšeme subdetermiaty se správými zaméky do tzv adjugovaé matice (všiměte si pořadí idexů) ( ) A ( ) A2 ( ) A ( ) A2 ( ) A22 ( ) A 2 Aɶ (36) ( ) A ( ) A2 ( ) A 5 Vydělíme adjugovaou matici determiatem (resp ji vyásobíme kostatou / A ) 7

8 35 Příklad 2 3 A det( A ) 2 traspozice: T A 3 subdetermiaty: A, A, A, 2 3 A, A, A, A, A, A, zamékdjugovaá matice Aɶ 5 iverzí matice: A 36 Výpočet iverzí matice Gaussovou metodou Mějme zadáu čtvercovou matici A řádu Sestavíme matici ( ) 2 A E typu ( ) 2 Pomocí elemetárích řádkových úprav se sažíme převést matici levou část matice a jedotkovou matici Úpravy ovšem provádíme s celou maticí ( A E ) 3 Je-li matice A regulárí, dostaeme po převodu matici ( E A ) 8

9 37 Příklad ( A E) A A Pro matice s det( A) ± se teto výpočet zpravidla dosti zkomplikuje tím, že se v pravé části matice brzy začou vyskytovat zlomky 38 Ověřeí správosti výpočtu Počítáme-li zpaměti eí výpočet iverzí matice úplě triviálí záležitostí Naštěstí existuje jedoduchý způsob jak si ověřit správost výsledku Je obsaže přímo v defiici iverzí matice: stačí jedoduše vyásobit zadaou matici A a vypočítaou matici A, a to dokoce v libovolém pořadí: A A Pokud vyjde jedotková matice, je výpočet správě 9