Příklady k přednášce 11 - Regulátory

Transkript

1 Příklady k přednášce 11 - Regulátory Michael Šebek Automatické řízení

2 Soustavy s oscilujícími módy V běžných průmyslových procesech je to méně časté, ale některé důležité aplikace mají hodně oscilující módy: pružné rameno robota disková mechanika AMF (Atomic Force Microscope) MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) pružné konstrukce v kosmu spalovací systémy Velmi obtížně se řídí, zejména je-li tlumení velmi malé, takže systém hodně rezonuje Skoro nemožné řídit PI nepřidá fázový předstih, proto je uzavřená smyčka ještě méně tlumená PI regulátor nesmí vybudit oscilační módy, proto je výsledná reakce velmi pomalá D akce velmi pomůže 2

3 Příklad: Málo tlumená oscilující soustava Pro oscilující soustavu s velmi malým tlumením 2 a Gs () = 2 2 s + 2ς as + a ς = I regulátor (P pomůže jen málo) Cs () = s PID regulátor 27 Cs ( ) = s s ještě lépe b = 0, pak skok nevybudí vysoké frekvence CL OL CL AH_3_5_Oscil.mdl OL Ts 1500s Ts 3s 3

4 Příklad: Soustava vyššího řádu Pro soustavu 3. řádu Gs () = PID regulátor 1 ( s + 1) 3 1 Cs ( ) = s 2.0s TDF regulátor 3.řádu AH_Ex3_3_HiOr.mdl >> G=1/(1+s)^3 >> PID=(1+1/2/s+.6*s) >> R=s*(s^2+11.5*s+57.5), S=144*s^3+575*s^2+870*s+512, T=8*s^3+77*s^2+309*s+512, RST=[T, -S]/R Rsu () = Ssy () + Tsy () sp Rs = ss + s+ 2 ( ) ( ) Ss () = T s s 575s 870s ( ) 8s 77s 309 = s y sp y rst y pid je lepší než PID d 4

5 Příklad: Soustava s dopravním zpožděním Pro soustavu s velkým zpožděním 1 4s Gs () = e 1 + 2s PI regulátor (složka D nepomůže) AH_Ex3_4_TD.mdl 1 Cs ( ) = s Smithův prediktor s PI regulátorem C 0 1 ( s) = s y smith y pi je ve srovnání s PID lepší: má o dost lepší reakce na skok reference a o něco lepší reakce na skok poruchy y sp d 5

6 Rychlá odezva pulzní vstup Větší akční zásahy rychlejší odezva - v praxi omezeny Pak dá nejrychlejší odezvu pulzní vstup bang-bang ut () umin, u Přesný tvar vstupu lze vypočítat (časově optimální řízení) není lineární [ ] max Příklad Soustava Ps () = PI regulátor 1 ( s + 1) K = 0.43, Ti = 2.25 b= 1,( M = 1.4) S 4 u u min max = 4 = 4 AH_5_11_FFPulse.mdl ut () PI regulátor K = 0.78, Ti = 2.05 b= 0.23,( M = 2.0) S Pulzní FF 6 yt ()

7 Rychlá odezva omezená rychlost akce Jiné praktické omezení: rychlost akčního zásahu Také časté kombinované omezení: na velikost i rychlost akčního zásahu Také není lineární Příklad Soustava jako minule Ps () = ale musí být 1 ( s + 1) 4 ut () AH_5_11_FFPulse.mdl du dt < konst yt () 7

8 Hraní s P-I-D a dalšími regulátory po internetu je mnoho zajímavých stránek o PID regulátorech např. o ladění PID regulátorů jsou celé knihy 8

9 Nastavení podle Zieglera a Nicholse 2 klasické metody nastavení (ladění) PID regulátoru publikoval Callender et al. 1936, J.G. Ziegler a N.B. Nichols 1941 a 1943 od té doby se hojně požívají Výhody: nepotřebují model jsou jednoduché jsou založeny na experimentu se samotným procesem prakticky vyzkoušené na mnoha případech fungují rozumně (?) Nevýhody nikdy nebyly dokázány ani pořádně vysvětleny byly nalezeny pomocí pokusů a omylů lze teoreticky ukázat, že mnoho systémů nedokážou ani stabilizovat Shrnuto praktici je mají rádi, teoretici ne používaly se pro řízení procesů opravdu často ale s postupujícím časem jejich význam upadá Metoda Ziegler-Nicholsova 9

10 Metoda 1: Odezva na skok 1/4 poměr útlumu Mnoho řízených procesů má dopravní zpoždění a OL odezvu na skok tvaru S říká se jí reakční křivka procesu můžeme ji aproximovat odezvou na skok jednoduchého systému 1. řádu s dopravním zpožděním Y() s a = e U s τ s Postup získání parametrů u procesu změříme odezvu na skok reference a nakreslíme tečnu v inflexním bodě hodnoty parametrů L přímo odečteme RL z grafu () + 1 yt () a st d yt () a tečna v inflexním bodě R= a τ L= t d τ časová konstanta směrnice = rychlost reakce ustálená hodnota L= t d τ t zpoždění změřená aproximace 1. řád ustálená hodnota t 10

11 Metoda 1: Odezva na skok 1/4 poměr útlumu Cílem ladění 1. metodou je, aby výsledný CL systém měl asi 25% poměr útlumu za jednu periodu to znamená, že druhé maximum je čtvrtinou prvního, což je rozumný kompromis mezi rychlostí a bezpečnou stabilitou. U systému 2. řádu tomu odpovídá ζ = 0.21 sérií experimentálních simulací na analogovém počítači dostali ZN empirické hodnoty pro nastavení parametrů PID regulátoru P PI PID kp = 1 RL k = 0.9 RL, T = 3L P I k = 1.2 RL, T = 2 L, T = 0.5L P I D 1 yt () perioda D () 1 Ts C s = kp + + D Ts I P I D t 11

12 Metoda 2: mezní citlivost frekvenční odezva Založená na měření systému na mezi stability: budíme krátkým impulsem (nenulovými pp.) postupně zvětšujeme zesílení P členu až se systém dostane na mez stability a začne kmitat stálými oscilacemi s amplitudou omezenou saturací akčního členu (s co nejmenší ale ustálenou amplitudou) periodu těchto kmitů změříme a nazveme mezní periodou P U zesílení při němž to nastane nazveme mezním zesílením K U z těchto naměřených hodnot určili ZN empirické P k hodnoty 0.5 pro nastavení P = KU parametrů PID regulátoru PI PID k = 0.45 K, T = P 1.2 P U I U k = 0.6 K, T = P 2, T = P 8 P U I U D U KU yt () proces P U mezní perioda P I D 1 D () 1 Ts C s = kp + + D Ts I t 12

13 Příklad: výměník tepla (volně podle Franklin 5e s 201, Ex. 4.9) Metoda 1 odezva na skok experimentálně určíme odezvu na skok a z ní odměříme L = 18, RL = 02. z toho vypočteme konstanty F=1/((35*s+1)*(25*s+1)),td=10,Ftd=tf(F), Ftd=set(Ftd,'ioDelay',td) L =18 pro P regulátor kp = 1 RL = 5 pro PI regulátor kp = 0.9 RL = 4.5 T = L 0.3 = 60 I RL = D () 1 Ts C s = kp + + D Ts I PI V obou případech je výsledek moc kmitavý Pomůže redukce na polovinu k P P 13

14 Příklad: výměník tepla Volně podle Franklin 5e s 201, Ex Metoda 2 mezní citlivost zapojíme P regulátor a postupně budíme krátkým pulsem (nebo nenulovými pp) zvyšujeme zesílení až nastanou ustálené (lineární) oscilace pak odměříme zesílení a periodu K = 6.87 P = 75s U z toho vypočteme konstanty pro P regulátor D 1 C s kp I kp = 0.5KU = 3.44 pro PI regulátor kp = 0.45KU = 3.09 T = P 1.2 = 62.5 ZN.mdl U 1 () = + + Ts D Ts I U 14 PI Moc kmitá: snížit k p o 50%! P

15 Příklad: Proti-intuitivní chování Obvyklé pravidlo pro manuální ladění říká, že když snížíme K, tak zvýšíme stabilitu a potlačíme oscilace (zvýšíme tlumení) Platí to obvykle, ale ne vždy: 1 Uvažme soustavu 1 s PI regulátorem Cs () = KP 1+ Gs () = Ts s i Uzavřená smyčka má charakteristický polynom 2 2 K pcl () s = Ts i + KPTs i + K s + KPs+ Proti intuici: Ti PM roste s K P Porovnáním s obecným polynomem 2 2 pro systém 2. řádu s + 2ζωns+ ωn vypočteme tlumení jako K = 0.2 KT P i ς = 2 které zřejmě závisí na K P právě opačně, než říká pravidlo K =1 K = 5 Michael Šebek Pr-ARI

16 Příklad: Soustava 2. řádu a PID regulátor Použití umístění pólů v extrémní situaci, kdy ostatní metody ladění nefungují soustava s nestabilní nulou a málo tlumenými oscilačními módy bs () 1 s = 2 tento příklad nelze jinými (klasickými) metodami řešit as () s + 1 (diskuse viz Åström, Hägglund: Advanced PID Control, s 180) zvolíme cs s s s s s j s j 3 2 ( ) = = ( + 1)( )( ) pak sestavíme soustavu a vyřešíme ji (PolTbx) >> c=s^3+2*s^2+2*s+1,a=s^2+1,b=1-s c = 1 + 2s + 2s^2 + s^3 a = 1 + s^2 b = 1 - s >> [x,y]=axbyc(a*s,b,c) x = y = 1 + 2s^2 qs ks + ks+ k + = = ps () s 3s 2 2 () D P I 2s 1 k k k P I D = 0 = 13 = 23 16

17 jeho kořeny, tedy CL póly jsou jeden z pólů (vlastně dvojnásobný) byl umístěn do požadované polohy a přitom je dominantní Příklad na umístění jednoho pólu bs () 1 k Gs () = = I h D ( ) 2 C () s = ( ) k as () I = = h 1 h = h 2h + h s + 1 s G( h) zvolíme-li s= hh, > 0, pak tento pól přiřadí konstanta vybereme-li např. h = 13 tj. pól v s = 13 pak je potřebná konstanta Tedy I regulátor s přenosem 4 27 k I = 4 27 D () C s = s přiřadí CL charakteristický polynom cs ( ) = s+ 2 s + s 2 3 >> format rat >> P=1/(s+1)^2; >> h=1/3,ki=h/value(p,-h) h = 1/3 ki = 4/27 >> D=kI/s D = 0.15 / s >> c=p.den*d.den+p.num*d.num c = s + 2s^2 + s^3 >> roots(c) ans = -4/3-1/3 + 1/ i -1/3-1/ i 17

18 ideální derivace má pro vysoké frekvence příliš velké zesílení poměr šum : signál Praktické triky: Filtrování derivace dy y = sin t+ asinωt = cost+ aωcos ωt signál šum dt = a = aω D = KTd s KTd s ω D = D KT s 1 + std N d D KN, N 2, 20 ω Proto ji často ještě filtrujeme: místo použijeme [ ] Alternativně nefiltrujeme jen D, ale všechny složky regulátoru 1 1 Cs () = CsC () f () s = K 1+ + std 2 sti 1 + stf + ( stf ) 2 filtr 2. řádu s tlumením ς =1 2 a konstantou pro PI a pro PID T f T = T N = Ti N f d lim C ( jω) = 0 ω high frequency roll-off 18

19 Často se užívá flexibilnější struktura 1 t ut () = K ep() t + e( τ) dτ T T + 0 i e = by y, e = cy y p sp d sp Praktické triky: Set-point weighting ded () t dt Změnou vah dále ladíme např. b = 0 zpomaluje reakci na změnu, ale zase snižuje překmit Je to ekvivalentní struktuře se standardním PID a přímovazebním F d e= y y sp v integrační složce zůstává regulační odchylka kvůli nulové ustálené odchylce! Fs () PID Ps () b =1 b = 0.5 Fs () = ctt s TT s + bst i d i 2 i d sti volbou vah b, c tedy ovlivňujeme nuly výsledného přenosu b = 0 AH_3_9_SetPoint.mdl 19

20 Windup Saturace akčního členu každý reálný akční člen má omezený rozsah ventil může být nejvýše úplně otevřený a nejméně úplně zavřený řídicí plochy letadla se nemohou vychýlit za jistý úhel od nominální polohy elektronické zesilovače mohou produkovat nejvýše konečné napětí Když dojde k saturaci řídicí signál dále neroste/neklesá a smyčka je v podstatě otevřená výstup integračního členu regulátoru za této situace stále zvyšuje svou hodnotu, ale není to k ničemu když se změní znaménko regulační odchylky, začne klesat, ale dlouho trvá, než se dostane pod úroveň saturace důsledkem je velký překmit a špatná odezva na skok v otevřené smyčce je integrační člen nestabilním prvkem a musí být extra stabilizován 20

21 Anti-Windup ±1.0 bez saturace se saturací bez saturace se saturací 21

22 Anti-Windup řešením je obvod anti-windup, který vypne integrální akci, jakmile dojde k saturaci tím se zmenší překývnutí a přechodová charakteristika z hlediska stability způsobuje nelinearita typu saturace dočasné rozpojování smyčky účelem zařízení anti-windup je pomocí lokální ZV stabilizovat regulátor v době, kdy je hlavní smyčka rozpojena saturací každé řešení, které tohle umožní, může být použito jako anti-windup Digitální řešení pokud je regulátor implementován digitálně, řešení je snadné: prostě logika I člen vypne: if u u max, k I = 0 22

23 Anti-Windup: Analogové řešení 1 (snadno se vysvětluje, nesnadno realizuje potřebuje další nelinearitu) k P k I ±u max ±u max po dobu saturace je to ekvivalentní zapojení směrnice k A tedy po dobu saturace má regulátor přenos ki P s+ kk + k I A k P k I který uděláme stabilní po skončení saturace se přidaná ZV rozpojí a regulátor je zase PI 23 k A

24 Anti-Windup: Analogové řešení 2 (nesnadno se vysvětluje, snadno realizuje nepotřebuje další nelinearitu) k P ±u max po dobu saturace je to ekvivalentní zapojení k I k P k A tedy po dobu saturace je přenos regulátoru ks P + ki s+ kk I A k I u C k A ±u max po skončení saturace se přidaná ZV rozpojí a regulátor je zase PI k I k A u C u = 0 C 24

25 Anti-Windup ±1.0 bez anti-windup s anti-windup bez anti-windup s anti-windup 25