1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

Transkript

1 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit má být v klidu: výsledice působících sil musí být ulová (to eí problém, tlaková síla prstu to dokáže zajistit automaticky), výsledý momet sil působících a sešit musí být ulový Split druhou podmíku je těžší Na sešit působí pouze dvě síly Ve všech příkladech z miulých hodi, působily a páku tři síly (dvě byla zadaé a třetí jsme hledali) Jediou možostí, kterou ám zbývá je působit silou F ve stejém místě, ve kterém působí síla F p g ím, že ajdeme místo, kde sešit drží položeý a prstu, jsme ašli i místo, které je působiště gravitačí síly (tíhy) ěžiště tuhého tělesa je působiště gravitačí (tíhové) síly působící a těleso Gravitačí síla Země působí a každý malý kousek tělesa zvláště, ale protože sešit je (skoro) pevé těleso, tyto síly se sčítají a vytvářejí jedu společou sílu, jejíž velikost se rová součtu velikostí jedotlivých gravitačích sil a musí mít i ějaké působiště (těžiště) Představíme si tyčku složeou ze dvou polovi (a oba kousky působí v jejich středu gravitačí síla) Na prví pohled vidíme, že tyto tři síly v rovováze ejsou yto tři síly už se v rovováze acházejí

2 Př : Urči polohu těžiště: a) homogeí rové tyče o kostatím průřezu, b) homogeí koule, c) homogeí krychle a) homogeí rové tyče o kostatím průřezu ěžiště leží a ose tyče přesě uprostřed b) homogeí koule ěžiště leží ve středu koule c) krychle ěžiště leží ve středu krychle Př 3: Leží těžiště těles pravidelého tvaru vždy v jejich středu? Pokud e, ajdi takové těleso Důležité je slovo homogeí (ve všech místech stejá) Pokud je apříklad těleso složeo ze dvou částí, které mají růzou hustotu, je těžiště ze středu posuuto směrem k části s větší hustotou Př 4: Odhadi polohu těžiště akresleých těles Předpokládej, že jsou homogeí a) b) těžiště těžiště a) Př 5: b) Najdi postup, jak experimetálě zjistit polohu těžiště u epravidelého tělesa Správost postupu zdůvodi Zavěsíme těleso v libovolém bodě, oo se zhoupe tak, aby těžiště bylo pod místem zavěšeí (v takovém případě leží bod zavěšeí a vektorové přímce gravitačí síly momet gravitačí síly je ulový a gravitačí síla předmětem eotáčí)

3 Momet gravitačí síly je eulový těleso se otočí Svislá přímka z bodu se azývá těžice Momet gravitačí síly je ulový těleso zůstává v klidu B t b t a ěžiště pak získáme jako průsečík dvou těžic U papírového obrazce můžeme těžice akreslit a těžiště ajít jako jejich průsečík Zavěšeím obrazce v jakémkoliv dalším bodě získáme těžici, která opět prochází dříve alezeým těžištěm U ěkterých těles těžiště leží mimo vlastí těleso B t a t b Jak početě? Př 6: Koště se skládá z ásady (hmotost 0,45 kg, délka 3 cm a průměr, cm) a vlastího koštěte (hmotosti 0,35 kg, tvar přibližě kvádru o rozměrech 3 x 5,5 x 7 cm) Koště je asazeo a ásadu tak, aby jeho svislá osa splývala s osou ásady Najdi polohu těžiště Předpokládej, že koště i ásada jsou přibližě homogeí ěžiště leží a společé ose ásady a koštěte určujeme pouze jeho polohu ve svislém směru (pokud koště stojí) Násada je homogeí válec těžiště se achází v geometrickém středu 76 cm od kraje 3

4 Koště je přibližě homogeí kvádr těžiště se achází v geometrickém středu ve výšce 3,5 cm x x k k x Koště můžeme pozorovat dvěma způsoby: působí a ěj dvě gravitačí síly F g a F gk, působí a ěj jediá gravitačí síla F g V obou případech musí být jejich momet vůči zvoleé ose stejý Osu zvolíme a kraji ásady: ásada: M Fg x mgx, x 66 cm, vlastí koště M k Fgk xk mk gxk, x 3 + 3,5cm 35,5cm, celé koště: M Fg x mgx Dosadíme: M + M k M m gx + mk gxk mgx m x + m x mx k k mx + mk xk m x + mk xk 0, ,35 35,5 x cm 96cm m m + mk 0, ,35 ěžiště koštěte se achází 96 cm od horího koce ásady Vzorec z předchozího příkladu můžeme přeidexovat pro libovolé předměty ze dvou částí m x + mx Získáme tak vzorec pro výpočet souřadice těžiště: x m + m m x + mx + + mx Vzorec je možé sado rozšířit i a tělesa z většího počtu částí x m + m + + m Př 7: Rotor krušlátoru je slože z válcové osy o hmotosti kg a délce d 30cm a dvou kocovek Prví kocovka má tvar koule o poloměru r 5cm a hmotosti 5 kg, druhá kocovka má tvar krychle o straě a 8cm a hmotosti 3 kg Obě kocovky jsou asazey a ose tak, že jejich osa souměrosti splývá s osou válce Urči těžiště rotoru x x x 3 r r d/ d/ a/a/ x 3 Polohu těžiště určujeme apříklad vzhledem k okraji krušlátoru, a který je asazea koule: koule: m 5 kg, x r 5cm, d 30 válcová osa: m kg, x r cm 5cm, 4

5 a 8 krychle: m 3 kg, x3 r + d cm 44 cm 4 m x + mx + m3x x cm 0,7 cm m + m + m ěžiště rotoru se achází a jeho ose ve vzdáleosti 0,7 cm od kraje osazeého koulí Př 8: Rozhodi, kde se achází těžiště dětské hračky Hračku eí možé převrátit její těžiště se achází velmi ízko Jak se můžeme přesvědčit po rozebráí[b] Př 9: V zadáí příkladu 6 se uvádí hmotost ásady a hmotost koštěte Navrhi způsob, jak tyto hmotosti zjistit bez rozebráí koštěte Předpokládej, že máš k dispozici váhy a metr Čím bude sížea přesost určeí obou hmotostí? Využijeme výsledek příkladu 6 Změříme rozměry ásady i koštěte, změříme hmotost celého koštěte a experimetálě (podkládáím) určíme polohu těžiště koštěte Z těchto veliči můžeme dopočítat hmotosti obou částí Záme m 0,8 kg, vzdáleost těžiště od okraje ásady x 98cm, ásada: l 3 cm x 66cm, koště: 7 cm x 3 + 3,5cm 35,5cm m x + mx Rovice: x m + m ( ), m + m m x m + m m x + mx, m m m x m + x m m x + m x ( ) ( ) x m + x m m m x + m m x x m + x m x m m x + mx m x ( ) x m mx m x x x x x x 35, 5 98 m m m 0,8 kg 0, 43kg x x x x 35,5 66 x x Vzorec pro m (záměou idexů): m m 0,8 kg 0, 37 kg x x 35,5 66 Přesost určeí hmotostí sižují: epřesosti měřeí všech použitých hodot, skutečost, že koště eí homogeí kvádr a evíme přesě, kde se achází jeho těžiště, ásada se zastrkává do koštěte (předpokládali jsme, že kočí tam, kde koště začíá) Dodatek: ímto způsobem byly zjišťováy hmotosti pro zadáí příkladu 6 Shrutí: ěžiště tělesa (působiště gravitačí síly) určujeme pomocí rovosti mometů 5