Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 10. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ SOUSTAVA ROVNOBĚŽNÝCH SIL V soustavě rovnoběţných sil se na rozdíl od předchozích silových soustav můţe vyskytnout silová dvojice. A) POČETNÍ ŘEŠENÍ VÝSLEDNICE SIL ÚLOHA 1 Určete výslednici sil: F 1 [-30; 0; 90 ; 50 N]; [0; 0; 90 ; 40 N]; F 3 [30; 0; 270 ; 30 N]. 1) Zobrazíme síly v pravoúhlém souřadnicovém systému x-0-y (bez měřítka). 2) Velikost výslednice určíme jejich algebraickým součtem: Výslednice bude se silami rovnoběţná. 3) Polohu výslednice určíme pomocí momentové věty, podle které moment výslednice, např. k počátku souřadnicového systému, musí být stejný jako algebraický součet momentů jednotlivých sil. Pro n sil rovnoběţných s osou y platí: Pro n sil rovnoběţných s osou x platí: Stránka 1 z 13
F 1 +y + M - M 30 P 3 P 1 0 P 2 +x x 1 = 30 mm x 2 = 0 mm 30 x 3 = 30 mm F 3 rozměrová rovnice [ ] Velikost výslednice má kladnou hodnotu a podle momentové věty má moment výslednice k počátku souřadnicového systému zápornou hodnotu. Proto vektorová přímka výslednice bude leţet vlevo od počátku souřadnicového systému ve vzdálenosti 40 mm. Fv [-40; ; 90 ; 60 N] Stránka 2 z 13
ÚLOHA 2 Určete výslednici sil: F 1 [-50; 0; 270 ; 60 N]; [-20; 0; 270 ; 50 N]; F 3 [20; 0; 90 ; 30 N]; F 4 [40; 0; 90 ; 20 N]. + M - M +y x 1 = 50 mm x 2 = 20 mm x 3 = 20 mm x 3 = 40 mm 40 F 3 20 F 4 P 1 P 2 0 P 3 P 4 +x 20 50 F 1 Stránka 3 z 13
40 40 Fv [- ; ; 7 ; ] ÚLOHA 3 Určete výslednici sil: F 1 [10; 40; 0 ; 50 N]; [0; 0; 180 ; 30 N]; F 3 [20; -40; 0 ; 40 N]. + M y 1 = 40 mm y 2 = 0 mm +y y 3 = 40 mm - M P 1 F 1 0 P 2 +x P 3 F 3 Stránka 4 z 13
Fv [ ; 6,67; ; ] 7 B) GRAFICKÉ ŘEŠENÍ VÝSLEDNICE SIL ÚLOHA 1 Určete výslednici sil: F 1 [-30; 0; 90 ; 50 N]; [0; 0; 90 ; 40 N]; F 3 [30; 0; 270 ; 30 N]. 1) Zadané síly nakreslíme ve zvoleném měřítku tzv. vláknový obrazec (zpravidla na levé straně). 2) Vedle vláknového obrazce (zpravidla vpravo) nakreslíme silový obrazec (pólový obrazec). Pro větší názornost síly kreslíme na rovnoběţkách, i kdyţ by měly být všechny operace provedeny na jedné nositelce. 3) Libovolně zvolíme pól P a pomocí vláken 1, 2; 3, 4, jej spojíme s krajními body (počátky a konci) všech sil. Krajní body musí leţet na téţe přímce. 4) Ve vláknovém obrazci zvolíme libovolně bod I na síle F 1 a tímto bodem vedeme rovnoběţky s vlákny 1, 2 která tuto sílu omezují. 5) Vyhledáme průsečík vláka 2, které omezuje i sílu a dostaneme bod II, kterým vedeme rovnoběţku s vláknem 3, které rovněţ omezuje sílu. 6) Stejným způsobem pokračujeme, dokud nedojdeme k poslední zadané síle ve vláknovém obrazci. 7) Ve vláknovém obrazci nalezneme průsečík (bod IV), který je dán prvním vláknem 1 a posledním vláknem 4 (tato dvě vlákna omezují výslednici F v ). Bodem IV vedeme rovnoběţku s výslednicí. Základní pravidlo, které musí být při konstrukci dodrţeno, je, ţe síla s vlákny tvoří v pólovém obrazci trojúhelník a ve vláknovém obrazci se musí protínat v jednom bodě. Stránka 5 z 13
Vláknový obrazec Pólový obrazec +y m l : 1 mm m F : 1 mm 1 mm 1 N F v F 1 3 1 F 3 I II 2 4 P v P 1 0 P 2 P 3 2 +x P IV F 3 F v 4 3 F 1 1 x v III Stránka 6 z 13
ÚLOHA 3 Určete výslednici sil: F 1 [10; 40; 0 ; 50 N]; [0; 0; 180 ; 30 N]; F 3 [20; -40; 0 ; 40 N]. +y Vláknový obrazec m l : 1 mm m F : 1 mm 1 mm 1 N P 1 I F 1 2 1 P v F v IV II yv 0 P 2 +x 3 4 III P 3 F 3 Pólový obrazec F 1 F 3 F v 1 3 2 4 P Stránka 7 z 13
ÚLOHA 4 Určete výslednici sil početně i graficky: F 1 [-50; 0; 90 ; 60 N]; [-30; 0; 90 ; 50 N]; F 3 [0; 0; 270 ; 40 N]; F 4 [30; 0; 270 ; 20 N]. Výsledek: Fv [-102; ; 90 ; 50 N] ÚLOHA 5 Určete výslednici sil početně i graficky: F 1 [20; 60; 0 ; 40 N]; [0; 30; 0 ; 20 N]; F 3 [-20; -20; 180 ; 70 N]; F 4 [-10; -40; 180 ; 60 N]. Výsledek: Fv [ ; -97,14; 180 ; 70 N] C) ROVNOVÁHA SIL Podmínky rovnováhy: algebraický součet všech sil je roven 0: algebraický součet momentů všech sil (např. k počátku souřadnicového systému) je roven 0: OBECNÁ SOUSTAVA SIL V obecné soustavě sil se také můţe vyskytovat silová dvojice. A) POČETNÍ ŘEŠENÍ VÝSLEDNICE SIL ÚLOHA 1 Určete výslednici sil: F 1 [10; 0; 0 ; 50 N]; [20; 30; 45 ; 40 N]; F 3 [-30; 10; 130 ; 60 N]. 1) Zobrazíme síly v pravoúhlém souřadnicovém systému x-0-y (bez měřítka). 2) Síly v obecném směru rozloţíme na kolmé sloţky. Stránka 8 z 13
3) Sloţky sil určíme z pravoúhlých trojúhelníků. 4) Sloţky výslednice vypočteme: a) výslednici x-ových sloţek vypočteme jejich algebraickým součtem: b) výslednici y-ových sloţek vypočteme jejich algebraickým součtem: 5) Velikost výslednice vypočteme pomocí Pythagorovy věty: 6) Orientovaný úhel určující směr výslednice určíme pomocí funkce tangens ze vztahu: 7) Polohu výslednice určíme pomocí momentové věty: +y F vy F v F vx 0 +x x v Moment výslednice k počátku souřadnicového systému je roven algebraickému součtu momentů všech sil. Stránka 9 z 13
10 30 + M - M +y F 3y y F 3 20 30 P 2 x F 3x P 3 0 P 1 F 1 +x = 50 = 45 x 3 = 30 mm x 2 = 20 mm y 3 = 10 mm y 2 = 30 mm 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Stránka 10 z 13
7 [ ] 7 7 7 7 7 [ ] Fv [-17,19; ; 61,86 ; 84,22 N] Stránka 11 z 13
B) GRAFICKÉ ŘEŠENÍ VÝSLEDNICE SIL ÚLOHA 1 Určete výslednici sil: F 1 [10; 0; 0 ; 50 N]; [20; 30; 45 ; 40 N]; F 3 [-30; 10; 130 ; 60 N]. Grafické řešení se provádí pomocí pólového a vláknového obrazce. Vláknový obrazec m l : 1 mm 1 mm +y m F : 1 mm 1 N F v F 3 IV 4 P 2 P 3 II 1 III 3 P v x v 0 P 1 I F 1 +x 2 Pólový obrazec F 3 4 F v P 1 2 3 F 1 Stránka 12 z 13
ÚLOHA 2 Určete výslednici sil početně i graficky: F 1 [10; 60; 225 ; 50 N]; [30; 40; 270 ; 20 N]; F 3 [50; 70; 300 ; 25 N]. Výsledek: Fv [10,26; ; 253,47 ; 80,32 N] C) ROVNOVÁHA SIL Podmínky rovnováhy: algebraický součet všech x-ových sloţek je roven 0: algebraický součet všech y-ových sloţek je roven 0: algebraický součet momentů všech sil (např. k počátku souřadnicového systému) je roven 0: POUŢITÁ LITERATURA [1] SKÁLA, V. a STEJSKAL, V. Mechanika pro SPŠ nestrojnické. 3. vyd. Praha: SNTL, 1986. 207 s. [2] SALABA, S. a MATĚNA, A. Mechanika I statika pro SPŠ strojnické. 1. vyd. Praha: SNTL, 1978. 138 s. Stránka 13 z 13