STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: 0. Matematika a statistika -adická čísla a jejich alikace v teorii čísel -adic numbers and their alications in number theory Autor: Škola: Konzultant: Vladimír Sedláček Gymnázium, Brno, třída Kaitána Jaroše 4 Mgr. Petr Puík Brno 202
Prohlašuji, že jsem svou ráci vyracoval samostatně, oužil jsem ouze odklady (literaturu, SW atd.) citované v ráci a uvedené v řiloženém seznamu a ostu ři zracování ráce je v souladu se zákonem č. 2/2000 Sb., o rávu autorském, o rávech souvisejících s rávem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v latném znění. V Brně dne 9. března 202................................................................
Poděkování Rád bych oděkoval Mgr. Petru Puíkovi za jeho nesmírnou ochotu, trělivost a cenné náady ři vzniku této ráce.
Abstrakt Hlavním cílem této ráce je seznámit čtenáře s tím, co jsou to -adická čísla a čím jsou zajímavá. Teorie je budována ostuně, od -adické valuace, normy a metriky řes konstrukci -adických čísel až o jejich alikaci v teorii čísel, řičemž u všech tvrzení následuje důkaz. Práce se snaží najít komromis mezi formálností a srozumitelností. -adická čísla roojují analýzu, algebru, teorii čísel a diferenciální očet. Dnes rakticky tvoří základ moderní teorie čísel; oužívají se naříklad k rolomení některých šifrovacích algoritmů ostavených na elitických křivkách nebo k aroximaci Riemannovy zeta funkce. Navzdory vysokoškolské tematice této ráce by ro její ochoení měla stačit řevážně středoškolská látka, ale ředokládá se, že čtenář je obeznámen s ojmy jako limita oslounosti, nekonečná řada, třída ekvivalence, kongruence a těleso. Klíčová slova: -adická čísla; -adická valuace; -adická norma; -adická metrika; zúlnění racionálních čísel; Henselovo lemma Abstract The main goal of this aer is to get the reader introduced to the -adic numbers and their interesting roerties. The theory is being built u gradually, from the -adic valuation, norm and metric through the construction of the -adic numbers to their alication in number theory; roofs of the statements and theorems are included as well. The aer is trying to find a comromise between formality and comrehensibility. The -adic numbers make a connection between the branches of analysis, number theory and differential calculus. Today they ractically form the basics of number theory; they are used to break some encrytion algorithms based on ellitic curves or to aroximate the Riemann zeta function. Desite the academic subject matter of this aer, high school knowledge should suffice to understand it, but it is assumed that the reader is familiar with terms like sequence limit, series, equivalence class, congruence and field. Keywords: -adic numbers; -adic valuation; -adic norm; -adic metric; comletion of rational numbers; Hensel s lemma
Obsah Úvod a historie 6 Valuace, normy a metriky 7. -adická valuace.............................. 7.2 -adická norma............................... 9.3 -adická metrika.............................. 2 -adická čísla 3 2. Zavedení -adických čísel......................... 3 2.2 Oerace sčítání a násobení na -adických číslech............. 4 2.3 Rozšíření -adické valuace, normy a metriky............... 2 3 Alikace -adických čísel 24 3. Harmonické řady a Wolstenholmova věta................. 24 3.2 Henselovo lemma.............................. 27 Závěr 32 Použitá literatura a zdroje 33
Úvod Tato ráce se zabývá -adickými čísla. Jedná se o relativně málo známou, avšak o to zajímavější oblast matematiky, která roojuje algebru, analýzu a teorii čísel a má v těchto oblastech mnoho využití. Rozšíření racionálních čísel na -adická je alternativou k rozšíření racionálních čísel na reálná, a funguje na zcela jiných rinciech. První myšlenky související s -adickými čísly se objevily v 9.století. Šlo o myšlenku zobecnit záisy v číselné soustavě na záisy s nekonečným rozvojem. Mezi matematiky, kteří se zabývali těmito -adickými metodami, atřili naříklad Kummer, Dedekind a Weber. O objev -adických čísel se ale zasloužil až Kurt Hensel v roce 897. Na očátku 20.století se rozvíjí teorie kolem valuací (Kúrschak, Ostrowski, Deuring, Schmidt, Krull) a objevuje se -adická analýza. Trvalo ještě dlouho, než byla -adická čísla akcetována matematickou veřejností, ale dnes už rakticky tvoří základ moderní teorie čísel. V rvní kaitole této ráce se budeme zabývat dělitelností celých čísel a definujeme -adickou valuaci. Následně zjistíme, co je norma a metrika, jak solu souvisejí, a co je to nearchimédovská metriká. Také omocí -adické valuace zavedeme -adickou normu a metriku. Ve druhé kaitole budeme zkoumat, co řesně jsou -adická čísla a jaké mají vlastnosti. Naučíme se je sčítat, odčítat, násobit a dělit a ukážeme si, že -adická analýza je v některých směrech jednodušší než reálná. V oslední kaitole se odíváme na souvislost harmonických sum s -adickými čísly a dokážeme Wolstenholmovu větu. Nakonec se budeme zabývat Henselovým lemmatem a ukážeme si, jak se s jeho omocí dají řešit olynomiální kongruence. Pojd me se tedy odívat, co všechno tato nevšední oblast matematiky skrývá. 6
Valuace, normy a metriky Pro celý zbytek ráce si evně zvolme rvočíslo. Pouze v některých seciálních říadech budeme racovat s konkrétním, které uvedeme.. -adická valuace Definice.. Necht n Z je nenulové číslo. Pak definujeme -adickou valuci v (n) jako nejvyšší exonent α takový, že α n. Ekvivalentně, je-li n = α q, kde q Z, q, je v (n) = α. Navíc dodefinujeme v (0) =. Dále -adickou valuaci v (n) rozšíříme na racionální čísla: je-li q Q zlomek ve tvaru a b, ak v (q) = v (a) v (b). Nyní se můžeme na -adickou valuaci na Q dívat jako na zobrazení v : Q Z { }. Ještě než se ustíme do důkazů různých tvrzení, uvedeme si několik říkladů: v 2 (24) = v 2 (2 3 3) = 3, ( ) 3 v 3 = v 3 (3) v 3 (7) = 0 =, 7 ( ) 56 v 7 = v 7 ( 56) v 7 (49) = 0 2 = 2, 49 ( ) 9 42 v 9 = v 9 2345 3 (9 42) v 3 (9 2345 ) = 2345 = 2344. Tvrzení.2. Pro a Q latí v (a) = a = 0. Důkaz. Imlikace zrava doleva lyne římo z definice. Imlikaci zleva dorava dokážeme obměnou. Pokud je a nenulové racionální číslo, můžeme ho sát ve tvaru a = α q β r, kde α, β Z, q, r Q {0}, v (q) = v (r) = 0. Pak v (a) = α β, což je určitě celé číslo. Tvrzení.3. Pro a, b Q {0} latí v (ab) = v (a) + v (b). Důkaz. Položme a = α q, b = β r, α, β Z, q, r Q {0}, v (q) = v (r) = 0. Ekvivalentně uravujeme: v (ab) + v ( α q β r) = v ( α+β qr) = α + β = v ( α q) + v ( β r) = v (a) + v (b). Důsledek.4. U -adické valuace nezáleží na tom, zda je zlomek v základním tvaru. Důkaz. Mějme a Z a b, c N slňující gcd(a, b) =. Pak odle tvrzení.3 latí ( ac ) ( a ) v = v (ac) v (bc) = v (a) + v (c) v (b) v (c) = v. bc b Tvrzení.5. Pro a, b Q {0} latí v (a + b) min{v (a), v (b)}, řičemž ostrá nerovnost může nastat ouze ro v (a) = v (b). 7
Důkaz. Položme a = α q, b = β r, α, β Z, kde q, r Q {0}, v (q) = v (r) = 0. Bez újmy na obecnosti (dále jen BÚNO) ředokládejme α β. Ekvivalentně uravujeme: v (a + b) = v ( α q + β r) = v ( β ( α β q + r) β = min{v (a) + v (b)}. Aby nastala ostrá nerovnost, musí latit α β q + r, ale rotože v (r) = 0, musí latit α = β (a zároveň q + r), tedy v (a) = v (b). Příklad. Necht n je řirozené číslo. Sočítejte v (( n )!). Řešení. Podle tvrzení.3 latí v (( n )!) = n v (i). Pro všechna a N označme ξ (a) očet všech čísel menších nebo rovných a, která jsou dělitelná. Stačí si uvědomit, že každé číslo dělitelné k, kde k N, zvětší výsledek o k. To nám dává součet n ξ ( i ), rotože každé číslo dělitelné k v něm zaočítáme rávě k-krát. Dostáváme tedy v (( n )!) = n v (i) = n n ξ ( i ) = i = n. Tvrzení.6 (Legendreova formule). Označme ciferný součet čísla n v soustavě o základu jako S (n). Pak latí n v (n!) = = n S (n). i Důkaz. Podle tvrzení.3 latí v (n!) = n v (i). Nyní si uvědomíme, že z této sumy nás zajímají ouze násobky, rotože všechny ostatní členy budou nulové. Násobků, které neřevyšují n, je celkem n. Každý z nich do sumy řisěje jedničkou. Násobky 2, kterých je n jsme ale zaočítali ouze jednou, i 2 když do sumy řisívají dvojkou. Stejně tak násobky 3, kterých je n, jsme zaočítali 3 ouze dvakrát, i když do sumy řisívají trojkou. Takto okračujeme dále a dostáváme n v (n!) =. To, že suma je nekonečná, nám nevadí, rotože od jistého dostatečně velkého j N slňujícího j > n budou všechny členy nulové. Nyní oužijeme záis ve tvaru n = a k k + a k k + + a + a 0, kde k N a a i {0,,..., } ro všechna 0 i k. Pak máme S (n) = a k +a k + +a +a 0. Pro všechna 0 i k zřejmě latí i > a i i + + a + a 0, z čehož lyne n = i ak k i + a k k i + + a i+ + a i. Dosazením do výše dokázané identity dostáváme = v (n!) = n = i i i=0 k a k k i + a k k i + + a i+ + a i = k a i ( i + i 2 + + ) = což jsme chtěli dokázat. k a i i = 8 k a i i k a i = n S (n),
Důsledek.7. Pro všechna n, k Z, n k latí (( )) n v = n S (n) k S (k) k (n k) S (n k) = kde ( ) n značí kombinační číslo. k Důkaz. Stačí rozesat ( ) n = k.2 -adická norma = S (k) + S (n k) S (n), n! a tento výraz uravit odle.3 a.6. k!(n k)! Definice.8. Necht množina F solu se sčítáním a násobením tvoří těleso. Zobrazení : F R + 0 nazveme normou na F, okud slňuje tyto vlastnosti: (i) x F : x = 0 rávě tehdy, když x = 0, (ii) x, y F : xy = x y (iii) x, y F : x + y x + y (linearita), (trojúhelníková nerovnost). Pokud navíc latí x, y F : x + y max{ x, y } (což je silnější nerovnost než (iii)), nazveme tuto normu nearchimédovskou. Všechny ostatní normy se nazývají archimédovské. Standardní norma, se kterou jsme zvyklí racovat na reálných číslech, je absolutní hodnota. Udává nám, jak je dané číslo vzdálené od očátku. Jedná se o archimédovskou normu. Nyní si ojd me uvést konkrétní říklad nearchimédovské normy. Definice.9. Pro q Q definujeme -adickou normu jako { 0 ro q = 0 q := v(q) jinak. Dále se budeme na -adickou normu dívat jako na zobrazení : Q z Z {z } {0}. Oět si uvedeme několik říkladů: 24 2 = 2 v 2(2 3 3) = 2 3 = 8, 3 7 = 3 v 3(3) v 3 (7) = 3 0 = 3, 3 56 49 = 7 v 7( 56) v 7 (49) = 7 0 2 = 7 49, 9 42 = 9 v 9(9 42) v 9 (9 2345) = 9 2345 = 9 9 2345 9 2344. 9
Tvrzení.0. Pro všechna a Q latí a 0, řičemž rovnost a = 0 nastává rávě tehdy, když a = 0. Důkaz. Z definice -adické valuace lyne v (q) Z { } ro všechna q Q. Pokud v Z, zřejmě musí být q = v(q) > 0. Pro v (q) = je odle tvrzení.2 q = 0, takže latí q = 0. Jiné říady zřejmě nastat nemohou. Tvrzení.. Pro všechna a, b Q latí ab = a b. Důkaz. Dosadíme a ekvivalentně uravujeme s oužitím tvrzení.3: ab = v(ab) = v(a) v(b) = v(a) v(b) = a b. Nyní ukážeme, že tato norma je oravdu nearchimédovská. Tvrzení.2. Pro všechna a, b Q latí a + b max{ a, b }. Důkaz. Položme a = α q, b = β r, α, β Z, kde q, r Q {0}, v (q) = v (r) = 0; BÚNO ředokládejme α β. Pak latí a = α β = b, takže max{ a, b } = β. Použijeme tvrzení.5 a ekvivalentně uravujeme: v (a + b) β v (a + b) β v(a+b) β a + b max{ a, b }. Tím jsme dokázali, že je nearchimédovská norma na Q. Zároveň každá nearchimédovská norma je v odstatě -adická, což ukazuje následující věta. Příklad. Necht q je racionální číslo. Ukažte, že q je celé, rávě když ro všechna rvočísla latí q. Řešení. Pro q = 0 latí q = 0. Dále ředokládejme, že q je celé nenulové číslo. Pak ro evné latí q = v(q) r, kde r Z, r, takže v (q) 0. Pak latí r q, z čehož lyne q = = r. v(q) q Nyní naoak ředokládejme q ro všechna, tedy v(q). Pak je v(q), takže v (q) 0 ro všechna, což imlikuje q = r s v(q), kde r Z, s N, r. Pokud s, můžeme nyní uvážit takové, že s, čímž dostaneme v (q) = v ( v(q) r) v (s) < v (q), což je sor. Proto musí být s =, z čehož lyne, že q je celé. Věta.3 (Součinová formule). Pro každé nenulové racionální číslo q latí q q =, kde značí součin řes všechna rvočísla. 0
Důkaz. Protože ro absolutní hodnotu, res. -adická normu latí q = q, res. q = q, můžeme se omezit na q Q +. Pak můžeme sát q = α α 2 2...αm m ro β β 2 2...βn n m, n N a α, β N 0. Pro všechna i N, i > m definujeme α i = 0 a analogicky ro všechna i N, i > n definujeme β i = 0. Dosadíme do zadaného výrazu: q q = q v(q) = q v(β β 2 2...βn n ) v ( α α 2 2...αm m ) = q i βi α i = q q =..3 -adická metrika Definice.4. Necht X je nerázdná množina. Binární zobrazení d(x, y) : X 2 R + 0 nazveme metrikou na X, okud slňuje tyto vlastnosti: (i) x, y X : d(x, y) : d(x, y) = 0 rávě tehdy, když x = y, (ii) x, y X : d(x, y) = d(y, x) (iii) x, y, z X : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (symetričnost), (trojúhelníková nerovnost). Pokud navíc latí x, y, z X : d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)} (což je silnější nerovnost než (iii)), nazveme tuto metriku nearchimédovskou. Všechny ostatní metriky se nazývají archimédovské. V říadě, že latí d(x, y) = x y, kde je norma, říkáme, že metrika d je indukovaná normou. Dvojice (X, d) tvoří metrický rostor. Tvrzení.5. Každá metrika na tělese F, která je indukovaná normou na tomto tělese, skutečně slňuje všechny ožadavky kladené na metriku. Pokud je navíc daná norma nearchimédovská, je nearchimédovská i indukovaná metrika. Důkaz. Předokládejme, že je norma na F, která na F indukuje metriku d a mějme x, y, z X. Pak odle definice normy latí d(x, y) = x y = 0 x y = 0 x = y, což ododovídá bodu (i) v definici metriky. Dále si všimněme, že z linearity normy lyne x = x = x. Pro všechna x 0 je ale x = 0, takže musí latit =. To můžeme uravit na ( ) 2 = ( ) 2 =, a rotože oborem hodnot normy jsou nezáorná čísla, dostáváme o odmocnění =. Z toho už lyne symetričnost metriky: d(x, y) = x y = y x = d(y, x). Využitím trojúhelníkové nerovnosti normy dostáváme trojúhelníkovou nerovnost metriky: d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Nakonec ředokládejme, že daná norma je nearchimédovská. Pak latí d(x, z) = x z = x y + y z max{ x y, y z } = max{d(x, y), d(y, z)}, takže indukovaná metrika je také nearchimédovská. Metrika nám umožňuje měřit vzdálenost mezi dvěma rvky množiny. Na reálných číslech se v drtivé většině říadů oužívá euklidovská metrika, která je indukována absolutní hodnotou a udává, jaká je vzdálenost mezi dvěma čísly na číselné ose. Tato archimédovská metrika má v životě široké využití, rotože odovídá intuitivní ředstavě vzdálenosti. Nás ted ale bude zajímat síše nearchimédovská metrika, řesněji -adická.
Definice.6. Zobrazení d (x, y) : Q 2 z Z {z } {0} nazveme -adickou metrikou, okud latí d (x, y) = x y. Tato metrika je indukována -adickou normou, takže odle.5 je nearchimédovská. Poznámka. Předokládejme, že dvě celá čísla x, y jsou od sebe v -adické metrice vzdálena nejvýše ro nějaké n N, tedy x y n. Pak n v n (x y), takže n x y. Protože jsme celou dobu ostuovali ekvivalentně, dostáváme x y (mod n ) d (x, y) n. Všimněme si, že zavedením metriky v závislosti na dělitelnosti jsme učinili rvní krok k roojení -adické analýzy a teorie čísel. U euklidovské metriky nic odobného není možné. Tvrzení.7 (Princi rovnoramenného trojúhelníku). V každé nearchimédovské metrice na tělese F je každý trojúhelník rovnoramenný, tedy ro všechna x, y, z F latí, že alesoň dvě z hodnot x y, y z, z x jsou si rovny. Důkaz. Mějme body x, y, z F. BÚNO řeokládejme x y y z z x. Podle symetričnosti a trojúhelníkové nerovnosti latí z x = x z = x y + y z max{ x y, y z } = y z, z čehož lyne z x = y z. Tvrzení.8. V každé nearchimédovské metrice na tělese F má každý kruh střed v libovolném vnitřním bodě, tedy ro každou množinu K(S, r) = {x F S x r}, kde S F a r R +, latí a K(S, r) K(S, r) = K(a, r). Důkaz. Mějme a K(S, r), takže S a r. Pak ro všechna x K(S, r) latí S x r a odle trojúhelníkové nerovnosti také a x = a S + S x max{ S a, S x } r, z čehož lyne x K(S, r) x K(a, r). Naoak ro všechna x K(a, r) latí a x r a odle trojúhelníkové nerovnosti také S x = S a + a x max{ S a, a x } r, z čehož lyne x K(a, r) x K(S, r). Složením těchto dvou imlikací dostáváme x K(a, r) x K(S, r), takže a je skutečně středem kruhu K(S, r) a důkaz je hotov. 2
2 -adická čísla 2. Zavedení -adických čísel Než zkonstruujeme -adická čísla, budeme ještě otřebovat dva ojmy. Definice 2.. Poslounost {a i } i=0 je vzhledem k metrice d cauchyovská rávě tehdy, když latí ε R + N N : m, n N m, n N : d(a m, a n ) < ε. Neformálně řečeno, členy cauchyovské oslounosti se k sobě blíží libovolně blízko. Nař. každá konvergentní oslounost je zřejmě cauchyovská. Definice 2.2. Metrický rostor (X, d) nazveme úlný, okud v něm každá cauchyovská oslounost vzhledem k metrice d konverguje vzhledem k metrice d. Všimněme si, že množina reálných čísel vznikla zúlněním racionálních čísel vzhledem k euklidovské metrice, tj. řídáním limit všech cauchyovských oslouností racionálních čísel (vzhledem k euklidovské metrice) do množin racionálních čísel. Podobně budeme chtít vytvořit množinu -adických čísel: zúlníme množinu racionálních čísel vzhledem k -adické metrice. Budování číselných oborů rekaituluje následující diagram: R zúlnění vzhledem k euklid. metrice N Z Q řidání oačných rvků ke sčítání řidání inverzních rvků k násobení Q zúlnění vzhledem k -adické metrice Definice 2.3. Množinu všech -adických čísel Q definujeme takto: Q je množina všech nekonečných řad tvaru a i i = a m m + a m+ m+ + + a + a 0 + a + a 2 2 +..., i= m kde m Z, a m 0 a a i {0,,..., } i Z i m. Čísla a i nazýváme -adické číslice. Dosazením za dostáváme 3-adická čísla, 5-adická čísla, atd. Poznámka. Narozdíl od reálných čísel neoužívají -adická čísla znaménko a místo nekonečného záisu dorava mají nekonečný záis doleva. Je to roto, že zatímco v reálných číslech řada i=0 i diverguje a řada i=0 konverguje, v -adické metrice je tomu i řesně naoak. Další zajímavou vlastností, kterou reálná čísla nemají, je jednoznačnost záisu (dvě -adická čísla jsou stejná rávě tehdy, když mají shodné oslounosti - adických číslic.) Dohoda. Pro a Q, a = a i i budeme někdy ro větší řehlednost oužívat záis říadně i=m a = (... a a 0, a... a m+3 a m+2 a m+ a m ), a = (... {a }{a 0 }, {a }... {a m+3 }{a m+2 }{a m+ }{a m }), okud budou mít cifry složitější tvar. 3
2.2 Oerace sčítání a násobení na -adických číslech Definice 2.4 ( + ). Neutrálním rvkem k oeraci + je 0 Q, tedy ro všechna q Q latí q + 0 = q. Dále mějme i=m a i i, j=n b j j Q {0}. BÚNO ředokládejme m n, ak můžeme dodefinovat b m = b m+ = = b n = 0, takže místo rvku j=n b j j můžeme uvažovat rvek j=m b j j. Nyní uvažme nekonečnou řadu k=m c k k, kde ro všechna l m, l Z latí c l {0,,..., }, řičemž koeficienty c k se určí induktivně tímto zůsobem: a ro všechna l N je c m a m + b m (mod ) c m+l ϕ(l) + a m+l + b m+l (mod ), kde funkce ϕ : N 0 {0, } je definována takto: 0 ro l = 0 ϕ(l) = ϕ(l ) + a m+l + b m+l c m+l ro l. Pokud je c l = 0 ro všechna l m, klademe a i i + i=m b j j = 0. V oačném říadě označíme m 0 nejmenší index, ro který je c m0 0. Pak klademe a i i + i=m j=n b j j = j=n k=m 0 c k k. Definice 2.5 ( Součin libovolného rvku s nulou je roven nule, tedy q 0 = 0 ro ). všechna q Q. Dále oět mějme i=m a i i, j=n b j j Q {0}. Pak klademe ( ) a i i b j j = c k k, i=m j=n k=m+n kde ro všechna l m + n, l Z latí a l {0,,..., }, řičemž koeficienty c k se oět určí induktivně: c m+n a m b n (mod ) a ro všechna l N je c m+n+l ε(l) + l s=0 a m+s + b n+l s (mod ), kde funkce ε : N 0 N 0 je definována takto: 0 ( ro l=0 l ) ε(l) = ε(l ) + s=0 a m+sb n+l s c m+n+l ro l. 4
Poznámka. Snadno si ověříme, že ro racionální čísla jsou tyto oerace konzistentní se sčítáním a násobením racionálních čísel. Tyto definice sčítání a násobení navíc odovídají intuitivní ředstavě ísemného sčítání a násobení, ři kterém ostuujeme zrava doleva. Nesmíme ale zaomenout, že neracujeme v desítkové soustavě, ale v soustavě o základu. Ukážeme si sčítání a násobení na říkladech. Všimněme si, že výsledek umíme určit s libovolnou řesností, ale okud se číslice nezačnou eriodicky oakovat, nikdy nebude výsledek zcela řesný. Příklad. Sečtěte... (42356) 7 a... (60243) 7.... 4 2 3 5 6 +... 6 0 2 4 3 2 Protože 6 + 3 = 7 + 2, zaíšeme dvojku a držíme si jedničku.... 4 2 3 5 6 +... 6 0 2 4 3 3 2 Protože 5 + 4 + = 7 + 3, zaíšeme trojku a držíme si jedničku.... 4 2 3 5 6 +... 6 0 2 4 3 6 3 2 Protože 3 + 2 + = 0 7 + 6, zaíšeme šestku a nic si nedržíme.... 4 2 3 5 6 +... 6 0 2 4 3 2 6 3 2 Protože 2 + 0 = 0 7 + 2, zaíšeme dvojku a nic si nedržíme.... 4 2 3 5 6 +... 6 0 2 4 3... 3 2 6 3 2 Protože 4 + 6 = 7 + 3, zaíšeme trojku a držíme si jedničku. Stejným zůsobem bychom mohli okračovat dále. Příklad. Vynásobte (... 2043) 5 a (... 3324) 5.... 2 0 4 3... 3 3 2 4 4 Protože 4 = 0 5 + 4, zaíšeme čtyřku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4 2 4 5
Protože 4 3 = 2 5 + 2, zaíšeme dvojku a držíme si dvojku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4 3 2 4 Protože 4 4 + 2 = 3 5 + 3, zaíšeme trojku a držíme si trojku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4 3 3 2 4 Protože 4 0 + 3 = 0 5 + 3, zaíšeme trojku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4 Protože 4 2 = 5 + 3, zaíšeme trojku a držíme si jedničku. Přesuneme se na další řádek.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4 2 Protože 2 = 0 5 + 2, zaíšeme dvojku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4 2 Protože 2 3 = 5 +, zaíšeme jedničku a držíme si jedničku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4 4 2 Protože 2 4 + = 5 + 4, zaíšeme čtyřku a držíme si jedničku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2 Protože 2 0 + = 0 5 +, zaíšeme jedničku a nic si nedržíme. Přesuneme se na další řádek.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2 3 6
Protože 3 = 0 5 + 3, zaíšeme trojku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2 4 3 Protože 3 3 = 5 + 4, zaíšeme čtyřku a držíme si jedničku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3 Protože 3 4 + = 2 5 + 3, zaíšeme trojku a držíme si dvojku. Přesuneme se na další řádek.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3 Protože = 0 5 +, zaíšeme jedničku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3 Protože 3 = 0 5 + 3, zaíšeme trojku a nic si nedržíme. Přesuneme se na oslední řádek.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3 Protože 3 = 0 5 + 3, zaíšeme trojku a nic si nedržíme. Nyní sečteme všechny mezisoučty. 7
... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3 4 Protože 4 + 0 = 0 5 + 4, zaíšeme čtyřku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3 4 4 Protože 2 + 2 = 0 5 + 4, zaíšeme čtyřku a nic si nedržíme.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3 2 4 4 Protože 3 + + 3 = 5 + 2, zaíšeme dvojku a držíme si jedničku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3 3 2 4 4 Protože 3 + 4 + 4 + + = 2 5 + 3, zaíšeme trojku a držíme si dvojku.... 2 0 4 3... 3 3 2 4... 3 3 3 2 4... 4 2... 3 4 3... 3... 3... 0 3 2 4 4 8
Protože 3 + + 3 + 3 + 3 + 2 = 3 5 + 0, zaíšeme nulu a držíme si trojku. Oět bychom mohli stejným zůsobem okračovat dále. Při odčítání a dělení ostuujeme analogicky. Nyní se ojd me odívat, jak lze nalézt oačné rvky ke sčítání a inverzní rvky k násobení. Tvrzení 2.6. Necht číslo a má v Q rozvoj (... a m+3 a m+2 a m+ a m ), kde m Z. Potom číslo a má v Q rozvoj (... { a m+3 }{ a m+2 }{ a m+ }{ a m }). Důkaz. Stačí obě čísla sečíst:... a m+3 a m+2 a m+ a m +... a m+3 a m+2 a m+ a m... 0 0 0 0 Přenesením jedniček dostáváme a + (... { a m+3 }{ a m+2 }{ a m+ }{ a m }) =... 0000 = 0, z čehož lyne a = (... { a m+3 }{ a m+2 }{ a m+ }{ a m }). Tvrzení 2.7. Necht číslo a 0 má v Q rozvoj (... a m+3 a m+2 a m+ a m ), kde m Z a a m 0. Pak existuje rávě jedno b Q slňující a b =. Důkaz. Položme b = (... a m+3 a m+2 a m+ a m ). Pak z definice násobení latí a m b m (mod ) Protože gcd(a m, ) =, má tato kongruence rávě jedno řešení a jednoznačně určí ε(). Pak dostáváme kongruenci a m b m+ + a m+ b m + ε() 0 (mod ), která má jedinou neznámou b m+, a ta je oět jednoznačně určena, čímž dostáváme i jednoznačné ε(). Stejným zůsobem můžeme okračovat dále a určit libovolný očet dalších cifer. Příklad. Nalezněte inverzní rvek vzhledem k násobení k číslu 6 v Q 3. Důkaz. Máme a = 6 = 2 3 + 0 = (... 0020) 3 a chceme najít b Q slňující ab =. Dostáváme kongruenci 2b (mod 3), jejímž jediným řešením je b = 2. Pak máme Dále dostáváme kongruenci ε() = ε(0) + 2 2 3 =. 2b 0 + 0 + 0 (mod 3), 9
jejímž jediným řešením je b 0 =. Pak máme ε(2) = ε() + 2 + 0 2 0 3 =. Nyní dostáváme kongruenci 2b + 0 + 0 2 + 0 (mod 3), jejímž jediným řešením je b =. Pak máme ε(3) = ε() + 2 + 0 + 0 2 0 3 =. Nyní už si můžeme všimnout, že ro všechna i 2 latí b i =, rotože ro všechna j 2 je a j = 0. Ověříme, že číslo b = (..., 2) je skutečně inverzní k číslu a:... 0 0 0 2 0, 0..., 2... 0 0, 0 0... 0 0 2 0, 0... 0 2 0 0,... 2 0 0... 0 0... 0... 0 0 0, 0 0. Tvrzení 2.8. Trojice (Q, +, ) tvoří těleso. Důkaz. Uzavřenost, asociativita a komutativita obou oerací lynou z jejich definice. Je vidět, že neutrálním rvek ke sčítání je číslo a neutrálním rvkem k násobení je číslo 0. Existenci oačných a inverzních rvků jsme dokázali výše. Ověření distributivního zákona je ovšem kvůli racnosti vynecháno. Definice 2.9. Mějme čísla a, b Q a c Z taková, že a c = b. Pak říkáme, že a je c-tou odmocninou z b a íšeme a = c b. Poznámka. Všimněme si, že zadaný vztah může slňovat více čísel. Odmocnina v oboru Q roto není funkce, ale relace (odobně jako v komlexních číslech). Problematice odmocnin se budeme více věnovat v kaitole o Henselově lemmatu. Tvrzení 2.0. Vynásobení, res. vydělení -adického čísla číslem n je ekvivalentní s osunutím všech číslic daného čísla o n míst doleva, res. dorava ro všechna n Z. Důkaz. Mějme a = (... a m+3 a m+2 a m+ a m ), kde m Z a. Pak latí n a = n a i i = ( ) a i i+n =... a m+3 a m+2 a m+ a m 0 }.{{.. 0} i=0 i=0 n Protože vynásobení -adického čísla nenulovým číslem a následné vydělení tím stejným číslem dané -adické číslo nezmění, dostáváme i druhou část tvrzení.. 20
2.3 Rozšíření -adické valuace, normy a metriky Definice 2.. Rozšířenou -adickou valuaci v (q) : Q Z { } definujeme jako { ro q = 0 v (q) = m ro q = i=m a i i, rozšířenou -adickou normu : Q z Z {z } {0} jako { 0 ro q = 0 q = m ro q = i=m a i i a rozšířenou -adickou metriku jako d (x, y) : Q 2 z Z {z } {0} jako d (x, y) = x y. Snadno se ověří, že i o rozšíření je skutečně -adická norma normou a -adická metrika metrikou. Poznámka. Všimněme si, že zatímco ři rozšíření Q na R se obor hodnot euklidovské normy rozšířil, ři rozšíření Q na Q zůstal obor hodnot -adické normy stejný. Rozšířená -adická valuace udává, na které ozici je oslední nenulová cifra daného -adického čísla. Pro a, b Q a k N také můžeme sát a b (mod k ), což znamená, že latí a b, což je vlastně ekvivalentní s tím, že -adické rozvoje čísel a a b se k zrava shodují až do koeficientu na k-tém místě. Dohoda. V následujícím textu budeme slovo rozšířená vynechávat. Následující důležité tvrzení je jedním z hlavních důvodů ro zavedení -adických čísel: Tvrzení 2.2. Metrický rostor (Q, d ) je úlný. Důkaz. Mějme cauchyovskou oslounost {a i } i=0 vzhledem k -adické metrice, kde a i Q ro všechna i N 0. Pak ro všechna k N existují M, N N, M > N, která slňují a M a N <. To je ale odle oznámky výše ekvivalentní s tím, že k -adické rozvoje čísel a M a a N se zrava shodují až do koeficientu na k-tém místě. Odtud už je vidět, že oslounost {a i } i=0 vzhledem k -adické metrice konverguje v Q. Jednou z výhod -adické analýzy oroti reálné je toto tvrzení: Tvrzení 2.3. Mějme nekonečnou řadu i=0 a n, kde a n Q ro všechna n N 0. Tato řada je v -adické metrice konvergentní rávě tehdy, když lim n a n = 0. Důkaz. Mějme M, N N, M > N. Využijeme trojúhelníkové nerovnosti nearchimédovské metriky: M N a n a n = a N+ + a N+2 + + a M max{ a N+, a N+2,..., a M }. i=0 i=0 Odtud už je vidět, že okud latí lim n a n = 0, je oslounost částečných součtů cauchyovská, a rotože rostor (Q, d ) je úlný, musí být konvergentní. Oačná imlikace je zřejmá, rotože okud řada konverguje, musí být oslounost jejích částečných součtů cauchyovská, z čehož lyne lim n a n = 0. 2
Definice 2.4. Číslo z Q nazýveme -adickým celým číslem, okud latí z. Ekvivalentní definice je taková, že -adické celé číslo nemá žádné cifry za -tinnou čárkou (a i = 0 i < 0). Množinu -adických celých čísel značíme Z. Tvrzení 2.5. Každé celé číslo je -adické celé a všechna racionální čísla a taková, že b b jsou -adická celá. Důkaz. Pro všechna q Q, jejichž jmenovatel není násobkem, latí v (q) 0. Tato odmínka je ale ekvivalentní s odmínkou q, rotože z definice je q = v(q). Příklad. Určete -adický rozvoj čísla 2 3 v Q 5. Řešení. Zřejmě latí gcd(3, 5) =, z čehož lyne 2 3 Z 5. Označme 2 3 = (... a 3a 2 a a 0 ). Dostáváme několik kongruencí: 3a 0 2 (mod 5) a 0 = 4 3a + 2 0 (mod 5) a = 3a 2 + 0 (mod 5) a 2 = 3 3a 3 + 2 0 (mod 5) a 3 =. Nyní si můžeme všimnout, že ro všechna i latí a i+2 = a i. Provedeme zkoušku:... 3 3 4 3... 0 0 0 0 2. Příklad. Určete v -adické metrice součet + + 2 + 3 +.... Řešení. Položme + + 2 + 3 + = a Z a uvažme součin a ( ):...... 0 0 0 0.... Odtud už je vidět, že tedy a ( ) + = 0, a =. Příklad. Určete v -adické metrice součet + 2 3 + 4 5 +.... Řešení. Položme ( + 2 3 + 4 5 +... ) = ( ) + ( ) 2 + ( ) 4 + = a Z a uvažme součet a + a :... 0 0 +... 0 0 0.... 22
Odtud už je vidět, že tedy z čehož lyne + a + = 0, a = +, + 2 3 + 4 5 + = +. Příklad. Určete v -adické metrice součet +( )+ 2 +( ) 3 + 4 +( ) 5 +.... Řešení. Položme + ( ) + 2 + ( ) 3 + 4 + ( ) 5 + = a Z a uvažme součet a + a :...... 0... 0 Díky výsledku ředminulého říkladu je vidět, že latí což dále ekvivalentně uravujeme: (a + a ) 2 =, a( + ) = 2 a( + ) = 2 + a = 2 + 2. 23
3 Alikace -adických čísel Poznámka. V této kaitole budeme racovat s kongruencemi, které obsahují racionální čísla. Aby tyto úvahy měly smysl, musí být jmenovatel zlomku nesoudělný s modulem. Pak je totiž záis a c (mod ) ekvivalentní se záisem a bc (mod ) ro všechna b a, b, c Z. 3. Harmonické řady a Wolstenholmova věta Definice 3.. Harmonickým n-tým součtem rozumíme číslo H n, definované jako ro všechna n N. H n := + 2 + 3 + + n = Věta 3.2. Mějme m, n N, m < n. Pak latí H n H m / Z. Seciálně ro m = dostáváme H n / Z, rotože H =. Důkaz. Uravme zadaný výraz: n i H n H m = n m i i = n i=m+ i. Pro n m = máme H n H m = / Z. Předokládejme tedy m n 2. Nyní n oložme r = max{v 2 (k) m + k n}. Protože v této množině jsou alesoň dvě o sobě jdoucí čísla, je alesoň jedno z nich sudé, takže musí latit r. Nyní ředokládejme, že existují dvě různá čísla i, j slňující m + i < j n a zároveň v 2 (i) = v 2 (j) = r. Pak můžeme sát i = 2 r a, j = 2 r b ro nějaká lichá a, b, a < b. Pak ale latí m + 2 r a < 2 r (a + ) < 2 r b n, a rotože je a + sudé, musí být v 2 (2 r (a + )) > r, což je sor s maximalitou r. Z čísel v 2 (m + ), v 2 (m + 2),... v 2 (n) je tedy rávě jedno rovno r, z čehož lyne v 2 (H n H m ) = v 2 ( ) = r. Pak je ale r H n H m 2 = 2 r >, což imlikuje H n H m / Z 2, tedy seciálně H n H m / Z. Věta 3.3. Pro každé rvočíslo latí, že množina {n N, n : H n Z } je konečná rávě tehdy, když lim n H n =. Důkaz. Pokud latí lim n H n =, je zřejmě množina {n N, n : H n Z } konečná, rotože odle definice x Z x. Zajímavější je druhá imlikace. Mějme n N a išme ho jako n = q + r ro nějaké q N a r {, 2,..., }. Množina Z je zřejmě uzavřená na sčítání. Navíc ro všechna k N slňující gcd(, k) = latí k Z. Z toho lyne H n Z + 2 + + q = H q Z, rotože všechny ostatní členy v H n mají jmenovatel nesoudělný s. Protože ředokládáme, že množina {n N, n : H n Z } je konečná, musí existovat N 0 N, slňující H n > ro všechna n N, n N 0. Nyní indukcí ukážeme, že ro všechna k N 0 latí n k N 0 H n > k. 24
Pro k = 0 tvrzení latí odle definice N 0. Nyní ředokládejme, že tvrzení latí ro k a mějme n = q + r k+ N 0. Pak musí latit q k N 0, z čehož lyne H q > k. Pak je H q > k+. Navíc H n H q Z, takže dostáváme H n H q < k+ < H q. Z trojúhelníkové nerovnosti nearchimédovské normy ak dostáváme ( ) { H q = H q H n + H n max H n } H q, H n = H n. Zároveň ale latí ( H n = H n ) H q + { H q max H n } H q, H q = H q. Složením těchto dvou nerovností získáme H n = H q > k+, takže tvrzení latí i ro k +, čímž je indukce dokončena. Poslounost H n tedy roste nade všechny meze, z čehož lyne lim n H n =. Tím je důkaz dokončen. Věta 3.4 (Wolstenholmova věta). Pro všechna rvočísla 5 latí H 0 (mod 2 ). Důkaz. Využijeme toho, že je sudé, takže můžeme členy sárovat o dvou odle vzdálenosti od středu součtu : H = + 2 + 3 + + 2 + ( H = + ) ( + 2 + ) ( ) + + + + 2 2 2 2 ( H = i + ) i H H 2 2 ( ) i( i) ( ) i i 2 2 ( ) H i 2 (mod 2 ) (mod ) (mod ) 25
Nyní si všimněme, že latí ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 + (mod ). 2 2 2 Navíc každé z čísel ( 2, 2 2,... 2 má zřejmě jinou hodnotu modulo, takže tvoří množinu všech kvadratických zbytků. Pak musí tvořit množinu všech kvadratických zbytků i čísla (, 2 2,..., 2 2 ) 2 ) 2. Kdyby totiž latilo ( ) 2 0 (mod ), ro nějaká i < j, dostali bychom 2 což je sor. Dostáváme tedy i 2 i 2 j 2 (mod ) (i + j)(i j) (mod ) i ±j (mod ), 2 ( ) H i 2 2 H Využijeme známý vzorec n i2 = n(n+)(2n+) 6 : Protože 5, dostáváme ( 2 i 2 ) ( + ) 2 6 H H (2 ) 24 (mod ) (mod ). (mod ) (mod ) tedy což jsme chtěli dokázat. (2 ) 24 0 (mod ), H 0 (mod 2 ), 26
3.2 Henselovo lemma Věta 3.5 (Henselovo lemma). Necht F (x) = n i=0 c ix i je olynom s koeficienty ze Z a F (x) = n i c ix i. Je-li a 0 Z takové, že F (a 0 ) 0 (mod ) a zároveň F (a 0 ) 0 (mod ), ak existuje jednoznačné a Z takové, že F (a) = 0 a zároveň a a 0 (mod ). Důkaz. Použitím indukce vzhledem k n ukážeme, že existuje jednoznačně zadaná oslounost -adických celých čísel a, a 2,..., slňující tyto odmínky ro všechna n : (i) F (a n ) 0 (mod n+ ) (ii) a n a n (mod n ) (iii) 0 a n < n+. Nejrve rovedeme bázový krok. Mějme n = a definujme b 0 jako číslo z množiny {0,,..., }, které je kongruentní s a 0 modulo (zřejmě je takové rávě jedno). Každé a, které slňuje (i) a (iii) musí být tvaru b 0 + b, kde b je celé číslo slňující 0 b. Rozeíšeme F (a ) odle binomické věty a využijeme řitom, že všechny členy kromě rvních dvou budou dělitelné 2 : F (a ) = F (b 0 + b ) n F (a ) = c i (b 0 + b ) i F (a ) = F (a ) i=0 n i=0 i=0 ( c i b i 0 + ic i b i 0 b + i=0 ( ) ) i c i b0 i 2 b 2 2 2 + + c i b i i n ( n ( ) ci b0) i + ici b i 0 b (mod 2 ) F (a ) F (b 0 ) + F (b 0 )b (mod 2 ). Chceme, aby latilo F (a ) 0 (mod 2 ). Z ředokladu F (a 0 ) 0 (mod ) lyne F (a 0 ) α (mod 2 ), kde α {0,,..., }. Dosadíme: α + F (b 0 )b 0 (mod 2 ) α + F (b 0 )b 0 (mod ). Díky ředokladu F (a 0 ) 0 (mod ) latí také F (b 0 ) 0 (mod ), takže můžeme kongruenci vydělit F (b 0 ): b α F (b 0 ) (mod ). Tím je b jednoznačně určeno a o dosazení dostáváme také jednoznačné a : b α F (a 0 ) (mod 2 ) b 0 + b b 0 F (a 0) F (a 0 ) (mod 2 ) a b 0 F (a 0) F (a 0 ) (mod 2 ). 27
Z odmínky F (b 0 ) 0 (mod ) lyne, že a je -adické celé číslo. Navíc zřejmě slňuje odmínky (i)-(iii), takže bázový krok je hotov. Zbývá rovést indukční krok. Bude velmi odobný bázovému. Předokládejme, že už máme rvky a, a 2,..., a n hledané oslounosti, která slňuje odmínky (i)-(iii). Chceme najít a n. Podle (ii) a (iii) latí a n = a n + b n n, kde b n {0,,..., }. Rozeíšeme F (a n ) odobně jako v bázovém kroku, ale tentokrát nás nebudou zajímat členy dělitelné n+ : F (a n ) = F (a n + b n n ) n F (a n ) = c i (a n + b n n ) i F (a n ) = F (a n ) i=0 n i=0 i=0 ( c i a i n + ic i a i n b n n + i=0 ( ) ) i c i a i 2 2 n b 2 n 2n + + c i b i n in n ( n ( ci an ) i + ici an ) i bn n (mod n+ ) F (a n ) F (a n ) + F (a n )b n n (mod n+ ). Chceme, aby latilo F (a n ) 0 (mod n+ ). Z indukčního ředokladu F (a n ) 0 (mod n ) lyne F (a n ) α n (mod n+ ), kde α {0,,..., }. Dosadíme: α n + F (a n )b n n 0 (mod n+ ) α + F (a n )b n 0 (mod ). Díky ředokladu a n a n (mod n ) latí F (a n ) F (a n 2 ) F (a 0 ) 0 (mod ), takže můžeme kongruenci vydělit F (a n ): α b n F (a n ) (mod ). Tím je b n jednoznačně určeno a o dosazení dostáváme také jednoznačné a n : b n n F (a n ) F (a n ) a n a n F (a n ) F (a n ) (mod n+ ) (mod n+ ). Z odmínky F (a n ) 0 (mod ) lyne, že a n je -adické celé číslo. Navíc zřejmě slňuje odmínky (i)-(iii), takže indukční krok je hotov. Dokázali jsme tak, že existuje rávě jedna oslounost -adických celých čísel a, a 2,..., která slňují odmínky (i)-(iii). Důkaz Henselova lemmatu je už ted velmi jednoduchý. Stačí oložit a = b 0 + b + b 2 2 + = lim n a n (vzhledem k -adické metrice). Protože ro všechna n N latí a a n (mod n+ ), odle odmínky (i) dostáváme F (a) F (a n ) 0 (mod n+ ) ro všechna n N, z čehož lyne F (a) = 0. Naoak ro každé a = b 0 + a + a 2 + = b 0 + b + b 2 2 + = lim n a n dostáváme oslounost a n slňující odmínky (i)-iii), a z jednoznačnosti této oslounosti lyne jednoznačnost a. Tím je Henselovo lemma dokázáno. 28
Poznámka. Všimněme si, že Henselovo lemma ro -adická čísla je velmi odobné Newtonově metodě tečen ro reálná čísla. Henselovo lemma má ale jednu velkou výhodu. Zjišt ováním dalších členů oslounosti získáváme stále více -adických číslic hledaného kořenu, takže tento kořen musí být limitou vytvořené oslounosti. Naoak Newtonova metoda v reálných číslech nemusí vždy konvergovat (i když tomu tak většinou je). Poznámka. Existuje také varianta Henselova lemmatu, ve které je vyuštěn ředoklad F (a 0 ) 0 (mod ). Pak je kořen také jednoznačně určen, ale jeho nalezení je mnohem složitější. Henselovo lemma nám oskytuje jednoduché kritérium ro existenci odmocnin z celých čísel v Z : Důsledek 3.6. Mějme q Z a n N, říčemž q a n. Pak n q Z rávě tehdy, když kongruence r n q (mod ) má celočíselná řešení ro r. Důkaz. Předokládejme, že existuje a 0 N slňující a n 0 q (mod ). Uvažme olynom F (x) = x n q. Pak latí F (a 0 ) = a n 0 q 0 (mod ) a F (a 0 ) = na n 0 0 (mod ) (rotože q solu s a n 0 q 0 (mod ) imlikuje a 0 a ze zadání n). Pak odle Henselova lemmatu existuje a Z, které slňuje a a 0 (mod ) a zároveň F (a) = 0, tedy a n = q, z čehož lyne a = n q. Důkaz Henselova lemmatu nám navíc dává návod, jak toto a najít. Naoak okud a = n q Z, máme a = i=0 a i i, kde a i {, 2,..., } ro všechna i N 0. Pak musí latit q = a n = ( i=0 a i i ) n, tedy seciálně q a n 0 (mod ), což jsme chtěli dokázat. Příklad. Nalezněte rozvoj čísla 3 v Z 7 s řesností na 4 místa. Řešení. Mějme F (x) = x 2 + 3 (z čehož lyne F (x) = 2x) a a 0 = b 0 = 2. Postuným dosazováním čísel, 2,..., 6 za x zjistíme, že kogruence F (x) 0 (mod 7) má dvě řešení: x = 2 a x = 5. Položme tedy a 0 = 2 = b 0. Pak latí F (a 0 ) 0 (mod 7) a zároveň F (a 0 ) 4 (mod 7). Podle Henselova lemmatu roto můžeme doočítat další členy oslounosti: a = b 0 F (a 0) F (a 0 ) = 2 7 4 = 4 37 = 2 + 5 7 (mod 72 ) a 2 = a F (a ) F (a ) = 37 372 + 3 2 37 = 683 37 37 = 2 + 5 7 + 0 72 (mod 7 3 ) a 3 = a 2 F (a 2) F (a 2 ) = 37 372 + 3 2 37 = 683 37 2095 = 2 + 5 7 + 0 72 + 6 7 3 (mod 7 4 ) Odtud dostáváme 3. = 2 + 5 7 + 0 7 2 + 6 7 3 = 6052 7. (Číslo v indexu odmocniny značí, že se jedná ouze o jedno z možných řešení, zatímco číslo 7 v indexu čísla naravo značí, že se ohybujeme v 7-adických celých číslech.) 29
Zatím jsme ale oužili ouze jedno řešení kogruence F (x) 0 (mod 7). Nyní naoak zvolme a 0 = 5 = b 0. Pak latí F (a 0 ) 0 (mod 7) a zároveň F (a 0 ) 3 (mod 7). Podle Henselova lemmatu roto oět můžeme doočítat další členy oslounosti: a = b 0 F (a 0) F (a 0 ) = 5 28 3 = 3 3 2 = 5 + 7 (mod 72 ) a 2 = a F (a ) F (a ) = 2 22 + 3 2 2 = 47 8 306 = 5 + 7 + 6 72 (mod 7 3 ) a 3 = a 2 F (a 2) F (a 2 ) = 306 3062 + 3 2 306 = 32 204 306 = 5+ 7+6 72 +0 7 3 (mod 7 4 ) Odtud dostáváme 32. = 5 + 7 + 6 7 2 + 0 7 3 = 065 7. Všimněme si, že jsme dostali dva různé výsledky, což odovídá tomu, co bychom očekávali v reálných, res. komlexních číslech. Navíc latí 3 + 3 2 = 6052 7 + 065 7 = 0, tedy 3 = 3 2. To je v souladu s kongruencí 3 2 5 3 2 (mod 7). Na závěr si ještě ověřme, že nalezené odmocniny jsou skutečně řibližnými kořeny rovnice x 2 + 3 = 0: 065 2 7 = 6052 2 7 =... 6664 7 065 2 7 + 3 = 6052 2 7 + 3 =... 6664 7 +... 0003 7 065 2 7 + 3 = 6052 2 7 + 3 =... 0000 7 = 0. Hlavní význam Henselova lemmatu ovšem nesočívá ve hledání -adických rozvojů odmocnin z celých čísel, nýbrž v řešení olynomiálních kongruencí. Jak už víme, oslounost a, a 2,..., kterou jsme v důkazu konstruovali, slňuje F (a n ) 0 (mod n+ ) ro všechna n N. To znamená, že kdykoliv umíme olynomiální kongruenci vyřešit ro modulo, umíme ji vyřešit i ro modulo n ro všechna n N, což nám velice usnadňuje ráci (ro vyřešení kongruence modulo zřejmě stačí ouze ostuně dosazovat hodnoty {0,,..., }). Ukážeme si to na říkladu. 30
Příklad. Nalezněte všechna celočíselná řešení kongruence x 4 + 7x + 4 = 0 (mod 27). Řešení. Položme F (x) = x 4 + 7x + 4. Pak dostáváme F (x) = 4x 3 + 7. Zřejmě latí F (0) (mod 3), F (2) (mod 3), F () 0 (mod 3) a F () 2 (mod 3). Můžeme tedy oužít Henselovo lemma ro a 0 = b 0 =. Doočítáme další členy oslounosti: a F () (mod 3 2 ) F () a 2 (mod 3 2 ) a (mod 3 2 ) a = 4 a = + 3 a 2 4 F (4) F (4) (mod 3 3 ) a 2 4 288 263 (mod 3 3 ) 263a 2 764 (mod 3 3 ) a 2 = 22 a 2 = + 3 + 2 9 Odtud vidíme, že číslo 22 je řešením zadané kongruence. Všechna řešení zadané kongruence jsou roto ve tvaru x = 27k + 22 ro nějaké k Z. (Žádná další řešení neexistují, rotože odmínce ro Henselovo lemma na začátku vyhovovalo rávě jedno číslo.) 3
Závěr Přestože -adická čísla neatří k běžným vysokoškolským znalostem, skrývá se v nich neobyčejný otenciál. Umožňují nečekaná roojení analýzy, algebry a teorie čísel. Zejména v teorii čísel mají řadu zajímavých alikací, z nichž jsme si některé ukázali. Existuje velice málo rací saných v českém jazyce, které se tímto tématem zabývají; roto lze na tuto ráci nahlížet jako na úvod do této roblematiky, který by měl být dost odrobný na to, aby mu mohl orozumět i český středoškolský student se zájmem o matematiku. 32
Použitá literatura a zdroje [] KOBLITZ, N.: -adic Numbers, -adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics 58, Sringer-Verlag New York, 984. ISBN 0-387-9607-. [2] WERL, M.: Alikace -adické analýzy v teorii čísel, Dilomová ráce, Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2008 [3] BOREVICH, Z. I.,SHAFAREVICH, I.R.: Number theory, New York: Academic Press, 966. 439 s. ISBN 02785X. [4] SORENSON, J.: Exloring -adic numbers and Dirichlet characters, MTH 39W, University of Rochester, Sring 2009 [5] CONRAD, K.: The -adic growth of harmonic sums [online], URL <htt://www.math.uconn.edu/ kconrad/blurbs/ugradnumthy/ adicharmonicsum.df> [quote on 8-3-202] [6] BULANT, M.: Algebra 2 - Teorie čísel, Skrita k ředmětu Algebra 2 na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity [7] GOUVÊA, Q.F. [online], URL <htt://www.math.uwo.ca/ srankin/ courses/403/2004/hensel2.df> [quote on 8-3-202] 33