Stochastická analýza. Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Stochastická analýza Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. 1

Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.1.07/..00/15.003).

Obsah 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 6 1.1 Stochastické procesy....................... 6 1. Spojité náhodné veličiny..................... 7 1..1 Nezávislost a její charakterizace............. 8 1.. Příklady spojitých rozdělení............... 10 1.3 Příklady.............................. 13 Charakteristická funkce a její vlastnosti 14.1 Charakteristická funkce...................... 14. Základní vlastnosti Fourierovy transformace.......... 16.3 Věta o inverzní transformaci....................3.1 Aproximace identity....................3. Důkaz věty o inverzní transformaci........... 3.4 Příklady.............................. 6 3 Základy L -teorie 7 3.1 Prostor L ( a, b )......................... 7 3. Úplnost a Parsevalova rovnost.................. 30 3..1 Úplnost a uzavřenost................... 31 3.3 Borel-Cantelliho lemma..................... 31 3.4 Příklady.............................. 34 4 Wienerův proces 35 4.1 Definice Wienerova procesu................... 35 4. Haarovy a Schauderovy funkce.................. 36 3

4.3 Ciesielskiho konstrukce...................... 38 4.4 Příklady.............................. 44 5 Lineární a kvadratická variace 45 5.1 Lineární variace.......................... 45 5. Kvadratická variace........................ 47 5.3 Příklady.............................. 50 6 Itôův integrál a Itôovo lemma 51 6.1 Itôův integrál........................... 51 6. Filtrace.............................. 54 6.3 Itôovo lemma........................... 58 6.4 Příklady.............................. 63 7 Martingaly a Itôovy proces 64 7.1 Definice martingalu....................... 64 7. Itôův proces a stopping time................... 66 7.3 Příklady.............................. 68 8 Cameron-Martinova věta 69 8.1 Radon-Nikodýmova derivace................... 69 8. Cameron-Martinova věta..................... 70 8.3 Girsanovova věta......................... 7 9 Odvození Black-Scholesovy rovnice 74 9.1 Black-Scholesova rovnice..................... 75 10 Black-Scholesův model 77 10.1 Předpoklady Black-Scholesova modelu............. 77 10. Rovnovážná pravděpodobnostní míra.............. 78 10.3 Odvození Black-Scholesova vzorce pro evropskou call opci... 79 11 Rovnice vedení tepla a Wienerův proces 8 11.1 Řešení rovnice vedení tepla na přímce.............. 8 11. Souvislost řešení rovnice vedení tepla a Wienerova procesu.. 83 4

11.3 Feynman-Kacova formule..................... 84 1 Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty 87 1.1 Charakterizace chvostů distribucí................ 87 1. Charakterizace pomocí funkce přežití.............. 88 1.3 Charakterizace pomocí funkce rizika............... 89 1.4 Stabilní distribuce......................... 90 13 Lévyho procesy 9 13.1 Limitní rozdělení......................... 9 13. Lévyho procesy.......................... 93 13.3 Příklady.............................. 96 14 Bariérové opce 97 14.1 Binární bariérové opce...................... 97 5

Kapitola 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 1.1 Stochastické procesy Definice 1.1.1. Stochastický proces X = {X (t), t T } je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ). Tedy pro každé t z indexové množiny T je X (t) náhodná veličina. Obvykle t označuje čas. Připomeňme, že náhodná veličina je funkce Z : Ω R. Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X (t) popisuje stav procesu v čase t. Dělení stochastických procesů: je-li T konečná nebo spočetná množina, říkáme, že X (t) je stochastický proces v diskrétním čase je-li T interval, říkáme, že X (t) je stochastický proces ve spojitém čase Další rozdělení podle hodnot, které nabývají veličiny X (t): stochastický proces s diskrétními hodnotami stochastický proces se spojitými hodnotami Celkem tedy máme následující čtyři typy stochastických procesů: 6

čas hodnoty příklady diskrétní diskrétní standardní náhodná procházka diskrétní spojité zobecněná náhodná procházka spojitý diskrétní Poissonův proces spojitý spojité Wienerův proces, bílý šum Uveďme si příklad Poissonova procesu. Nechť X (t) je počet volání na telefonní ústřednu v časovém intervalu [0, t]. Předpokládáme, že P (X (t + h) X (t) = 1) λh t.j. pravděpodobnost, že v intervalu (t, t + h) přišlo jedno volání je přímo úměrná h, a dále P (X (t + h) X (t) > 1) 0. Koeficient úměrnosti λ popisuje intenzitu procesu. Stochastická analýza se zabývá integrálním počtem pro funkce, jejichž hodnoty jsou závislé na Wienerově procesu. Například, nechť f (X, t) je cena opce v čase t při ceně podkladové akcie X, pro kterou platí dx = a dt + b dw X kde W je standardní Wienerův proces (přesným smyslem této rovnice se budeme zabývat v dalších kapitolách). Hodnota f tedy zprostředkovaně závisí na hodnotě Wienerova procesu. 1. Spojité náhodné veličiny Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor modelující uvažovaný systém. 7

Definice 1..1. X : Ω R je spojitá náhodná veličina, jestliže její distribuční funkce F (x) = P (X x) se dá napsat jako F (x) = x f (u) du pro nějakou integrovatelnou funkci f : R [0, ). f (u) se nazývá (pravděpodobnostní) hustota náhodné veličiny X. Máme a P (X [x, x + x]). = f (x) x P (X [a, b]) = Pro každé jednotlivé x R tedy platí Poznámka. b a P (X = x) = 0. f (u) du. Mnoho důkazů pro spojité náhodné veličiny je zcela analogických jako v diskrétním případě. Pravděpodobnostní funkce f (x) se nahradí hustotou f (x) dx, a suma se nahradí integrálem. 1..1 Nezávislost a její charakterizace Definice 1... Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže pro každé x, y R jsou jevy {X x} a {Y y} nezávislé. Základní charakteristikou náhodné veličiny je její očekávání. Definice 1..3. Očekávání spojité náhodné veličiny X s hustotou f je dáno vztahem pokud integrál existuje. E (X) = f (x) xdx Příklad 1..4. Nechť pro hustotu náhodné veličiny X platí f (x) = 1 pro π x [0, π] a f(x) = 0 jinak. Její očekávání je rovno E (X) = f (x) xdx = π 0 1 π xdx = 1 π [ x ] π 0 = π. 8

Při praktickém výpočtu očekávání funkce náhodné veličiny je důležitá následující věta. Věta 1..5. Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou f (x) a g(x) je spojitá funkce. Pak pro náhodnou veličinu g (X) platí E (g (X)) = g (x) f (x) dx. Definice 1..6. Sdružená distribuční funkce náhodných veličin X a Y je funkce R [0, 1] taková, že F (x, y) = P (X x Y y). Definice 1..7. Náhodné veličiny X a Y mají sdruženou pravděpodobnostní hustotu f (x, y) : R [0, ), jestliže F (x, y) = pro všechna x, y R. y x f (u, v) dudv Analogicky jako u obyčejné hustoty máme P {(X, Y ) (x, x + x) (y, y + y)} f (x, y) x y. Definice 1..8. Marginální distribuční funkce X a Y jsou F X (x) = P (X x) = F (x, ), kde F (x, ) = lim y F (x, y) a F Y (y) = P (Y y) = F (, y), kde F (, y) = lim x F (x, y). 9

Pro marginální hustoty platí: f X (x) = f Y (y) = f (x, y) dy, f (x, y) dx. Následující věta dává ověřitelnou podmínku pro nezávislost náhodných veličin. Věta 1..9. Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro každé x, y R platí f (x, y) = f X (x) f Y (y). 1.. Příklady spojitých rozdělení Uniformní (stejnoměrné) rozdělení: Náhodná veličina X je stejnoměrná na intervalu [a, b], jestliže pro x [a, b] a f(x) = 0 jinak. f (x) = 1 b a Normální rozdělení: Náhodná veličina X má normální rozdělení, jestliže f (x) = 1 (x µ) e σ πσ pro x (, ), kde µ je střední hodnota a σ je rozptyl. Normalizované normální rozdělení N (0, 1) má hustotu f (x) = 1 π e x. Hodnota normalizační konstanty plyne z hodnoty tzv. Laplaceova integrálu: Lemma 1..10. Platí 1 π e x dx = 1. 10

Důkaz: Označme I = 1 π e x dx. Uvažujme druhou mocninu integrálu ( ) ( I 1 ) = e x 1 dx e y dy = 1 e x +y dxdy. π π π Transformujeme integrál do polárních souřadnic, I = 1 π π 0 0 e r 1 π rdrdθ = 1dθ = 1 π = 1, π 0 π protože substitucí t = r dostaneme Odtud plyne I = 1. 0 re r dr = e t dt = 0 0 e t dt = [ e t] 0 = 1. -rozměrné (standardizované) normální rozdělení: Dvojice náhodných veličin X, Y má toto rozdělení pokud pro jeho sdruženou hustotu platí ( 1 f (x, y) = π 1 ρ exp 1 ( x ρxy + y )), (1 ρ ) kde ρ je korelace X a Y, splňující 1 ρ 1. Přímým výpočtem dostaneme f X (x) = 1 π e x (1.1) a f Y (y) = 1 π e y. Pro ρ = 0 tedy platí f (x, y) = 1 1 π e (x +y ) 1 = e x π 1 π e y = fx (x) f Y (y). Odtud plyne důležitá charakteristika nezávislosti normálně rozdělených náhodných veličin. 11

Věta 1..11. Normálně rozdělené náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy když jsou nekorelované, t.j. ρ = 0. Toto tvrzení je klíčové pro praktické ověřování nezávislosti náhodných veličin s normálním rozdělením. Obecně je nezávislost daleko silnější vlastnost než nekorelovanost. 1

1.3 Příklady Příklad 1.3.1. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl a) stejnoměrného rozdělení na intervalu [a, b]. b) exponenciálního rozdělení c) Paretova rozdělení d) gamma rozdělení e) beta rozdělení Příklad 1.3.. Dokažte Větu 1..9. Příklad 1.3.3. Najděte příklad dvou spojitých náhodných veličin, které jsou nekorelované, ale nejsou nezávislé Příklad 1.3.4. Vypočtěte třetí a čtvrtý obecný moment stejnoměrného rozdělení na intervalu [a, b]. Příklad 1.3.5. Dokažte vztah (1.1). 13

Kapitola Charakteristická funkce a její vlastnosti V této kapitole se budeme věnovat charakteristickým funkcím, jednomu ze základních nástrojů pro počítání se spojitými náhodnými veličinami. Tento pojem je z hlediska výpočtů identický s Fourierovou transformací pravděpodobnostní hustoty, základní operací používanou v matematické analýze. Budeme se také okrajově věnovat moment generující funkci, která má použití jak pro diskrétní tak spojitá rozdělení..1 Charakteristická funkce Připomenutí: Generující funkce pro diskrétní náhodnou veličinu s hodnotami v N, X : Ω N je definována jako G X (s) = f (n) s n = E ( s X), n=0 kde f (n) = P (X = n) je pravděpodobnostní funkce X. Obecněji můžeme definovat (substitucí s = e t ) moment generující funkci, i pro spojité náhodné veličiny. Definice.1.1. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována 14

vztahem M (t) = E ( e tx) pro t 0. Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f, pak M (t) = e tx f (x) dx. Až na obor integrace a znaménko v exponentu je to přesně Laplaceova transformace funkce f (u Laplaceovy transformace se integruje jen přes kladnou poloosu). Moment generující funkce dovoluje snadno počítat jednotlivé momenty náhodných veličin. Pro střední hodnotu máme E (X) = M (0). Obecně platí následující tvrzení. Lemma.1.. Pro každé k N je E ( X k) = M (k) (0). Důkaz: tedy Derivujeme integrál podle parametru, M (t) = xe tx f (x) dx, M (0) = xf (x) dx = E (X). Analogicky k-násobným derivováním dostaneme M (k) (t) = Tedy x k e tx f (x) dx. 15

M (k) (0) = E ( X k). Charakteristická funkce se formálně liší od moment generující funkce jen imaginární jednotkou v exponentu. Výhodou je že na rozdíl od moment generující funkce existuje pro libovolnou pravděpodobnostní hustotu. Definice.1.3. Charakteristická funkce náhodné veličiny X je funkce φ : R C definovaná vztahem φ (t) = E ( e itx). Je-li f hustota X, pak máme φ (t) = f (x) e itx dx. Až na znaménko je to Fourierova transformace hustoty. Využití charakteristické funkce se tedy redukuje na počítání s Fourierovou transformací.. Základní vlastnosti Fourierovy transformace V této podkapitole budeme uvažovat funkce které jsou současně spojité a integrovatelné v absolutní hodnotě. Prostor takových funkcí budeme označovat L 1 C. Definice..1. Fourierova transformace funkce f je funkce f (ξ) = f (x) e iξx dx. Tedy je-li f hustota náhodné veličiny X, pak vztah mezi charakteristickou funkcí X a Fourierovou transformací funkce f je φ ( t) = f (t). 16

Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace. Pro každé dvě funkce f, g a konstanty a, b platí (af + bg) = a ˆf + bĝ. Lemma... (O změně měřítka) Pro f L 1 C a R > 0 označme f R (x) = f(rx) (tedy f R je původní funkce vyjádřená v jiné volbě jednotek). Pak f R (ξ) = 1 R ˆf( ξ R ). Důkaz: Z definice f R (ξ) = Substitucí y = Rx dostaneme f R (x)e iξx dx = f(y)e i ξr y 1 R dy = 1 R f(rx)e iξx dx. f(y)e i ξ R y dy = 1 R ˆf( ξ R ). Lemma..3. (O Fourierově transformaci derivace). Nechť f L 1 C, f L 1 C a lim x ± f(x) = 0. Pak (f )(ξ) = iξ ˆf(ξ). Derivování se tedy Fourierovou transformací převádí na obyčejné násobení faktorem iξ. Důkaz: Integrováním per partes dostaneme (f )(ξ) = f (x)e iξx dx = [e iξx f(x)] ( iξ) f(x)e iξx dx = iξ ˆf(ξ). Obecně, je-li f, f,..., f (k) L 1 C a lim x ± f j (x) = 0 pro j = 0, 1,..., k 1, pak k-násobným integrováním per partes dostaneme (f (k) )(ξ) = (iξ) k ˆf(ξ). 17

Lemma..4. (O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f L 1 C a g(x) = xf(x) L 1 C. Pak ˆf(ξ) je diferencovatelná a platí d ˆf dξ = iĝ(ξ). Důkaz: Derivováním vztahu ˆf(ξ) = podle parametru ξ dostaneme f(x)e iξx dx d ˆf dξ (ξ) = f(x)( ix)e iξx dx = i [f(x)x] e iξx dx = iĝ(ξ). Pro f, g L 1 je jejich konvoluce definována vztahem f g(x) = f(x y)g(y)dy. Substitucí y = x y dostaneme alternativní vyjádření f g(x) = f(y)g(x y)dy = g f(x). Konvoluce je tedy komutativní operace. Lemma..5. (O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g L 1 (R). Pak f g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ). Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme f g(ξ) = ( f(x y)g(y)dy)e iξx dx = = e iξx f(x y)g(y)dydx = R e iξ(x y) f(x y)e iξy g(y)dydx = R 18

( ) = e iξ(x y) f(x y)dx e iξy g(y)dy = ˆf(ξ) e iξy g(y)dy = ˆf(ξ)ĝ(ξ). Lemma..6. (O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť f L 1 C. Pro a > 0 označme f a (x) = f(x a). Pak ˆf a (ξ) = ˆf(ξ)e iaξ. Naopak, fe iax (ξ) = ˆf(ξ a). Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x a dostaneme ˆf a (ξ) = Naopak, fe iax (ξ) = f(x a)e iξx dx = f(y)e iξ(y+a) dy = e iaξ f(y)e iξy dy = = e iaξ ˆf(ξ). f(x)e iax e iξx dx = f(x)e i(ξ a)x dx = ˆf(ξ a). Důsledek..7. Nechť Fourierova transformace funkce f(x) je F (ξ). Pak Fourierova transformace funkce f(x) sin ωx je rovna i [F (ξ + ω) F (ξ ω)]. Tento vztah s obvykle nazývá modulační identita (f je původní signál, ω je nosná frakvence, součin f(x)e iωx je namodulovaný signál Důkaz: Víme, že a sin ωx = eiωx e iωx i f(x)e iωx (ξ) = ˆF (ξ ω). 19

Tedy f(x) sin ωx(ξ) = 1 i [F (ξ ω) F (ξ + ω)] = i [F (ξ + ω) F (ξ ω)]. Lemma..8. (Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li f(x) = 1 π e x, pak ˆf(ξ) = e ξ. Důkaz: Označme opět F (ξ) = ˆf(ξ). Máme f (x) = 1 π xe x = xf(x). Na jedné straně je ( xf(x)) = f (ξ) = iξf (ξ), podle lemmatu o transformaci derivace, na druhé straně, z lemmatu o derivaci transformace, je Celkem F splňuje rovnici ( ixf)(ξ) = F (ξ). F (ξ) = ξf (ξ). Separací proměnných dostaneme řešení F (ξ) = Ce ξ. Konstanta C je rovna hodnotě ˆf v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu ˆf(0) = 1 π 0 e x dx = 1.

Příklad..9. Označme jako H(x) Heavisideovu funkci, tedy H(x) = 1 pro x 0 a H(x) = 0 pro x < 0. Je-li pro nějaké a > 0, pak Opravdu, ˆf(ξ) = Dále uvažujme funkci 0 f(x) = e ax H(x) ˆf(ξ) = 1 a + iξ. e ax e iξx dx = 0 e (a+iξ)x dx = = 1 a + iξ [e (a+iξ)x ] 0 = 1 a + iξ. f(x) = e a x. Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako Její Fourierova transformace je rovna f(x) = H(x)e ax + H( x)e ax. ˆf(ξ) = 1 a + iξ + 1 a iξ = a a + x. Věta..10. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g L 1 C. Pak platí fĝ = ˆfg. Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme f(x)ĝ(x)dx = R f(x)g(y)e ixy dydx = g(y) f(x) g(y)e ixy dydx = f(x)e ixy dxdy = g(y) ˆf(y)dy. 1

Důležitá pro aplikace je následující věta o inverzní transformaci. Plyne z ní, že charakteriskická funkce jednoznačně určuje rozdělení náhodné veličiny. Věta..11. ( O inverzní transformaci) Nechť f L 1 C, f je stejnoměrně spojitá a ˆf L 1 C. Pak f (x) lze vypočítat z ˆf (ξ) vztahem f(x) = 1 ˆf(ξ)e iξx dξ. π.3 Věta o inverzní transformaci K důkazu Věty o inverzní transformaci budeme potřebovat aproximaci identity..3.1 Aproximace identity Definice.3.1. Nechť φ L 1 (R), φ(x) 0 a φ(x)dx = 1. Pak systém funkcí φ ε (x) = 1 ε φ(x ε ) pro ɛ > 1 se nazývá aproximací identity příslušnou funkci φ. Z definice ihned plyne, že pro všechna ε platí φ ε (x)dx = 1. V našem případě vezmeme za φ Gaussovu funkci φ(x) = 1 π e x, tedy φ ε (x) = 1 πε e x ε. Následující lemma odůvodňuje termín aproximace identity.

Lemma.3.. Nechť φ ε je aproximace identity a f je spojitá omezená funkce na R. Pak f φ ε (x) konverguje (stejnoměrně na kompaktních intervalech ) k f(x) pro ε 0. Důkaz: Nechť f(x) M pro x R. Máme f φ ε (x) f(x) = [f(x y) f(x)]φ ε (y)dy = [f(x εy ) f(x)]φ(y )dy, kde jsme použili substituci y = εy. Nechť δ > 0 je dáno. Vezměme R tak velké, že φ(y)dy < δ, a dále ε > 0 tak, aby y / R,R f(x εy) f(x) < δ pro y R, R. Máme tedy [f(x εy ) f(x)]φ(y )dy R,R [f(x εy ) f(x)] φ(y )dy + + [f(x εy ) f(x)]φ(x)dy δ + (M + 1)δ = Mδ. y / R,R Tedy f φ ε (x) f(x) pro ε 0. Z nezávislosti odhadu na x plyne stejnoměrná konvergence na kompaktních intervalech..3. Důkaz věty o inverzní transformaci V této kapitole uvedeme důkaz věty o inverzní transformaci, založený na aproximaci identity zavedené v předchozí části. Věta.3.3. Nechť f L 1 C, f je stejnoměrne spojitá a ˆf L 1 C. Pak f(x) = 1 π ˆf(ξ)e iξx dξ. Důkaz: Označme Nechť x R je libovolný pevně zvolený bod a ε > 0 je dáno. φ(ξ) = 1 π e iξx ε ξ. 3

Víme, že tedy kde ˆφ(y) = 1 (y x) e ε ε, ˆφ(y) = 1 ε x y πg( ), ε g(u) = 1 π e u. Budeme uvažovat aproximaci identity příslušnou této funkci a použijeme základní identitu pro Fourierovu transformaci na funkce f a φ. Na jedné straně je Na druhé straně f ˆφ = π ˆfφ = 1 π e ε ξ e ixξ ˆf(ξ)dξ. f(y)g ε (x y)dy = πf g ε (x). Víme, že f g ε (x) f(x) stejnoměrně na kompaktech. Ale pro x pevné je e ε ξ e ixξ ˆf(ξ)dξ e ixξ ˆf(ξ) pro ε 0, neboť první člen pod integrálem konverguje k jedné. Celkem tedy pro ε 0 dostaneme f(x) = 1 π ˆf(ξ)e iξx dξ. Definice.3.4. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem ˇf(ξ) = 1 π f(x)e iξx dξ. Podle předchozí věty je inverzní Fourierova transformace opravdu inverzní operací k Fourierově transformaci, platí tedy ˇ ( ˆ f ) = f. 4

Pro aplikace v teorii pravděpodobnosti je klíčový následující důsledek. Důsledek.3.5. Charakteristická funkce jednoznačně určuje hustotu náhodné veličiny. 5

.4 Příklady Příklad.4.1. Vypočtěte generující funkci geometrického rozdělení Příklad.4.. Vypočtěte Laplaceovu transformaci funkce sin x, t.j. 0 e sx sin xdx Příklad.4.3. Najděte charakteristickou funkci stejnoměrného rozdělení na intervalu [ 1, 1]. Příklad.4.4. Dokažte, že obecný moment náhodné veličiny můžeme vyjádřit pomocí charakteristické funkce, vztahem E(X k ) = ( i) k φ (k) X (0). Příklad.4.5. Vypočtěte charakteristickou funkci exponenciálního rozdělení s hustotou f(x) = λe λx. 6

Kapitola 3 Základy L -teorie 3.1 Prostor L ( a, b ) V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami v C a prostor obsahující funkce, pro které b a L ( a, b ) f(x) dx <. L ( a, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná analogie Euklidovského prostoru) se skalárním součinem (f, g) = b a f(x)g(x)dx. Skalární součin indukuje, stejně jako v Euklidovském prostoru, na L ( a, b ) normu ( b f = a ) 1 f(x) dx a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo ( b ) 1 ρ(f, g) = f g = f(x) g(x) dx. Definice 3.1.1. Systém funkcí {φ k } k=0 se nazývá ortogonální systém, jestliže a (φ n, φ m ) = 0 7

pro každé n m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí pro všechna n N. (φ n, φ n ) = 1 Definice 3.1.. Nechť {φ k } k=0 je ortonormální systém. Čísla c k = b a f(x) φ k (x)dx se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φ k } k=0. Formální funkční řada se nazývá Fourierova řada. c k φ k k=0 Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce f N = N c k φ k. k=0 Zajímá nás, za jakých podmínek konverguje f N pro N k funkci f. Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L. Následující lemma ukazuje, že f N je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními kombinacemi funkcí φ 1, φ,... φ N. Lemma 3.1.3. Nechť {φ k } k=0 je ortonormální systém a f L. Pak pro libovolná komplexní čísla d 1,..., d N platí N f d j φ j f f N. j=0 Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li d j = c j pro všechna j = 0,..., N. Důkaz: Máme N N N f d j φ j = (f d j φ j, f d j φ j ) = j=0 j=0 j=0 8

N N N N = (f, f) (f, d j φ j ) ( d j φ j, f) + ( d j φ j, d j φ j ) = j=0 j=0 j=0 j=0 N N N = f c j dj c j d j + d j dj = j=0 j=0 j=0 N N = f + c j d j c j. j=0 j=0 První a poslední člen nezávisí na koefientech d j, prostřední člen je nezáporný a minimalizuje se právě tehdy, když d j = c j pro j = 0,..., N. Lemma 3.1.4. Fourierova řada c k φ k k=0 konverguje v normě L k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost c j = f. j=0 Ve dvoudimenzionálním prostoru se Parsevalova rovnost redukuje na Pythagorovu větu. Pro dvě funkce platí Parsevalova rovnost ve tvaru (f, g) = b f (x) g (x) = a k=0 c k d k, kde c k jsou Fourierovy koeficienty funkce f, d k jsou Fourierovy koeficienty funkce g a obě Fourierovy řady funkcí f a g konvergují. Definice 3.1.5. Ortonormální systém je úplný jestliže platí: Pokud pro nějakou funkci g L ([a, b]) platí (g, φ k ) = 0 pro všechna k = 0, 1,..., pak g = 0. Tedy neexistuje nenulová funkce kolmá na všechny prvky systému. Lemma 3.1.6. Fourierova řada konverguje pro každou funkci f L ([a, b]) právě tehdy, když systém {φ k } k=0 je úplný. 9

3. Úplnost a Parsevalova rovnost Definice 3..1. Ornonormální systém {φ k } k=0 se nazývá úplný, jestliže platí: pokud je pro nějakou funkci (f, φ n ) = 0 pro všechna n, pak f = 0. Neexistuje tedy nenulová funkce kolmá na všechny φ n. Věta 3... Nechť {φ k } k=0 je úplný ortonormální systém a (c k) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Pak c k φ k konverguje v normě L k funkci fa platí tedy Parsevalova rovnost c j = f. Důkaz: Víme, že j=0 k=0 c j <, j=0 podle Besselovy nerovnosti. Funkce f je tedy rovna funkci z Riesz-Fischerovy věty. Z úplnosti systému totiž plyne, že koeficienty (c k ) určují f jednoznačně. Je-li také g (c k ), pak (f g) (0), a tedy f = g. Věta 3..3. Nechť f a g jsou funkce z L, kde f (c k ), g (d k ). Pak platí b fḡdx = c j dj. a Tedy zobrazení f (c k ) z L do l je izomorfismus (zachovává skalární součin). Důkaz: Je b Ale pro n je f n Celkem tedy a f n ḡdx = j=0 n b c m φ m ḡdx = j=0 a n c j dj. j=0 f v L a pravá strana konverguje k j=0 c j d j. b a fḡdx = c j dj. j=0 30

3..1 Úplnost a uzavřenost Nechť {φ k } k=0 je systém funkcí z L. Označme φ k prostor všech konečných lineárních kombinací funkcí z {φ k } k=0, t.j. g φ k g = n d k φ k k=0 pro nějaké n N a d k C. Definice 3..4. Systém {φ k } k=0 se nazývá uzavřený, jestliže prostor φ k je hustý podprostor L. Věta 3..5. {φ k } k=0 je úplný právě tehdy, když je uzavřený. Důkaz: Tvrzení stačí dokázat pro ortonormální systém, neboť každý systém lze ortonormalizovat. Nechť {φ k } k=0 je úplný systém a f L. Podle Věty 1.4. je f n f v L, ale f n φ k, tedy φ k je hustý. Naopak, nechť {φ k } n k=0 je hustý a f L má všechny Fourierovy koeficienty rovny nule, t.j. (f, φ n ) = 0 pro všechna n. Z hustoty plyne existence posloupnosti funkcí Φ n φ k tak, že Φ n f v L, t.j. Φ n f 0 pro n. Ale f n jsou nejlepší aproximací, tedy i f n f. Ale f n = 0, tedy i f = 0. Odtud plyne, že {φ k } k=0 je úplný systém. 3.3 Borel-Cantelliho lemma Pro počítání s nekonečnými posloupnostmi jevů a náhodných veličin je důležitým nástrojem Borel-Cantelliho lemma. Lemma 3.3.1. (Borel-Cantelli ) Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Nechť A n Ω, n = 1,,... je posloupnost jevů. Označme jako A jev, že nastává nekonečně mnoho A n, tedy A = A m. Pak platí: n=1 m=n 31

1. Jestliže P (A n ) < n=1 (tj. řada konverguje), pak P (A) = 0.. Jestliže P (A n ) = n=1 (tj. řada diverguje) a A n jsou nezávislé, potom P (A) = 1. Důkaz: Platí Máme pro všechna n. Tedy Ale ω A ω 0 P (A) P A m pro všechna n = 1,,... m=n A ( m=n m=n A m A m ) P (A m ) n=m P (A m ). n=m je limita částečných součtů a z definice konvergence tedy platí P (A m ) 0 m=n pro n, čímž je první tvrzení dokázáno. Pro důkaz druhé části, musíme dokázat, že P ( A C) = 0, kde A C = n=0 m=n A C m. Máme tedy s využitím nezávislosti a odhadu 1 x e x pro x 0, ( ) ( r ) P A C m = lim P A C m = (1 P (A m )) exp( P (A m )) = r m=n m=n m=n 3 m=n

= exp( kdykoliv m=n P (A m) =. Tedy P (A m ) = 0 m=n P (A C ) = lim n P ( neboli P (A) = 1, což jsme chtěli dokázat. m=n A C m ) = 0, 33

3.4 Příklady Příklad 3.4.1. Dokažte, že funkce e inx a e imx, pro dvě různá celá čísla n, m, jsou na sebe kolmé na intervalu ( π, π). Příklad 3.4.. Najděte polynom druhého stupně který je kolmý na funkci f(x) = x na intervalu ( 1, 1). Příklad 3.4.3. Pomocí Gramm-Schmidtova procesu najděte ortonormální bázi prostoru polynomů druhého stupně na intervalu (0, 1). Příklad 3.4.4. Najděte nenulovou lineární funkci, která je kolmá na funkci f(x) = e x na intervalu (0, e). 34

Kapitola 4 Wienerův proces V této kapitole se budeme zabývat Wienerovým procesem, který slouží jako základní kámen spojitých modelů ve finanční matematice. Historie tohoto procesu těsně souvisí s historií finanční matematiky. Jako první tento proces použil Louis Bachelier v roce 1900, když ve své dizertaci odvodil první vzorec pro cenu opce. Model i výsledek jsou překvapivě blízko o mnoho pozdějšímu modelu Blacka a Scholese. Bachelierova práce ve skutečnosti upadla v zapomenutí a v šedesátých letech ji znovuobjevil významný americký matematik J. Savage, který s ní seznámil ekonomickou komunitu. 4.1 Definice Wienerova procesu Definice 4.1.1. Reálný stochastický proces W (t) na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) se nazývá Wienerův proces, jestliže platí: 1. W (0) = 0.. (spojitost trajektorií) S pravděpodobností 1 je funkce t W (t) spojitá v t. 3. (nezávislost a normalita přírůstků) Přírůstky W (t) W (s) mají rozdělení N (0, t s). Pro libovolné 0 < t 1 < t <... < t n jsou přírůstky W (t 1 ), W (t ) W (t 1 ),..., W (t n ) W (t n 1 ) navzájem nezávislé. V následujícím textu budeme považovat pojmy Wienerův proces a Brownův pohyb za synonyma, stejně tak budeme zaměňovat značení W (t) a W t. 35

Nejdříve se budeme zabývat otázkou, zda takový proces vůbec existuje, a ukážeme si jednu z možných konstrukcí Wienerova procesu. 4. Haarovy a Schauderovy funkce Wienerův proces zkonstruujeme jako náhodný součet tzv. Schauderových funkcí, které vzniknou jako integrál z Haarových funkcí. Definice 4..1. Pro t [0, 1] definujeme Haarovy funkce {h k (t)} k=0 následujícím způsobem. Pro k = 0 položíme pro t [0, 1]. Dále h 1 (t) = h 0 (t) = 1 Pro n > 1 nejdříve vyjádříme n ve tvaru { 1 pro t [ ] 0, 1 1 pro t ( 1, 1] n = j + k kde j 0, 0 k < j (tzv. dyadické vyjádření čísla n), a definujeme h n (t) = j h1 ( j t k ). j je normalizační konstanta, faktor j představuje změnu měřítka a k posun (určuje polohu nosiče). Připomeňme v této souvislosti pojem nosič funkce, supp f = {x R; f (x) 0}. Například, supp (h 4 ) = [ 0, 1 ]. 4 36

Pro n = 73 máme dyadické vyjádření 73 = 64 + 9 = 6 + 9, tedy úroveň je j = 6 a poloha je k = 9. Podobně pro n = 51 je 51 = 3 + 19 = 5 + 19, tedy úroveň je j = 5 a poloha je k = 19. Věta 4... L ([0, 1]). Funkce {h k } k=0 tvoří úplný, ortonormální systém v prostoru Důkaz: Nejdříve dokážeme ortogonálnost, tedy h n, h m = 0 pro m n. Nechť n = j + k a m = j + k. Pro j = j je supp (h n ) supp (h m ) buď prázdná nebo jednobodová množina. Tedy 1 0 h n (x) h m (x) dx = 1 0 0 dx = 0. Pro j j musíme uvažovat dva případy, disjunktní a nedisjunktní nosiče h n a h m. V prvním případě je opět součin identická nula. V druhém případě předpokládejme bez újmy na obecnosti že m > n. Nosič h m musí ležet v intervalu, kde h n je konstantní, tedy 1 0 h n h m = ± j 1 0 h m = 0. Dále ukážeme, že h n, h n = 1, tedy ortonormalitu systému. Pro n = 1 máme Pro n > 1 dostaneme h n = h 1 = 1 0 1 0 h n (x) dx = h 1 (x) dx = 1 0 ( ) j 1 37 0 1dx = 1. h 1 ( j t k ) dt.

Po substituci u = j t k dostáváme ( ) j 1 0 h 1 ( j t k ) dt = j k k h 1 (u) du = 1 0 h 1 (u) du = 1. Úplnost systému plyne z jeho uzavřenosti. Pro každé f L ([0, 1]) existuje posloupnost konečných lineárních kombinací funkcí z {h k } k=0, která konverguje k f. Opravdu, z Haarových funkcí jako lineární kombinace dostaneme funkce po částech konstantní na dyadických intervalech, pomocí kterých můžeme libovolně dobře aproximovat funkce spojité. Na druhé straně, spojité funkce tvoří hustou podmnožinu v L. Odtud plyne tvrzení. Integrováním Haarových funkcí dostaneme Schauderovy funkce. Definice 4..3. vztahem pro t [0, 1]. Pro n = 1,,... definujeme n-tou Schauderovu funkci s n (t) = t 0 h n (s) ds Grafem n-té Schauderovy funkce je rovnoramenný trojúhelník, jehož výška je 1 j+1 j = j j 1 = j 1. 4.3 Ciesielskiho konstrukce Následující dvě technická lemmata jsou potřeba k důkazu spojitosti trajektorií v Ciesielskiho konstrukci. Lemma 4.3.1. Nechť {a k } k=1 je posloupnost reálných čísel, 0 δ < 1 a nechť platí a k = O ( k δ), tedy existuje konstanta c > 0 tak, že a k ck δ. Pak řada k=1 a ks k (t) konverguje stejnoměrně pro t [0, 1]. Důkaz: nosiče. Položme Zvolme ε > 0. Pro n k < n+1 mají funkce s k (t) disjunktní Pak pro 0 t 1 platí: b n = max a k c ( n+1) δ. n k< n+1 38

k= m a k s k (t) n=m pro dostatečně velké m, neboť δ 1 konverguje. b n n max k< n+1 s k (t) c = c (δ 1) n(δ 1 ) < ε n=m < 0 a tedy řada n(δ 1 ) n=1 ( ) n+1 δ n 1 = Lemma 4.3.. Nechť {A k } k=1 jsou nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) s rozdělením N (0, 1). Pak pro skoro všechna ω Ω platí, že A k = O ( log k ) pro k (tedy existuje c R tak, že A k c log k). Důkaz: Pro x > 0 a k = 1,,... máme: n=m P ( A k > x) = 1 x e s 1 ds + e s ds = π π = π x e s ds e x 4 π pro nějakou konstantu c, protože e s 4 např. c = π e s 4 ds. Položme x = 4 log k. Potom P Protože řada k=1 P x x e s 4 ds ce x 4 je klesající na [x, ). Můžeme vzít ( A k > 4 ) log k ce 4 log k = c 1 k. 4 1 k 4 konverguje, z Borel-Cantelliho lemmatu máme ( A k > 4 ) log k pro nekonečně mnoho k = 0. Tedy pro skoro všechna ω je A k c log k pro nějakou konstantu c. 39

Věta 4.3.3. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak Cov (W (t), W (s)) = E (W (t) W (s)) = min (t, s). Důkaz: Nechť s t 0. Máme E (W (t) [W (t) + (W (s) W (t))]) = E ( W (t) ) +E (W (t) [W (s) W (t)]) = = t = min (t, s), protože E (W (t)) = t z definice a E (W (t) [W (s) W (t)]) = 0 z nezávislosti přírůstků. Věta 4.3.4. Pro libovolná 0 s, t 1 platí s k (s) s k (t) = min (s, t). k=1 Důkaz: Pro libovolné pevné s [0, 1] definujeme funkce { 1 pro τ s g s (τ) = 0 pro s < τ 1. Podle Parsevalovy rovnosti (protože Haarovy funkce tvoří ortonormální úplný systém v L ([0, 1])) máme pro s t: s = 1 0 g t (x) g s (x) dx = a k b k, 0 kde pro koeficienty a k, b k platí a a k = g t, h k = b k = g s, h k = 1 1 g t (x) h k (x) dx = t 0 0 g s (x) h k (x) dx = s 0 0 h k (x) dx = s k (t) h k (x) dx = s k (s). 40

Celkem tedy min (s, t) = s = 0 s k (t) s k (s). Věta 4.3.5. (Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu): Nechť {A k } k=1 je posloupnost nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1), definovaných na daném pravděpodobnostním prostoru. Pak součet W (t, ω) = A k (ω) s k (t) k=1 pro 0 t 1 konverguje stejnoměrně v t pro skoro všechna ω, a W (t, ω) je Wienerův proces. Důkaz: Stejnoměrná konvergence plyne z předchozích lemmat. Ze stejnoměrné konvergence řady spojitých funkcí plyne spojitost trajektorie procesu t W (t, ω). Musíme ověřit, že W (t, ω) je Wienerův proces. Zřejmě W (0) = 0, protože s k (0) = 0 pro všechna k. Dále pomocí charakteristické funkce dokážeme, že W (t) W (s) pro s < t má rozdělení N (0, t s). Nechť s < t. Z definice W, nezávislosti A k N (0, 1) a znalosti charakteristické funkce rozdělení N(0, 1), máme E [ e iλ(w (t) W (s))] = E = E [ e ] iλa k(s k (t) s k (s)) = k=1 E ( e ita k) = e t, [ ] e iλ k=1 A k(s k (t) s k (s)) = E( = e λ k=1 [ ] e iλa k (s k (t) s k (s)) ) = k=1 e λ [s k(t) s k (s)] = e λ k=1 [s k(t) s k (s)] = k=1 s k (t) s k(t)s k (s)+s k (s). Trojnásobným použitím pomocného tvrzení dostaneme s k (s) s k (t) = min (s, t) k=1 41

e λ k=1 s k (t) s k(t)s k (s)+s k (s) = e λ [t s+s] = e λ [t s]. To je ale charakteristická funkce rozdělení N (0, t s). Z jednoznačnosti charakteristické funkce plyne W (t) W (s) N (0, t s). Zbývá dokázat nezávislost přírůstků. Protože přírůstky mají normální rozdělení, stačí dokázat nekorelovanost, pro i j. E ([W (t i+1 ) W (t i )] [W (t j+1 ) W (t j )]) = 0 Nejdříve vypočteme z definice W pro s < t E [W (t) W (s)] = [( ) ( E A )] k (ω) s k (t) A k (ω) s k (s) = k=1 k=1 [( = E protože z nezávislosti pro k l. Tedy = k=1 ( = E )] A k (ω) A l (ω) s k (t) s l (s) = l=1 k=1 [ A k (ω) ] s k (t) s k (s)), E(A k (ω) A l (ω)) = 0 ( [ E A k (ω) ] ) s k (t) s k (s) = k=1 E [ A k (ω) ] s k (t) s k (s) = k=1 s k (t) s k (s) = min (t, s) = s, neboť A k N (0, 1). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat t i < t j. Z předchozího výpočtu máme k=1 E ([W (t i+1 ) W (t i )] [W (t j+1 ) W (t j )]) = 4

= E [W (t i+1 ) W (t j+1 ) W (t i ) W (t j+1 ) W (t i+1 ) W (t j ) + W (t i ) W (t j )] = = t i+1 t i t i+1 + t i = 0. Přírůstky jsou tedy nekorelované a tím pádem nezávislé. Analogicky se dokáže vzájemná nezávislost více než dvou přírůstků, s využitím vlastností vícerozměrného normálníého rozdělení. 43

4.4 Příklady Příklad 4.4.1. Nakreslete graf Haarovy funkce h 11 a h 1. Příklad 4.4.. Najděte nosič Schauderovy funkce s 7 a s 17. Příklad 4.4.3. Nechť W (t) je standardní Wienerův proces. Dokažte, že pro libovolné k > 0 je proces X(t) = 1 k W (k t) také standardní Wienerův proces. Příklad 4.4.4. Vypočtěte skalární součin funkcí s 9 a s 17. Příklad 4.4.5. Dokažte úplnost systému Haarových funkcí v prostoru L ([0, 1]). (nápověda: stačí dokázat hustotu lineárních kombinací Haarových funkcí v prostoru spojitých funkcí) 44

Kapitola 5 Lineární a kvadratická variace V této kapitole se budeme zabývat základní mírou variability funcí. Ukazuje se, že pro charakterizaci trajektorií Wienerova procesu klasický pojem lineární variace nevyhovuje, protože s pravděpodobností jedna všechny trajektorie mají nekonečnou lineární variaci. Proto zavedeme pojem kvadratické variace, která již poskytuje konečnou a nenulovou míru variability trajektorie Wienerova procesu. 5.1 Lineární variace Variace je míra proměnlivosti (variability) funkce na daném intervalu. Nechť f : [a, b] R je spojitá funkce a nechť D = {a = t 1 < t <... < t n = b} je dělení intervalu [a, b]. Lineární variace vzhledem k dělení D je definována jako n 1 LV (f, D) = f (t j+1 ) f (t j ). j=1 Definice 5.1.1. Lineární variace funkce f je definována jako limita kde D je norma dělení, tj. LV (f) = D = max j lim LV (f, D), D 0 45 t j+1 t j.

Příklad 5.1.. Funkce f (x) = x na intervalu [0, 1] má lineární variaci LV (f) = f (1) f (0) = 1. Opravdu, máme f (t j+1 ) f (t j ) > 0 pro všechna j, neboť f je rostoucí. Lineární variace je tedy n 1 LV (f, D) = (f (t j+1 ) f (t j )) = j=1 = f (t n ) f (t 1 ) = f (b) f (a) = f (1) f (0). Obecně, je-li f monotonní na [a, b], pak LV (f) = f (b) f (a). Příklad 5.1.3. Vypočtěte lineární variaci funkce sin x na intervalu [0, π]. Funkce je po částech monotonní na jednotlivých podintervalech délky π, na každém z nich je variace rovna jedné. Sečtením jednotlivých variací dostáváme LV (f) = 4. Nechť f : [0, T ] R je diferencovatelná funkce nabývající extrémů v bodech t 1 a t. Pak LV (f) = f (t 1 ) f (0) + f (t ) f (t 1 ) + f (T ) f (t ) = = t1 0 f (x) dx t T f (x) dx + f (x) dx = t 1 t T 0 f (x) dx. Obecně, je-li f diferencovatelná, pak podle věty o střední hodnotě pro každý podinterval [t k, t k+1 ] existuje bod t k uvnitř tohoto intervalu tak, že f (t k+1 ) f (t k ) = f (t k) (t k+1 t k ), tedy n 1 n 1 f (t k+1 ) f (t k ) = f (t k) (t k+1 t k ), k=1 k=1 46

což je přibližný součet z definice Riemannova integrálu. Limitním přechodem dostaneme LV (f) = n 1 lim D 0 k=1 f (t k+1 ) f (t k ) = T 0 f (t) dt. Pro trajektorie Wienerova procesu není lineární variace užitečný pojem, protože je rovna nekonečnu pro skoro všechny trajektorie. 5. Kvadratická variace Definice 5..1. Nechť D = {t 1,..., t n } je dělení intervalu [0, T ], tedy 0 = t 1 < t <... < t n = T. Kvadratickou variaci funkce f na intervalu [0, T ] definujeme jako pokud limita existuje. KV (f) = n 1 lim D 0 k=1 (f (t k+1 ) f (t k )), Lemma 5... Nechť f je diferencovatelná funkce na [0, T ], pak KV (f) = 0. Důkaz: Máme n 1 lim D 0 k=1 KV (f) = n 1 lim D 0 k=1 (f (t k+1 ) f (t k )) = f (t k) (t k+1 t k ) lim D n 1 D 0 k=1 T lim D (f (t)) dt = 0, D 0 0 neboť integrál T 0 (f (t)) dt je konečný. f (t k) (t k+1 t k ) = K výpočtu kvadratické variace trajektorie Wienerova procesu budeme potřebovat následující lemma. 47

Lemma 5..3. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak E ( W (t) ) = t E ( W 4 (t) ) = 3t. Důkaz: Z definice víme, že W (t) W (s) N (0, t s). Speciálně pro s = 0 je W (t) N (0, t), tedy E (W (t)) = 0 a E (W (t)) = t. Dále, N (0, t) má hustotu 1 πt e x t. Ze vztahu E (g (X)) = g (x) f (x) dx máme E ( W 4 (t) ) = 1 e x t x 4 dx = 1 πt πt e x t x 4 dx = 1 ( [ ] e x t ( t) x 3 πt = 1 [ ] e x t ( t) x 3 πt = 0 + 1 ( [ ] 3t e x t ( t) x + πt Využili jsme toho, že = 3t [e x t ( t) x 3 ] = 0, jelikož exponenciála klesá rychleji než roste libovolná mocnina x. Věta 5..4. + x e + 1 πt 3t x e t (t) dx ) 1 e x t dx = 3t. πt ) t t3x dx x e t x dx = 1 πt 3t x e t dx = Nechť W (t) je Wienerův proces na intervalu [0, T ] a nechť D = {0 = t 1 < t <... < t n = T } je dělení intervalu [0, T ]. Pak n 1 (W (t k+1 ) W (t k )) T k=1 pro D 0 v L -normě. Důkaz: Označme W k = W (t k+1 ) W (t k ) a t k = t k+1 t k. Chceme 48

dokázat, že E ( n 1 ) ( W k ) T 0 k=1 pro D 0 (tj. konvergenci v L ). Máme E ( n 1 [ ( Wk ) (t k+1 t k ) ]) n 1 = E( Wk 4 (t k+1 t k ) Wk + k=1 n 1 + (t k+1 t k ) ( ) = 3 (tk+1 t k ) (t k+1 t k ) + (t k+1 t k ) ) = pro D 0. k=1 k=1 n 1 n 1 = (t k+1 t k ) D (t k+1 t k ) = D T 0 k=1 k=1 Tedy trajektorie Wienerova procesu mají kvadratickou variaci rovnu T (všechny stejnou). Důsledek 5..5. Trajektorie Wienerova procesu mají nekonečnou lineární variaci. Důsledek 5..6. Trajektorie Wienerova procesu nejsou diferencovatelné na žádném podintervalu. Pozoruhodné na předchozích výsledcích je, že na jedné straně trajektorie Wienerova procesu je náhodná, ale veličina lim ( Wk ) t 0 je deterministická (nezávisí na trajektorii) a rovná se T (stejná pro všechny trajektorie). To je matematický smysl heuristické formule ( W ) = t. 49

5.3 Příklady Příklad 5.3.1. Vypočtěte lineární variaci funkce sin 5x na intervalu (0, π) Příklad 5.3.. Dokažte, že funkce sin 1 x intervalu (0, 1) nemá konečnou lineární variaci na Příklad 5.3.3. Vypočtěte lineární variaci funkce x sin 1 x na intervalu (0, π) Příklad 5.3.4. Vypočtěte E(W 6 t ), buď přímým výpočtem, nebo s použitím následující úlohy. Příklad 5.3.5. Nechť W t je standardní Wienerův proces. Označme m k (t) = E(W k t ). Dokažte, že platí pro k m k (t) = 1 t k(k 1) m k (s)ds 0 50

Kapitola 6 Itôův integrál a Itôovo lemma V této kapitole budeme definovat stochastický integrál. Ukazuje se, že na rozdíl od klasického integrálu bude definice záviset na volbě dělícího bodu, ve kterém bereme hodnotu integrované funkce. Pro aplikace ve finanční matematice dostaneme smysluplnou definici jen v případě že za dělící bod vezmeme levý krajní bod intervalu, což vede ke stochastickému integrálu ve smyslu K. Itô. Jedině při této definici má výsledný proces vlastnost martingalu, a je adaptovaný přirozené filtraci, tedy čerpá informace jen z minulosti. Druhá přirozená definice vede ke Stratonovičově integrálu, který má využití v jiných aplikacích, především v inženýrství. 6.1 Itôův integrál Je-li f hladká funkce, pak můžeme přirozeně definovat integrál podle přírůstků funkce f, b a g (u) df (u) = b a g (u) f (u) du = lim D 0 n g (t i ) (f (t i ) f (t i 1 )), kde a = t 0 < t 1 <... < t n = b je dělení intervalu [a, b]. Integrál je tzv. Stieltjesův integrál. b a g (u) df(u) 51 i=1

Pro aplikace ve financích chceme analogický integrál podle přírůstků Wienerova procesu W t, b a f (t, ω) dw t (ω). Trajektorie Wienerova procesu ale není hladká funkce, je tedy otázka jaký smysl má dw t. Stieltjesův a stochastický integrál se tedy liší ve dvou aspektech: integrál je náhodná veličina (výsledek závisí na trajektorii Wienerova procesu) W t není hladká, s pravděpodobností 1 nemá trajektorie derivaci v žádném bodě. Příklad 6.1.1. (motivační) Nechť W t (ω) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω. Nechť f (t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω. Pak f (t, ω) (W t+1 W t ) = f (t, ω) W je zisk ze strategie v časovém intervalu [t, t + 1]. Součtem hodnot jednotlivých zisků dostaneme v limitě integrál b fdw který představuje zisk ze a strategie v časovém intervalu [a, b]. Příklad 6.1.. (závislost na volbě vnitřního bodu) Mějme dělení intervalu [0, T ], D = {0 = t 0 < t 1 <... < t n = T } a nechť D = Pro pevné λ [0, 1] položme max t j+1 t j. j {0,...,n 1} τ k = (1 λ) t k + λt k+1 pro k = 0,..., n 1. Pro λ = 0 dostaneme levý krajní bod τ k = t k, pro λ = 1 dostaneme prostředek τ k = 1 (t k + t k+1 ) a pro λ = 1 dostaneme pravý krajní bod τ k = t k+1. 5

Definujeme Riemannovy součty pro vztahem T 0 W dw Dostaneme n 1 R n = W (τ k ) (W (t k+1 ) W (t k )). k=0 W (τ k ) (W (t k+1 ) W (t k )) = W (τ k ) W (t k+1 ) W (τ k ) W (t k ) = = W (τ k ) W (t k+1 ) ± 1 W (τ k ) ± 1 W (t k ) ± 1 W (t k+1 ) W (τ k ) W (t k ) = = 1 [W (t k+1) W (τ k )] + 1 [W (τ k) W (t k )] + 1 Dále [ W (t k+1 ) W (t k ) ] n 1 R n = W (τ k ) (W (t k+1 ) W (t k )) = 1 n 1 [W (t k+1 ) W (τ k )] + k=0 k=0 + 1 n 1 [W (τ k ) W (t k )] + 1 n 1 [ W (t k+1 ) W (t k ) ]. k=0 k=0 Poslední člen je tzv. teleskopující součet ve kterém se všechny členy s výjimkou prvního a posledního vyruší, a rovná se tedy W (T ) W (0). Pro D 0 podobně jako při výpočtu kvadratické variace máme R n = 1 (1 λ) T + 1 λt + 1 [ W (T ) W (0) ] = W (T ) + ( λ 1 ) T. Dvě přirozené volby hodnoty λ vedou ke dvěma různým stochastickým integrálům: pro λ = 1 máme T 0 W tdw t = W (T )... Stratonovičův integrál, pro λ = 0 máme T 0 W tdw t = W (T ) T... Itôův integrál. Ve financích se používá jen Itôův integrál, protože portfolio musíme sestavit před pohybem ceny 53

6. Filtrace Připomeňme si z diskrétních modelů, že σ-algebra popisuje systém pozorovatelných jevů. Zachyceje tedy informaci které jevy můžeme pozorovat a které ne. Uvažujme standardní příklad s hodem kostkou. Pravděpodobnostní prostor Ω má šest prvků, Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} Uvažujme nejdříve σ-algebru všech podmnožin Ω. Při této σ-algebře jsou pozorovatelné všechny jevy. Informace kterou σ-algebra nese je tedy přímo hodnota která na kostce padla. Na druhé straně, uvažujme menší systém tvořený množinami, Ω, {1, 3, 5}, {, 4, 6} Snadno ověříme uzavřenost na sjednocení a doplňky, je to tedy opět σ- algebra. Při takové σ-algebře jsou pozorovatelné jen dva jevy, že padlo sudé číslo nebo liché číslo. Informace kterou σ-algebra nese je tedy pouze sudost nebo lichost hodnoty která na kostce padla. Následující příklad připomíná použití σ-algeber při popisu vývoje informace v čase. Příklad 6..1. Uvažujme tři časové okamžiky, t = 0, t = 1 a t = a dvoukrokový model trhu. Náš pravděpodobnostní prostor je tvořen množinou všech úplných scénářů Ω = {(++), (+ ), ( +), ( )}. V čase t = 0 jsou určeny pouze jevy Ω a, tedy σ-algebra popisující tuto informaci je F 0 = {, Ω}. V čase t = 1 jsou určeny jevy: F + = {(++), (+ )} a F = {( +), ( )}. Tedy σ-algebra popisující tuto informaci je F 1 = {, Ω, F +, F }. 54

V čase t = jsou určeny všechny jevy (každá podmnožina Ω), tedy σ- algebra popisující tuto informaci je F = exp Ω = { podmnožiny Ω}.. Definice 6... Systém σ-algeber F = {F t, t τ} na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) se nazývá filtrace, pokud pro všechna t τ je F t A a F s F t kdykoliv je s < t. Definice 6..3. Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P ). Filtrace F = {F t, t 0} se nazývá historie Wienerova procesu, jestliže pro každé t > 0 je F t σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W (s, ω) pro s t. F popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase. F t je tedy informace o trajektorii v čase t. Platí Věta 6..4. F t je nejmenší σ-algebra generovaná množinami typu {ω; W (t 1, ω) F 1,..., W (t k, ω) F k }, kde k = 1,,... a t j < t pro všechna j = 1,... k jsou libovolné časy a F j R jsou libovolné Borelovské množiny. Věta 6..5. Funkce h (ω) je F t -měřitelná, kde F je historie Wienerova procesu právě tehdy, když h je bodová limita součtů funkcí tvaru g 1 (W 1 )...g k (W tk ), kde g 1,..., g k jsou omezené spojité funkce, t j t pro j = 1,..., k a k N. Definice 6..6. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P ) a nechť F je historie Wienerova prostoru. Říkáme, že proces {G (t, ω) ; t [0, )} je adaptovaný historii Wienerova procesu (neboli G (t, ω) je neanticipativní ), jestliže pro každé t 0 je funkce ω G (t, ω) F t -měřitelná. Tedy hodnota G (t, ω) závisí jen na historii Wienerova procesu do času t. G (t, ω) nepředvídá proud informací reprezentovaných σ-algebrami F t. 55

Definice 6..7. Stochastický proces S se nazývá jednoduchá funkce na intervalu [0, T ], jestliže existuje dělení D = {0 = t 0 <... < t m = T } tak, že S (t, ω) = S k (ω) pro t k t < t k+1 (k = 0,..., m 1) pro nějaké náhodné veličiny S k. Definice 6..8. Nechť S je jednoduchá funkce. Pak T 0 SdW = m 1 k=0 S k (ω) (W (t k+1, ω) W (t k, ω)) se nazývá Itôův stochastický integrál funkce S na intervalu [0, T ]. Tedy označíme-li W k = (W (t k+1, ω) W (t k, ω)), máme T 0 SdW = m 1 k=0 S k W k. Definice 6..9. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P ). Symbolem M budeme označovat třídu stochastických procesů takových, že: f (t, ω) je neanticipativní, f (t, ω) : [0, ) Ω R f (t, ω) je B A-měřitelná, kde B jsou Borelovské množiny na [0, ), platí P { } T [f 0 (t)] dt < + = 1 Příklad 6..10. (Investiční strategie) V intervalu [t i, t i+1 ) držíme e i (ω) akcií, kde e i (ω) závisí na vývoji ceny W t (ω) do času t i (W t je cena akcie v čase t) kde Φ (t, ω) = χ [ti, t i+1 ) = m 1 i=0 e i (ω) χ [ti, t i+1 ), { 1 pro t [t i, t i+1 ) 0 jinak. 56

Pak Φ (t, ω) je počet akcií, které držíme v čase t (za scénáře ω). Φ je jednoduchá funkce. Integrál T 0 Φ (t, ω) dw t (ω) = m 1 i=0 e i (ω) ( W ti+1 (ω) W ti (ω) ) je náš celkový zisk z této strategie od času 0 do času T. Věta 6..11. (Itôova izometrie): Nechť S je jednoduchá omezená funkce (tedy S k jsou omezené náhodné veličiny). Pak E [ ( ) ] ( T ) S (t, ω) dw T 0 t (ω) = E 0 S (t, ω) dt. Důkaz: Označme W j = W (t j+1, ω) W (t j, ω). Máme z definice E [ ( T 0 SdW ) ] = E = m 1 j=0 = ( m 1 j=0 ) [ m 1 ] m 1 S j W j = E Sj ( W j ) + S i S j W i W j = j=0 E ( m 1 ) Sj Wj + i < j E (S i S j W i ) E ( W j ) = m 1 j=0 E ( S j = E ( m 1 i, j=0 m 1 ) ( ) E W j = j=0 S j (t j+1 t j ) j=0 ) E ( S j ) (tj+1 t j ) = = E [ ] T 0 S dt. i<j Pro obecný proces f M definujeme T f (t, ω) dw limitním přechodem: 0 Lemma 6..1. Nechť f je náhodný proces patřící do třídy M. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí f n M tak, že pro n platí ( ) T E (f 0 n (t, ω) f (t, ω)) dt 0. 57

Definice 6..13. Pro obecný proces f M definujeme Itôův integrál předpisem T T f (t, ω) dw = lim f 0 n 0 n (t, ω) dw. Tato limita nezávisí na volbě posloupnosti f n (důkaz je technický, pomocí Itôovy izometrie - viz literatura). Věta 6..14. (Základní vlastnosti Itôova integrálu) Platí 1. T (ag + bf dw = a T GdW + b T 0 ( F dw ) 0 0 T. E GdW = 0 0 3. t 0 GdW je F t-měřitelný Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení. Nechť G je jednoduchá funkce, tedy G (t, ω) = G k (ω) pro t k t < t k+1, kde k = 0,..., m 1. Jelikož G k (ω) závisí jen na W (s) pro s t k (z neanticipativnosti), dostáváme: = E m 1 k=0 ( T 0 GdW ) = E E (G k (ω) W k ) = ( m 1 k=0 m 1 k=0 Protože E (G k (ω)) < a E ( W k ) = 0, platí m 1 k=0 G k (ω) W k ) = E (G k (ω)) E ( W k ) = 0. E (G k (ω)) E ( W k ). 6.3 Itôovo lemma Motivace: Nechť f je hladká funkce na intervalu [a, b]. Uvažujme rovnoměrné dělení intervalu a = t 0 < t 1 <... < t n = b, kde t i = t i+1 t i = b a n pro všechna i = 0, 1,..., n 1. 58

Pak platí, s využitím Taylorova polynomu n 1 n 1 f (b) f (a) = f (t i+1 ) f (t i ) = f (t i ) t i + 1 f (t i ) ( t i ) +... i=0 i=0 f je hladká, tedy f (t) < M pro nějakou konstantu M na [a, b]. Odtud 1 n 1 f (t i ) ( t i ) i=0 pro n. Tedy pro n : n 1 i=0 1 M i=0 ( b a n ) = n (b a) M 0 n n 1 f (b) f (a) = lim f (t i ) t i = b f (t) dt. n a Pro deterministický případ jsme tedy dostali Newton-Leibnitzův vzorec. Teď uvažujme stochastické funkce. V aplikacích, cena aktiva je funkcí Wienerova procesu W t, S t (ω) = f (W t (ω)) Nechť f je hladká funkce. Pak n 1 f (W (b)) f (W (a)) = f (W (t i+1 )) f (W (t i )) = = f (W (t i )) W i + 1 f (W (t i )) ( W i ) +... Z lemmatu o kvadratické variaci víme, že n 1 ( W i ) b a i=0 pro n, tedy členy. řádu nelze zanedbat (vyššího řadu už ano). Dostaneme tedy: i=0 59

n 1 f (W (b)) f (W (a)) = lim f (W (t i )) W ti + 1 n f (W (t i )) ( W ti ) = i=0 = b f (W a t ) dw t + 1 b a f (W (t)) dt. Definice 6.3.1. Nechť W t je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ). Jednodimenzionální Itôův proces je stochastický proces tvaru: kde u, v M. X t (ω) = X 0 + t 0 u (s, ω) ds + t 0 v (s, ω) dw s (ω), Člen t u (s, ω) ds je obyčejný Riemannův integrál (z náhodné funkce) a t 0 0 v (s, ω) dw s (ω) je Itôův stochastický integrál. Poznámka. Často se Itôův proces zapisuje v diferenciálním tvaru: dx t (ω) = u (t, ω) dt + v (t, ω) dw t (ω), což je tzv. stochastický diferenciál, kde koeficient u (t, ω) se obvykle nazývá drift a v (t, ω) je volatilita. Věta 6.3.. (Itôovo lemma) Nechť X (t, ω) je Itôův proces se stochastickým diferenciálem kde u, v jsou procesy třídy M. Nechť dx (t) = udt + vdw (t), g (t, x) : 0, ) R R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom Y (t) = g (t, X (t)) je opět Itôův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar dy (t) = g g (t, X (t)) dt + t x (t, X (t)) dx (t) + 1 60 g x (t, X (t)) (dx (t)),

kde (dx (t)) = (udt + vdw (t)) = (dx (t)) (dx (t)) se počítá podle pravidel dtdt = dtdw = 0 a dw dw = dt. Příklad 6.3.3. (Stochastická diferenciální rovnice pro vývoj ceny akcie): Ceny se vyvíjí podle geometrického Wienerova procesu ds t = µs t dt + σs t dw t neboli Nechť a ds t S t = µdt + σdw t. g (t, x) = ln x Y t = g (t, S t ). Máme tedy Podle Itôova lemmatu dostaneme kde (ds t ) = σ S t dt. Tedy g t = 0 g x = 1 x g x = 1 x. dy (t) = 0 + 1 S t ds t + 1 dy (t) = 1 S t (µs t dt + σs t dw t ) 1 σ dt = ( 1 ) (ds St t ), (µ 1 σ ) dt + σdw t. Odtud tedy kde W 0 = 0. Tedy dy t = Y t = Y 0 + (µ 1 σ ) dt + σdw t, ) (µ σ t + σw t, 61