.10.7 Déla užnice (obvod uhu) II Předpolady: 01006 Př. 1: Bod je od středu užnice ( ;cm) vzdálen 7 cm. Uči početně vzdálenost z bodu do bodu, teý je tečným bodem tečny užnice jdoucí z bodu. vůj výslede ověř ýsováním (při ýsování samozřejmě nemůžeš použít vypočtenou hodnotu vzdálenosti ). Náčte: 7 cm Zusíme do obázu doplnit další vzdálenost úseča je polomě užnice a je olmá na tečnu. cm 7 cm Zísali jsme pavoúhlý tojúhelní, po teý můžeme použít Pythagoovu větu. = + / = = 7 = 9 16 = 33 = 33 5,7 cm Bod je od bodu vzdálen 5,7 cm. onstuce: 1
Vzdálenost = 5, 7 cm. Př. : Vypočti obvody obazců na obázu. tana čtvecové sítě měří 5 cm. Přílad vypočti nomálně, pa se snaž najít způsob, ja výsledy zapsat zcela přesně. Levý obazec: dvě stany o délce 3 čtveečy: 3 5 = 30 cm, dvě půlužnice (jedna užnice) o poloměu 1 čtveeče: π 5 = 31,cm, Celem: 30 + 31, cm = 61,cm. Pavý obazec: jedna stana o délce čtveečy: 5 = 10cm, jedna půlužnice o poloměu 1 čtveeče: 1 π 5 15,7cm, jedna čtvtužnice o poloměu čtveečy: 1 π 10 15,7 cm Celem: 10 + 15,7 + 15,7 = 1,cm Poud chceme udat výslede zcela přesně, nesmíme za π dosadit nepřesnou hodnotu z alulačy a musíme ho pořád zapisovat pomocí symbolu. Levý obazec: dvě stany o délce 3 čtveečy: 3 5 = 30 cm,
dvě půlužnice (jedna užnice) o poloměu 1 čtveeče: π 5 = 10π cm, 30 + 10 cm = 10 3 + cm. Celem: π ( π ) Pavý obazec: jedna stana o délce čtveečy: 5 = 10cm, jedna půlužnice o poloměu 1 čtveeče: 1 π 5 = 5π cm, jedna čtvtužnice o poloměu čtveečy: 1 π 10 = 5π cm 10 + 5π + 5π cm = 10 + 10π cm = 10 1+ π cm Celem: ( ) Př. 3: U cylisticých tachometů je nutné nastavit půmě ola. Poč? oliát se olo o půměu 70 cm otočí během 15 m dlouhého výletu? achomet neměří vzdálenost, ale počet otočení ola. Z počtu otočení vypočte pomocí půměu uaženou vzdálenost. Půmě ola... 70 cm = 0, 7 m Obvod ola (vzdálenost uažená při jednom otočení)... o = π d = π 0,7 m =, 0m Počet otočení: 15 000 680, =. Během 15 m dlouhého výletu se olo otočí 680 át. Př. : Uči obvod uhové výseče, vysenuté z uhu o poloměu 0 cm. jestliže její středový úhel má veliost 110. 110 0 cm Obvod výseče: Dva poloměy a obvod oblouu dohomady Umíme snadno učit obvod celého uhu. Ja učíme obvod oblouu? Nápad: Čím větší středový úhel výseče, tím větší část zabíá její oblou z původní užnice přímá úměnost. 360 π 110 x x π = (aždému stupni středového úhlu odpovídá stejně velý úse na obvodu) 110 360 π π 11π 11π 0 x = 110 = 11 = = cm 38, cm 360 36 18 18 3
Celý obvod úseče: 0 + 0 + 38, cm = 78, cm Obvod úseče má délu 78, cm. Př. 5: Polomě menší užnice představuje dvě třetiny poloměu větší užnice. Uči obvod menší užnice, jestliže větší má obvod 0 cm. Jestliže polomě menší užnice představuje dvě třetiny poloměu větší užnice, půmě menší užnice bude představovat taé dvě třetiny půměu větší užnice. 0 Půmě větší užnice: d = cm = 1,7cm. π Půmě menší užnice: d = 1,7 cm = 8, 7 cm 3 Obvod menší užnice: o = π d = π 8, 7 cm = 6, 6 cm Menší užnice má obvod 6,6 cm. Mohli jsme vypočítat obvod ovnou jao dvě třetiny obvodu větší užnice (pomě poloměů, půměu i obvodů užnice je vždy stejný). Můžeme si vypočítat s písmeny: ov = π dv / : π ov dv = π ov Menší polomě představuje dvě třetiny většího: dm = dv =. 3 3 π ov Obvod menší užnice: om = π dm = π = ov. 3 π 3 Př. 6: Obvod Země je přibližně 0 000 m. Uči s přesností na tři platné číslice polomě Země. o = π / : π o 0 000 = m 6 370 m π = π = Země má polomě 6370 m. Př. 7: Ja vysoo nad zemí by se mohl oolo Země vznášet pováze, jehož déla je pouze o jeden met větší než obvod Země. Předpoládej, že Země je doonalá oule. Obvod země: o = π Déla povázu: o Z + 1. Polomě užnice z povázu: Z z z oz =. π op oz + 1 oz 1 = = = + = Z + 0,16 m. π π π π Pováze by se mohl vznášet ve výšce 0,16 m nad zemí.
Př. 8: Je dána (tzn. je naýsována) úseča AB, AB = 7 cm. Naýsuj bod C ta, aby tojúhelní ABC byl pavoúhlý s pavým úhlem při vcholu C a platilo α = 35. Potože úseča AB je dána, musíš ji naýsovat jao pvní. Náčte: C A 35 8 cm B Naýsujeme úseču AB (musí být pvní). Pomocí úhlu α sestojíme polopřímu AC a na ní musíme najít bod C. Při tom využijeme infomaci o pavém úhlu ACB. Úhel ACB je pavý musí ležet na haletově užnici nad půměem AB. C X t 1. AB; AB = c = 7 cm. ; A = B ; AB 3. t ( ; A ). X ; BAX = 35 5. C = AX t 6. ABC A B hnutí: Bod, u teého má tojúhelní pavý úhel, můžeme hledat pomocí haletovy užnice. 5