Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde nahrazeny přesně formulovanými limitami. Tato práce v úvodních textech k radiometrii obvykle chybí. Nesvětelný úvod Nanázornéfyzikálníveličině rychlosti sipodrobněukážemevýznamlimitníhopřechodu,kterýse v různých obměnách bude často v tomto textu používat. ledujme bod pohybující se po přímce. V čase t je bod v místě s(t). Derivací funkce s podle t(pokud existuje) dostáváme okamžitou rychlost v(t)= ds dt (t)=lim s(t) s(t+h) h 0 h s(t 2 ) s(t 1 ) = lim. t 2 t 1 0 t t 1 <t 2, t t 1,t 2 2 t 1 Nechť I jemnožinavšechintervalůnar.uvažujmefunkci D:I R,kteráprokaždýčasovýinterval t 1, t 2 vrátívzdálenost,kterousledovanýbodběhemdanéhočasovéhointervaluurazil.přesněji D( t 1, t 2 )=s(t 2 ) s(t 1 ).FunkceDsiceneobsahujeinformaciookamžitépolozeboduvčase t,ale okamžitou rychlost můžeme z této funkce stále počítat: D( t 1, t 2 ) v(t) = lim t 2 t 1 0 t 1 <t 2, t t 1,t 2 t 2 t 1 = lim d t 1,t 2 0 t t 1,t 2 D( t 1, t 2 ) µ t 1, t 2 =(formálně)= dd dt (t). ymbolem µ t 1, t 2 jeoznačenavelikostintervalu t 1, t 2.ymbolem d t 1, t 2 jetakéoznačenavelikost intevalu.tytodvěfunkcesezačnoulišitažumnožinsvyššídimenzínežjedna. Vidíme, že D je funkcí intervalu(ne reálného čísla) a obsahuje veškeré informace pro výpočet okamžité rychlosti a nic navíc. Obráceně, ze znalosti okamžité rychlosti v každém čase t můžeme spočítat hodnotu funkce D pro každý interval: D( t 1, t 2 )= t 1,t 2 v(t) dt. Ukazuje se, že je účelnější při studiu některých fyzikálních veličin pracovat s reálnými funkcemi intervalu, křivky, plochy, objemu, atd. Tyto funkce se chovají jako speciální míry uvedených množin. Uvedemeještějedenpříklad.Nechť Qjemnožinavšech kvádrů tvaru q= i 1 i 2 i 3,kde i 1, i 2, i 3 jsoureálnéintervaly.uvažujmefunkci M: Q R,jejížhodnotaprodanýkvádr qjehmotnostčásti tělesa vymezené kvádrem q. Označme ještě d(q)= sup x y, x, y q tedy vzdálenost dvou nejvzdálenějších bodů množiny q, neboli průměr množiny q. Dále µ(q) značí objem množiny q. Pak můžeme počítat hustotu v bodě x a obráceně, funkci M můžeme určit z hustoty: M(q) ( x)= lim d(q) 0 µ(q) =(formálně)=dm d x, x q M(q)= ( x)d x. Typicky tedy v limitě, která se často nahrazuje zápisem formální derivace, najdeme nějakou funkci intervalu, plochy, objemu atd. dělenou velikostí tohoto intervalu, plochy, objemu. Vyšetřovaná funkce může mít i více proměnných, např. jedna proměná reprezentuje plochu, druhá interval, třetí prostorový úhel, atd. V limitním přechodu vždy přechází průměr nějaké množiny d k nule za doplňující podmínky, že sledovaný bod v množině trvale leží. Má-li množina dimenzi jedna(interval), dělíme v limitním přechodu délkou intrervalu. Má-li množina dimenzi dva(plocha), dělíme velikostí plochy a má-li množina dimenzi tři(objem), dělíme velikostí objemu. Ve všech případech tuto míru množiny značíme stejně: µ. q 1

Zavedení radiometrických veličin Nechť jeplocha,tj.podmnožinavprostorur 3,kterájeobrazemnějakéspojitéfunkce ϕ: 0,1 0,1 R 3. Parametrizace ϕ musí splňovat další vlastnosti, abychom mohli hovořit o ploše, ovšem v tomto textu stačí plochu chápat intuitivně. Po ploše mohou lézt dva mravenci, kteří se nikdy nepotkají, pokud nepřekonají okrajplochy.jedenmraveneclezepo vnitřní adruhýpo vnější straněplochy.normálovývektor vregulárnímboděplochy(kolmýnatečnourovinu)vždyorientujemetak,žesměřujeodplochyvenaje viditelný z vnější strany plochy. Dvě množinově shodné plochy se mohou lišit tím, která strana plochy se považuje za vnitřní a která za vnější. Tím, že rozhodneme, která strana je která, jsme plochu orientovali. Plocha může ale nemusí být ve scéně totožná s povrchem nějakého 3D tělesa nebo částí tohoto povrchu. Pokud je, pak plochu orinetujeme přirozeně tak, že vnější strana plochy směřuje vně tělesa a vnitřní strana dovnitř. Označme P množinu všech orientovaných ploch a I bude množina všech časových intervalů. Uvažujmefunkci Q:P I R,jejížhodnotavyjadřujemnožstvísvětelnéenergie,kterédopadnenavnější stranuplochyzačasovýinterval.konkrétnězápisem Q(, t 1, t 2 )vyjadřujememnožstvísvětelnéenergie,kterédopadnenavnějšístranuplochy začasovýinterval t 1, t 2.Fyzikálníjednotkouenergie Qje Joule[J]. Vzhledem k vlnové povaze světla je potřeba rozlišovat světelnou energii na různých vlnových délkách, nebo sečíst(integrálem) světelnou energii v určitém rozsahu vlnových délek. Při osvětlování modelované scény si ovšem vystačíme se zjednodušením tohoto problému: bude nám stačit uvažovat veškerou světelnou energii(tvoříme obraz ve stupních šedi, tj. sčítáme energii na všech viditelných vlnových délkách) nebo rozdělíme spektrum na barevné složky, například červenou, modrou, zelenou. každou barvou pracujeme zvlášť. Rozlišujeme tedy funkci Q pro každou barevnou složku. V dalším textu už vlnová délka nebude kvůli zjednodušení uvažována. Vzhledem k částicové povaze světla se hodí světelnou energii interpretovat jako počet fotonů násobený konstantou e(energií jednoho fotonu). Každý foton(na určité vlnové délce) je nositelem konstantní dále nedělitelné energie. Foton se vždy pohybuje přímočaře rovnoměrnou rychlostí c, dokud nenarazí na nějakou překážku. Z tohoto pohledu je Q množství fotonů, které dopadly na vnější stranu plochy za časovýinterval t 1, t 2.Totomnožstvísamozřejměnásobímekontantou e.dalšíosudfotonůpodosažení vnější strany plochy není v tuto chvíli podstatný. Je-li jen abstraktní plocha, která není povrchem žádného tělesa, pak fotony projdou plochou a dále pokračují v přímočarém pohybu. Je-li povrchem, fotony mohou měnit směr svého pohybu nebo mohou zaniknout(přejít v jinou formu energie). Částicový pohled na světelnou energii je užitečný, když si potřebujeme ujasnit směr šíření světelné energie(tj. směr pohybu fotonů). Matematický model ale využívá integrálů a derivací, tedy spojitou matematiku. Předpokládá se tedy, že je světelná energie dělitelná na libovolně malé části. větelnýtok(flux)jehodnotafunkceφ:p R,kterájedefinovánajako Q(, t 1, t 2 ) Φ(, t)= lim =(formálně)= dq d t 1,t 2 0 µ t t t 1,t 2 1, t 2 dt. (1) větelnýtokvyjadřujecelkový otisk světelnéenergienavnějšístraněplochy vokamžiku t.představit si to můžeme následovně: Po dobu jedné sekundy počítáme fotony, které dopadly na vnější stranu plochy a výsledek vynásobíme energií fotonu e. Pak upřesníme: počítáme fotony jen po dobu např. tisíciny sekundyavýsledeknásobíme1000e.pokudtonestačí,dálezkracujemečas závěrky.tímseblížíme k výše uvedené limitě. Často se počítá osvětlení scén, ve kterých se světelné podmínky(tok) v čase nemění. Pak je uvedená limitarovnaφ(, t) = Q(, 0,1 ),tj.popisujemnožstvíenergiedopadlénavnějšístranuplochy za jednotkový časový interval(za jednotku času). Navíc funkce Φ je pak konstantní v proměné t, takže časovou proměnnou v takovém případě nebudeme používat. Φ() je tedy rovno množství světelné energie dopadlé na vnější stranu plochy za jednotku času. Po dobu jedné sekundy tedy počítáme fotony dopadlé na vnější stranu plochy a výsledný počet vynásobíme konstantou e. Fyzikální jednotka světelného toku jewatt[js 1 ]. Kromě světelné energie dopadající na vnější stranu plochy bude potřeba měřit světelnou energii vyzářenou z vnější strany plochy(fotony, které opustily plochu) a dále bude potřeba často měřit jen 2

energii, která odpovídá jen některým fotonům, které přicházejí z vymezeného prostorového úhlu nebo jsou vyzářeny do vymezeného prostorového úhlu. Je proto rozumné přidat funkci Φ kromě proměnné typuplocha ještěproměnou typuprostorovýúhel U.Prostorovýúhelje(neorientovaná)plochana sféře, tedy souvislá množina směrů. ymbolem U označím množinu všech prostorových úhlů. Dále přidám k funkci Φ index, kterým rozliším, zda se jedná o přijatou nebo vyzářenou energii. Dostávám tak poněkud modifikovanéfunkceφ i aφ r : větelnýtokdopadajícínaplochu zesměrů UjehodnotafunkceΦ i : P U R.Jmenovitě Φ i (, U)jemnožstvíenergiedopadlénavnějšístranuplochy zevšechsměrů Uzajednotkučasu.měr pohybu každého započítaného fotonu je tedy opačný nějakému směru, který leží v U. větelnýtokvyzářenýplochou vesměrech UjehodnotafunkceΦ r : P U R.Jmenovitě Φ r (, U)jemnožstvíenergievyzářenévnějšístranouplochy dovšechsměrů Uzajednotkučasu.měr pohybu každého započítaného fotonu je nyní souhlasný s nějakým směrem v U. Množinu směrů U lzerozdělit nadvě disjunktnípodmnožiny.nasměry U 1,kteréjsoudosažitelnézvnějšíčástiplochy,anazbytek U 2.Jezřejmé,žeΦ i (, U)=Φ i (, U 1 ),Φ r (, U)=Φ r (, U 1 ), Φ i (, U 2 )=0,Φ r (, U 2 )=0. Pokud se neomezujeme na určitou množinu směrů vyzářené nebo dopadající energie, stačí volit U=Ω,kdeΩznačíjednotkovousféru.KvůlistručnostipíšemeΦ i (,Ω)=Φ i (),Φ r (,Ω)=Φ r (). Vdalšímtextubudemesvětelnouenergiisledovanounaplošeamnožiněsměrů zaostřovat do bodu a do paprsku. Provedeme to limitním přechodem sledované plochy do bodu a/nebo vymezeného prostorového úhlu do konkrétního směru. Kdybychom tento přechod provedli jen v argumentech funkce Φ, dostaneme nulu. Vychází to například z představy, že pravděpodobnost, že existuje foton, který se strefí přesnědovybranéhobodunebokterýmápřesnězvolenýsměr,jenulová.jetedyzřejmé,ževlimitním přechodu bude potřeba dělit velikostí zmenšované plochy nebo velikostí zmenšovaného prostorového úhlu, abychom dostali smysluplnou fyzikální veličinu. Zvolmeplochu P Panechťbod xležínaploše P.Intenzitaozáření(iradiance)bodu xna ploše Pjehodnotafunkce E: P Rdefinované E( x)= lim Φ i () µ() =(formálně)=dφ i d. (2) Intenzita vyzáření(radiozita) bodu x na ploše P je hodnota funkce B: P R definované B( x)= lim Φ r () µ() =(formálně)=dφ r d. (3) Takže iradiance je světelná energie přicházející se všech směrů(vnější strany plochy) k danému bodu x a radiozita je energie vyzářená bodem x do všech směrů vnější strany plochy. Fyzikální jednotka je [Wm 2 ]. Jepotřebaupozornit,žeuvedenéveličiny Ea Bjsouzávislénavolběplochy P.Hodnota E( x)a B( x)závisínaploše Pv ε-okolíbodu x.tutozávislostjetřebamítnapaměti,ikdyžjidoargumentů funkcí E a B nezapisujeme. Následujícíveličina intenzitazářeníplochyvdanémsměru sevliteratuřenevyskytuje.jezavedena pro účely tohoto textu jako mezistupeň mezi tokem Φ(závislost na množině směrů a celé ploše) a radiancí L(závislost na jediném směru a jediném bodě). Intenzitazářeníplochy vesměru ωjehodnotafunkce I r : P Ω Rdefinované Fyzikálníjednotkaintenzityzářeníje[Wsr 1 ]. θ n Φ r (, U) I r (, ω)= lim =(formálně)= dφ r d(u) 0 µ(u) d ω. (4) ω U ω P P Obrázek 1 Obrázek 2 3 x ω

Naobrázku1sedívámezbokuna rovnou plochu asledujemejejíintenzituzářenívesměru ω. Vidíme,žejevdanémsměrustejná,jakointenzitazáření rovné plochy,kterájekolmánasměr záření,pokudsamozřejměmezi a nenížádnápřekážkasvětla: I r (, ω)=i r (, ω). Zjevněplatí µ( )=cosθ µ(),kde θjeúhelmezinormálouplochy asměrem ω.vnásledujícím limitnímpřechodu,kdy světelnýválec I r přejdeve světelnýpaprsek L r (radiancebodu)semísto plochy pracujesplochou,tedysprůmětem,kterýjekolmýnasměr ω.tímbudezaručena nezávislost radiance na zvolené ploše. Předpokládámeplochu P Pananíregulárníbod x.zář(radiance)bodu xvesměru ωje hodnotafunkce L r : P Ω R,kterájedefinovanápro x Pasměr ω Ωtakto: L r ( x, ω)= lim I r (, ω) µ( ) = lim I r (, ω) cos θ µ() =(formálně)= di r cos θd = d 2 Φ r cos θdd ω, (5) zde θjeúhelmezinormálouplochy Pvbodě xasměrem ω.fyzikálníjednotkazářeje[wm 1 sr 1 ]. Analogicky,jakovyzářenáradiance L r zbodu xvesměru ωsedefinujepřijatáradiance L i zesměru ωvbodě x: formálně tedy: L i ( x, ω)= lim I i (, ω) cos θ µ(), L i ( x, ω)= kde I i(, ω)= lim d(u) 0 ω U d 2 Φ i cos θdd ω. Φ i (, U), µ(u) Jepotřebazdůraznit,žeradianceboduvdanémsměrunenízávislánavolběplochy P.Kdybychom stejnýmbodem xproložilijinouplochu P,kterámájinounormáluvbodě x(obrázek2),paksetypicky stane, že lim I r (, ω) µ() lim I r (, ω) µ(), ale L r ( x, ω)= lim I r (, ω) cos θ µ() = lim I r (, ω) cos θ µ(), takžefaktor1/cos θjemožnovnímatjako korekční koeficient,kterýzajistí,ževeličina Ljenezávislá navolběplochy P.Plochaovšemnesmíbýtorientovánatak,abynormálasvíralasesměrem ωúhelvětší než π/2.vtakovémpřípaděnenísměr ωdosažitelnýzvnějšístranyplochyaje L=0. P ω P P ω P x x x x paprsek Obrázek 3 Obrázek 4 Podél celého paprsku(kde nejsou překážky) naměříme stejnou hodnotu veličiny L. To znamená, žezvolíme-libod xvpaprskuaproložímejímplochu P,kteráprotínápaprsekvbodě x,adálejinde napaprskuvolímebod x aproložímejímplochu P,kterárovněžprotínápaprsekvezvolenémbodě (obrázek3),pakje L( x, ω)=l( x, ± ω).indexy L i resp L r aznaménko+nebo jepotřebadorovnice doplnitpodletoho,jakjsouorientoványplochy Pa P vzhledemkesměrupaprsku ω. peciálně,nechť xa x ležínatělesechspovrchem P a P atytobodyjsouvzájmeněviditelné (obrázek4).nechť ωjesměrod xk x.pak L r ( x, ω)=l i ( x, ω). 4

Vztahy mezi radiometrickými veličinami Radiometrické veličiny, které jsou zavedeny jako derivace podle plochy, času nebo prostorového úhlu jiných veličin, lze použít zpětně pro výpočet těchto jiných veličin integrováním. Viz též nesvětelný úvod: výpočet vzdálenosti D z rychlosti nebo výpočet hmotnosti z hustoty. ProtožejesvětelnýtokΦmožnopočítatzenergie Q,formálněΦ= dq dt (podrobněji viz rovnice 1), platí Q(, t 1, t 2 )= Φ(, t)dt. Protožejeiradiance EpočítánazpříchozíhotokuΦ i,formálně E= dφ i d,aradiozita Bzodchozíhotoku Φ r,formálně B= dφ r ds (podrobněji viz rovnice 2, 3), je Φ i ()= E( x)ds, Φ r ()= B( x) ds. Protožeintenzituzářeníplochyvesměru I r jemožnopočítatzφ r,formálně I r = dφ dω (podrobnějiviz rovnici 4), je Φ r (, U)= I r (, ω)d ω. (6) U t 1,t 2 Protožeradianci L r jemožnopočítatzφ r,formálně L r = d2 Φ r cos θdsd ω (podrobnějivizrovnici5),je Φ r (, U)= U L r ( x, ω)cosθdsd ω. Vevnitřnímintegráluseintegrujepodleproměnné xpřesplochu,přitomseměníiθ,cožjeúhelmezi (konstantním)směrem ωa(proměnlivou)normálouplochy n x vbodě x.pokudnaploše existujíbody x,zekterýchsměr ωnenídosažitelnývnějšístranouplochy(tj. θ > π/2),jesamozřejmě L r ( x, ω)=0.ve vnějším integrálu se integruje podle proměnné ω přes množinu směrů. Podle Fubiniovy věty lze pořadí integrování obrátit, tedy Φ r (, U)= L r ( x, ω)cosθd ωds. U Analogickévztahyplatípro L i aφ i. Veličina E (iradiance) zahrnuje energii přicházející ze všech směrů k danému bodu x. Je-li bod xregulárníbodplochy P,množinavšechpřípustnýchsměrů,zekterýchjemožnoozářitbod x,tvoří hemisféru Ω x,p = { ω;úhelmezi ωanormálou n x jemenšínež π/2}. Takževtomtopřípadělze EpočítatjakointegrálzL i takto: E( x, P)= L i ( x, ω)cosθd ω. Ω x,p V tomto integrále se rovněž mění θ, tentokrát kvůli tomu, že se mění ω, zatímco normála je konstantní. Analogickylzepočítat Bpomocí L r jako B( x, P)= L r ( x, ω)cosθd ω. Ω x,p Ztěchtointegrálůjeznovavidětzávislostveličin Ea Bnaploše P. Je potřeba upozornit, že pro singulární body(například hrany nebo kouty) je možné použít přímo definici E resp. B, ale ne zde uvedené integrální vzorce. V singulárních bodech není totiž L definováno a také integrovaná množina není nutně hemisféra. Radiozitní metoda předpokládá B jako integrál přes hemisféru, tj. pracuje s veličinou B jen v regulárních bodech plochy. Přirozeně pak v singulárních bodech plochy(např. v koutech) tato metoda selhává. 5

větelné zdroje Výkon(power)světelnéhozdrojejeΦ r (P),kde Pjeplochaobklopujícísvětelnýzdroj(např.sféra) a měří se jen světelná energie pocházející ze světelného zdroje(tedy nikoli např. odražené světlo). Mezi zdrojem světla a obklopující plochou P nesmí být žádné překážky. Je zřejmé, že výkon zdroje nezávisí navolběobklopujícíplochy P.Jerozumnéza P volitpovrchsvětelnéhozdrojeavpřípaděbodového zdroje sféru se středem ve zdroji. Zářivostzdroje(radiantintenzity)je I r (P, ω),kde Pjeplochaobklopujícísvětelnýzdrojaωje zvolenýúhel.vpřípaděideálníhobodovéhozdrojeplocha Pvdanémsměru ωzářívjedinémbodě (singularita)azářivost I r (P, ω)jeprovšechnysměry ωshodnáajerovna I=Φ r (P)/4π(výkonuzdroje děleném plochou jednotkové koule). Tato rovnost je důsledkem rovnice(6): Φ r (P)=Φ r (P,Ω)= Ω I r (P, ω)dω= Ω Idω= I dω=i 4π. Ω 6