F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)

Podobné dokumenty
1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

5. Lokální, vázané a globální extrémy

10 Funkce více proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

Funkce více proměnných. April 29, 2016

6. přednáška 5. listopadu 2007

Extrémy funkce dvou proměnných

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Funkce dvou a více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných

Kolmost rovin a přímek

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Uzavřené a otevřené množiny

IX. Vyšetřování průběhu funkce

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

4. Diferenciál a Taylorova věta

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Matematika V. Dynamická optimalizace

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

12. Funkce více proměnných

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Matematika pro informatiky

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

1 Množiny, výroky a číselné obory

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

je dána vzdáleností od pólu pohybu πb

Parciální derivace a diferenciál

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Derivace a monotónnost funkce

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Aplikace derivace a průběh funkce

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

Úvodní informace. 17. února 2018

Parciální derivace a diferenciál

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Globální extrémy (na kompaktní množině)

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

5. cvičení z Matematiky 2

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

MATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

1 Funkce více proměnných

7.1 Extrémy a monotonie

5.3. Implicitní funkce a její derivace

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

MATEMATIKA I REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH II FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M10, GA04 M04

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Matematika 1 pro PEF PaE

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

se diferenciálního počtu více proměnných). Jeho cílem není, aby obsahoval vše,

Transkript:

11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že, pro x (x 0 δ, x 0 + δ) je F (x, f(x)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0 ] (tj y 0 = f(x 0 )) Příkla 112 a) Rovnice 3x y + 2 = 0 přestavuje implicitní vyjáření jeiné funkce y = 3x + 2 b) Rovnice x 2 + y 2 = 1 přestavuje vojici funkcí y = ± 1 x 2 c) Rovnice xy xy = 0 určuje nekonečně mnoho funkcí y = f(x) s grafem ležícím v prvním nebo třetím kvarantu Věta 113 (o existenci implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je spojitá funkce na čtverci R = (x 0 a, x 0 + a) (y 0 a, y 0 + a) pro nějaké a > 0 (tj na okolí O a ([x 0, y 0 ]) v metrice ρ ) a nechť F (x 0, y 0 ) = 0 Dále přepokláejme, že F má na tomto čtverci parciální erivaci F y, která je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a platí F y(x 0, y 0 ) 0 Pak existuje δ > 0 takové, že na intervalu (x 0 δ, x 0 + δ) je rovnicí F (x, y) = 0 implicitně efinována právě jena spojitá funkce y = f(x) procházející boem [x 0, y 0 ] Důkaz Na R 2 uvažujme metriku ρ a položme = F y(x 0, y 0 ) Pole přepoklau je 0 Protože F y je spojitá v boě [x 0, y 0 ] a existuje na R, k 2 existuje ε > 0 takové, že pro [x, y] O ε(x 0, y 0 ) = (x 0 ε, x 0 + ε) (y 0 ε, y 0 + ε) je F y(x, y) < 2, tj 1 1 F y(x 0, y 0 ) < 1 2 Označme Q = {g C( x 0 ε, x 0 + ε ) : g(x 0 ) = y 0, g(x) y 0 < ε x x 0 ε, x 0 + ε } Pro g Q tey platí g(x 0 ) = y 0, F (x 0, g(x 0 )) = F (x 0, y 0 ) = 0 Protože g i F jsou spojité, k ε > 0 existuje δ 1 > 0 takové, že pro kažé x x 0 δ 1, x 0 + δ 1 platí F (x, g(x)) g(x) y 0 < ε Položme δ = min{ε, δ 1 } a P = Q C( x 0 δ, x 0 + δ ) Množina P tey obsahuje funkce z Q, jejichž efiniční obor je zúžen na x 0 δ, x 0 + δ Definujme zobrazení T : P C( x 0 δ, x 0 + δ ) přepisem T (g)(x) = g(x) F (x, g(x)) ( ) Je-li funkce f pevným boem zobrazení T, pak f(x) = f(x) 1 F (x, f(x)) pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj F (x, f(x)) = 0 pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj f je spojitá funkce, která je na (x 0 δ, x 0 + δ) implicitně zaána rovnicí F (x, y) = 0 Existenci jeiné funkce f této vlastnosti okážeme pomocí Banachovy věty o pevném bou Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence ρ C Pak T (g)(x 0 ) = g(x 0 ) 1 F (x 0, g(x 0 )) = y 0 pro g P a íky ( ) také T (g)(x) y 0 < ε pro x x 0 δ, x 0 + δ, tj T (g) P S využitím věty o stření honotě ostaneme ρ C (T (g), T (h)) = max = max = max T (g)(x) T (h)(x) = max F (x, g(x)) g(x) h(x) + g(x) h(x) F y(x, ξ)(g(x) h(x)) g(x) h(x) 1 F y(x, ξ), ke bo ξ leží mezi honotami g(x) a h(x), g, h P, tey ξ O ε (x 0, y 0 ) Pole ( ) tey je ρ C (T (g), T (h)) 1 2 což znamená, že T je kontrakce na P max g(x) h(x) = 1 2 ρ C(g, h), F (x, h(x)) Poznámka a) Vele spojité funkce může existovat i alší nespojitá funkce, např rovnice y(y 1) = 0 určuje na okolí bou [0, 0] spojitou funkci y(x) = 0, ale kromě ní také např nespojitou funkci { 0 pro x 0 y 1 (x) = nebo funkci y 2 (x) = χ(x) 1 pro x > 0 b) Pomínka F y(x 0, y 0 ) 0 je postačující pro existenci implicitní funkce, nikoliv nutnou, např rovnice x y 3 = 0 určuje v okolí bou [0, 0] funkci y = 3 x, ale přitom F y(0, 0) = 0 23

Věta 114 (o erivaci implicitní funkce) Nechť jsou splněny přepoklay věty 113 a F má na čtverci R spojité parciální erivace Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bou [x 0, y 0 ] rovnicí F (x, y) = 0, erivaci v boě x 0 a platí f (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y(x 0, y 0 ) Iea ůkazu Nejprve je potřeba okázat existenci erivace, to není úplně snané Samotný vzorec pro výpočet erivace plyne z pravila pro erivování složené funkce: F (x, f(x)) = 0 / x F x(x, f(x)) 1 + F y(x, f(x))f (x) = 0 f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)) Dosaíme-li x = x 0, tak s využitím y 0 = f(x 0 ) ostaneme vzorec tvrzení Příkla 115 Určete rovnici tečny a normály ke křivce ané rovnicí x 3 + y 3 2xy = 0 v boě [1, 1] x + y 2 = 0 Poznámka a) Z příklau je zřejmé, že rovnice tečny v boě [x 0, y 0 ] ke grafu funkce y = f(x) určené implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má tvar F x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0 ) = 0 b) Jsou-li splněny přepoklay věty 113 a F má navíc na R spojité ruhé parciální erivace, pak funkce y = f(x), která je v okolí bou [x 0, y 0 ] ána implicitně rovnicí F (x, y) = 0 má v boě x 0 ruhou erivaci a platí y (x 0 ) = F xx(x 0, y 0 )(F y(x 0, y 0 )) 2 2F xy(x 0, y 0 )F x(x 0, y 0 )F y(x 0, y 0 ) + F yy(x 0, y 0 )(F x(x 0, y 0 )) 2 (F y(x 0, y 0 )) 3 Jak je to ve vyšší imenzi? Definice 116 (implicitní funkce vou proměnných) Nechť F : R 3 R je funkce, [x 0, y 0, z 0 ] R 3 je takový bo, že F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Řekneme, že funkce z = f(x, y) je v okolí bou [x 0, y 0, z 0 ] zaána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0, jestliže existuje δ > 0 takové že pro [x, y] (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) je F (x, y, f(x, y)) = 0 a graf funkce f prochází boem [x 0, y 0, z 0 ] Věta 117 (o implicitní funkci vou proměnných a jejích parciálních erivacích) Nechť F : R 3 R je funkce spojitá na krychli K = (x 0 a, x 0 +a) (y 0 a, y 0 +a) (z 0 a, z 0 +a) pro nějaké a > 0, F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 a má ze erivaci F z, která je spojitá v boě [x 0, y 0, z 0 ], přičemž F (x 0, y 0, z 0 ) 0 Pak existuje číslo δ > 0 a jeiná spojitá funkce z = f(x, y), která je na (x 0 δ, x 0 + δ) (y 0 δ, y 0 + δ) ána implicitně rovnicí F (x, y, z) = 0 Jsou-li navíc na krychli K spojité parciální erivace F x, F y a F z, pak funkce z = f(x, y) má parciální erivace v boě [x 0, y 0 ] a platí f x(x 0, y 0 ) = F x(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ), f y(x 0, y 0 ) = F y(x 0, y 0, z 0 ) F z(x 0, y 0, z 0 ) Poznámka Z přechozí efinice a věty je již zřejmé, jak by vypaalo rozšíření na přípa implicitní funkce tří a více proměnných Definice 118 (m-funkce) Nechť f 1, f 2,, f m jsou funkce n proměnných takové, že D(f 1 ) D(f 2 ) D(f m ) Pak zobrazení F : R n R m ané přepisem [x 1, x 2,, x n ] F [f 1 (x 1, x 2, x n ), f 2 (x 1, x 2, x n ),, f m (x 1, x 2, x n )] nazveme m-funkcí n-proměnných Funkce f 1, f 2,, f m nazýváme složky F, množina D(F ) := m i=1 D(f i) se nazývá efiniční obor m-funkce F Poznámka a) Interpretujeme-li obraz bou X R n jako vektor v R m, pak m-funkci nazýváme také vektorovou funkcí a je-li m = n, tak vektorovým polem b) Lze snano ukázat, že F je spojitá v boě X 0 R n všechny funkce f 1,, f m jsou v tomto boě spojité Definice 119 (iferencovatelnosti m-funkce) Řekneme, že m-funkce F : R n R m je iferencovatelná v boě X 0 R n, jestliže kažá z funkcí f 1, f 2,, f m je iferencovatelná v tomto boě Zobrazení F (X 0 ) : R n R m ané přepisem [h 1, h 2,, h n ] [f 1 (X 0 ), f 2 (X 0 ),, f m (X 0 )] se nazývá totální iferenciál m-funkce F v boě X 0 m-funkce F se nazývá iferencovatelná na M D(F ), je-li iferencovatelná v kažém boě z M 24

Poznámka Totální iferenciál F (X 0 ) je lineární zobrazení z R n o R m určené maticí tj platí F (X 0 ) = f 1 f 1 f 2 f 2 f m f 1 f 2 f m f m f 1 (X 0 ) h 1 f 2 (X 0 ) = F h 2 (X 0 ) f m (X 0 ) h n (X 0 ), Matice F (X 0 ) se nazývá Jacobiova 5 matice m-funkce F v boě X 0 Je-li n = m, pak se eterminant Jacobiho matice m-funkce F v boě X 0 nazývá Jacobián, bueme značit J F (X 0 ) nebo stručně J(X 0 ) Věta 1110 (o Jacobiově matici složeného zobrazení) Nechť G : R n R m je m-funkce iferencovatelná v boě X 0 R n a F : R m R p je p-funkce iferencovatelná v boě Y 0 = G (X 0 ) R m Pak složené zobrazení H = F G : R n R p je iferencovatelná p-funkce a pro jeho Jacobiovu matici platí Důkaz Pole efinice p-funkce H máme a pole věty 91 platí h i (x 1, x 2,, x n ) = H (X 0 ) = F (Y 0 ) G (X 0 ) }{{}}{{}}{{} p n p m m n h i (x 1, x 2,, x n ) = f i (g 1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n )) p pro i = 1, 2,, p, j = 1, 2,, n f i k ( g1 (x 1, x 2,, x n ), g 2 (x 1, x 2,, x n ),, g m (x 1, x 2,, x n ) ) k (x 1, x 2,, x n ) Věta 1111 (o lokální inverzi) Nechť F : R n R n je iferencovatelná n-funkce v boě X 0 R n a Y 0 = F (X 0 ) Je-li F (X 0 ) regulární (tj et(f (X 0 )) 0), pak existuje okolí O(X 0 ), v němž je F prostá, a tey existuje inverzní n-funkce F 1 : F (O(X 0 )) R n Tato inverzní n-funkce je iferencovatelná v boě Y 0 a pro její Jacobiovu matici platí (F 1 ) (Y 0 ) = (F (X 0 )) 1 a otu J F 1(Y 0 ) = Iea ůkazu Poku F (X 0 ) = Y 0, tak na O(X 0 ) platí F (X) Y 0 + F (X 0 ; X X 0 ) 1 J F (X 0 ) Lineární zobrazení na pravé straně přibližné rovnosti je prosté, právě kyž je Jacobiova matice F (X 0 ) regulární, a intuitivně, prostá bue na aném okolí i samotná n-funkce F Jacobiova matice ientického zobrazení F 1 F, F 1 F (x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) je jenotková matice E Pole věty 1110 pak platí E = (F 1 ) (F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n)) F (x 0 1, x 0 2,, x 0 n), z čehož plyne okazovaný vztah Uvažujme nyní soustavu rovnic g 1 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) = 0, ( ) 5 Carl Gustav Jacob Jacobi 1804 1851, Němec 25

m-funkci y 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ), y 2 = f 2 (x 1, x 2,, x n ), y m = f m (x 1, x 2,, x n ), ( ) bo [X 0, Y 0 ] = [x 0 1, x 0 2,, x 0 n, y 0 1, y 0 2,, y 0 m] R n+m, který vyhovuje soustavě ( ) a nechť δ > 0 Řekneme, že m-funkce ( ) je ána na okolí O δ (X 0 ) implicitně soustavou ( ), jestliže pro kažé X O δ (X 0 ) platí g 1 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0, g m (x 1, x 2,, x n, f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f m (x 1, x 2,, x n )) = 0 Věta 1112 (o existenci implicitní m-funkce a její Jacobiově matici) Nechť G = [g 1, g 2,, g m ] : R n+m R m je spojitá m-funkce v okolí O a ([X 0, Y 0 ]) pro nějaké a > 0 (okolí bereme opět v metrice ρ ), přičemž bo [X 0, Y 0 ] vyhovuje soustavě G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] (tj soustavě ( )), a nechť všechny prvky matice 1 1 y 1 y 2 1 y m 2 2 G Y y = 1 y 2 2 y m m y 1 m y 2 existují v O a ([X 0, Y 0 ]), jsou spojité v boě [X 0, Y 0 ] a platí et(g Y (X 0, Y 0 )) 0 Pak existuje okolí O δ (X 0 ) R n, na kterém je soustavou G (X, Y ) = O = [0, 0,, 0] implicitně ána jeiná spojitá m-funkce Y = F (X) = [f 1 (X), f 2 (X),, f m (X)] (tj m-funkce ve tvaru ( )) Jsou-li navíc spojité všechny prvky matice 1 1 1 2 2 G X x = 1 2 a všechny prvky matice G Y m m m y m m v O a([x 0, Y 0 ]), pak F je iferencovatelná v X 0 a pro její Jacobiovu matici platí F (X 0 ) = (G Y (X 0, Y 0 )) 1 G X(X 0, Y 0 ) Iea ůkazu Označíme-li = et(g y(x 0, Y 0 )) a bueme-li s maticemi G y a G x manipulovat stejně jako s erivacemi F y a F x v ůkazu věty 113, tak zjistíme, že tento ůkaz lze přepsat i pro maticový přípa Poznámka První část věty vlastně říká, za jakých pomínek lze ze soustavy ( ) vyjářit m-tici ( ) (poku to je, tak to ještě neznamená, že je to početně jenouché) Příkla 1113 Najěte bo, v jehož okolí vyjařuje soustava x 2 +y 2 +u 2 +v 2 = 2, xu+yv+e uv = 0 implicitně 2-funkci u = u(x, y), v = v(x, y) a určete její Jacobiovu matici v tomto boě Dosazením ověříme, že soustavě vyhovuje např bo [x 0, y 0, u 0, v 0 ] = [ 1, 0, 1, 0] Dále máme G [x,y] 2x 2y =, G 2u 2v u v [u,v] = x + v e uv y + u e uv Otu a tey F = (G [u,v] ) 1 = 1 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv et(g [u,v] ) = 2uy + 2u2 e uv 2xv 2v 2 e uv 1 y + u e uv 2v 2uy + 2u 2 e uv 2xv 2v 2 e uv x v e uv 2u 2xy + 2xu e uv 2uv 2y 2 + 2yu e uv 2v 2 F (1, 0) = 1 2 2x 2 2xv e uv +2u 2 2 0 = 0 0 1 0 0 0 2xy 2yv e uv +2uv 26

12 Vázané extrémy Definice 121 (lokálního extrému vzhleem k množině) Nechť f : R n R je funkce a M D(f) je nějaká neprázná množina Řekneme, že funkce f má v boě X 0 M lokální minimum (resp maximum) vzhleem k množině M, jestliže existuje okolí O(X 0 ) takové, že pro X M O(X 0 ) platí f(x 0 ) f(x) (resp f(x 0 ) f(x 0 )) Jsou-li nerovnosti pro X X 0 ostré, mluvíme o ostrých lokálních extrémech vzhleem k M V této kapitole bueme uvažovat přípa, ky množina M je zaána soustavou g 1 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g 2 (x 1, x 2,, x n ) = 0, g m (x 1, x 2,, x n ) = 0, ke 1 m < n ( ) V tomto přípaě se místo termínu lokální extrém vzhleem k M používá termínu lokální extrém vázaný pomínkami ( ) nebo stručně vázaný lokální extrém Věta 122 (metoa Lagrangeových multiplikátorů, nutná pomínka pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť funkce f, g 1,, g m : R n R (1 m < n) mají spojité parciální erivace v otevřené množině U R n a nechť v kažém boě množiny U má Jacobiova matice G m-funkce G = [g 1, g 2,, g m ] honost m Dále, nechť M U je množina všech boů X = [x 1, x 2,, x n ], které vyhovují rovnicím ( ) Má-li f v boě X 0 M vázaný lokální extrém, pak existují reálná čísla λ 1, λ 2,, λ m (Lagrangeovy multiplikátory) tak, že jsou splněny rovnosti f (X 0 ) λ k k (X 0 ) = 0, j = 1, 2,, n ( ) Větu lze okázat vícero způsoby, jeen z nich využívá větu o lokální inverzi (viz věta 1111) Definice 123 (stacionárního bou funkce na M) Bo X 0 M, pro který existují Lagranegeovy multiplikátory λ 1,, λ m tak, že platí ( ), se nazývá stacionární bo funkce f na M Poznámka Věta 122 vlastně ává návo, jak stacionární boy nalézt Sestrojí se Lagrangeova funkce L(x 1, x 2,, x n, λ 1, λ 2,, λ m ) = f(x 1, x 2,, x n ) Položíme-li její graient roven nulovému vektoru, ostaneme právě vztahy ( ) λ k g k (x 1, x 2,, x n ) Věta 124 (postačující pomínky pro existenci vázaného lokálního extrému) Nechť S je stacionární bo funkce f na M, Λ S = [λ S 1, λ S 2,, λ S m] jsou Lagrangeovy multiplikátory příslušné bou S, funkce f, g 1, g 2,, g m mají spojité ruhé parciální erivace v boě S a nějakém jeho okolí a Jacobiova matice G (S) má honost m Je-li 2 L(S, Λ S ) (i) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum (ii) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum Důkaz Přepoklay věty jsou takové, že pozitivní efinitnost 2 L(S, Λ S ) zaručuje existenci (volného) lokálního minima Lagrangeovy funkce L v boě S při pevném Λ = Λ S, tj existuje okolí O(S), na kterém platí L(S, Λ S ) < L(X, Λ S ), tj f(s) + λ S k g k (S) < f(x) + λ S k g k (X) f(s) < f(x) + λ S k g k (X) Uveená nerovnost platí i pro boy X z množiny M, na které je g k (X) = 0, k = 1, 2,, m a tey pro tyto boy platí F (S) < F (X) To však znamená, že funkce má v S ostré lokální minimum vázané pomínkami ( ) Analogicky by se ukázalo pro maximum Poznámka Pozor, je-li 2 L(S, Λ S ) inefinitní, tak to (na rozíl o volných lokálních extrémů) neznamená, že v S není vázaný lokální extrém Pro existenci vázaných lokálních extrémů stačí, kyž 2 L(S, Λ S ) je PDF nebo NDF pro všechny vektory h = (h 1, h 2,, h n ) kolmé k vektorům g k (S), k = 1, 2,, m) Je-li tey 2 L(S, Λ S ) inefinitní, lze ále postupovat takto: Ze soustavy g 1 (S) = 0, 27

g 2 (S) = 0, g m (S) = 0, tj ze soustavy h 1 0 G h 2 (S) = 0, h n 0 lze jenoznačně vyjářit m přírůstků h i (protože G (S) má honost m) jako lineární formy zbývajících přírůstků (lineární forma n-proměnných je funkce typu a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n, ke a i R, i = 1, 2,, n) Dosazením takto vyjářených přírůstků o 2 L(S, Λ S ) ostaneme novou kvaratickou formu n m proměnných, označme ji např Φ Potom platí: Je-li Φ a) pozitivně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální minimum, b) negativně efinitní, pak v S je ostré vázané lokální maximum, c) inefinitní, pak v S nenastává vázaný lokální extrém Příkla 125 Vyšetřete vázané extrémy funkce f(x, y) = xy vzhleem k množině x + y = 1 28