VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019

Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání ISBN 978-80-88064-34-3 Vydala Vysoká škola polytechnická Jihlava, Tolstého 16, Jihlava, 2019 Tisk Ediční oddělení VŠPJ, Tolstého 16, Jihlava Za jazykovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídá autor. Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. c doc. RNDr. Petr Gurka, CSc., Ing. Stanislava Dvořáková, Ph.D., 2019

P edmluva Tato u ebnice je ur ena p edev²ím poslucha m V PJ p edm tu Matematika 2 bakalá ských studijních obor Aplikovaná informatika, Aplikovaná technika pro pr myslovou praxi a Po íta ové systémy a také student m plánovaných magisterských studijních program. Jako dopl kový studijní materiál ji mohou vyuºít také poslucha i studijních obor Finance a ízení a Cestovní ruch. Hlavním cílem u ebnice je umoºnit tená i seznámit se s nejd leºit j²ími pojmy diferenciálního a integrálního po tu funkcí více reálných prom nných a vztahy mezi nimi, dále s oby ejnými diferenciálními rovnicemi a jejich soustavami a také s Laplaceovou a Fourierovou transformací a jejich aplikacemi. Nutnými p edpoklady k porozum ní výkladu jsou základní znalosti a dovednosti st edo²kolské matematiky, p edev²ím znalosti z teorie mnoºin a výrokové logiky, znalost základních elementárních funkcí, úprav výraz, e²ení rovnic a nerovnic (algebraických i nealgebraických), dále pak znalost diferenciálního a integrálního po tu funkce jedné reálné prom nné (v rozsahu p edm tu Matematika 1 pro vý²e zmín né obory) a základ lineární algebry. U v t²iny poslucha bakalá ského studia jsou poºadované matematické znalosti zna n nevyrovnané a neúplné. Proto bylo na²í hlavní motivací celou problematiku pojmout d kladn ji, podrobn ji a v souvislostech. V diferenciálním po tu funkcí více prom nných se z tohoto d vodu nejd íve v nujeme p ístupu pouºívaném pro funkce jedné prom nné a snaºíme se objasnit tená i, pro je vhodné v p ípad funkcí více prom nných tento p ístup zm nit. Sou asn se v n kterých místech výkladu pokou²íme o obecn j²í pohled na celou problematiku, aby bylo lépe vid t, jak v²e funguje. Na²ím cílem bylo vytvo it text, který by byl pokud moºno sob sta ný a který by tedy nevyºadoval p i studiu pouºívání dal²í matematické literatury, a to také s ohledem na skute nost, ºe u ebnice je ur ena rovn º poslucha m kombinovaného studia. Z tohoto d vodu jsme do textu za- adili i n které partie týkající se výrokové logiky a mnoºin (p edev²ím íselných) a n které nezbytné partie z lineární algebry. Výklad jsme se snaºili uspo ádat p ehledn, aby bylo moºné se v n m jednoduchým zp sobem orientovat. Kaºdá z kapitol tvo í relativn uzav ený celek, má svoji výkladovou ást dopln nou o p íklady. Na za átku kaºdé kapitoly (s výjimkou obou dodatk ) je vyjmenováno, co by se m l tená v p íslu²né kapitole dozv d t. U ebnice neobsahuje p íli² mnoho e²ených p íklad a tená v ní nenajde ani cvi ení k jednotlivým kapitolám. To byl zám r, nebo existuje sbírka p íklad [3], která studovanou problematiku více neº dostate n pokrývá. Hlavními stavebními kameny výkladu jsou denice, které slouºí k zavedení nových pojm, a matematické v ty, v nichº jsou formulovány d leºité vztahy mezi jednotlivými matematickými objekty. Výklad je na n kterých místech dopln n pro v t²í názornost obrázky. D kazy v t, které zpravidla bývají nezbytnou sou ástí kaºdého matematického textu, se zde vyskytují jen tam, kde si myslíme, ºe uvedení d kazu m ºe p isp t k lep²ímu porozum ní významu p íslu²né

v ty. Pouºití v ty potom v t²inou ilustrujeme na p íkladech. ƒasto také p ipojujeme poznámku, ve které podrobn ji vysv tlujeme význam p íslu²né denice nebo v ty a d sledky, které z ní bezprost edn vyplývají. V²echny tyto poznámky sice nejsou pro pochopení dal²ího výkladu bezpodmíne n nutné, na druhé stran v²ak umoº ují d kladn ji pochopit studovanou problematiku. Pro lep²í orientaci jsou denice, v ty, poznámky, p íklady a formule íslovány dvojicí ísel, z nichº první udává íslo p íslu²né kapitoly. Náro n j²í partie ur ené hlavn váºn j²ím zájemc m jsou ozna eny hv zdi kou. Pod kování Auto i Text a obrázky byly vytvo eny s pomocí programu L A TEX a p íslu²ného balíku maker AMSTEX od Americké matematické spole nosti, obrázky byly v t²inou vytvo eny pomocí programu TikZ. N které grafy funkcí byly vytvo eny pomocí program Mathematica a MATLAB. Auto i d kují ob ma recenzent m za cenné komentá e a p ipomínky, které na mnoha místech umoºnily zlep²ení výkladu. (poslední aktualizace: 1. dubna 2019, 20:08, Praha, CZ) 4 V P Jihlava, 2019

Obsah 1 Funkce v R n, spojitost, limita 9 1.1 Pojem funkce............................. 9 1.1.1 Funk ní p edpis, deni ní obor, obor hodnot, graf..... 9 1.1.2 Spojitost funkce jedné prom nné.............. 11 1.2 Funkce n-prom nných........................ 12 1.2.1 Prostor R n, deni ní obor, obor hodnot, graf funkce.... 12 1.3 Norma, metrika, topologie v R n................... 16 1.3.1 Prostor R 2........................... 16 1.3.2 R n a obecn j²í normovaný lineární prostor......... 17 1.3.3 Posloupnosti.......................... 18 1.3.4 Speciální body a mnoºiny.................. 20 1.4 Limita a spojitost funkce....................... 26 1.4.1 Limita funkce......................... 27 1.4.2 Spojitost funkce........................ 29 1.4.3 Spojitost elementárních funkcí................ 30 2 Diferencovatelnost funkce 32 2.1 Derivace................................ 32 2.1.1 Derivace funkce jedné prom nné a te na v bod grafu... 32 2.1.2 Parciální derivace, te ná rovina............... 35 2.1.3 Výpo et parciálních derivací................. 38 2.1.4 Parciální derivace vy²²ích ád................ 40 2.2 Diferencovatelnost funkce....................... 42 2.2.1 Slabý diferenciál, derivace ve sm ru............. 42 2.2.2 Silný diferenciál........................ 45 2.2.3 Diferencovatelnost v R n................... 46 2.2.4 Derivace sloºené funkce.................... 48 2.2.5 V ta o implicitní funkci................... 49 2.2.6 Te ná nadrovina a normála funkce zadané implicitn... 51 3 Extrémy funkce 54 3.1 Taylor v polynom........................... 54 3.1.1 Taylor v polynom funkce jedné prom nné......... 54 V P Jihlava, 2019 5

3.1.2 Taylorova v ta pro funkci n prom nných.......... 55 3.1.3 Totální diferenciály vy²²ích ád............... 56 3.1.4 Taylorova v ta pro n = 2, m = 2.............. 57 3.2 Lokální extrémy............................ 59 3.2.1 Co je lokální extrém..................... 59 3.2.2 Existence lokálních extrém................. 60 3.2.3 Lokální extrémy funkce dvou prom nných......... 62 3.3 Vázané lokální extrémy........................ 64 3.3.1 Co je vázaný lokální extrém................. 64 3.3.2 Dosazovací metoda...................... 65 3.3.3 Úrov ové k ivky....................... 69 3.3.4 Metoda Lagrangeových multiplikátor........... 70 3.3.5 Význam Lagrangeova multiplikátoru............ 72 3.3.6 Dosazovací metoda versus Lagrangeova metoda...... 73 3.4 Globální extrémy........................... 73 3.4.1 Denice, existence, p íklady................. 73 4 Ur itý integrál v R n 76 4.1 Riemann v integrál v R 1 a v R 2................... 77 4.1.1 Jednorozm rný integrál.................... 77 4.1.2 Dvojrozm rný integrál na intervalu............. 82 4.1.3 Vícerozm rný integrál na mnoºin.............. 85 4.2 Výpo et vícerozm rného integrálu.................. 88 4.2.1 Fubiniova v ta......................... 88 4.2.2 V ta o substituci....................... 93 4.2.3 P ehled nejpouºívan j²ích substitucí v R 2 a v R 3...... 95 4.3 Aplikace vícerozm rného integrálu.................. 96 4.3.1 Obsah, objem, hmotnost, momenty, t ºi²t......... 97 5 Diferenciální rovnice 1. ádu 101 5.1 Základní pojmy............................ 102 5.1.1 Diferenciální rovnice 1. ádu a její e²ení.......... 102 5.1.2 Cauchyova úloha pro diferenciální rovnici.......... 105 5.2 Základní typy diferenciálních rovnic 1. ádu............ 107 5.2.1 Rovnice se separovanými prom nnými........... 107 5.2.2 Diferenciální rovnice homogenní............... 110 5.3 Lineární diferenciální rovnice 1. ádu................ 112 5.3.1 Existence a jednozna nost e²ení.............. 112 5.3.2 Metoda integra ního faktoru................. 116 5.3.3 Lineární diferenciální rovnice 1. ádu s konstantními koecienty............................. 117

6 Lineární diferenciální rovnice vy²²ího ádu a soustavy prvního ádu 121 6.1 Lineární rovnice 2. ádu s konstantními koecienty......... 122 6.1.1 e²ení homogenní lineární rovnice.............. 122 6.1.2 e²ení nehomogenní rovnice metodou neur itých koecient 123 6.2 * Soustava lineárních rovnic 1. ádu a rovnice ádu n....... 124 6.2.1 Soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. ádu..... 124 6.2.2 Lineární diferenciální rovnice ádu n............ 128 6.2.3 Metoda variace konstant................... 129 6.2.4 Variace konstant pro nehomogenní rovnici ádu n..... 131 6.3 Soustava lineárních rovnic s konstantní maticí........... 132 6.3.1 Elimina ní metoda...................... 132 6.3.2 Maticová exponenciála.................... 133 6.3.3 Vlastní ísla a vlastní vektory matice............ 134 6.3.4 e²ení homogenní soustavy, Jordanovy bu ky....... 135 6.3.5 Metoda neur itých koecient pro soustavu........ 140 7 Integrální transformace 142 7.1 Laplaceova transformace....................... 142 7.1.1 Denice a základní vlastnosti................ 143 7.1.2 Základní vzorce a pravidla.................. 145 7.2 Zp tná Laplaceova transformace................... 147 7.2.1 P edm t k racionální funkci................. 148 7.2.2 Zp tná transformace obrazu impulsu, konvoluce...... 149 7.3 e²ení diferenciálních rovnic..................... 150 7.3.1 Diferenciální rovnice 2. ádu................. 150 7.3.2 Soustava diferenciálních rovnic 1. ádu........... 152 7.4 *Fourierova transformace....................... 154 7.4.1 Denice a vlastnosti Fourierovy transformace....... 154 7.4.2 Inverzní Fourierova transformace.............. 158 7.5 *Aplikace Fourierovy transformace................. 159 7.5.1 Výpo et ur itého integrálu.................. 159 7.5.2 Inverzní Laplaceova transformace.............. 160 7.5.3 Shannonova vzorkovací v ta................. 161 8 Dodatek A Základní pojmy 162 8.1 Výroková logika a mnoºiny...................... 162 8.1.1 Výroky, kvantikátory.................... 162 8.1.2 Mnoºiny............................ 165 8.2 ƒíselné mnoºiny............................ 166 8.2.1 Mnoºina reálných ísel.................... 167 8.2.2 Mnoºina komplexních ísel.................. 173

9 Dodatek B 179 9.1 Ur itý Riemann v integrál...................... 179 9.1.1 Nevlastní Riemann v integrál v R 1............. 179 9.1.2 Riemann v n-rozm rný integrál na intervalu........ 181 9.1.3 *M itelné mnoºiny, prostory integrovatelných funkcí... 182 9.1.4 *Lebesgue v ur itý integrál poznámky......... 184 9.1.5 *Výpo et jednorozm rného ur itého integrálu pomocí dvojného.............................. 185 9.2 Normovaný lineární prostor..................... 188 9.2.1 Lineární prostor........................ 188 9.2.2 Norma na lineárním prostoru................ 194 9.2.3 *Metrika a topologie..................... 195 9.2.4 *Cauchyovská posloupnost, úplný prostor.......... 196 9.3 Lineární a kvadratické formy..................... 197 9.3.1 Lineární zobrazení, lineární formy, nadroviny........ 197 9.3.2 Kvadratické formy na R n................... 200 Literatura 206 Rejst ík 207 8 V P Jihlava, 2019

1. Funkce v R n, spojitost, limita V této kapitole se seznámíme s funkcemi n-prom nných. Vysv tlíme si podrobn, co rozumíme pod pojmem spojitost funkce v bod a spojitost funkce na mnoºin. V souvislosti s tím je pot eba zavést topologii (systém okolí bod ) na mnoºin R n. Tato topologie je indukována metrikou (vzdáleností bod ) na R n, která je denována pomocí normy (vzdálenosti od po átku) prvk lineárního prostoru R n. Se spojitostí úzce souvisí pojem limity funkce v bod. V souvislosti s uvedenými pojmy je nutné zavést pojem posloupnost a dále zavést r zné typy mnoºin. Cíle Po prostudování kapitoly budete v d t, co je funkce n-prom nných, co rozumíme jejím deni ním oborem, oborem hodnot, grafem a co znamená, ºe se dv funkce sob rovnají; co se rozumí pod pojmem normovaný lineární prostor R n, jak je na n m denovaná norma, metrika a topologie; co je mnoºina otev ená, uzav ená, omezená, kompaktní v R n, souvislá mno- ºina a oblast, co je hromadný a co izolovaný bod; co je posloupnost v R n, kdy je monotonní, omezená a kdy je konvergentní; co znamená, ºe funkce je spojitá v bod a ºe je spojitá na dané mnoºin ; co je limita funkce (v hromadném bod ) a jaký je její vztah ke spojitosti funkce v tomto bod. 1.1 Pojem funkce 1.1.1 Funk ní p edpis, deni ní obor, obor hodnot, graf Nejd íve zopakujeme, co rozumíme pod pojmem funkce (n kdy se pouºívá také pojem zobrazení) v obecném smyslu. V P Jihlava, 2019 9

1.1.1 Funk ní p edpis, deni ní obor, obor hodnot, graf Denice 1.1: Nech A, B jsou dv neprázdné mnoºiny. Denujeme kartézský sou in A B jako mnoºinu v²ech uspo ádaných dvojic (a, b), kde a A, b B, tj. A B = {(a, b) ; a A, b B}. Denice 1.2: Jsou dány neprázdné mnoºiny A, B. Funkce f z A do B (psáno f : A B), je taková podmnoºina kartézského sou inu A B, která spl uje podmínku (a, b) f (a, b ) f = b = b. (1.1) Podmínka (1.1) znamená, ºe jestliºe (a, b) f, pak prvku a odpovídá práv jeden prvek b. Místo zápisu (a, b) f, lze tedy psát b = f(a) nebo f : a b b je funk ní hodnota funkce f v bod a, b je obraz prvku a funkcí f. Prvek a nazýváme vzor a prvek b obraz prvku a funkcí f. Existuje-li pravidlo, pomocí kterého je prvku a p i azen prvek b, nazývá se funk ní p edpis. Poznámka 1.3: Funkce f z Denice 1.2 je vlastn to, co v p ípad A = B = R v t²inou povaºujeme za graf funkce f. (Co chápeme pod pojmem graf funkce uvedeme v Denici 1.12 (iii).) P íklad 1.4: Co rozumíme funk ním p edpisem vysv tlíme na n kolika p íkladech (grafy p íslu²ných funkcí jsou na Obrázku 1.1). Funkce zadaná rovnicí explicitn. Jedná se o b ºný funk ní p edpis, na který jsme zvyklí, nap. f 1 : y = 2x + 1. Funkce zadaná rovnicí implicitn. Zde se jedná o rovnici, kde ov²em není vyjád eno y pomocí x, nap. f 2 : x 2 + y 2 = 1, y 0. V²imn me si, ºe podmínka y 0 je zde d leºitá. Kdyby tam nebyla, nejednalo by se o funkci, nebo nap. pro x = 0 dané rovnici vyhovují dv hodnoty y = 1 a y = 1, takºe není spln na podmínka (1.1). Funkce denovaná po ástech. Jedná se o funkci, která je zadaná na r zných mnoºinách r znými p edpisy, nap. { x pro x < 0, f 3 : y = x 2 pro x 0. 10 V P Jihlava, 2019

1.1.2 Spojitost funkce jedné prom nné y 5 f 1 4 y 3 2 1 0 2 1 0 1 1 2 2 3 x -1 y 1 f 2 1 x 4 f 3 3 2 1 0 2 1 0 1 1 2 2 x Obrázek 1.1: Grafy funkcí z p íkladu 1.4 Mnoºiny A, B v Denici 1.2 mohou být naprosto libovolné neprázdné mno- ºiny, tedy nemusí se jednat nutn o íselné mnoºiny. My jsme se v p edm tu Matematika 1 zabývali reálnými funkcemi jedné reálné prom nné f : R R, v tom p ípad jsou A, B mnoºinami reálných ísel, tj. A = B = R. U funkcí n prom nných budeme mít také B = R, ale A = R n (Prostor R n bude zaveden pozd ji v Denici 1.7.). Denice 1.5: Nech f : A B. Denujeme deni ní obor funkce f: obor hodnot funkce f: D(f) = {a A ; (a, b) f}, R(f) = {b B ; (a, b) f}. 1.1.2 Spojitost funkce jedné prom nné Jedním ze základním pojm, se kterým se setkáme p i studiu reálných funkcí jedné reálné prom nné, je spojitost funkce (a uº lokální v bod, nebo globální na mnoºin ) a s ním úzce související pojem limita funkce. P ipome me denici spojitosti funkce f : R R v bod. Denice 1.6: Funkce f : R R je spojitá v bod a, jestliºe ke kaºdému íslu ε > 0 existuje íslo δ > 0 tak, ºe pro kaºdý bod x, pro který je x a < δ, platí f(x) f(a) < ε (viz Obrázek 1.2). Na reálné ose R nerovnost x a < δ znamená, ºe vzdálenost ísla x od a je men²í neº δ (podobn f(x) f(a) < ε znamená, ºe vzdálenost ísla f(x) od f(a) je men²í neº ε). Místo toho, ºe bod x je od bodu a vzdálen o mén neº δ, m ºeme psát, ºe se bod x nachází v δ-okolí bodu a (toto okolí budeme zna it U δ (a)), podobn lze místo f(x) f(a) < ε psát f(x) U ε (f(a)). V P Jihlava, 2019 11

1.2 Funkce n-prom nných f f(x) f(x) f(a) < ε f(a) x a < δ a x Obrázek 1.2: Spojitost funkce f(x) v bod a K vyjád ení vzdálenosti dvou ísel jsme vyuºili absolutní hodnotu (normu) reálného ísla, coº je vzdálenost reálného ísla od nuly. Pomocí absolutní hodnoty je tedy moºné denovat vzdálenost dvou reálných ísel (metriku na R). K tomu pot ebujeme v d t, ºe vzdálenost d(x, y) reálných ísel x, y je stejná jako vzdálenost ísel y x a 0 (0 = x x). To znamená, ºe d(x, y) = y x (viz Obrázek 1.3). Tuto vlastnost, typickou pro mnoºinu reálných ísel R, mohou mít i obecn j²í struktury, tzv. normované lineární prostory (více podrobností uvedeme v sekci 9.2.2). y x y x 0 y x x y R Obrázek 1.3: Vzdálenost dvou reálných ísel 1.2 Funkce n-prom nných 1.2.1 Prostor R n, deni ní obor, obor hodnot, graf funkce V základním kurzu z lineární algebry jsme se seznámili s lineárním prostorem n-rozm rných aritmetických vektor. P ipome me denici tohoto prostoru. Denice 1.7: Prostor R n, n N, je tvo en uspo ádanými n-ticemi reálných ísel, tj. R n = {(a 1,..., a n ) ; a 1,..., a n R}. 12 V P Jihlava, 2019

1.2.1 Prostor R n, deni ní obor, obor hodnot, graf funkce Prvky prostoru R n budeme nazývat vektory a zna it je budeme tu nými malými písmeny (nap. a, b). Na R n denujeme dv operace, sou et vektor a násobení vektor reálným íslem. Pro a, b R n, r R je a + b = (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ), r a = r (a 1,..., a n ) = (r a 1,..., r a n ). Poznámka 1.8: Vektor x z lineárního prostoru R n v t²inou zapisujeme pomocí jeho sou adnic do ádku, tj. x = (x 1,..., x n ). N kdy je pot eba tento vektor zapsat do sloupce (tj. jako matici typu (n, 1)), v tomto p ípad pouºijeme zna- ení x T. Poznámka 1.9: Pod pojmem lineární nebo také vektorový prostor si lze p edstavit mnohem obecn j²í objekt neº prostor R n. P ípadní zájemci najdou n které dal²í podrobnosti a souvislosti v sekci 9.2.1. Denice 1.10: Funkci f : R n R, kde R n je prostor denovaný v Denici 1.7, nazveme funkcí n (reálných) prom nných. Je-li x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, r, s R, pak pouºíváme zna ení f(rx + sy) = f(rx 1 + sy 1,..., rx n + sy n ). P íklad 1.11: Uvaºujme funkci dvou prom nných f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = 3x 1 5x 2 2. Pro x = (7, 2) máme f(x) = f(7, 2) = 3 7 5 ( 2) 2 = 21 20 = 1. Je-li x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), r, s R, pak f(rx + sy) = f(rx 1 + sy 1, rx 2 + sy 2 ) = 3(rx 1 + sy 1 ) 5(rx 2 + sy 2 ) 2. Pro x = (7, 2) a y = ( 1, 5) je f(4x + 2y) = 3 [4 7 + 2 ( 1)] 5 [4 ( 2) + 2 5] 2 = 3 26 5 (2) 2 = 58. Podobn jako u funkce jedné prom nné zavedeme pojmy deni ní obor, obor hodnot a graf funkce f. (Obrázek 1.4) Denice 1.12: Pojmy deni ní obor, obor hodnot a graf funkce denujeme následujícím zp sobem. V P Jihlava, 2019 13

1.2.1 Prostor R n, deni ní obor, obor hodnot, graf funkce (i) Deni ní obor funkce f (zna íme D(f)) je mnoºina v²ech x R n, pro n º existuje z R takové, ºe f(x) = z. Není-li e eno jinak, povaºujeme za deni ní obor funkce f mnoºinu v²ech x, pro které má f(x) smysl. (ii) Obor hodnot funkce f (zna íme R(f)) je mnoºina v²ech z R takových, ºe z = f(x) pro n jaké x D(f). (iii) Graf funkce f je mnoºina v²ech bod (x, f(x)) zobrazených v R n+1 s kartézským systémem sou adnic (sou adnicové osy jsou na sebe kolmé a jednotky na v²ech osách jsou stejn velké). z obor hodnot R(f) z 0 = f(x 0, y 0 ) (x 0, y 0, z 0 ) y z = f(x, y) graf funkce y 0 deni ní obor D(f) x 0 x = (x 0, y 0 ) x Obrázek 1.4: Deni ní obor a obor hodnot funkce dvou prom nných Je-li f spojitá funkce dvou prom nných (spojitost vysv tlíme v sekci 1.4.2), pak jejím grafem je plocha v prostoru R 3. P íklad 1.13: Uvaºujme funkci f(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x 2 2. Jejím deni ním oborem je dle Denice 1.12 (i) mnoºina v²ech (x 1, x 2 ) R 2, které vyhovují podmínce 1 x 2 1 x 2 2 0. P epsáním této podmínky do tvaru x 2 1 + x 2 2 1 ihned vidíme, ºe body (x 1, x 2 ) tvo í v R 2 kruh se st edem v po átku (0, 0) a polom rem 1 (Obrázek 1.5). Vzhledem k tomu, ºe x 2 1 + x 2 2 0 pro v²echny (x 1, x 2 ) R 2, je vid t, ºe výraz 1 x 2 1 x 2 2 nabývá v²ech hodnot mezi 0 a 1, tedy obor hodnot funkce f je mnoºina R(f) = 0, 1. Denice 1.14: Funkce f, g jsou si rovny, (zna íme f g), jestliºe mají stejné grafy. To znamená, ºe D(f) = D(g) = D a pro kaºdý prvek x D platí f(x) = g(x). 14 V P Jihlava, 2019

1.2.1 Prostor R n, deni ní obor, obor hodnot, graf funkce x 2 1 D(f) 1 x 2-1 1 x 1 1 1-1 1 1 x 1 Obrázek 1.5: Deni ní obor a graf funkce f(x 1, x 2 ) = 1 x 2 1 x 2 2 Pro jednoduchost tento pojem vysv tlíme na dvojici funkcí jedné prom nné. P íklad 1.15: Zjist te, zda si jsou rovny funkce f a g s funk ními p edpisy x 2 x 2 f(x) = x + 5, g(x) =. x + 5 e²ení: Funkce f(x) = x 2 x+5 je denovaná pro v²echna reálná ísla x spl ující podmínku x 2 0, tedy D(f) = (, 5) 2, ). x+5 Funkce g(x) = x 2 x+5 je denovaná pro v²echna reálná ísla x spl ující podmínky x 2 0 x + 5 > 0, tedy D(g) = 2, ). x 2 Funkce f a g si nejsou rovny, p estoºe = x 2 x+5 x+5 pro x 2, ). Funkce mají r zné deni ní obory, tedy i grafy. (Obrázek 1.6) y 8 y 8 6 4 f(x) = x 2 x+5 6 4 g(x) = x 2 x+5 2 2 0 8 6 4 2 0 2 4 6 x 0 6 4 2 0 2 4 6 x Obrázek 1.6: Grafy funkcí f(x) = x 2 x+5 a g(x) = x 2 x+5 V P Jihlava, 2019 15

1.3 Norma, metrika, topologie v R n 1.3 Norma, metrika, topologie v R n V odstavci 1.1.2 jsme si p ipomn li, co je to spojitost v bod funkce jedné prom nné. Nyní zavedeme spojitost pro funkce n-prom nných. Tento pojem, jak jsme si p ipomn li, úzce souvisí s pojmy norma, metrika a topologie. 1.3.1 Prostor R 2 Nejjednodu²²ím p íkladem je prostor R 2 (tj. rovina) s normou x = (x 1, x 2 ) R 2 denovanou takto: x = x 2 1 + x 2 2. Pro dva body x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) v R 2 pak jejich vzdálenost denujeme jako d(x, y) = y x = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2, coº je známá euklidovská vzdálenost dvou bod v rovin. (Obrázek 1.7) y y 2 x 2 x d(x,y) y 1 x 1 y y2 x2 x 1 y 1 x Obrázek 1.7: Euklidovská vzdálenost dvou bod Od vzdálenosti (metriky) p ejdeme snadno k topologii (tj. systému okolí bod ). Vlastnost, ºe bod y má od bodu x vzdálenost men²í neº malé kladné íslo ε (tj. d(x, y) < ε) znamená, ºe se bod y nachází v okolí bodu x o polom ru ε (tj. x U ε (x), kde U ε (x) = {t ; d(x, t) < ε}). Celá konstrukce vypadá takto: norma (vzdálenost od nuly) metrika (vzdálenost) topologie (systém okolí) P i denování pojmu limita se pot ebujeme blíºit k jistému bodu, p i emº v R to lze pouze po p ímce, a uº z obou stran, zleva nebo zprava. P echodem do roviny R 2, p ípadn do obecn j²ího prostoru (v na²em p ípad tzv. normovaného lineárního prostoru) v²ak dochází k tomu, ºe se do daného bodu m ºeme blíºit z r zných stran, a nemusí to být po p ímce, dokonce ani po spojité k ivce. Zde 16 V P Jihlava, 2019

1.3.2 R n a obecn j²í normovaný lineární prostor je vid t, pro je lep²í místo absolutní hodnoty (normy) nebo vzdálenosti (metriky) pracovat p ímo s okolími bod (topologií). Tento p ístup totiº lépe vystihuje skute nost, ºe se p íslu²né body nacházejí blízko sebe. V rovin a v obecn j²ích prostorech jiº také nevysta íme s tak jednoduchými útvary, jakými jsou intervaly v R. V následujících sekcích si proto nejd íve musíme vybudovat základní aparát. Krom jiº zmín ných pojm lineární prostor, norma, metrika a topologie se seznámíme s n kterými speciálními typy bod a mnoºin, které budou nezbytné pro na²e dal²í úvahy. 1.3.2 R n a obecn j²í normovaný lineární prostor Na lineárním prostoru R n zavedeme normu a p íslu²nou topologii. Denice 1.16: Na lineárním prostoru R n denujeme normu (vzdálenost od po- átku) p edpisem ( n ) 1/2, x = x 2 i x R n, (1.2) i=1 a k ní p íslu²nou metriku d (vzdálenost dvou bod ) ( n ) 1/2, d(x, y) = y x = (y i x i ) 2 x, y R n. (1.3) i=1 Poznámka 1.17: Norma (1.2) se nazývá euklidovská. V²imn me si, ºe pro n = 1, 2, 3 je norma x rovna vzdálenosti bodu x od po átku sou adnic. Pro n = 1 je x = x 2 = x. Pro n = 2 je podle Pythagorovy v ty íslo (x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2 rovno velikosti úhlop í ky obdélníka o velikostech hran x 1 a x 2. Analogicky pro n = 3 je íslo (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 rovno velikosti t lesové úhlop í ky kvádru o velikostech hran x 1, x 2 a x 3. Denice 1.18: V prostoru R n denujeme skalární sou in (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v 1 + + u n v n. (1.4) Poznámka 1.19: Euklidovskou normu (1.2) vektoru x = (x 1,..., x n ) R n pak m ºeme vyjád it jako x = x x. (1.5) V dal²ím výkladu budeme symbolem R n vºdy zna it normovaný lineární prostor z Denice 1.7 s euklidovskou normou (1.2). Na tomto prostoru nyní zavedeme topologii, tedy systém okolí bod. Vzhledem k tomu, ºe n které úvahy jsou platné v obecném normovaném lineárním prostoru, nebudeme se výhradn omezovat na prostor R n a budeme p íslu²né denice a v ty formulovat pro obecný normovaný lineární prostor X, zkrácen NLP X. Obecná situace je pro p ípadné zájemce podrobn ji popsána v kapitole 9.2. V P Jihlava, 2019 17

1.3.3 Posloupnosti Denice 1.20: Nech X je NLP s normou a p íslu²nou metrikou d (pro X = R n viz (1.2) a (1.3)). Nech ε > 0, a X. Denujeme: ε-okolí bodu a U ε (a) = {x X ; d(x, a) < ε} = {x X ; x a < ε}, prstencové ε-okolí bodu a P ε (a) = U ε (a)\{a} = {x X ; 0 < d(x, a) < ε} = {x X ; 0 < x a < ε}. V p ípad, ºe polom r p íslu²ného okolí nebude podstatný, budeme ho v zápisech vynechávat, tj. budeme psát U(a) místo U ε (a) a P (a) místo P ε (a). y U ε (a) y P ε (a) ε ε a a x x Obrázek 1.8: ε-okolí bodu a a prstencové ε-okolí bodu a Okolí U ε (a) je tedy mnoºinou v²ech bod x X, které mají od bodu a vzdálenost men²í neº ε. V prostoru R 2 s euklidovskou normou (Obrázek 1.8) je to otev ený kruh (tj. kruh bez hrani ní kruºnice) s polom rem ε a st edem v bod a. Okolí P ε (a) je mnoºinou v²ech bod x X r zných od a, které mají od bodu a vzdálenost men²í neº ε. V prostoru R 2 s euklidovskou normou je to otev ený kruh s polom rem ε a st edem v bod a, ze kterého je vylou en st ed a. 1.3.3 Posloupnosti V Matematice 1 jsme se setkali s posloupnostmi v R. V normovaném lineárním prostoru posloupnost denujeme analogicky. Uvedeme zde pouze základní vlastnosti, které budeme dále pot ebovat. Denice 1.21: Posloupností prvk z NLP X budeme nazývat kaºdou funkci denovanou na mnoºin p irozených ísel N s hodnotami v X. 18 V P Jihlava, 2019

1.3.3 Posloupnosti Funk ní hodnoty posloupnosti se nazývají leny posloupnosti. Pro n-tý len posloupnosti x : N X pouºíváme zna ení x n = x(n). Zp soby zápisu posloupnosti x jsou: {x 1, x 2,... }, {x n }, {x n } n=1. P íklad 1.22: Posloupnost {1, 1 2, 1 3,... } m ºeme zapsat jako { 1 n } n=1. Denice 1.23: M jme posloupnost {x n } n=1. Nech {n k } k=1 je rostoucí posloupnost p irozených ísel (tj. n k N a n k < n k+1, k N). Posloupnost {x nk } k=1 se nazývá posloupnost vybraná z posloupnosti {x n } n=1. P íklad 1.24: Uvaºujeme-li posloupnost {1, 1, 1, 1, 1, 1,... }, pak z ní vybrané 2 3 4 posloupnosti jsou nap. {1, 1,... } a {1, 1, 1, 1,... }. 2 3 4 má limitu x (nebo také po- Denice 1.25: ekneme, ºe posloupnost {x k } k=1 sloupnost {x k } k=1 konverguje k x) a pí²eme lim x k = x, k jestliºe ke kaºdému okolí U(x) bodu x existuje íslo k 0 N tak, ºe pro v²echna k k 0 je x k U(x). Taková posloupnost se nazývá konvergentní. Posloupnost, která není konvergentní, se nazývá divergentní. Denice 1.26: Posloupnost {x k } k=1 se nazývá omezená, jestliºe existuje okolí po átku U(o) takové, ºe x n U(o) pro v²echna k N. v NLP X znamená, ºe exis- Poznámka 1.27: Omezenost posloupnosti {x k } k=1 tuje íslo R > 0 takové, ºe pro v²echna k N x k < R. Posloupnosti v normovaném lineárním prostoru mají podobné vlastnosti jako posloupnosti v R. Uve me zde n kolik nejd leºit j²ích. V ta 1.28: Nech {x n } n=1 je posloupnost v NLP X. (i) Posloupnost {x n } n=1 m ºe mít nejvý²e jednu limitu. (ii) Posloupnost {x n } n=1 je konvergentní, práv kdyº kaºdá z ní vybraná posloupnost {x nk } k=1 je konvergentní a má stejnou limitu jako p vodní posloupnost. V P Jihlava, 2019 19

1.3.4 Speciální body a mnoºiny (iii) Je-li posloupnost {x n } n=1 konvergentní, pak je omezená. P íklad 1.29: Pro lep²í názornost uvedeme p íklady v R. Posloupnost { 1 n } n=1 je konvergentní a má limitu 1 lim n n = 0. Posloupnost {1, 1, 1, 1, 1, 1,... } je omezená, ale není konvergentní. Z ní vybraná posloupnost {1, 1,... } je konvergentní s limitou 1. Jiná z ní vybraná 2 3 4 posloupnost {1, 1, 1, 1,... } je konvergentní s limitou 0. Ob limity jsou 2 3 4 r zné, takºe p vodní posloupnost je divergentní dle (ii) V ty 1.28. Sou- asn se jedná o posloupnost, která je omezená a je divergentní. 1.3.4 Speciální body a mnoºiny V této sekci budeme p edpokládat, ºe X je normovaný lineární prostor s topologií zavedenou v Denici 1.20. V t²ina denic a v t platí i pro obecný topologický prostor (tím máme na mysli neprázdnou mnoºinu M s topologií τ, viz Poznámku 9.50). Denice 1.30: M jme mnoºinu G v NLP X. Bod a je vnit ním bodem mno- ºiny G, jestliºe existuje okolí U(a) takové, ºe a U(a) G. Mnoºinu v²ech vnit ních bod mnoºiny G nazýváme vnit ek mnoºiny G, zna- íme int G. Denice 1.31: Mnoºina G v NLP X je otev ená, jestliºe kaºdý její bod je jejím vnit ním bodem, tj. jestliºe G = int G. P íklad 1.32: V R uvaºujme interval libovolného typu s krajními body a, b, kde < a < b <. Potom kaºdý bod x, a < x < b, je vnit ním bodem tohoto intervalu (viz Obrázek 1.9). Vnit kem takového intervalu je otev ený interval (a, b). a ε ε ( ) x Uε (x) b Obrázek 1.9: Interval a okolí bodu v R 20 V P Jihlava, 2019

1.3.4 Speciální body a mnoºiny 1 U(x) x (0, 0) Obrázek 1.10: Kruh a okolí bodu v R 2 V R 2 uvaºujme uzav ený kruh se st edem v po átku a polom rem 1, tj. mnoºinu K = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1}. Vnit ním bodem je práv takový bod x = (x, y), pro který je x 2 + y 2 < 1 (viz Obrázek 1.10). Vnit kem je otev ený kruh, tj. mnoºina {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1} V ta 1.33: (Vlastnosti otev ených mnoºin) (i) Sjednocení libovolného systému otev ených mnoºin je otev ená mnoºina. (ii) Pr nik kone ného systému otev ených mnoºin je otev ená mnoºina. P íklad 1.34: (P íklady otev ených mnoºin) (a) V NLP X: celý prostor X a prázdná mnoºina. (b) V R: (libovolný) otev ený interval, sjednocení (libovolného systému) otev ených interval. (c) V R 2 : vnit ek kruhu bez hrani ní kruºnice, vn j²ek kruhu bez hrani ní kruºnice, vnit ek kruhu bez hrani ní kruºnice s vyjmutými dv ma men²ími kruhy. (Obrázek 1.11) Denice 1.35: Mnoºina F v NLP X je uzav ená, jestliºe její dopln k X \ F je otev ená mnoºina. V ta 1.36: (Vlastnosti uzav ených mnoºin) (i) Pr nik libovolného systému uzav ených mnoºin je uzav ená mnoºina. (ii) Sjednocení kone ného systému uzav ených mnoºin je uzav ená mnoºina. V P Jihlava, 2019 21

1.3.4 Speciální body a mnoºiny y y y x x x Obrázek 1.11: P íklady otev ených mnoºin v R 2 P íklad 1.37: (P íklady uzav ených mnoºin) (a) V NLP X: celý prostor X a prázdná mnoºina. (b) V R: uzav ený interval a, b, polouzav ené intervaly a, ), (, b, a, b R, kone né sjednocení uzav ených interval. (c) V R 2 : vnit ek kruhu v etn hrani ní kruºnice (Obrázek 1.12), vnit ek kruhu s hrani ní kruºnicí s vyjmutými dv ma men²ími kruhy, hrani ní kruºnice, bod, úse ka. y y y x x x Obrázek 1.12: P íklady uzav ených mnoºin v R 2 P íklad 1.38: (P íklady mnoºin, které nejsou otev ené ani uzav ené) (a) V R: polouzav ený interval (a, b, kde a >. (b) V R 2 : vnit ek kruhu, ze kterého jsou vyjmuty dva men²í kruhy (Obrázek 1.13). Uzav enou mnoºinu je moºné ekvivalentn charakterizovat pomocí posloupností. 22 V P Jihlava, 2019

1.3.4 Speciální body a mnoºiny y x Obrázek 1.13: P íklad mnoºiny v R 2, která není otev ená ani uzav ená V ta 1.39: Mnoºina F je uzav ená, jestliºe pro kaºdou konvergentní posloupnost {x k } k=1 F, lim n x n = x, platí x F. (Mnoºina F je uzav ená, jestliºe kaºdá konvergentní posloupnost vybraná z bod mnoºiny F má limitu náleºející do mnoºiny F.) Denice 1.40: Nech je dána neprázdná mnoºina G v NLP X. (i) Bod a je hrani ní bod mnoºiny G, jestliºe pro kaºdé okolí U(a) bodu a platí U(a) G a zárove U(a) (X\G). (Jakékoli okolí bodu a obsahuje jak body mnoºiny G, tak body, které do mnoºiny G nepat í.) (ii) Mnoºina v²ech hrani ních bod mnoºiny G se nazývá hranice mnoºiny G. Zna íme ji symbolem G. Platí následující vztahy. V ta 1.41: Nech je dána mnoºina M v NLP X. (i) Hranice M je uzav ená mnoºina. (ii) Hranice M nemá vnit ní body, tj. int( M) =. P íklad 1.42: V R uvaºujme interval libovolného typu s krajními body a, b, kde < a < b <. Hranici tvo í dvoubodová mnoºina {a, b}. V R 2 uvaºujme otev ený kruh se st edem v po átku a polom rem 1, tj. mnoºinu {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 1}. Hranici tvo í kruºnice {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1}. Denice 1.43: Nech je dána neprázdná mnoºina M v NLP X. ekneme, ºe bod a je hromadným bodem mnoºiny M, jestliºe kaºdé prstencové okolí P (a) obsahuje n jaký bod z mnoºiny M, tj. platí M P (a). V P Jihlava, 2019 23

1.3.4 Speciální body a mnoºiny M v h i Obrázek 1.14: Vnit ní bod v, hrani ní bod h a izolovaný bod i mnoºiny M Mnoºinu v²ech hromadných bod mnoºiny M ozna íme symbolem M. Bod, který není hromadným bodem, se nazývá izolovaný bod. Hromadný bod m ºeme ekvivalentn charakterizovat takto. V ta 1.44: Bod a je hromadným bodem mnoºiny M, práv kdyº existuje konvergentní posloupnost {x n } n=1 M taková, ºe x k a, k N a lim n x n = a. (Hromadný bod mnoºiny M je bod, ke kterému konverguje posloupnost bod mnoºiny M, které jsou r zné od tohoto bodu.) P íklad 1.45: Hromadný bod mnoºiny M m ºe, ale nemusí pat it do mno- ºiny M. Kaºdý vnit ní bod x mnoºiny M je jejím hromadným bodem, který do ní pat í. Nap. bod x (a, b) je hromadným bodem intervalu (a, b). Hromadným bodem mnoºiny M = {1, 1, 1,... } je pouze bod 0 / M. 2 3 Denice 1.46: Mnoºina M v NLP X se nazývá omezená, jestliºe existuje n jaké okolí po átku U(o) takové, ºe obsahuje celou mnoºinu M, tj. M U(o). Denice 1.47: Neprázdná mnoºina K v R n se nazývá kompaktní, jestliºe je sou- asn uzav ená a omezená. Poznámka 1.48: Poznamenejme, ºe tato denice kompaktní mnoºiny je platná pouze v R n (p ípadn v prostoru kone né dimenze). V obecném p ípad je nutné místo omezenosti uvaºovat tzv. totální omezenost. 24 V P Jihlava, 2019

1.3.4 Speciální body a mnoºiny P i n kterých aplikacích se hodí následující charakterizace kompaktní mno- ºiny. V ta 1.49: Mnoºina K je v NLP X kompaktní, práv kdyº z kaºdé posloupnosti {x k } k=1 K je moºné vybrat konvergentní podposloupnost {x k m } m=1, jejíº limita je prvkem z K. Poznámka 1.50: Platí, ºe pomocí formulace z p edchozí v ty je moºné denovat kompaktní mnoºinu v libovolném NLP (tedy i nekone né dimenze), dokonce také v metrickém prostoru. P íklad 1.51: Jednoduchými p íklady kompaktních mnoºin v R jsou: jednobodová mnoºina, p ípadn kone ná mnoºina; uzav ený interval, p ípadn kone né sjednocení uzav ených interval. Jednoduchými p íklady kompaktních mnoºin v R 2 jsou: jednobodová mnoºina, p ípadn kone ná mnoºina; uzav ený kruh {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 r 2 }; kruºnice {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = r 2 }. Kompaktními mnoºinami nejsou nap. tyto mnoºiny: omezený otev ený interval v R (mnoºina není uzav ená); interval a, ) v R (mnoºina je uzav ená, ale není omezená); otev ený kruh {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < r 2 } (mnoºina není uzav ená). Denice 1.52: Mnoºina M v NLP X se nazývá souvislá, jestliºe pro kaºdé dva body a M, b M existuje funkce f : R X spojitá na intervalu 0, 1 taková, ºe f(0) = a, f(1) = b a mnoºina f ( 0, 1 ) = {f(t) ; t 0, 1 } M. Poznámka 1.53: (i) Spojitost funkce f : R X na intervalu 0, 1 zde chápeme ve smyslu spojitosti na mnoºin 0, 1 (viz Denici 1.64 níºe). (ii) Názorn lze íci, ºe souvislá mnoºina je mnoºina, jejíº kaºdé dva body lze spojit spojitou k ivkou, která celá leºí uvnit této mnoºiny. V P Jihlava, 2019 25

1.4 Limita a spojitost funkce (iii) Mnoºina M z Denice 1.52 je obloukov souvislá. Poznamenejme, ºe v NLP je tato denice ekvivalentní s denicí souvislé mnoºiny v obecném topologickém prostoru (tuto obecnou denici zde nebudeme uvád t a p ípadné zájemce odkazujeme nap. na knihu [4, Kapitola 1]). Denice 1.54: Mnoºina Ω v NLP X se nazývá oblast, je-li otev ená a souvislá. P íklad 1.55: Uvedeme n kolik p íklad souvislých mnoºin, dále mnoºin, které nejsou souvislé, p íklady oblastí a mnoºin, které nejsou oblastmi. y y x x Obrázek 1.15: P íklady mnoºin v R 2, které nejsou oblastmi Na Obrázku 1.15 vlevo je mnoºina, která není souvislá (bod v prvním kvadrantu nelze spojit s bodem ve t etím kvadrantu spojitou k ivkou, která by celá leºela v mnoºin ). Na Obrázku 1.15 vpravo je znázorn na mnoºina, která není otev ená. Ani jedna mnoºina tedy není oblastí. Kaºdá z mnoºin na Obrázku 1.11 je souvislá. Protoºe jsou zárov otev ené, jsou oblastmi. V²echny mnoºiny na Obrázku 1.12 a na na Obrázku 1.13 jsou souvislé, ale ºádná z nich není oblast, protoºe není otev ená. 1.4 Limita a spojitost funkce V denici limity funkce v bod u funkce jedné prom nné v t²inou poºadujeme, aby daná funkce byla denovaná na n jakém prstencovém okolí tohoto bodu. V obecn j²ím prostoru je výhodn j²í p edpokládat, ºe daný bod je pouze hromadným bodem deni ního oboru dané funkce. U spojitosti v bod pak sta í pouze p edpoklad, ºe daný bod pat í do deni ního oboru dané funkce (tedy nemusí být nutn vnit ním ani hromadným bodem deni ního oboru). 26 V P Jihlava, 2019

1.4.1 Limita funkce b + δ b b δ U(b) f P (a) a ε a a + ε 1.4.1 Limita funkce Obrázek 1.16: Limita funkce jedné prom nné Denice 1.56: Jsou dány NLP X, Y a funkce f : X Y. Nech a je hromadným bodem deni ního oboru D(f) funkce f. ekneme, ºe funkce f má v bod a X limitu b Y, pí²eme lim f(x) = b, jestliºe ke kaºdému prstencovému x a okolí P (a) bodu a existuje okolí U(b) bodu b takové, ºe pro kaºdé x X x P (a) D(f) = f(x) U(b). (1.6) Poznámka 1.57: U funkce f : R R jedné reálné prom nné (Obrázek 1.16) je místo (1.6) v denici limity lim x a f(x) = b implikace x P (a) = f(x) U(b), (1.7) tedy f(x) má smysl pro kaºdé x P (a). U funkce více prom nných (p ípadn u funkce na normovaném lineárním prostoru) se limita obvykle denuje v hromadném bod deni ního oboru. Tento poºadavek zaru í, ºe mnoºina P (a) D(f) není prázdná, tedy implikace (1.6) je netriviální. Porovnáme oba p ístupy pro ur ení limity pak lim x 0 x, dle denice pomocí (1.7) tato limita neexistuje (f(x) nemá smysl pro kaºdé x < 0, takºe platí pouze lim x 0 + x = 0); dle denice pomocí (1.6) je lim x 0 x = 0. V P Jihlava, 2019 27

1.4.1 Limita funkce Na následujících p íkladech objasníme, pro je denice pomocí (1.6) pro funkce více prom nných vhodn j²í. P íklad 1.58: Vypo ítejme limitu (funkce jedné prom nné) x 2 lim x 0 x. e²ení: Deni ní obor funkce f(x) = x 2 /x je mnoºina D(f) = R \ {0}, tedy P ε (0) D(f) pro libovolné ε > 0. Pro kaºdé x P ε (0) platí (jelikoº x 0) x 2 x = x, tedy x 2 lim x 0 x = lim x = 0, x 0 nebo dv funkce f, g, které se shodují na n jakém prstencovém okolí nuly P ε (0), mají stejnou limitu v nule (p ipome me, ºe poslední rovnost plyne z toho, ºe limita funkce g(x) = x spojité v nule je rovna její funk ní hodnot v nule). P íklad 1.59: Ur eme limitu (funkce dvou prom nných) (x 1 x 2 ) 2 lim. (1.8) (x 1,x 2 ) (0,0) x 1 x 2 e²ení: Ve výpo tu limity není oproti p edchozímu p íkladu rozdíl. Ozna íme-li x = x 1 x 2, sta í si v²imnout, ºe (x 1, x 2 ) (0, 0) = x 0. Tedy pokud limita (3.17) existuje, je rovna nule (na základ P íkladu 1.58). D le- ºitá je tedy hlavn její existence, která závisí na tom, jakou denici limity funkce v bod p ijmeme. Pokud budeme poºadovat, aby n jaké prstencové okolí P (0, 0) bylo podmnoºinou deni ního oboru funkce f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 /(x 1 x 2 ), limita (3.17) nebude existovat, protoºe tato podmínka není spln na pro ºádné prstencové okolí P (0, 0) (v²imn me si, ºe body na osách x 1, x 2 nepat í do deni ního oboru). Poºadujeme-li pouze, aby byl bod (0, 0) hromadným bodem deni ního oboru funkce f, coº je v tomto p ípad spln no, pak limita (3.17) existuje a je rovna nule. Pro výpo et limity funkce v bod je uºite ná následující v ta. 28 V P Jihlava, 2019

1.4.2 Spojitost funkce V ta 1.60: (Heine) Limita lim f(x) = b, práv kdyº lim f(x k ) = b pro kaºdou posloupnost {x k } k=1 x a k takovou, ºe x k a, k N, a lim x k = a. (Limita funkce f v bod a je rovna k limit funk ních hodnot kaºdé posloupnosti bod konvergující k bodu a.) V ta 1.60 je ²ikovným nástrojem, kdyº chceme dokázat, ºe limita v bod neexistuje. K ov ení této skute nosti pak sta í nalézt dv posloupnosti, které konvergují k danému bodu, a takové, ºe jejich funk ní hodnoty konvergují k r zným hodnotám (p ípadn divergují). P íklad 1.61: Pomocí V ty 1.60 ukaºme, ºe neexistuje limita e²ení: Volíme dv posloupnosti x + 3y lim (x,y) (0,0) x y. x k = ( 2 k, 1 k ), y k = ( 1 k, 1 k 2 ), které konvergují k bodu (0, 0) (v topologii prostoru R 2 ). Pak pro posloupnost {x k } dostaneme 2 lim + 3 k k k 2 1 = 5, k k ale pro posloupnost {y k } je lim k 1 + 3 k k 2 1 3 k k 2 = lim k 1 + 3 k 1 3 k = 1. 1.4.2 Spojitost funkce Denice 1.62: Nech X, Y jsou NLP. Funkce f : X Y je spojitá v bod a D(f), jestliºe ke kaºdému okolí U(a) bodu a existuje okolí U ( f(a) ) bodu f(a) takové, ºe pro kaºdé x X x U(a) D(f) = f(a) U ( f(a) ). (1.9) Na rozdíl od tradi ní denice spojitosti funkce jedné prom nné zde nepo- ºadujeme, aby byl bod a vnit ním bodem deni ního oboru p íslu²né funkce. Souvislost mezi spojitostí a limitou funkce v bod uvádíme v následující v t. V ta 1.63: Nech a je bodem deni ního oboru D(f) funkce f : X Y. Funkce f je spojitá v bod a, práv kdyº je spln na jedna z následujících podmínek: V P Jihlava, 2019 29

1.4.3 Spojitost elementárních funkcí (i) bod a je izolovaným bodem D(f); (ii) bod a je hromadným bodem D(f) a lim x a f(x) = f(a). D kaz.[náznak d kazu] (i) V²imn me si, ºe je-li a izolovaným bodem D(f), pak existuje okolí U(a) takové, ºe U(a) D(f) = {a}. V tomto p ípad je implikace (1.9) triviáln spln na. (ii) Tvrzení vychází p ímo z Denice 1.62. Denice 1.64: Nech X, Y jsou NLP. Nech M X je podmnoºinou deni ního oboru funkce f : X Y. ekneme, ºe funkce f je spojitá na mnoºin M, jestliºe je spojitá v kaºdém bod mnoºiny M (ve smyslu Denice 1.62). 1.4.3 Spojitost elementárních funkcí P ipome me, ºe za elementární funkce jedné prom nné povaºujeme funkce, které jsou vytvo eny z tzv. základních elementárních funkcí pomocí algebraických operací (sou et, rozdíl, sou in a podíl) a operace skládání funkcí. Mezi základní elementární funkce (jedné prom nné) pat í následující funkce (jedné prom nné): konstantní funkce, identita (p edpis y = x), odmocnina ádu n, kde n {2, 3,... }, exponenciální funkce (p edpis y = e x = exp(x), p irozený logaritmus (p edpis y = ln x), sinus, arkussinus a arkustangens. Pro ú ely zavedení elementárních funkcí n prom nných p idáme funkce projekce do k-té sou adnice P k (x 1,..., x k,..., x n ) = x k, k {1,..., n}. (1.10) Mezi základní elementární funkce pak místo identity zahrneme tyto projekce (v²imn me si, ºe projekce P 1 je v p ípad, ºe se jedná o funkci jedné prom nné, tj. n = 1, totéº co identita) a místo konstantní funkce jedné prom nné vezmeme konstantní funkci n prom nných. Názorn je moºné íci, ºe elementární funkce n prom nných je funkce f, kterou je moºné vyjád it p edpisem f : z = f(x 1,..., x n ), kde vpravo je výraz vytvo ený pomocí základních elementárních funkcí (jedné prom nné) s prom nnými x 1, x 2,..., x n. P íklad 1.65: Funkce f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 je evidentn elementární funkcí 3 prom nných, nebo je moºné ji vyjád it jako f = P 1 + P 2 + P 3. 30 V P Jihlava, 2019

1.4.3 Spojitost elementárních funkcí Nyní uvedeme d leºitou v tu, která nám zjednodu²í práci s elementárními funkcemi. V ta 1.66: Kaºdá elementární funkce f je spojitá na svém deni ním oboru D(f). Poznámka 1.67: Spojitost ve V t 1.66 je nutno chápat ve smyslu spojitosti na mnoºin D(f) (ve smyslu Denice 1.64). P íklad 1.68: V ta 1.66 je silným nástrojem pro výpo et limit funkcí n-prom nných. Limitu 1 + ln x lim (x,y) (1,2) x + y vypo ítáme tak, ºe do výrazu dosadíme x = 1, y = 2. Vyjde 1 + ln x lim (x,y) (1,2) x + y = 1 + ln 1 1 + 2 = 1 3. Poznamenejme, ºe jsme dále vyuºili V tu 1.63 (ii) a skute nost, ºe bod (1, 2) je vnit ním (tedy i hromadným) bodem deni ního oboru dané funkce. Záv re ná poznámka 1.69: Mnoho dal²ích úloh k tomuto tématu tená nalezne ve sbírce [3]. V P Jihlava, 2019 31

2. Diferencovatelnost funkce V této kapitole se seznámíme s derivací funkce více prom nných. Situace je pro funkci dvou a více prom nných výrazn odli²ná od situace pro funkci jedné prom nné. Z tohoto d vodu je tedy nutné nejd íve p ipomenout, ºe existence derivace v bod je ekvivalentní s existencí te ny ke grafu funkce v tomto bod, p i emº te na v okolí dotykového bodu dostate n p esn aproximuje graf funkce. Následn z toho plyne, ºe funkce je spojitá v bod, ve kterém má derivaci. U funkce dvou a více prom nných m ºeme zavést derivace ve sm rech sou adnicových os (parciální derivace), p ípadn také derivace v jiných sm rech. To nám v²ak automaticky nezaji² uje existenci te né roviny ani spojitost funkce v daném bod. Proto se zde, hlavn z hlediska aplikací, zavád jí pojmy: slabý (Gâtea v) diferenciál a silný (Fréchet v) diferenciál. Cíle Po prostudování kapitoly budete v d t, co je parciální derivace funkce více prom nných; co je slabý diferenciál funkce; co je silný diferenciál funkce; kdy je funkce diferencovatelná v bod ; jak vypadá rovnice te né nadroviny a rovnice normály ke grafu funkce; jak vypadá vzorec pro derivaci sloºené funkce více prom nných; jak lze vypo ítat derivaci funkce zadané implicitn. 2.1 Derivace 2.1.1 Derivace funkce jedné prom nné a te na v bod grafu Abychom správn pochopili geometrický význam te né roviny, p ipomeneme si geometrický význam te ny ke grafu funkce jedné prom nné. Te na ke grafu funkce 32 V P Jihlava, 2019

2.1.1 Derivace funkce jedné prom nné a te na v bod grafu f : R R v bod grafu (a, f(a)) je denovaná jako limitní p ípad se ny grafu funkce f, tj. p ímky procházející body (a, f(a)), (a + h, f(a + h)), h 0, (Obrázek 2.1). y f(a) + f (a)h f(a) f(a + h) T f te na se na a a + h x Tato se na má rovnici Obrázek 2.1: Se na a te na ke grafu funkce f s h : y f(a) = f(a + h) f(a) h (x a). (2.1) Derivace f (a) funkce f v bod je denována jako limita f f(a + h) f(a) (a) = lim. (2.2) h 0 h Jestliºe tato limita existuje, m ºeme v (2.1) provést limitní p echod h 0 a dostaneme se tak k rovnici p ímky t : y f(a) = f (a) (x a). (2.3) P ímka t se nazývá te na ke grafu funkce f v bod a. Je dobré si uv domit, ºe te na t je grafem lineární funkce t(x) = f(a) + f (a) (x a) = f(a) + A(x a), (2.4) kde A(h) = f (a) h je lineární funkcionál na R (viz odstavec 9.3.1). Nejd leºit j²í vlastností te ny t je, ºe v okolí bodu (a, f(a)) aproximuje (tj. dostate n p esn nahrazuje) funkci f. Toto snadno vidíme, p epí²eme-li (2.2) na tvar f(a + h) f(a) f (a)h lim = 0. (2.5) h 0 h V P Jihlava, 2019 33

2.1.1 Derivace funkce jedné prom nné a te na v bod grafu Ve jmenovateli zlomku je rozdíl hodnot a, a + h na ose x, v itateli pak je rozdíl hodnot f(a+h) (druhá sou adnice bodu na grafu funkce f, jehoº první sou adnice je a+h) a f(a)+f (a)h (druhá sou adnice bodu na te n t, jehoº první sou adnice je a + h). P ipome me, ºe veli ina δ h f(a) = f(a + h) f(a) (2.6) se nazývá skute ný p ír stek funkce f na intervalu s krajními body a, a + h, veli ina d h f(a) = f (a) h (2.7) se nazývá diferenciál (neboli p ibliºný p ír stek ) funkce f na intervalu s krajními body a, a + h. Rozdíl p esného p ír stku od p ibliºného p ír stku h f(a) = δ h f(a) d h f(a), (2.8) je chybou (odchylkou), které se dopustíme, kdyº nahradíme graf funkce te nou (Obrázek 2.2). Pomocí veli in (2.6), (2.7) a (2.8) lze (2.5) zapsat ve tvaru h f(a) lim h 0 h = lim h 0 δ h f(a) d h f(a) h = 0, (2.9) coº vyjad uje, ºe chyba aproximace, nahradíme-li graf funkce te nou v bod a, je v bod a + h ádov men²í neº h pro h 0. f(a + h) f(a) + f (a)h f(a) h f te na h f(a) d h f(a) chyba δ h f(a) skute ný p ír stek p ibliºný p ír stek (diferenciál) a a + h Obrázek 2.2: Význam derivace a te ny pro funkci jedné prom nné V²imn me si, ºe u funkce jedné prom nné je vlastnost aproximace grafu f te nou v bod a ekvivalentní s existencí derivace funkce f (a) v bod a, tedy s existencí limity (2.2). 34 V P Jihlava, 2019

2.1.2 Parciální derivace, te ná rovina 2.1.2 Parciální derivace, te ná rovina Pojem diferencovatelnost funkce v bod u funkce jedné prom nné vyjad uje existenci derivace této funkce v daném bod. U funkce více prom nných je p irozenou otázkou, co povaºovat za analogii derivace funkce jedné prom nné. Ukazuje se, ºe nejvhodn j²í je diferencovatelnost denovat pomocí vícerozm rné analogie te ny. Pro funkci dvou prom nných, jejímº grafem je plocha ve trojrozm rném prostoru, je moºné denovat pojem te ná rovina. Analogicky lze postupovat i v p ípad funkce více neº dvou prom nných, pak se p íslu²ný objekt nazývá te ná nadrovina. Jak uvidíme z následujícího výkladu, je pro denici te né (nad)roviny nej²ikovn j²í pouºít pojem diferenciálu, tj. zobrazení, které je vhodnou vícerozm rnou analogií lineární funkce (2.7). Podobn jako u spojitosti je otázka diferencovatelnosti funkce více prom nných mnohem sloºit j²í. Proto se zavádí r zné typy pomocných jednorozm rných derivací (derivace ve sm ru, parciální derivace) a také r zné typy diferenciál (slabý a silný diferenciál), p i emº souvislosti mezi existencí t chto derivací a diferenciál nejsou tak jednoduché jako u funkce jedné prom nné. Denice 2.1: Nech f : R n R je funkce n prom nných, n N, n 2. Parciální derivace 1. ádu funkce f v bod a = (a 1,..., a n ) R n podle prom nné x i, i {1,..., n}, je denována takto: f f(a 1,..., a i + h,..., a n ) f(a 1,..., a i,..., a n ) (a) = lim. x i h 0 h M ºeme se setkat také s jiným typem zna ení, tj. nap. místo f x i lze psát x i f, p ípadn f x i. Pro lep²í názornost si v²e nejd íve vysv tlíme na funkcích dvou prom nných, tj. nejd íve se budeme zabývat situací n = 2. Nech f : R 2 R je funkce dvou prom nných. Pak parciální derivace 1. ádu v bod (a, b) jsou (pouºíváme z = f(x, y) místo z = f(x 1, x 2 )) f (a, b) = lim x h 0 f(a + h, b) f(a, b), h f (a, b) = lim y h 0 f(a, b + h) f(a, b). h Situace v p ípad, ºe grafem této funkce je hladká plocha, je zobrazena na Obrázku 2.3. Parciální derivace f (a, b) podle první prom nné x je sm rnicí te ny t x 1 ke grafu funkce jedné prom nné x f(x, b) v bod x = a, p i emº graf této funkce i p íslu²ná te na t 1 leºí v rovin y = b. Podobn parciální derivace f (a, b) podle y druhé prom nné y je sm rnicí te ny t 2 ke grafu funkce jedné prom nné y f(a, y) v bod y = b. Op t graf této funkce i te na t 2 leºí v rovin x = a. Te ná rovina ke grafu funkce f v bod grafu T = ( a, b, f(a, b) ) je tedy rovina ur ená p ímkami t 1 a t 2 a je moºné napsat její rovnici. V P Jihlava, 2019 35

2.1.2 Parciální derivace, te ná rovina rovina x = a rovina y = b z y b t 1 a z = f(x, y) (a, b, f(a, b)) (a, b) x z b y a t 2 z = f(x, y) (a, b, f(a, b)) (a, b) x Obrázek 2.3: Parciální derivace funkce dvou prom nných Denice 2.2: P edpokládejme, ºe funkce f : R 2 R má ve vnit ním bod (a, b) svého deni ního oboru spojité ob parciální derivace f, f. Te ná rovina τ ke x y grafu funkce f v bod T = ( a, b, f(a, b) ) je rovina ur ena rovnicí τ : z f(a, b) = f f (a, b)(x a) + (a, b)(y b), (2.10) x y tj. obecnou rovnicí f x kde d = f(a, b) + f f (a, b)a + (a, b)b. x y f (a, b) x + (a, b) y z + d = 0, y Denice 2.3: Nech f : R 2 R spl uje p edpoklady Denice 2.2. P ímka ur- ená parametrickými rovnicemi n : x = a + f (a, b) t, x y = b + f (a, b) t, z = f(a, b) t, t R, y se nazývá normála ke grafu funkce f v bod grafu T = ( a, b, f(a, b) ). Vektor n = ( f f (a, b), (a, b), 1) p ímky n se nazývá normálový vektor. x y P íklad na výpo et rovnice te né roviny a normály ke grafu funkce dvou prom nných uvedeme pozd ji (viz P íklad 2.10). Poznámka 2.4: Pro je d leºité v denici te né roviny p edpokládat spojitost obou parciálních derivací? 36 V P Jihlava, 2019

2.1.2 Parciální derivace, te ná rovina rovina y = b rovina x = a z n normála T 2 T 1 te ná rovina b y a x Obrázek 2.4: Te ná rovina, normála K existenci parciální derivace f v (a, b) sta í, aby funkce f byla denovaná x v bodech (x, b), kde x (a δ, a+δ) pro n jaké δ > 0, tedy pouze na úse ce rovnob ºné s osou x, která má (a, b) za vnit ní bod. Podobn k existenci parciální derivace f y v (a, b) sta í, aby funkce f byla denovaná v bodech (a, y), kde y (b δ, b + δ) pro n jaké δ > 0, tedy pouze na úse ce rovnob ºné s osou y, která má (a, b) za vnit ní bod. To znamená, ºe rovnici (2.10) dostaneme bez ohledu na to, jaké je chování funkce f v okolí bodu (a, b) mimo p ímky x = a a y = b. Ukáºeme si tuto situaci na jednoduchém p íkladu. P íklad 2.5: Uvaºujme funkci f(x, y) = { 1 kdyº x = 0 nebo y = 0, tj. na osách, 0 kdyº x 0 a y 0, tj. mimo osy. Graf této funkce je na Obrázku 2.5. Snadno ov íme, ºe f x f (0, 0) = (0, 0) = 0, y ale rovina τ : z = 1 není te nou rovinou ke grafu funkce f v bod (0, 0, 1). Dokonce funkce f není spojitá v bod (0, 0). Platí totiº, ºe pro kaºdý bod (x, y), x a, y b, který se nachází v libovoln malém okolí P (a, b) bodu (a, b), je vzdálenost t etí sou adnice odpovídajícího bodu v rovin τ od t etí sou adníce odpovídajícího bodu na grafu funkce f rovna vºdy jedné. V P Jihlava, 2019 37

2.1.3 Výpo et parciálních derivací z y x Obrázek 2.5: Graf funkce z p íkladu 2.5 Obrázek 2.6: Graf funkce z p íkladu 2.6 M ºe také nastat situace, ºe v daném bod existuje ke grafu funkce te na v kaºdém sm ru, ale te ny neleºí v jedné rovin. P íklad 2.6: Funkce { 0 pro (x, y) = (0, 0) f(x, y) = 2x 2 y pro (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 nemá te nou rovinu v bod (0, 0). Uvaºujeme-li te ny v r zných sm rech sestrojené v tomto bod ke grafu funkce f, pak tyto te ny neleºí v jedné rovin. (Výpo et provedeme pozd ji, viz P íklad 2.19, situace je zobrazena na Obrázku 2.6.) 2.1.3 Výpo et parciálních derivací P i praktickém výpo tu parciální derivace platí v²echny vzorce a pravidla jako pro derivování funkce jedné prom nné. Prom nné, podle kterých se nederivuje, se chovají jako konstanty. Pro lep²í názornost vysv tlíme postup na n kolika p íkladech. 38 V P Jihlava, 2019

2.1.3 Výpo et parciálních derivací P íklad 2.7: Vypo ítejme parciální derivace funkce f(x, y) = x 2 + xy + y 2 v obecném bod (x, y) a v bod (1, 2). e²ení: Podle vzorc a pravidel pro derivování funkce jedné prom nné dostaneme f f (x, y) = 2x + y + 0 = 2x + y, x a po dosazení x = 1, y = 2 vyjde f f (1, 2) = 0, x (x, y) = 0 + x + 2y = x + 2y, (2.11) y (1, 2) = 3. y P íklad 2.8: Vypo ítejme parciální derivace funkce f(x, y) = x + y 2 v obecném bod (x, y) a v bod (9, 4). e²ení: Podle vzorc a pravidel pro derivování funkce jedné prom nné dostaneme f x (x, y) = 1 2 x + y, f 2 y (x, y) = 1 2 x + y 2y = y, (2.12) 2 x + y 2 tedy po dosazení x = 9, y = 4 vyjde f x (9, 4) = 1 10, f y (9, 4) = 4 5. P íklad 2.9: Vypo ítejme parciální derivace funkce t í prom nných v bod (x, y, z) Výsledky: f(x, y, z) = xy2 z 3 + 1 xz y 2. f x (x, y, z) = (y2 z 3 )(xz y 2 ) (xy 2 z 3 + 1)z, (xz y 2 ) 2 f y (x, y, z) = (2xyz3 )(xz y 2 ) + (xy 2 z 3 + 1)2y, (xz y 2 ) 2 f z (x, y, z) = (3xy2 z 2 )(xz y 2 ) (xy 2 z 3 + 1)x. (xz y 2 ) 2 V následujícím p íkladu pouºijeme parciální derivace pro stanovení rovnice te né roviny dle Denice 2.2. V P Jihlava, 2019 39

2.1.4 Parciální derivace vy²²ích ád P íklad 2.10: Ur eme rovnici te né roviny funkce f(x, y) = x + y 2 v bod jejího grafu T = (9, 4, z T ). e²ení: Nejd íve vypo ítáme t etí sou adnici bodu T, z T T = (9, 4, 5). V P íkladu 2.8 jsme spo ítali, ºe = f(9, 4) = 5, tedy f x (9, 4) = 1 10, f y (9, 4) = 4 5. Bod (9, 4) je vnit ním bodem deni ního oboru funkce f a ob parciální derivace funkce f jsou v tomto bod spojité (plyne z vyjád ení (2.12)), takºe podle Denice 2.2 je te ná rovina ur ená rovnicí τ : z 5 = 1 10 (x 9) + 4 (y 4), 5 po úprav τ : x + 8y 10z + 9 = 0. 2.1.4 Parciální derivace vy²²ích ád Pro jednoduchost vysv tlíme na funkci f dvou prom nných f : z = f(x, y). Symbolem 2 f, resp. x 2 ádu funkce f podle prom nné x, resp. y. Je 2 f x = ( ) f, 2 x x 2 f y 2, zna íme (nesmí²enou) parciální derivaci druhého 2 f y 2 = y ( ) f. y Pro smí²ené derivace druhého ádu pouºíváme symboly 2 f a 2 f. Konkrétn x y y x 2 f x y = y ( ) f, x 2 f y x = x ( f y V tu o zám nnosti smí²ených derivací vy²²ích ád vyslovíme pro jednoduchost pro funkci dvou prom nných a derivace 2. ádu. V ta 2.11: Nech f : R 2 R je funkce, jejíº ob parciální derivace f, f jsou x y denovány v jistém okolí bodu a. Nech druhá derivace je funkce spojitá v bod a. Potom existuje 2 f y x (a) a platí 2 f y x (a) = 2 f x y (a). ). 2 f x y 40 V P Jihlava, 2019

2.1.4 Parciální derivace vy²²ích ád P íklad 2.12: Vypo ítejme v²echny parciální derivace 2. ádu funkce e²ení: První derivace funkce f jsou f(x, y) = 2x 3 + 3x 2 y 2xy 2 + y 4. f x = 6x2 + 6xy 2y 2, Vypo ítejme druhé nesmí²ené derivace f y = 3x2 4xy + 4y 3. a druhé smí²ené derivace 2 f = 12x + 6y, x2 2 f x y = 6x 4y = 2 f y x Je vid t, ºe druhé smí²ené derivace si jsou rovny. 2 f = 4x + 12y2 y2 = 6x 4y. P íklad 2.13: * Je dána funkce f(x, y) = 3xy x 2 + y 4. Vypo ítejme v²echny parciální derivace 2. ádu. e²ení: Tento p íklad není obtíºný, ale je pom rn pracný. Cílem je ukázat, ºe p i výpo tu derivací vysta íme s pravidly a vzorci, které známe z diferenciálního po tu funkce jedné prom nné. První derivace jsou f x (x, y) = 3y(x2 + y 4 ) 3xy 2x = 3 y5 x 2 y (x 2 + y 4 ) 2 (x 2 + y 4 ), 2 f y (x, y) = 3x(x2 + y 4 ) 3xy 4y 3 = 3 x3 3xy 4 (x 2 + y 4 ) 2 (x 2 + y 4 ). 2 Vypo ítáme druhé nesmí²ené derivace 2 f ( (x, y) = 3 y5 x 2 y ) x2 x (x 2 + y 4 ) 2 = 3 2xy(x2 + y 4 ) 2 (y 5 x 2 y)2(x 2 + y 4 )2x (x 2 + y 4 ) 4 = 6xy x2 3y 4 (x 2 + y 4 ) 3. Podobn (detaily vynecháváme) 2 f y (x, y) = (3 x3 3xy 4 ) = 12xy 3 3y4 5x 2 2 y (x 2 + y 4 ) 2 (x 2 + y 4 ). 3 V P Jihlava, 2019 41

2.2 Diferencovatelnost funkce Nyní vypo ítáme druhé smí²ené derivace 2 f x y (x, y) = ( 3 y5 x 2 y ) y (x 2 + y 4 ) 2 = 3 5y4 (x 2 + y 4 ) 2 (y 5 x 2 y)2(x 2 + y 4 )4y 3 (x 2 + y 4 ) 4 = 3 3y8 12x 2 y 4 + x 4 (x 2 + y 4 ) 3, 2 f (x, y) = (3 x3 3xy 4 ) y x x (x 2 + y 4 ) 2 = 3 (3x2 3y 4 )(x 2 + y 4 ) 2 (x 3 3xy 4 )2(x 2 + y 4 )2x (x 2 + y 4 ) 3 = 3 3y8 12x 2 y 4 + x 4 (x 2 + y 4 ) 3. Vzhledem k tomu, ºe druhé smí²ené parciální derivace jsou spojité, není p ekvapující (viz V tu 2.11), ºe jsou si rovny. 2.2 Diferencovatelnost funkce 2.2.1 Slabý diferenciál, derivace ve sm ru Parciální derivace funkce f : R n R v bod a jsou sm rnicemi te en ke grafu funkce f v bod a ve sm rech rovnob ºných s osami sou adnic v R n. Tyto te ny pak ur ují te nou (nad)rovinu v bod a, pokud tato te ná (nad)rovina existuje (co touto existencí myslíme, vysv tlíme pozd ji). Do bodu a se v²ak m ºeme blí- ºit ze v²ech sm r a není k tomu ani pot eba mít v R n sou adnice. Budeme tedy denovat n co jako parciální derivace v libovolných sm rech. P i vyslovení p íslu²ných denic není nutné se omezovat na R n. N které denice proto vyslovíme pro NLP prostory. Denice 2.14: Nech X je NLP a nech f : X R je funkce denovaná v jistém okolí U(a) bodu a X. Denujme funkcionál A : X R: f(a + t h) f(a) A(h) = D h f(a) = lim. t 0 t Funkcionál A se nazývá slabý diferenciál (Gâtea v diferenciál ) v bod a X, jestliºe je denován pro v²echny vektory h X. Je-li h jednotkový vektor, tj. h = 1, pak se íslo f h (a) = D hf(a) nazývá derivace funkce f v bod a ve sm ru h. 42 V P Jihlava, 2019

2.2.1 Slabý diferenciál, derivace ve sm ru z y T u x Poznámka 2.15: V Denici 2.14 jsme pro funkci A : X R pouºili název funkcionál. D vodem, pro jsme zde nepouºili slovo funkce, je zd raznit, ºe se jedná o konkrétní funkci, která je p i azená funkci f v daném bod a. P íklad 2.16: Vypo ítejme slabý diferenciál funkce f(x, y) = x 2 y 3 + 2x v bod (0, 0). e²ení: Nech h = (h 1, h 2 ). Pak podle Denice 2.14 D h f(0, 0) = lim t 0 (th 1 ) 2 (th 2 ) 3 + 2th 1 t = lim t 0 (t 4 h 2 1h 3 2 + 2h 1 ) = 2h 1. Poznámky 2.17: (i) Slabý diferenciál A nemusí být lineární funkcionál (viz odstavec 9.3.1), je pouze homogenní. Konkrétn to znamená, ºe platí homogenita (viz (9.12)) A(λu) = λa(u), (2.13) ale nemusí platit aditivita (viz (9.11)) Ov íme homogenitu. Nech u X, λ R, pak A(λu) = lim t 0 f(a + t λu) f(a) t A(u + v) = A(u) + A(v). (2.14) = λ lim t 0 f(a + t λu) f(a) tλ Aditivita platit nemusí, jak uvidíme z P íkladu 2.19. = λa(u). V P Jihlava, 2019 43

2.2.1 Slabý diferenciál, derivace ve sm ru (ii) Pokud slabý diferenciál A existuje, funkce f nemusí být spojitá v a ani v p ípad, ºe je tento funkcionál lineární (viz P íklad 2.20 níºe). Poznámka 2.18: Zd razn me, ºe derivace ve sm ru f (a) je rovna diferenciálu u D u f(a), práv kdyº je vektor u jednotkový, tj. u = 1. Je-li vektor v nenulový, tj. v > 0, je vektor u = v (2.15) v jednotkový. Pak vzhledem k homogenit funkcionálu A : v D v f(a) dostaneme D v f(a) = v f u (a). P íklad 2.19: Funkce f z P íkladu 2.6, tj. má v bod (0, 0) slabý diferenciál { 0 pro (x, y) = (0, 0) f(x, y) = 2x 2 y pro (x, y) (0, 0), x 2 +y 2 1 ( 2(tu) 2 tv ) D (u,v) f(0, 0) = lim = 2u2 v t 0 t (tu) 2 + (tv) 2 u 2 + v. 2 Funkcionál A(u, v) = 2u2 v zjevn není lineární, coº z geometrického hlediska u 2 +v 2 znamená, ºe te ny v bod (0, 0) ke grafu funkce f neleºí v jedné rovin (viz obrázek 2.6). Funkce f je spojitá v (0, 0). P íklad 2.20: Funkce f(x, y) = { 0 pro (x, y) (t, t 2 ), t 0, a v (0, 0) 1 pro (x, y) = (t, t 2 ), t 0 má v bod (0, 0) slabý diferenciál D (u,v) f(0, 0) = 0, který je lineárním funkcionálem. Funkce f není spojitá v (0, 0). V p ípad, ºe funkce f má p kné vlastnosti, m ºeme derivaci ve sm ru snadno spo ítat pomocí parciálních derivací (viz P íklady 2.28 a 2.29 níºe). 44 V P Jihlava, 2019

2.2.2 Silný diferenciál z y x 2.2.2 Silný diferenciál Obrázek 2.7: Graf funkce z p íkladu 2.20 V této kapitole budeme pouºívat pojem lineární forma, který je podrobn ji vysv tlen v odstavci 9.3.1. Denice 2.21: Nech X je NLP a nech f : X R je funkce denovaná v jistém okolí U(a) bodu a X. ekneme, ºe funkce f má v bod a silný (Fréchet v) diferenciál, jestliºe existuje spojitá lineární forma A taková, ºe f(a + h) f(a) A(h) lim h o h = 0. To p esn znamená, ºe funkci f lze v okolí bodu a stejnom rn (tj. nezávisle na tom, kde se bod x = a + h, h X, v tomto okolí nachází) aproximovat spojitou lineární funkcí na prostoru X z = f(a) + A(h) = f(a) + A(x a). (2.16) Z geometrického hlediska to znamená, ºe graf funkce f lze aproximovat te nou nadrovinou v bod T = (a, f(a)) s p esností aproximace ádov men²í neº h (coº se standardn zna í jako o( h )) v bod x = a + h. Pro X = R n se jedná o te nou nadrovinu v prostoru R n+1 (který je tvo en body (x, z) = (x 1,..., x n, z)). Tato nadrovina je vyjád ená rovnicí (2.16) (srovnejte s (2.4)). Vztah mezi slabým a silným diferenciálem uvedeme v následující v t. V ta 2.22: Nech X je NLP a nech funkce f : X R má v bod a X silný diferenciál A. Potom platí: funkce f má v bod a slabý diferenciál h D h f(a), který je spojitý a lineární a platí A(h) = D h f(a); funkce f je spojitá v bod a. V P Jihlava, 2019 45

2.2.3 Diferencovatelnost v R n Denice 2.23: Má-li funkce f v bod a silný diferenciál, íkáme, ºe je diferencovatelná v bod a. V p ípad, ºe f : R n R, pouºívá se místo pojmu silný diferenciál pojem totální diferenciál. 2.2.3 Diferencovatelnost v R n V tomto odstavci se zam íme na tvar slabého (p ípadn silného) diferenciálu a na vyjád ení te né nadroviny v p ípad X = R n. Nejd íve p ipome me, ºe vektory e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), i {1,..., n}, (2.17) ( íslo 1 je na i-tém míst ) tvo í ortonormální bázi v lineárním prostoru R n, coº znamená, ºe kaºdé dva vektory jsou na sebe kolmé a kaºdý z vektor e i, i = 1,..., n, je jednotkový. Mnoºina vektor {e 1,..., e n }, která je bází prostoru R n se nazývá kanonická báze. V prostorech R 2 (R 3 ) se pro vektory kanonické báze pouºívá zna ení i, j (i, j, k). Poznámka 2.24: Pro funkci f : R n R ihned vidíme z Denice 2.1 a Denice 2.14, ºe f = f, x i e i tj. parciální derivace podle x i je derivací ve sm ru vektoru e i, i {1,..., n}. Denice 2.25: Nech f : R n R je funkce, která má v²echny parciální derivace 1. ádu v bod a. Vektor ( f f(a) = (a),..., f ) (a) (2.18) x 1 x n se nazývá gradient funkce f v bod a. Symbolem zna íme Hamilton v operátor nabla, který funkci f p i adí vektorovou funkci ( f f =,..., f ). x 1 x n Nyní uvedeme vzorec pro výpo et diferenciálu (p ípadn derivace ve sm ru) v bod, ve kterém je funkce diferencovatelná. P ipome me, ºe skalární sou in v R n jsme denovali v (1.4). V ta 2.26: Nech funkce f : R n R je diferencovatelná v bod a a nech je dán vektor h = (h 1,..., h n ). Pak je slabý diferenciál D h f(a) roven f f D h f(a) = h 1 (a) + + h n (a) = f(a) h (2.19) x 1 x n 46 V P Jihlava, 2019

2.2.3 Diferencovatelnost v R n (tj. slabý diferenciál D h f(a) je roven skalárnímu sou inu gradientu f(a) a vektoru h). Speciáln, pokud je h jednotkový vektor, pak derivace ve sm ru vektoru h v bod a je f f(a) = f(a) h. h D kaz.[náznak d kazu] Máme h = (h 1,..., h n ) = h 1 e 1 + + h n e n a dle V ty 2.22 je funkcionál A : h D h f(a) lineárním zobrazením. Tedy dle (2.13), (2.14) a Poznámky 2.24 dostaneme f f A(h) = h 1 A(e 1 ) + + h n A(e n ) = h 1 (a) + + h n (a) e 1 e n = h 1 f x 1 (a) + + h n f x n (a). Vzorec pro derivaci ve sm ru plyne ihned z Poznámky 2.18. Posta ující podmínku pro existenci silného diferenciálu dává následující v ta. V ta 2.27: Nech je daná funkce f : R n R a v²echny její parciální derivace 1. ádu f x 1,..., f x n jsou denovány v jistém okolí bodu a a jsou spojité (jako funkce n-prom nných) v bod a. Potom je funkce f diferencovatelná v bod a. Silný (tj. totální) diferenciál A : h D h f(a) je pak ur en vzorcem (2.19). P íklad 2.28: Vypo ítejme slabý diferenciál z P íkladu 2.16 alternativním zp - sobem zaloºeném na V t 2.27 a vzorci (2.19). e²ení: Vypo ítejme nejd íve ob parciální derivace funkce f(x, y) = x 2 y 3 + 2x. Máme f x (x, y) = 2xy3 + 2, f y (x, y) = 3x2 y 2. Ob parciální derivace jsou funkce spojité na R 2 (jedná se o elementární funkce, jejich spojitost vyplývá z V ty 1.67), takºe podle V ty 2.27 je f diferencovatelná na R 2. Po dosazení (x, y) = (0, 0) do obou parciálních derivací vyjde Podle vzorce (2.19) dostaneme f(0, 0) = (2, 0). D (h1,h 2 )f(0, 0) = (2, 0) (h 1, h 2 ) = 2h 1. P íklad 2.29: M jme funkci f(x, y) = 3x + 2y x 2 + y 2 + 1. V P Jihlava, 2019 47

2.2.4 Derivace sloºené funkce Vypo ítejme D v f(a) v bod a = (1, 2) nejd íve obecn pro v = (v 1, v 2 ), dále pro v = ( 3, 4). Dále vypo ítejme derivaci ve sm ru f (a), kde h je jednotkový h vektor, který je rovnob ºný a souhlasn orientovaný s vektorem v = ( 3, 4). e²ení: Funkce f má spojité parciální derivace na R 2, takºe podle V ty 2.27 je diferencovatelná na R 2. K výpo t m m ºeme pouºít vzorec (2.19). Vypo ítáme parciální derivace f x (x, y) = 3y2 3x 2 4xy + 3, (x 2 + y 2 + 1) 2 f y (x, y) = 2x2 2y 2 6xy + 2, (x 2 + y 2 + 1) 2 odkud po dosazení bodu a vyjde gradient f(1, 2) = ( 1, 4 ). Diferenciál (slabý 9 9 i silný) je tedy lineární forma D (v1,v 2 )f(1, 2) = ( 1 9, 4 9) (v1, v 2 ) = 1 9 v 1 4 9 v 2. Konkrétn pro v = ( 3, 4) dostaneme D ( 3,4) f(1, 2) = 19. Dále ur íme vektor 9 h = v. Je v = 25 = 5, tedy h = ( 3, 4 ) a dostaneme derivaci funkce f v 5 5 v bod (1, 2) ve sm ru ( 3, 4): 5 5 f (1, 2) = 19 h 45. Poznámka 2.30 (Rovnice te né nadroviny): Nech funkce f : R n R spl- uje p edpoklady V ty 2.27, tj. v²echny její parciální derivace jsou spojité v bod a. Pak má v bod a te nou nadrovinu o rovnici (dle (2.16), V ty 2.22 a (2.19)) z = f(a) + f(a) (x a). (2.20) V²imn me si, ºe pro n = 1 je (2.20) rovnicí te ny (2.3) (tj. (2.4)) a pro n = 2 je (2.20) rovnicí te né roviny (2.10). 2.2.4 Derivace sloºené funkce Dále vyslovíme v tu o derivaci sloºené funkce. V ta 2.31: Jsou dány funkce f : R m R a g i : R n R, kde m, n N, i = 1,..., m. P edpokládejme, ºe funkce g 1,..., g m jsou diferencovatelné v bod a R n a funkce f je diferencovatelná v bod b = ( g 1 (a),..., g m (a) ). Potom sloºená funkce F : R n R, F (x) = f ( g 1 (x),..., g m (x) ) je diferencovatelná v bod a. Parciální derivace 1. ádu funkce F v bod a pak vypo ítáme podle vzorce F (a) = f (b) g 1 (a)+ + f (b) g ( m g1 (a) = f(b) (a),..., g ) m (a), x j g 1 x j g m x j x j x j kde j {1,..., n}. 48 V P Jihlava, 2019

2.2.5 V ta o implicitní funkci P íklad 2.32: Vypo ítejme derivaci funkce F (t), je-li F (t) = f ( x(t), y(t) ), f(x, y) = x 2 y, x(t) = sin t, y(t) = cos t. e²ení: Podle V ty 2.31 platí F (t) = f ( ) x(t), y(t) x (t) + f ( ) x(t), y(t) y (t) x y = 2x(t) y(t) cos t + (x(t)) 2 ( sin t) = 2 sin t cos 2 t sin 3 t. Derivaci m ºeme spo ítat také tak, ºe do funkce f dosadíme za x(t), y(t) a pak funkci F prom nné t derivujeme b ºným zp sobem, tj. F (t) = (sin t) 2 cos t, pak F (t) = 2 sin t cos t cos t (sin t) 2 sin t = 2 sin t cos 2 t sin 3 t. Z p edchozího p íkladu je vid t, ºe pro konkrétn zadané funkce není v t²inou pot eba pouºívat pravidlo pro derivování sloºené funkce více prom nných. Význam V ty 2.31 uvidíme p i derivování implicitn zadané funkce (odvození (2.21)) a pozd ji p i odvození Taylorova polynomu pro funkci více prom nných. 2.2.5 V ta o implicitní funkci Pot ebujeme-li nap. vypo ítat rovnici te ny ke kruºnici x 2 + y 2 = 1 v jejím bod ( 2, 2), m ºeme to ud lat tak, ºe z rovnice kruºnice vyjád íme jednu prom nnou 2 2 pomocí druhé a pouºijeme klasický výpo et pro funkci jedné prom nné. V ta o implicitní funkci nám umoºní provést p íslu²ný výpo et p ímo, tj. bez toho, ºe bychom museli z rovnice kruºnice vyjád it x pomocí y nebo y pomocí x. Podobn lze také postupovat p i výpo tu rovnice te né roviny ke kulové plo²e. Pro jednoduchost formulujeme p esné zn ní v ty o implicitní funkci pouze pro funkci jedné prom nné, která je implicitn vyjád ena pomocí funkce dvou prom nných. Postup v obecn j²ím p ípad pak nazna íme v P íkladu 2.39 níºe. V ta 2.33 (Speciální p ípad): Nech F : R 2 R je funkce, která má spojité ob parciální derivace F, F v jistém okolí bodu (a, b). Nech navíc x y F (a, b) = 0 a F (a, b) 0. y Potom existuje okolí U δ1 (a) = (a δ 1, a + δ 1 ) a okolí U δ2 (b) = (b δ 2, b + δ 2 ) tak, ºe ke kaºdému íslu x U δ1 (a) existuje práv jedno íslo y = f(x) U δ2 (b), ºe f(a) = b a F ( x, f(x) ) = 0 ve v²ech x U δ (a). Takto denovaná funkce f je spojitá a spojit diferencovatelná na U δ (a). V P Jihlava, 2019 49

2.2.5 V ta o implicitní funkci Poznámka 2.34: V ta tvrdí, ºe hladká k ivka v rovin R 2 ur ená rovnicí F (x, y) = 0 je lokáln (v okolích bod, v nichº te na k této k ivce není svislá, tj. rovnob ºná s osou y) grafem hladké funkce jedné prom nné f : y = f(x). D sledkem je vzorec pro derivaci funkce f v bod a: f (a) = F / F x (a, b) (a, b). (2.21) y Tento vzorec snadno získáme derivováním rovnice F ( x, f(x) ) = 0 (podle x), p i emº pouºijeme vzorec pro derivování sloºené funkce z V ty 2.31. Konkrétn d ( ) F F F (x, f(x)) = 0 = (x, f(x)) + dx x y (x, f(x))f (x) = 0, odkud snadnou úpravou a dosazením x = a, f(a) = b dostaneme (2.21). Uvedenou v tu i p íslu²ný vzorec je moºné zobecnit pro funkce více prom nných a pro derivace vy²²ích ád. P íklad 2.35: Vypo ítejme první derivaci funkce y = y(x), která je ur ená implicitn rovnicí xy + 2 sin x x cos y = 0 v bod (x, y) = ( π 2, 0). e²ení: Rovnici derivujeme podle prom nné x s tím v domím, ºe y není konstanta, ale funkce prom nné x, tj. y = y(x): (y + xy ) + 2 cos x (cos y + x( sin y)y ) = 0, y + xy + 2 cos x cos y + xy sin y = 0. Do zderivované rovnice dosadíme x = π 2 a y = 0. Máme 0 + π 2 y + 2 cos π 2 cos 0 + π 2 y sin 0 = 0, tedy π 2 y 1 = 0. Odsud je y (π/2) = 2/π. P íklad 2.36: Vypo ítejme první derivaci funkce y = y(x), která je ur ená implicitn rovnicí xy + 2 arctg x x arccotg y = 0 v bod (x, y) = (1, 0). e²ení: Není nutné si pamatovat vzorec (2.21). Sta í si uv domit, ºe y = y(x) a derivovat rovnici podle x. Dostaneme y(x) + xy (x) + 2 1 + x 2 (arccotg(y(x)) x 1 + (y(x)) 2 y (x)) = 0 Po dosazení x = 1, y(1) = 0 do této rovnice vyjde y (1) + 1 π 2 + y (1) = 0, tedy y (1) = π 2 4. 50 V P Jihlava, 2019

2.2.6 Te ná nadrovina a normála funkce zadané implicitn 2.2.6 Te ná nadrovina a normála funkce zadané implicitn Pro jednoduchost se omezíme na te nu a normálu ke k ivce v rovin R 2 a na te nou rovinu a normálu k plo²e v prostoru R 3. Uvaºujme (podobn jako ve V t 2.2.5), ºe F : R 2 R je funkce, která má spojité ob parciální derivace F, x F F v jistém okolí bodu (a, b), a platí F (a, b) = 0, (a, b) 0. Potom, jak víme, y y je rovnice F (x, y) = 0 v jistém okolí bodu (a, b) rovnicí hladké k ivky, kterou lze v tomto okolí vyjád it také rovnicí y = f(x). Te na v bod (a, b) = (a, f(a)) k této k ivce má obecnou rovnici (viz (2.3)) f (a) x y + c = 0, c = f(a) f (a) a, a vektor n kolmý k této p ímce (normálový vektor) je n = (f (a), 1). Podle vzorce (2.21) dostaneme n = (f (a), 1) ( F F (a, b), (a, b)) = F (a, b) x y (zápisem h v rozumíme, ºe vektory jsou jsou rovnob ºné, tj. jeden z nich je násobkem druhého). P íklad 2.37: Ur eme normálový vektor a rovnici te ny ke kruºnici x 2 + y 2 = 5 v jejím bod a = (1, 2). e²ení: (Obrázek 2.8) Zapí²eme rovnici kruºnice pomocí funkce F : F (x, y) = x 2 + y 2 5 = 0. Pak F (x, y) = 2x, F (1, 2) = 2, F (x, y) = 2y, F (1, 2) = 4, tedy n = x x y y F (1, 2) = (2, 4) = 2i + 4j, kde i = (1, 0), j = (0, 1) (viz (2.17) a následující text). Te na v bod a = (1, 2) má obecnou rovnici 2x + 4y c = 0. Dosazením bodu a vypo ítáme íslo c a rovnici pak upravíme na tvar x + 2y 5 = 0. Poznámka 2.38: Podobn jako u k ivky zadané implicitn lze ur it normálový vektor hladké plochy zadané implicitn. Je-li plocha ur ená rovnicí F (x, y, z) = 0 (2.22) a a = (a, b, c) je její bod, potom normálový vektor v tomto bod je n = ( F x F F (a), (a), (a)) = F (a, b, c). (2.23) y z D kaz. Je-li plocha ur ená rovnicí (2.22) dostate n hladká v okolí bodu a = (a, b, c), pak ji m ºeme v okolí tohoto bodu povaºovat za graf funkce dvou prom nných, nap. x, y, coº znamená, ºe z = z(x, y), p i emº z(a, b) = c. (2.24) V P Jihlava, 2019 51

2.2.6 Te ná nadrovina a normála funkce zadané implicitn y normála 2i + 4j te na a = (1, 2) x + 2y = 5 x x 2 + y 2 = 5 Obrázek 2.8: Te na a normála ke kruºnici x 2 + y 2 = 5 bod a = (1, 2). Derivováním rovnice (2.22) podle x a y (pouºijeme (2.31), x y y = 1) a dosazením bodu a dostaneme x = 1, x y = 0, y x = 0, F x F F (a, b, c) + y z (a, b, c) + F z z (a, b, c) (a, b) = 0, x (a, b, c) z (a, b) = 0. y Z t chto rovností na základ (2.3) a (2.24) dostaneme n = ( z z (a, b), (a, b), 1) F (a, b, c). x y P i tomto postupu jsme ml ky p edpokládali, ºe F (a) 0. Jestliºe tato podmínka není spln na, sta í místo (2.24) vybrat jinou prom nnou závislou na zbýva- z jících dvou a provést analogický postup. Op t dostaneme (2.23). V²imn me si, ºe aspo jedna z derivací F F F (a), (a), (a) musí být nenulová, nebo v opa ném x y z p ípad rovnice (2.22) v okolí bodu a nedává smysl. 52 V P Jihlava, 2019

2.2.6 Te ná nadrovina a normála funkce zadané implicitn P íklad 2.39: V p íkladu na obr. 2.9 uvaºujeme kulovou plochu x 2 + y 2 + z 2 = 6, tj. F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 6 = 0, a její bod a = (1, 1, 2). Normálový vektor kulové plochy v tomto bod je n = F (a) = (2, 2, 4) = 2i 2j + 4k, kde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Te ná rovina v bod a má obecnou rovnici x y +2z +d = 0. Dosazením (x, y, z) = a dostaneme d = 6, takºe te ná rovina má rovnici rovnici x y + 2z 6 = 0. z (2, 2, 4) y (1, 1, 2) x y + 2z = 6 x x 2 + y 2 + z 2 = 6 Obrázek 2.9: Te ná rovina a normála kulové plochy x 2 + y 2 + z 2 a = (1, 1, 2) = 6 v bod V P Jihlava, 2019 53

3. Extrémy funkce V této kapitole se seznámíme p edev²ím s r znými typy extrém funkce více prom nných. K odvození metody nalezení lokálních extrém vyuºijeme variantu Taylorovy v ty pro funkci více prom nných, se kterou se rovn º seznámíme. Cíle Po prostudování kapitoly budete v d t, jak vypadá Taylorova v ta pro funkci více prom nných a k emu se pouºívá; co je lokální extrém funkce více prom nných a jakým zp sobem ho lze ur it; co rozumíme pod pojmem vázaný extrém; jakými metodami je moºné nalézt vázané extrémy dané funkce; co je to globální extrém; jak nalezneme globální extrémy spojité funkce na kompaktní mnoºin. 3.1 Taylor v polynom 3.1.1 Taylor v polynom funkce jedné prom nné P ipome me, ºe má-li funkce f : R R v bod a R derivace do ádu m, m N, pak Taylorovým polynomem m-tého stupn funkce f v bod a je polynom T f m(x) := f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! Poloºíme-li h = x a, je x = a + h a dostaneme Je-li T f m(a + h) := f(a) + f (a) 1! h + f (a) 2! (x a) 2 + + f (m) (a) (x a) m m! h 2 + + f (m) (a) h m = m! D k hf(a) = f (k) (a) h k, k N, m k=0 f (k) (a) h k. k! 54 V P Jihlava, 2019

3.1.2 Taylorova v ta pro funkci n prom nných diferenciál ádu k v bod a, m ºeme psát T f m(a + h) = f(a) + D hf(a) 1! + D2 h f(a) 2! + + Dm h f(a). m! P ipome me souvislost mezi funkcí f a jejím Taylorovým polynomem. V ta 3.1: Nech jsou dána ísla a, h R, h 0. P edpokládejme, ºe funkce f má derivaci ádu m + 1 ve v²ech bodech uzav eného intervalu s krajními body a, a + h (v krajních bodech uvaºujeme p íslu²né jednostranné derivace). Pak uvnit tohoto intervalu existuje bod c takový, ºe f(a + h) = m k=0 f (k) (a) k! h k + f (m+1) (c) (m + 1)! hm+1. (3.1) Poznámka 3.2: ƒíslo R m (a + h) = f(a + h) T f m(a + h), se nazývá zbytek ádu m a ur uje p esnost aproximace funkce f pomocí Taylorova polynomu stupn m v okolí bodu a. Ve V t 3.1 je R m (a + h) = f (m+1) (c) (m + 1)! hm+1, p i emº je pot eba si uv domit, ºe c závisí na h, tj. ke kaºdému h m ºe být jiné c. Jedná se o zbytek v tzv. Lagrangeov tvaru. Platí také R m (a + h) lim = 0. h 0 h m V této souvislosti se hovo í o tzv. Peanov odhadu zbytku. 3.1.2 Taylorova v ta pro funkci n prom nných Zvolme pevn a, h R n a funkci g(t) = f(a + t h), t 0, 1, (jedné prom nné t) aproximujme podle V ty 3.1 Taylorovým polynomem v bod a = 0. Pouºitím vzorce pro derivování sloºené funkce n prom nných dostaneme následující tvrzení. V P Jihlava, 2019 55

3.1.3 Totální diferenciály vy²²ích ád V ta 3.3: Nech funkce f : R n R má v²echny parciální derivace ádu m + 1 spojité na otev ené mnoºin G. Nech úse ka s krajními body a, a + h (tj. úse ka tvo ená body x = a + t h, t 0, 1 ) leºí v G. Potom existuje íslo τ (0, 1) takové, ºe f(a + h) = m k=0 (h ) k f(a) k! + (h )m+1 f(a + τh). (3.2) (m + 1)! Zápisem (h ) zde rozumíme formální skalární sou in tedy (viz [6, Chapter IV, par. 3]) (h 1,..., h n ) ( x 1,..., x n ) = n i=1 h i, x i (h )f = n i=1 h i f x i. Analogicky (h ) 2 f = n 2 f h i h j. (3.3) x i x j i,j=1 Vzhledem k tomu, ºe funkce f je (m + 1) krát spojit diferencovatelná, platí, ºe v²echny smí²ené parciální derivace do ádu (m + 1) (v etn ) jsou zám nné. Tedy k vyjád ení (h ) k f, k = 1,..., m + 1, m ºeme pouºít binomický vzorec, který má ve speciálním p ípad n = 2 tvar (jedná se o obdobu binomického rozvoje výrazu (a 1 + a 2 ) k ) (h ) k f = k j=0 ( ) k h k j j 1 h j 2 3.1.3 Totální diferenciály vy²²ích ád k f. (3.4) x k j 1 x j 2 Snadno vidíme, ºe (h )f(a) = D h f(a) je totální diferenciál funkce f v bod a. Denujeme totální diferenciál ádu k v bod a: D k hf(a) = (h ) k f(a) jako totální diferenciál funkce x D k 1 h f(x) (prom nné x) v bod a. Obecnou Taylorovu formuli m ºeme psát ve tvaru f(a + h) = f(a) + D h f(a) + + Dm h f(a) m! + R m (a + h), 56 V P Jihlava, 2019

3.1.4 Taylorova v ta pro n = 2, m = 2 R m (a + h) p i emº pro zbytek R m (a + h) platí lim = 0. h o h m Totální diferenciál 2. ádu je kvadratickou formou (viz odstavec 9.3.2) na R n, kterou m ºeme zapsat (viz (3.3)) ve tvaru D 2 hf(a) = h T H h, kde matice H je Hessova matice, 2 f (a) x 2 1 2 f x H = H(a) = 2 x 1 (a). 2 f x n x 2 (a) 2 f x 1 x 2 (a)... 2 f (a)... x 2 2.... 2 f x n x 2 (a)... 2 f x 1 x n (a) 2 f x 2 x n (a). (3.5). 2 f (a) x 2 n Jsou-li v²echny parciální derivace 2. ádu funkce f spojité v bod a, potom je matice H(a) symetrická. 3.1.4 Taylorova v ta pro n = 2, m = 2 Pro n = 2 (dv prom nné) a m = 2 (polynom 2. stupn ) ozna íme a = (a 1, a 2 ), h = (h 1, h 2 ). Potom podle (3.2), (3.4) m ºeme hodnotu funkce f v bod [a 1 + h 1, a 2 + h 2 ] psát ve tvaru f(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) = f(a 1, a 2 ) + ( h 2 1 + 1 2 ( h 1 x 1 f(a 1, a 2 ) + h 2 2 f(a x 2 1, a 2 ) + 2h 1 h 2 2 1 x 1 x 2 f(a 1, a 2 ) + h 2 2 R 2 (a + h) lim (h 1,h 2 ) (0,0) h 2 1 + h 2 2 x 2 f(a 1, a 2 ) 2 f(a x 2 1, a 2 ) 2 ) + ) + R 2, (3.6) = 0. (3.7) P íklad 3.4: Pomocí Taylorova polynomu 2. stupn ur eme p ibliºn hodnotu 3, 8 sin 0, 1 a odhadn me chybu výpo tu. e²ení: Poloºme f(x, y) = x sin y, a 1 = 4, h 1 = 0, 2, a 2 = 0, h 2 = 0, 1. Dále vypo ítáme derivace prvního a druhého ádu: f x = 1 2 x sin y, f y = x cos y, V P Jihlava, 2019 57

3.1.4 Taylorova v ta pro n = 2, m = 2 2 f x 2 = 1 4 x 3 sin y, 2 f y 2 = x sin y, a dosadíme x = a 1 = 4, y = a 2 = 0: 2 f x y = 2 f y x = 1 2 x cos y f(4, 0) = 2 sin 0 = 0, f 1 (4, 0) = x 2 4 sin 0 = 0, f y (2, 0) = 4 cos 0 = 2, 2 f x (4, 0) = 0, 2 f (4, 0) = 2 sin 0 = 0, 2 y2 Dosazením do (3.6) dostaneme pro h 1 = 0, 2, h 2 = 0, 1: 3, 8 sin 0, 1 = 0 + ( 0, 2 0 + 0, 1 2) + 1 2 2 f x y (4, 0) = 2 f cos 0 (4, 0) = y x 4 = 1 4. ( ( 0, 2)2 0 + 2 ( 0, 2) 0, 1 1 4 + 0, 12 0 ) + R 2 = 0, 195 + R 2. Pro odhad zbytku R 2 musíme vypo ítat derivace 3. ádu: 3 f x 3 = 3 3 f x 2 y = 8 x sin y, 3 f 5 x y = 1 2 2 sin y, x 1 4 x cos y, 3 f 3 y = x cos y. 3 Nyní (viz (4.2)), pouºijeme-li odhady x 4, 1/ x 1, cos y 1, sin y 1, rovnosti h 1 = 0, 2, h 1 = 0, 1 a trojúhelníkovou nerovnost, dostaneme (h ) 3 f = 3 f x 3 h3 1 + 3 3 f x y h 1h 2 2 2 + 3 3 f x 2 y h2 1h 2 + 3 f y 3 h3 2 3 8 x sin y 5 h3 1 +3 1 2 x sin y h 1h 2 2 +3 1 4 x cos y 3 h2 1h 2 + x cos y h 3 2 Tedy (dle V ty 3.3) R 2 1 6 (h )3 f = 1 6 3 1000 + 3 1000 + 3 1000 + 2 1000 = 11 1000. 11 1000 < 2 1000. P íklad 3.5: Pomocí Taylorovy v ty (pro m = 2) ur eme p ibliºn 3 0, 9 + (3, 1)2 2 a odhadn me chybu výpo tu. 58 V P Jihlava, 2019

3.2 Lokální extrémy e²ení: Poloºme f(x, y) = 3 x + y2 2. Vypo ítáme derivace prvního a druhého ádu: f x = 1 ( x + y 2 2 ) 2/3 x 1/2 f, 6 y = 2 ( x + y 2 2 ) 2/3 y, 3 2 f x = 3y 2 + 5 x 6 2 36x ( x + y2 2 ) 2/3( y 2 x + x 2 x ), 2 f y = 2 ( x 2 3 x + 6 ) 2 9 ( x + y2 2 ), 2/3 2 f x y = 2 f y x = a dosadíme x = 1, y = 3. Vyjde f(1, 3) = 2, 2y 9 ( x + y2 2 ) 2/3( y 2 x + x 2 x ) f x (1, 3) = 1 24, 2 f 13 (1, 3) = x2 576, 2 f y (1, 3) = 2 2 9, Dosazením do (3.6) dostaneme pro h 1 = 1, h 10 2 = 1 : 10 3 0, 9 + (3, 1)2 2 = 2 1 10 1 24 + 1 10 1 2 + 1 ( 1 2 100 Podle (3.7) je chyba R 2 ádov 1 100. f y (1, 3) = 1 2, 2 f x y (1, 3) = 2 f y x (1, 3) = 1 48. 13 576 2 100 1 48 1 100 2 9 ) + R 2 = 2, 0434 + R 2. 3.2 Lokální extrémy 3.2.1 Co je lokální extrém V tomto odstavci uvedeme denice lokálního minima a lokálního maxima, které souhrnn nazýváme lokální extrémy. Denice 3.6: Funkce f má v bod a lokální minimum, jestliºe existuje δ > 0, ºe pro kaºdé x U δ (a) je f(x) f(a); V P Jihlava, 2019 59

3.2.2 Existence lokálních extrém lokální maximum, jestliºe existuje δ > 0, ºe pro kaºdé x U δ (a) je f(x) f(a). Lokální maximum (resp. lokální minimum) je ostré, jestliºe je nerovnost ostrá pro v²echny body x a, kdyº je δ > 0 dostate n malé. Poznámka 3.7: Denice 3.6 íká, ºe funkce f má v bod a lokální minimum (resp. maximum), jestliºe ve v²ech bodech z n jakého (dostate n malého) okolí tohoto bodu jsou funk ní hodnoty v t²í (resp. men²í) nebo stejn velké jako funk ní hodnota v bod a, tj. funkce v bod a je nejníºe (resp. nejvý²e) vzhledem k nejbliº²ímu okolí. Z denice vyplývá, ºe funkce m ºe mít lokální extrém (tj. lokální maximum nebo lokální minimum) pouze ve vnit ním bod svého deni ního oboru. Obrázek 3.1: Lokální extrémy funkce dvou prom nných 3.2.2 Existence lokálních extrém V ta 3.8 (Nutné podmínky): Nech funkce f : R n R má v bod a lokální extrém a má v tomto bod slabý diferenciál D v f(a). Potom D v f(a) = 0 (derivace funkce ve sm ru v) pro kaºdý vektor v R n. To také znamená, ºe v²echny parciální derivace 1. ádu jsou nulové: f x i (a) = 0, i = 1,..., n. (3.8) 60 V P Jihlava, 2019

3.2.2 Existence lokálních extrém Posta ující podmínky pro existenci lokálních extrém funkce více prom nných vyplývají z vlastností kvadratické formy reprezentované Hessovou maticí (3.5). Více podrobností o kvadratických formách tená nalezne v odstavci 9.3.2. V ta 3.9: (Posta ující podmínky) Nech funkce f : R n R má v bod a spojité v²echny parciální derivace 2. ádu a diferenciál v D v f(a) je nulová lineární forma na R n (coº je ekvivalentní s podmínkou (3.8)). Je-li kvadratická forma v D 2 vf(a) negativn denitní, má funkce f v bod a ostré lokální maximum; pozitivn denitní, má funkce f v bod a ostré lokální minimum; indenitní, nemá funkce f v bod a lokální extrém. V²imn me si, ºe díky p edpokladu spojitosti parciálních derivací 2. ádu má funkce f v bod a totální diferenciály 1. a 2. ádu. D kaz.[argument d kazu V ty 3.9] Za siln j²ích p edpoklad na hladkost funkce f vyplývá z V ty 3.3 f(a + h) = f(a) + 1 2 D2 hf(a) + R 2 (a + h), (3.9) p i emº pro malé nenulové vektory h (tj. norma h je malá) m ºeme zbytek R 2 (a + h) na pravé stran rovnosti (3.9) ignorovat. Dále sta í pouºít p íslu²nou denitnost kvadratické formy h D 2 h f(a). Poznámka 3.10: Semidenitnost Hessovy matice (pozitivní nebo negativní) nezaru uje existenci lokálního extrému. P íklad 3.11: * Nalezn me lokální extrémy funkce f(x 1, x 2, x 3 ) = x 3 1 + x 2 2 + 1 2 x2 3 3x 1 x 3 2x 2 + 2x 3. Stru né e²ení: Funkce f je denovaná na R 3 a na svém deni ním oboru má v²echny parciální derivace (libovolného ádu) spojité. Najdeme body, ve kterých mohou být lokální extrémy, tím, ºe v²echny 1. parciální derivace poloºíme rovny nule a vy e²íme soustavu (3.8): f x 1 = 3x 2 1 3x 3 = 0, f x 2 = 2x 2 2 = 0, f x 3 = x 3 3x 1 + 2 = 0. Dostaneme dva body a 1 = (1, 1, 1), a 2 = (2, 1, 4). Dále vypo ítáme parciální derivace 2. ádu (vyuºíváme toho, ºe smí²ené derivace jsou zám nné: 2 f x 1 x 2 = 2 f x 2 1 2 f x 2 x 1 = 0, = 6x, 2 f x 1 x 3 = 2 f x 2 2 = 2, 2 f x 2 3 2 f x 3 x 1 = 3, = 1, 2 f x 2 x 3 = 2 f x 3 x 2 = 0. V P Jihlava, 2019 61

3.2.3 Lokální extrémy funkce dvou prom nných Ur íme Hessovy matice H(a 1 ), H(a 1 ) (viz (3.5)). Metody pro zji²t ní denitnosti matic jsou popsány v odstavci 9.3.2. Konkrétn zjistíme, ºe Hessova matice 6 0 3 H(a 1 ) = 0 2 0 3 0 1 je indenitní (viz P íklad 9.81), takºe v tomto bod není lokální extrém. Hessova matice pro bod a 2 12 0 3 H(a 2 ) = 0 2 0 3 0 1 je pozitivn denitní (viz P íklad 9.82), takºe v tomto bod je ostré lokální minimum. Vy²et ení denitnosti obou matic pomocí Sylvestrova kritéria je uvedeno v P íkladu 9.84. 3.2.3 Lokální extrémy funkce dvou prom nných P i hledání lokálních extrém funkcí dvou prom nných je situace o n co jednodu²²í. Proto budeme tomuto p ípadu v novat speciální odstavec. V ta 3.12 (Posta ující podmínky pro lokální extrém): Nech f : R 2 R má spojité parciální derivace 2. ádu v bod a a nech platí (3.8), tj. f f (a) = 0, x (a) = 0. y Ozna me D(a) = det H(a), tj. 2 f (a) 2 f x D(a) = (a) 2 x y 2 f (a) 2 f (a) y x y 2 = 2f (a) 2 f (a) 2 f (a) 2 f x 2 y 2 y x Pak x y (a). (i) Je-li D(a) < 0, funkce f v bod a nemá lokální extrém (má tam sedlový bod). (ii) Je-li D(a) > 0 a 2 f x 2 (a) < 0, má funkce f v bod a ostré lokální maximum. (iii) Je-li D(a) > 0 a 2 f x 2 (a) > 0, má funkce f v bod a ostré lokální minimum. D kaz. Tvrzení p ímo vyplývá z V ty 3.9 a Sylvestrova kritéria (V ta 9.83). Na Obrázku 3.2 je sedlový bod. 62 V P Jihlava, 2019

3.2.3 Lokální extrémy funkce dvou prom nných Poznámka 3.13: plyne, ºe Obrázek 3.2: Sedlový bod Ze spojitosti parciálních derivací druhého ádu v bod a 2 y x f(a) = 2 f(a). x y Odtud je vid t, ºe pokud D(a) > 0, pak 2 f x 2 (a) 0. Pokud je D(a) = 0, m ºe, ale nemusí být v bod a lokální extrém. P íklad 3.14: Nalezn me lokální extrémy funkce f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. e²ení: Funkce f je denovaná a má v²echny parciální derivace v²ech ád spojité na R 2. Postupujeme podobn jako v P íkladu 3.11. Nejd íve najdeme body spl ující podmínky (3.8) vy e²ením soustavy f x = 3x2 3y = 0, f y = 3y2 3x = 0. Té vyhovují dva body a 1 = (0, 0), a 2 = (1, 1). Dále vypo ítáme parciální derivace 2. ádu: 2 f x = 6x, 2 f 2 y = 6y, 2 f 2 x y = 2 f y xy = 3. Pro oba body vypo ítáme determinanty Hessovy matice: D(a 1 ) = 0 3 3 0 = 9, D(a 2) = 6 3 3 6 = 27. Takºe podle V ty 3.12 je v a 1 sedlový bod a v a 2 ostré lokální minimum. V P Jihlava, 2019 63

3.3 Vázané lokální extrémy Obrázek 3.3: Graf funkce f(x, y) = x 3 + y 3 3xy 3.3 Vázané lokální extrémy 3.3.1 Co je vázaný lokální extrém Z minulého semestru víme, ºe funkce jedné prom nné, která je spojitá na uzav eném intervalu, nabývá na tomto intervalu své nejv t²í hodnoty (globálního maxima) a své nejmen²í hodnoty (globálního minima). Chceme-li tyto hodnoty najít, musíme je hledat bu v bodech, kde má funkce lokální extrémy (tj. uvnit intervalu), nebo v krajních bodech daného intervalu. Podobná situace je i u funkce více prom nných. Uvaºujme spojitou funkci f na jednotkovém uzav eném kruhu K = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1}. (3.10) Jak se dozvíme pozd ji, nabývá tato funkce na mnoºin K své nejmen²í a nejv t²í hodnoty. Ty mohou (podobn jako v p edchozím p ípad ) být bu uvnit, a to v bodech, ve kterých má f lokální extrémy, anebo na hranici. V tomto p ípad v²ak hranice není dvoubodová mnoºina, ale kruºnice K = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1}. (3.11) Je tedy pot eba najít lokální extrémy funkce f v bodech, jejichº sou adnice (x, y) spl ují podmínku x 2 + y 2 = 1. Tato podmínka, kterou m ºeme vyjád it pomocí funkce g(x, y) = x 2 + y 2 1 jako g(x, y) = 0, se nazývá vazba nebo také vazbová podmínka. 64 V P Jihlava, 2019

3.3.2 Dosazovací metoda Denice 3.15: Jsou dány funkce dvou prom nných f, g. Ozna me M mnoºinu v²ech (x, y) R 2, které spl ují podmínku g(x, y) = 0. (3.12) Má-li funkce f v bod a M D(f) lokální extrém vzhledem k mnoºin M (to znamená, ºe porovnáváme hodnotu f(a) pouze s hodnotami f(x, y), kde (x, y) M, tj. body (x, y) spl ují podmínku (3.12)), nazveme tento extrém vázaným lokálním vzhledem k vazb (vazbové podmínce) (3.12). (Obrázek 3.4) z maximum z = f(x, y) y vázané maximum vazbová k ivka g(x, y) = 0 x Obrázek 3.4: Vázané maximum 3.3.2 Dosazovací metoda Dosazovací metoda spo ívá v p evedení problému na hledání lokálních extrém funkce jedné prom nné. Princip metody vysv tlíme na n kolika p íkladech. P íklad 3.16: Hledejme vázané lokální extrémy funkce ur ené vazbovou podmínkou f(x, y) = 1 x 2 y 2 (3.13) g(x, y) = y x + 1 = 0. (3.14) (Situace je znázorn na na Obrázku 3.5.) e²ení: Z vazbové podmínky vyjád íme prom nnou y: y = x 1, (3.15) V P Jihlava, 2019 65

3.3.2 Dosazovací metoda Obrázek 3.5: Graf funkce f(x, y) = 1 x 2 y 2 kterou dosadíme do funkce f: F (x) = f(x, x 1) = 1 x 2 (x 1) 2 = 2x 2 + 2x. Najdeme lokální extrémy funkce F jedné prom nné. Derivace F (x) = 4x + 2 je nulová v bod x = 1. Zde funkce F nabývá svého lokálního maxima. Z rovnosti (3.15) ur íme druhou sou adnici y = 1 1 = 1. Takºe funkce f má 2 2 2 v bod ( 1, 1 ) vázané lokální maximum. 2 2 Nebo m ºeme z vazbové podmínky vyjád it prom nnou x, dosadit do funkce f a hledat lokální extrém funkce prom nné y. Výsledné vázané maximum bude stejné. P íklad 3.17: Hledejme vázané lokální extrémy funkce ur ené vazbovou podmínkou f(x, y) = x 2 e x2 2y g(x, y) = x 2 y = 0. e²ení: Z vazbové podmínky vyjád íme prom nnou y a dosadíme ji do funkce f: F (x) = f(x, x 2 ) = x 2 e x2. Dále hledáme lokální extrém funkce F pomocí metod pro funkci jedné prom nné. Funkci zderivujeme: F (x) = 2x e x2 + x 2 e x2 ( 2x) = 2x(1 x 2 ) e x2. Nulovými body derivace jsou x = 1, 0, 1. Podobn jako v p edchozím p íkladu zjistíme, ºe v bodech x = 1 a x = 1 jsou lokální maxima, v bod x = 0 je 66 V P Jihlava, 2019

3.3.2 Dosazovací metoda Obrázek 3.6: Graf funkce f(x, y) = x 2 e x2 2y lokální minimum funkce F. Takºe v bodech ( 1, 1) a (1, 1) má funkce f vázaná lokální maxima a v bod (0, 0) má vázané lokální minimum. (Druhé sou adnici bod zjistíme tak, ºe nalezené x sou adnice dosadíme do vazbové podmínky.) Pozorný tená si pov²imne, ºe z vazbové podmínky je moºné vyjád it také prom nnou x pomocí prom nné y, tj. x 2 = y. Pak po dosazení do f dostaneme funkci prom nné y: G(y) = y e y. Zderivujeme-li tuto funkci, vyjde G (y) = e y + y e y ( 1) = (1 y)e y. Jediný nulový bod derivace je y = 1, ve kterém má funkce G lokální maximum. Hodnot y = 1 odpovídají dle vazbové podmínky dv hodnoty x = 1 a x = 1, takºe v bodech ( 1, 1) a (1, 1) má funkce f vázaná lokální maxima. Kam zmizel bod (0, 0)? Tento bod ve skute nosti nikam nezmizel. K tomu je pot eba si uv domit, ºe kdyº y = x 2, pak nutn y 0. Funkce G uvaºovaná na intervalu 0, ) je, jak snadno zjistíme ze znaménka derivace, rostoucí na intervalu 0, 1, coº znamená, ºe v bod y = 0 nabývá nejmen²í hodnoty. Nejedná se zde o lokální extrém funkce jedné prom nné (bod 0 je krajním bodem intervalu 0, )), p esto je v bod (0, 0) vázané lokální minimum (situaci vidíme názorn ji na Obrázku 3.6). Hlavním d vodem tohoto výsledku je, ºe relace ur ená rovnicí x 2 = y není funkcí prom nné y (k jednomu x mohou existovat dv hodnoty y spl ující tuto rovnici). Dosazovací metoda funguje jednodu²e, pokud je moºné vazbovou podmínku interpretovat jako funkci jedné z prom nných (P íklad 3.16 a e²ení P íkladu 3.17, kde dosadíme za y). Pokud dosazujeme z vazbové podmínky tak, ºe se nejedná o funkci ( e²ení P íkladu 3.17, kde dosadíme za x), je situace komplikovan j²í. V následujícím p íkladu si ukáºeme situaci, kdy vazbovou podmínku nelze interpretovat jako funkci ani jedné z prom nných. V P Jihlava, 2019 67

3.3.2 Dosazovací metoda P íklad 3.18: * Hledejme vázané lokální extrémy funkce f(x, y) = 1 x (3.16) ur ené vazbovou podmínkou g(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0. (3.17) z ( 1, 0, 2) z = 1 x y 1 x 2 + y 2 = 1 1 x Obrázek 3.7: Vázané lokální maximum funkce f(x, y) = 1 x s vazbovou podmínkou g(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 e²ení: Jelikoº se jedná o kruºnici, která není grafem funkce, nelze úlohu e²it jednoduchým dosazením z vazbové podmínky jako v p edchozích p íkladech. Máme n kolik moºností. Vyjád it x pomocí y (nebo naopak). V tomto p ípad musíme rozd lit kruºnici K (viz (3.11)) na dv polokruºnice. V prvním p ípad máme x = 1 y 2, ve druhém p ípad pak x = 1 y 2, y 1, 1. Pak je nutné nalézt extrémy v obou p ípadech a dát je dohromady. Pouºít vhodnou parametrizaci podmínky (3.17), tj. k vyjád ení x a y pouºijeme jinou prom nnou (parametr), nap. x = cos t, y = sin t, p i emº t 0, 2π. V obou zmín ných variantách se m ºe stát, ºe podez elý bod na kruºnici se p i zvolené parametrizaci nachází zrovna na kraji uvaºovaného intervalu (tj. v prvním p ípad v n kterém z bod x = 1, x = 1, ve druhém p ípad v n kterém z bod t = 0, t = 2π, které zde navíc reprezentují na K tentýº bod). 68 V P Jihlava, 2019

3.3.3 Úrov ové k ivky Ukáºeme si e²ení druhým zp sobem, tj. zvolíme x = cos t, y = sin t, t 0, 2π. Pak (x, y) vyhovují vazbové podmínce g(x, y) = 0. Po dosazení do funkce f dostaneme funkci jedné prom nné F (t) = 1 cos t, t 0, 2π. Pomocí 1. derivace F (t) = sin t zjistíme, ºe funkce F roste na intervalu 0, π a klesá na intervalu π, 2π. Lokální maximum je tedy v bod t = π, odkud plyne, ºe vázané lokální maximum je v bod ( 1, 0), viz Obrázek 3.7. Lokální extrém funkce jedné prom nné nem ºe být na kraji intervalu. V tomto p ípad je ale pot eba si uv domit, ºe pro t = 0 a t = 2π se jedná o tentýº bod, který se nachází na jednotkové kruºnici. Takºe vázané lokální minimum dostaneme pro t = 0, tedy je v bod (1, 0). 3.3.3 Úrov ové k ivky Je-li f : z = f(x, y) dostate n regulární funkce (nap. elementární funkce), je jejím grafem plocha v prostoru R 3. P edstavu o tvaru této plochy získáme pomocí úrov ových k ivek f(x, y) = C pro vhodné hodnoty C R. Na Obrázku 3.8 vidíme jednu z úrov ových k ivek a její pr m t do roviny xy. z funkce z = f(x, y) y úrov ová k ivka f(x, y) = C rovina z = C x pr m t úrov ové k ivky Obrázek 3.8: Úrov ová k ivka a její pr m t do roviny xy Na obrázku 3.9 (a) graf funkce f : z = f(x, y) znázor uje povrch hory. Na obrázku (b) je pomocí pr m t úrov ových k ivek (vrstevnic) vytvo ena topogracká mapa terénu. V P Jihlava, 2019 69

3.3.4 Metoda Lagrangeových multiplikátor Obrázek 3.9: (a) Povrch hory, (b) topogracká mapa pomocí pr m t úrov ových k ivek 3.3.4 Metoda Lagrangeových multiplikátor Tato metoda je zaloºena na jednoduchém pozorování. Je-li v bod a lokální vázaný extrém funkce f : R 2 R vzhledem k vazbové podmínce (3.12), tj. g(x, y) = 0, potom se pr m t úrov ové k ivky funkce f (tj. k ivka v rovin xy o rovnici f(x, y) = C) procházející bodem a dotýká k ivky g(x, y) = 0 v bod a, tj. jejich normálové vektory (gradienty funkcí f, g, jak víme z odstavce 2.2.6) v bod a jsou rovnob ºné. (viz Obrázek 3.10) y sm r, ve kterém roste C Dotykový bod vazbové k ivky s úrov ovou k ivkou Pr m t úrov ové k ivky nejvy²²í úrovn f(x, y) = C, který má spole ný bod s vazbovou k ivkou x Vazbová k ivka: g(x, y) = 0 Obrázek 3.10: Metoda Lagrangeových multiplikátor V ta 3.19 (O Lagrangeov multiplikátoru): Nech f, g jsou funkce diferencovatelné v bod a, nech g(a) o a funkce g je spojitá na n jakém okolí bodu a. Nech funkce f má vázaný lokální extrém v bod a vzhledem k mnoºin M dané vazbou (3.12) (tj. M = {x R 2 ; g(x) = 0}). Potom existuje íslo λ R takové, ºe f(a) = λ g(a). (3.18) 70 V P Jihlava, 2019