Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode, jenž vzniká připojením tuhého těesa hmotnosti m nehmotnou ineární pružinou o tuhosti k se svisou osou k rámu(obr.1). Jestiže uvažujeme posuv hmotnosti po svisici vzniký pouze působením nenuových počátečních podmínek(tzv. voné kmitání), působí na uvoněné těeso, při kótování výchyky od voné déky pružiny, pouze setrvačná sía, vratná eastická sía a vastní tíha těesa(obr.1). Všechny tyto síy mají svisou nositeku, pročež pohybovou rovnici, jakožto siovou podmínku dynamické rovnováhy do svisého směru, můžeme zapsat ve tvaru mẍ+k mg=0. (1) 0 k st y m Obrázek 1: Budeme-i osu pružiny situovat vodorovně(obr.2) dostáváme při zanedbaném tření hmoty na rámu pohybovou rovnici ve tvaru mẍ+k=0. (2) 0 k Obrázek 2: m f = 0 Tíha, jakožto svisá sía, se nyní do směru pohybu nepromítá. Protože obě pohybové rovnice popisují fyzikáně stejný děj, je v rovnici(1) konstantní čen mg navíc. Situace se 1
uvede do souadu zavedením nové výchyky y, kterou v případě svisé osy pružiny kótujemeažodtzv.statickérovnovážnépoohy,danéparametrem st (obr.1).zavěsíme-i kpružiněvonédéky 0 atuhosti ktěesohmotnosti manechámeustáit,dojdekjejímukidovémuprotaženíprávěohodnotu st,kdyjevrovnovázevratnásíatakto deformované pružiny s tíhou, tedy kdy patí Zobr.1jepatrno,že mg= k st. (3) = st + y. Protožepode(3)je st konstanta,patí ẍ=ÿ.dosazenímtěchtovýrazůdo(1)za a ẍzískáme mÿ+ k st + ky mg=0. Apikací(3) však odtud dostáváme rovnici(2) ve výchyce y. Je-i tedy osa pružiny jiná než vodorovná, kótujeme výchyku od statické rovnovážné poohy a přísušnou sožku tíhy do rovnováhy si nezahrnujeme. Pohybová rovnice je vždy tvaru(2) a říkáme jí pohybová rovnice voných netumených kmitů. Voné kmity vznikají bez přítomnosti budící síy. Vznikají z nenuových počátečních podmínek. Buď tedy pružinu deformujeme a pustíme z kidu(nenuová poohová počáteční podmínka) nebo hmotu ze statické rovnovážné poohy postrčíme (nenuová rychostní počáteční podmínka), popřípadě provedeme kombinaci obojího. Působí-inahmotunavícbudícísía F(t),mátatovpohybovérovnicizápornéznaménko(obr.1 a 2). S kadným znaménkem ji obvyke převádíme na pravou stranu. Pohybová rovnice má pak tvar mẍ+k=f(t). Jestiže je k pružině paraeně řazen ineární(tzv. viskózní) tumič, působí v něm proti pohybu tumící sía úměrná rychosti pohybu těesa. Pohybová rovnice podéných tumených(obecně buzených) kmitů má pak tvar(obr. 3) mẍ+bẋ+k=f(t). (4) b k 0 k. b m F(t) f = 0.. m Obrázek 3: Konstantu b udáváme v[ns/m] =[kg/s] a nazýváme ji konstantou vazkého tumení. Vivem tumení se mechanická energie mění na energii tepenou. Nastává tzv. disipace energie. Tumič může být skutečně funkční, paraeně připojený k pružině jako na kinematickém schématu na obr.3. Může ae také znázorňovat materiáové tumení drátu, ze kterého je pružina vyrobena. Mode bez tumení je vždy abstrakce, více nebo méně odišná od skutečnosti. V případě materiáového tumení bývá v prai probémem číseně 2
vyjádřit konstantu b. Lze to zjistit eperimentem a násedným výpočtem-viz téma voné kmitání. Poznámka: Výše popsané pohybové rovnice ze rovněž odvodit apikací Lagrangeovy rovnice(druhého druhu) tvaru d dt ( ) Ek E k q q + E p q + R q = Q. Vtétorovnici E k jekinetickáenergietěesa, E p potenciáníenergiesoustavy, Rjetzv. Rayeighova disipační funkce a Q zobecněná sía přísušející k zobecněné souřadnici q. Protože těeso se posouvá, patí pro kinetickou energii při ibovoném kótovánívýchyky(q=nebo q=y)vztah E k = 1 2 mẋ2 = 1 2 mẏ2.prodisipačnífunkci patí R= 1 2 bẋ2 = 1 2 bẏ2 (poovinavýkonutumícísíy).potenciáníenergiesoustavyje propřípadvýchyky rovna E p = E p0 + 1 2 k2 mg,kde E p0 jepotenciáníenergie vpooze =0.Propřípadvýchyky yje E p = E p0+ 1 2 ky2,přičemž E p0jepotenciání energievpooze y=0.vtomtopřípaděnezahrnujemedovýpočtuzměny E p vyvoané změnoupoohytěžištětěesa.prozobecněnousíuzřejměpatí Q=F(t).Prvníčen Lagrangeovy rovnice představuje setrvačnou síu, druhý čen je nuový(pro kmitavé soustavy kinetická energie nezávisí na pooze), třetí čen představuje eastickou a čtvrtý čen tumící síu. Zobecněná sía na pravá straně představuje(nekonzervativní) budící síu. 2. Případy převeditené na zákadní mode a) Tuhé těeso zavěšené na teoreticky nehmotném aně(tyči). Vastnosti ineární pružiny má i prizmatická tyčka(ano) při namáhání na tah(obr.4). Z Hookeova zákona pro tah pyne pro deformaci tyče pod působením osové síy F výraz = F EA, (5) kde jedékaaapochaprůřezunezatíženétyče, Ejemodupružnostivtahumateriáu F Obrázek 4: tyče. Srovnáním(5) s výrazem ineární závisosti vratné síy v pružině na deformaci zjišťujeme, že tuhost tyče je 3
k= AE. (6) Poznámka: Pohybová rovnice kmitání tyče(ana) s hmotností m na konci je tvaru(2) nebo(4)protuhostdanouv(6)jenvtompřípadě,kdyhmotnosttyče(stejnějako pružiny) zanedbáme. Zahrnutí hmotnosti pružiny(tyče) do výpočtu, provedeme níže. b) Spiráová pružina namáhaná siovou dvojicí. Mějme spiráovou pružinu jedním koncem vetknutou do rámu. Namáháme-i siovou dvojicí s vektorem momentu M vosepružinyjejívonýkonec,natočíseoúhe ϕ.je-ipružinaineární,vztahmezi momentem M aúhem ϕjepřímáúměrnost M = k t ϕ.konstantu k t,jížudávámev [Nm/rad], nazýváme torzní tuhost pružiny. Jestiže od poohy v nezatíženém stavu kótujeme úhe natočení ϕ kotouče o osovém momentu setrvačnosti I připojeného ke spiráovépružiněotorznítuhosti k t stím,žekotoučzeotáčetpouzekoemosypružiny, je pohybová rovnice tohoto pohybu zřejmě tvaru I ϕ+k t ϕ=0. (7) Tato rovnice vyjadřuje dynamickou rovnováhu siových dvojic k ose pružiny. Dvojice I ϕjesetrvačná(kotoučseotáčíkoemhavnícentráníosysetrvačnosti)advojice k t ϕ je eastická dvojice. Připojíme-i siovou dvojici tumící, modeující materiáové tumení pružiny, a budící dvojici o momentu M(t), je pohybová rovnice tvaru I ϕ+b t ϕ+k t ϕ=m(t). (8) Konstantu b t udávámev[nms/rad]anazývámejikonstantou torzního tumení. Srovnáním(8) a(4) zjišťujeme matematicky stejné diferenciání rovnice s násedující anaogií veičin Podénékmity m b k F(t) Torzníkmity I b t k t M(t) ϕ Rovnice(7) popisuje netumené voné torzní kmity, rovnice(8) obecně tumené, buzené torzní kmity. c) Kotouč na teoreticky nehmotném hřídei. Vastnosti ineární torzní pružiny má i hříde kruhového(mezikruhového) průřezu při namáhání na krut. Z Hookeova zákona pro prostý krut pyne pro deformaci(nakroucení) hřídee pod působením torzního momentu M výraz ϕ= M GJ p, kde jedékahřídee, GmodupružnostijehomateriáuvesmykuaJ p jepoární kvadratickýmomentpochyprůřezuudávanýv[m 4 ].Srovnánímsevztahempro úměrnost eastického momentu s úhem natočení odtud dostaneme pro torzní tuhost hřídee vztah k t = GJ p. (9) Veičina J p jedefinovánajako J p = (A) ρ2 da,kde ρjeprvnípoárnísouřadnicespočátkem v těžišti průřezu. Pro mezikruhový průřez o vnějším pooměru R a vnitřním pooměru r patí 4
J p = π 2 (R4 r 4 )= π 2 (R2 r 2 )(R 2 + r 2 )= A 2 (R2 + r 2 ). (10) Pohybová rovnice kmitání hřídee s kotoučem na konci má tvar(7) nebo(8), kde torzní tuhostjedánav(9)apoárnímomentv(10)propřípadzanedbanéhmotnostihřídee. d) Reativní kmity dvou izoovaných hmot na pružině. Mějme dvě těesa hmotností m 1 a m 2 (obr.5),kteréjsouspojenypružinoutuhosti k.zřejměsejednáo soustavusedvěmastupnivonostipopsanouzobecněnýmisouřadnicemi 1 a 2 (obr.5). Pohybové rovnice získáme napříkad metodou uvoňování za nepodstatného předpokadu reacemezioběmavýchykaminapříkad 2 > 1.Prokaždétěesojevrovnovázevždy setrvačná sía od posuvu s eastickou siou(obr.5). Pohybové rovnice tedy ze formuovat ve tvaru m 1 ẍ 1 k( 2 1 )=0; m 2 ẍ 2 + k( 2 1 )=0. m m 2 1 k f = 0 1 2.. m 1 1 k ( ) 2 1.. m 2 2 k ( 2 1 ) Obrázek 5: Tytopohybovérovnicezřejmězůstávajívpatnostiiproopačnoureaci 2 1. Pakjendruhésčítancezměníznaménko.Násobenímprvnírovnicekonstantou m 2,druhé rovnicekonstantou m 1 aodečtenímvznikýchrovniczískáme m 1 m 2 (ẍ 2 ẍ 1 )+k( 2 1 )(m 1 + m 2 )=0. Označíme-i = 2 1 (cožjereativnívýchykahmoty m 2 vůčipozorovateinacházejícímusenahmotě m 1 ),je ẍ=ẍ 2 ẍ 1 apředchozírovnicemátvar Označíme-i jako m hmotnost, pro kterou ẍ+k m 1+ m 2 m 1 m 2 =0. 1 m = 1 m 1 + 1 m 2 = m 1+ m 2 m 1 m 2, (11) přepíšeme(po násobení veičinou m) předchozí rovnici na tvar mẍ+k=0, 5
což je rovnice(netumeného) voného podéného kmitání soustavy s jedním stupněm vonosti. Hmotnost m je definovaná v(11). Poznámka: Anaogická situace vznikne u dvou kotoučů o osových momentech setrvačnosti I 1 a I 2 vázanýchnehmotnýmhřídeem(obr.6)otorznítuhosti k t.zavedeme-iúhe nakrouceníhřídee ϕ=ϕ 2 ϕ 1 amomentsetrvačnosti Ivztahem 1 I = 1 I 1 + 1 I 2,dostáváme pohybovourovnicireativníchkmitůkotouče I 2 vůčikotouči I 1 vetvaru I ϕ+k t ϕ=0. ϕ 1 0000 1111 0000 1111 0 0000 1111 k 1 t I 1 I 2 ϕ 2 Obrázek 6: Důežitá poznámka: Zahrnutí hmotnosti pružin(tyčí, an, hřídeů). Způsob zahrnutí hmotnosti pružného čenu v soustavě odvodíme pro případ homogenní prizmatické tyče déky (obr.7). Odvození provedeme za patného předpokadu ineárního nárůstu výchyky mezi vetknutím a voným koncem tyče, srovnáním kinetické energie takto se pohybující tyče s kinetickou energií tuhého těesa nacházejícího se na voném konci nehmotné tyče. V místě popsaném poohou z od místa vetknutí(obr.7) vytkneme eement tyčedékydz.jestiževonýkonectyčemávýchyku atyčcekovouhmotnost m t, dz dostávámezauvedenýchpředpokadůprohmotnosttohotoeementuvztahdm=m t aprovýchykutohotoeementuvztah z = z.protožepoohováproměnná znezávisí načase,dostávámeodtudčasovouderivací ẋ z = ẋ z.prokinetickouenergiieementu pak patí z., z dz z Obrázek 7:, ẋ de k = 1 2 dm ẋ2 z= 1 2 m dz t ẋ 2z2 =1 2 2 m ẋ 2 t 3 z2 dz. Integrací po ceé déce tyče odtud pro kinetickou energii ceé tyče získáme E k = de k = 1 2 m ẋ 2 t 3 0 z 2 dz= 1 m t ẋ 2 2 3. Odtud pyne, že náhradou hmotnosti tyče na voném konci je tuhé těeso o hmotnosti rovné třetině hmotnosti tyče. Anaogická situace bude pro homogenní hmotné pružiny i homogenní hřídee. 6
3. Jiné modey vedoucí na popsanou pohybovou rovnici Některé daší fyzikání modey kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti se převádějí na zákadní(netumený) podéně kmitající o pohybové rovnici m r ẍ+k r =0. Přitom déková souřadnice je vhodně zvoená souřadnice, kterou najdeme na fyzikánímmodeusoustavy.redukovanouhmotnost m r získámezbiancekinetickéenergie (E k =) 1 2 m rẋ 2 = i E ki, (12) kde E ki jekinetickáenergie i téhopohybujícíhosečenusoustavy.redukovanou tuhost k r získámezbiancepotenciáníenergiekumuovanévdeformovanýchpružinách (pružných čenech) (E p =) 1 2 k r 2 = j E pj, (13) kde E pj jepotenciáníenergie j téhodeformovanéhopružnéhočenusoustavy. Příkad: Jako příkad sestavme pohybovou rovnici voných(netumených) kmitů soustavypodeobr.8.váecpooměru r,hmotnosti m 1 aosovéhomomentusetrvačnosti I (stěžištěmvesvémstředu)sevaípovodorovnérovině.najehoobvodsenavíjívodorovnénehmotnéano,kněmužjepevněvázánotěesohmotnosti m 2.Tototěesoje připojenovodorovnou(homogenní,ineární)pružinouhmotnosti m p atuhosti kkrámu. Formuujme pohybovou rovnici soustavy. r S ϕ m, 1 I m 2 k, m P P Obrázek 8: Řešení: Déková souřadnice náhradního modeu nechť jest výchyka středu váce. KinetickáenergievaícíhosevácejepodeKönigovyvěty 1 2 (m 1ẋ 2 + I ϕ 2 ),kde ϕjeúhe natočení druhotné rotace při rozkadu pohybu váce v těžišti(středu). Kinematická podmínkavaenídávávztah ϕ= r.zvastnostipóupohybuvácevypývá,žetěeso hmotnosti m 2 mávýchyku2.odtud,přiuváženíhmotnostipružiny,pynebiance kinetické energie ve tvaru Odtud 1 2 m rẋ 2 = 1 ( m 1 ẋ 2 + I ẋ2 2 r 2+(m 2+ m ) p 3 )(2ẋ)2. m r = m 1 + I r 2+4m 2+ 4 3 m p. 7
Potenciání energie se kumuuje pouze v deformované pružině o deformaci 2(od voné déky). Biance potenciání energie je proto triviáního tvaru odkud 1 2 k r 2 = 1 2 k(2)2, k r =4k. Pohybová rovnice dané soustavy je potom tvaru Poznámky: m r ẍ+k r =0. 1. Fyzikání mode ze rovněž převést na torzně kmitající zákadní mode s pohybovou rovnicí I r ϕ+k tr ϕ=0, kde úhovou souřadnici ϕ nutno najít na původním fyzikáním modeu. Pro redukovanýmomentsetrvačnosti I r pakpatí (E k =) 1 2 I r ϕ 2 = i E ki a pro redukovanou torzní tuhost patí (E p =) 1 2 k trϕ 2 = j E pj. Součty na pravých stranách jsou stejné jako v rovnicích(12) a(13). 2. Jestiže fyzikání mode obsahuje kromě pružných čenů paraeně řazené tumící čeny,přibývákpohybovýmrovnicímještětumícíčentvaru b r ẋ(resp. b tr ϕ), přičemž redukované tumící parametry určíme ze stejných vzorců jako redukované tuhostní parametry, když místo tuhostí píšeme přísušné tumící konstanty. Jedná se o bianci výkonu tumících účinků. Na obyčejnou diferenciání rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty, která je z hediska matematického modeu charakteristická pro kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti, vedou i jiné fyzikání modey, ve kterých se vůbec nevyskytuje žádný pružný čen. Příkadem může být netumený pohyb bóje. Mějme(komý)váecopošeprůřezu A,hmotnosti m t,kterýpavevevekénádrži skapainouhustoty ρ k vpoozesvodorovnýmipodstavami.jetedyvestatickérovnovážné pooze, kdy jeho tíha je v rovnováze se vztakovou siou kapainy vytačené objemem ponořené části váce(obr.9). Po zatačení váce vnější siou(stejné nositeky jako tíha váce) více do kapainy(nenuová poohová počáteční podmínka) a puštění z kidu dojde k posuvu váce. Zanedbáme-i třecí účinky kapainy, bude při kótování výchyky ze zmíněné statické rovnovážné poohy(obr.9) pohybovou rovnicí siová podmínka dynamickérovnováhysetrvačnéapřídavnévztakovésíy F v (dosviséhosměru).tato podmínka má tvar 8
.. m T F V Obrázek 9: m t ẍ+f v =0. Pro přídavnou vztakovou síu však pode Archimedova zákona patí(s ohedem na veikostnádrže) F v = gρ k A,kde gjegravitačnízrychení.zauvedenýchpodmínek proto pohybová rovnice soustavy je tvaru m t ẍ+gρ k A =0. Tojepohybovárovnicetvaru(2)skonstantoutuhosti k= gρ k A. Poznámka:Pokudbójejehomogennítěesohustoty ρ t,patíprojejíhmotnost m t = = ρ t Ah,kde hjevzdáenostpodstav(výškaváce).podosazenídopohybovérovnice tuto můžeme psát jako ẍ+ g h ρk ρ t. Pohybovou rovnici(2) ze získat rovněž inearizací jiné(neineární) pohybové rovnice, která je patná pro maé výchyky. Jako příkad uveďme pohybovou rovnici tzv. fyzikáního kyvada. A ϕ r T G I A ϕ.. Obrázek 10: Těesohmotnosti msestředemhmotnostivbodě T (obr.10)zavěsímevbodě A, aby AT = r 0. Bez působení vnějších účinků těeso zaujme stabiní rovnovážnou poohu, kdy výchyka ϕ = 0(obr.10). Vychýíme-i těeso z této poohy(nenuová poohová počáteční podmínka) eventuáně mu v této pooze uděíme počáteční úhovou rychost 9
(nenuová rychostní počáteční podmínka), začne se pohybovat vratným rotačním pohybem s proměnnou výchykou ϕ(obr.10). Pohybovou rovnicí je momentová podmínka dynamické rovnováhy k bodu závěsu, která má zřejmě tvar I A ϕ+mgrsin ϕ=0, kde I A jeosovýmomentsetrvačnostitěesakose,procházejícíbodemzávěsukomo na rovinu pohybu. Pokud výchyky ϕ budou maé, ze funkci sin ϕ nahradit prvním čenem jejího Tayorova rozvoje v okoí nuy. Náhrada je sin ϕ ϕ, takže inearizovaná pohybová rovnice má formu I A ϕ+mgrϕ=0. Tojepohybovárovnicetvaru(7)skonstantoutorznítuhosti k t = mgr. Poznámky: 1.ZtvaruTayorovarozvojesinuvokoínuy sin ϕ= ( 1) i+1 ϕ 2i 1 i=1 (2i 1)! pyne, že největší možná reativní chyba, jíž inearizací pohybové rovnice uděáme, máveikost ϕ2.budeme-isetedysvýchykamipohybovatvrozmezí ϕ 0.1[rad], 6 bude tato chyba menší než dvě promie. Na maimání výchyce pak tato chyba závisí kvadraticky. 2. Jestiže speciáně zavěšené těeso je homogenní tyč déky zavěšená na svém konci, jezřejmě r= 2 a I A= 1 3 m2.vpohybovérovnicizepakkrátitvýrazem matato dostane formu 3 ϕ+ g 2 ϕ=0. 10