Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy Příčíme Jiří Přibyl UJEP
Úloha první Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy Úkol Určete příčku mimoběžek p a q, která je dána vektorem w(1, 1, 2), a napište její parametrické rovnice. p = gen{[2, 3, 1], (5, 7, 2)} q = gen{[2, 3, 7], (3, 1, 5)} Co se po nás chce? Výsledky Řešení
Úloha druhá Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy Úkol Určete příčku mimoběžek p a q, která je dána bodem M[ 2, 3, 1], a napište její parametrické rovnice. p = gen{[2, 3, 1], (5, 7, 2)} q = gen{[2, 3, 7], (3, 1, 5)} Co se po nás chce? Výsledky Řešení
k úloze Nejprve je rozumné určit, jaká je vzájemná poloha dvou přímek. Co vyplývá ze vzájemné polohy? Pokud je to nutné, sestavit příslušnou soustavu rovnic, která řeší danou problematiku. úloha 01 úloha 02
Co se po nás chce? 1 Máme určit příčku. Příčka dvou přímek je taková přímka, která je s každou z nich různoběžná. Vzhledem k tomu, že příčka je přímkou, pak pro její určení potřebujeme dva elementy. Bod a vektor. 2 Máme napsat parametrické rovnice. Tento úkol už je snadný, pokud známe dva generátory přímky. úloha 01 úloha 02
Co vyplývá ze vzájemné polohy? Ze vzájemné polohy vyplývá, zda vůbec taková příčka existuje, a také obtížnost nalezení takové příčky. Ve třírozměrném prostoru mohou přímky nabývat pouze čtyř vzájemně různých poloh. přímky jsou totožné rovnoběžné různoběžné mimobežné zpět
Pokud jsou příčky totožné, pak se příčka hledá snadno. Je jí libovolná přímka, která je generována jedním z daných elementů, a je s danou (dvojnásobnou) přímkou různoběžná. zpět
Pokud jsou příčky rovnoběžné, pak příčka už nemusí vždy existovat. Záleží na postavení vstupního elementu a rovnoběžných přímek. vstupní element bod Aby příčka existovala, pak bod musí ležet v rovině určené rovnoběžnými přímkami. vstupní element vektor Aby příčka existovala, pak musí vektor ležet ve vektorovém prostoru Z 2 = gen{ab, u}, kde AB je vektor, jehož počáteční a koncový bod leží každý na jiné přímce (z daných rovnoběžných) a u je jejich směrový vektor a nesmí být LZ s u. zpět dále
vstupní element bod Pro určení příčky nám chybí vektor, který volíme z vektorového prostoru Z 2 = gen{ab, u}, který je LN s u. vstupní element vektor Pro určení příčky stačí zvolit libovolný bod libovolné (z daných dvou) přímky. zpět
Vzhledem k tomu, že přímky jsou různoběžné, pak každá přímka, která prochází jejich společným bodem, je s nimi také různoběžná. vstupní element bod Příčka je dána dvěma body je snadné určit chybějící vektor. vstupní element vektor Příčka je rovnou dána. zpět
vstupní element bod Příčka existuje právě jedna, pokud daný bod není bodem žádné (dané) přímky. Pokud je bodem některé přímky, pak jich existuje mnoho. vstupní element vektor Příčka existuje právě jedna a to za podmínky, že dim Z 3 = 3, kde Z 3 = gen{u, v, w} a u, v jsou směrové vektory přímek a w je směrový vektor příčky. zpět
Výsledky Nejprve zjistíme, zda řešení existuje. 1 určíme vzájemnou polohu přímek pokud víme co počítat, s úspěchem můžeme užít programu Derive přímky jsou mimoběžné 2 určíme, zda příčka existuje či nikoliv existuje právě jedna 3 sestavíme příslušnou soustavu rovnic 0 = k + 5t 3s 0 = k 7t + s 6 = 2k + 2t 5s 4 rozřešíme k = 7 8 s = 6 7 t = 2 7 5 určíme průsečíky příčky s přímkami P[ 4 7, 5, 3 7 ], Q[ 4 7, 3 6 7, 2 5 7 ] dále
6 příčka je dána libovolným bodem, který leží na přímce PQ a zadaným vektorem; zvolme například bod P, potom příčka je generována elementy [ 4 7, 5, 3 7 ], (1, 1, 2) 7 parametrické rovnice příčky pak mohou vypadat například takto x = 4 7 + l y = 5 + l z = 3 7 2l zpět
Příčíme Řešení Jako první krok je třeba určit vzájemnou polohu přímek p, q. p = gen{a[2, 3, 1], u(5, 7, 2)} q = gen{b[2, 3, 7], v(3, 1, 5)} AB(0, 0, 6) A = 5 7 2 3 1 5 0 0 6 h(a) = 3 Přímky jsou mimoběžné. další krok
Druhým krokem je ověření, zda příčka existuje. B = u v = 5 7 2 3 1 5 w 1 1 2 h(b) = 3 Existuje právě jedna příčka daným směrem. další krok
Sestavení příslušné soustavy rovnic. Předpokládejme, že tato příčka r již existuje a prochází body P a Q, o kterých víme: P p P r Q q Q r Existují tedy taková reálná čísla t a s, že P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, 7, 2) = = [2 + 5t, 3 7t, 2 + 2t] Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, 1, 5) = = [2 + 3s, 3 s, 7 + 5s] Vzhledem k tomu, že body P a Q leží na příčce a w je směrový vektor příčky, pak platí: dále
Příčíme Tedy PQ = kw PQ = kw Q P = kw [2 + 3s, 3 s, 7 + 5s] [2 + 5t, 3 7t, 1 + 2t] = = k(1, 1, 2) (3s 5t, s + 7t, 5 + 5s 2t) = (k, k, 2k) Dva vektory se sobě rovnají, rovnají-li se příslušné souřadnice. (upravíme) k 3s + 5t = 0 k + s 7t = 0 2k 5s + 2t = 5 další krok
Rozřešíme. (K řešení použijeme např. Cramera a program Derive.) k = 7 8 s = 6 7 t = 2 7 další krok
Příčíme Pro určení příčky nám stačí jeden bod vektor už máme. S úspěchem můžeme tedy užít bodu P. P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, 7, 2) = = [2 + 5t, 3 7t, 1 + 2t] = [2 + 5 2 7, 3 7 2 7, 1 + 2 2 7 ] = [ 4 7, 5, 3 7 ] Příčka má parametrické rovnice x = 4 7 + l y = 5 + l z = 3 7 2l zadání
Příčíme Výsledky Nejprve zjistíme, zda řešení existuje. 1 určíme vzájemnou polohu přímek pokud víme co počítat, s úspěchem můžeme užít programu Derive přímky jsou mimoběžné 2 určíme, zda příčka existuje či nikoliv existuje právě jedna 3 sestavíme příslušnou soustavu rovnic 4 = 5t 4k 3ks 6 = 7t 6k + ks 0 = 2t 6k 5ks 4 rozřešíme k = 41 25 s = 58 41 t = 22 25 5 určíme průsečíky příčky s přímkami P[ 12 5, 229 25, 19 92 25 ], Q[ 41, 181 41, 3 41 ] dále
6 příčka je dána bodem a vektorem PQ( 32 205, 4864 1025, 704 1025 ) 7 parametrické rovnice příčky pak mohou vypadat například takto x = 2 + 5l y = 3 152l z = 1 + 22l zpět
Příčíme Řešení Jako první krok je třeba určit vzájemnou polohu přímek p, q. p = gen{a[2, 3, 1], u(5, 7, 2)} q = gen{b[2, 3, 7], v(3, 1, 5)} AB(0, 0, 6) A = 5 7 2 3 1 5 0 0 6 h(a) = 3 Přímky jsou mimoběžné. další krok
Druhým krokem je ověření, zda příčka existuje. M? p? t; [ 2, 3, 1] = [2 + 5t, 3 7t, 1 + 2t] takové t neexistuje M? q? s; [ 2, 3, 1] = [2 + 3s, 3 s, 7 + 5s] takové s neexistuje Existuje právě jedna příčka daným směrem. další krok
Příčíme Sestavení příslušné soustavy rovnic. Předpokládejme, že tato příčka r již existuje a prochází body P a Q, o kterých víme: P p P r Q q Q r Existují tedy taková reálná čísla t a s, že P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, 7, 2) = = [2 + 5t, 3 7t, 2 + 2t] Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, 1, 5) = = [2 + 3s, 3 s, 7 + 5s] Vzhledem k tomu, že body P, Q,? leží na příčce, pak platí: dále
Příčíme Tedy MP = kqm P M = k(m Q) A + tu M = k(m (B + sv)) A M = k(m B) ksv tu [2, 3, 1] [ 2, 3, 1] = = k([ 2, 3, 1] [2, 3, 7]) ks(3, 1, 5) t(5, 7, 2) (4, 6, 0) = ( 4k 3ks 5t, 6k + ks + 7t, 6k 5ks 2t) Dva vektory se sobě rovnají, rovnají-li se příslušné souřadnice. (upravíme) 4 = 5t 4k 3ks 6 = 7t 6k + ks 0 = 2t 6k 5ks další krok
Rozřešíme. (K řešení použijeme např. Cramera a program Derive.) další krok k = 41 25 s = 58 41 t = 22 25
Příčíme Pro určení příčky nám stačí určit vektor např. PQ, bod už máme. P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, 7, 2) = = [2 + 5t, 3 7t, 1 + 2t] = [2 + 5 22 25, 3 7 22 25, 1 + 2 22 25 ] = [ 12 5, 229 25, 19 25 ] Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, 1, 5) = = [2 + 3s, 3 s, 7 + 5s] = [2 + 3 58 41, 3 58 41, 1 + 5 58 41 ] = [ 92 41, 181 41, 3 41 ] dále
Určíme vektor PQ jako Q P. PQ( 32 205, 4864 Příčka má parametrické rovnice 1025, 704 1025 ). (upravíme) x = 2 + 5l y = 3 152l z = 1 + 22l zadání