Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění

Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

Maxwellovy rovnice Stacionární Maxwellovy rovnice v nevodivém prostředí jsou dva nezávislé systémy: } div(d(x)) = ρ(x) rot(e(x)) = 0 } rot(h(x)) = j(x) div(b(x)) = 0 elektrostatika magnetostatika spolu s materiálovými vztahy D(x) = ε 0 ε r (x)e(x), B(x) = µ 0 µ r (x)h(x), s okrajovými podmínkami a podmínkami v. Zavedeme-li potenciály E(x) = u(x), B(x) = rot(a(x)), dostáváme: div (ε 0 ε r (x) u(x)) = ρ(x) ( ) rot µ 0 µ r (x) rot(a(x)) = j(x)

Ohmův zákon Maxwellovy rovnice Vodivé materiály se vyznačují velkým počtem volných elektronů a po vložení do elektrostatického pole dochází k jejich pohybu, tedy teče proud. Vodivé materiály jsou modelovány lineárním Ohmovým zákonem: kde σ je elektrická vodivost. j Ohm (x) = σ(x)e(x), Stacionární Maxwellovy rovnice ve vodivém prostředí Elektrostatické pole přispívá k tvorbě magnetického pole: div(d(x)) = ρ(x) rot(e(x)) = 0 rot(h(x)) = j(x) + σ(x)e(x) div(b(x)) = 0

Maxwellovy rovnice Faradayův zákon elektromagnetické indukce Σ PSfrag B replacements v Časové změny magnetického pole indukují elektrické pole, které působí proti těmto změnám: E(x, t) dl(x) = B(x, t) n(x) ds(x). Σ(t) t Σ(t) Stokesova věta dává: B(x, t) rot(e(x, t)) = t pro x R 3.

Maxwellovy rovnice Motory a generátory, telefon zvuk S J S železná membrána železo PSfrag replacements S J cívka železo J PSfrag replacements S magnet J

Vířivé proudy Maxwellovy rovnice Při změně magnetického pole se ve vodivém prostředí indukují tzv. vířivé proudy: ( ) rot σ(x) j B(x, t) Ohm(x, t) =. t Elektrická pec, elektrická brzda J PSfrag replacements U PSfrag replacements ω vodivá deska S J U F S vodivá deska J B S

Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice před Maxwellem (nízko frekvenční aproximace) B(x, t) () rot(e(x, t)) = t (2) rot(h(x, t)) = j(x, t) + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ), (3) div(d(x, t)) = ρ(x, t) (4) div(b(x, t)) = 0 kde D(x, t) = ε 0 ε r (x)e(x, t), B(x, t) = µ 0 µ r (x)h(x, t). Maxwellův posuvný proud V nevodivých materiálech, σ(x) = 0, by ale neplatil zákon zachování náboje (5): ( ) 0 = div(rot(h(x, t))) = (2) div(j(x, t)) = (5) ρ(x, t) D(x, t) = (3) div 0, t t D(x, t) (2) rot(h(x, t)) = j(x, t) + + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ). t

Maxwellovy rovnice Příklad posuvného proudu: nabíjení kondenzátoru Σ Γ j Σ PSfrag replacements D j Γ H(x) dl(x) = = Σ j(x) n(x) ds(x) D(x, t) Σ t n(x) ds(x)

B(x, t) rot(e(x, t)) = t rot(h(x, t)) = j(x, t) + div(d(x, t)) = ρ(x, t) div(b(x, t)) = 0 Maxwellovy rovnice D(x, t) t + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ), kde D(x, t) = ε 0 ε r (x)e(x, t), B(x, t) = µ 0 µ r (x)h(x, t). Podmínky na rozhraní Necht na Σ je ε r (x) nebo µ r (x) v normálovém směru n Σ (x) nespojité, pak: (E (x, t) E 2 (x, t)) n Σ (x) = 0 (H (x, t) H 2 (x, t)) n Σ (x) = j Σ (x, t) pro x Σ, t [0, ). (D (x, t) D 2 (x, t)) n Σ (x) = ρ Σ (x, t) (B (x, t) B 2 (x, t)) n Σ (x) = 0

Elektromagnetické vlnění Vlnové rovnice v prostředí bez volných nábojů Necht ε 0 ε r (x) = ε, µ 0 µ r (x) = µ a σ(x) = σ pro x Ω R 3, pak: εµ 2 E(x, t) E(x, t) + σ t 2 t εµ 2 H(x, t) t 2 + σµ H(x, t) t j(x, t) + rot(rot(e(x, t))) = µ t + rot(rot(h(x, t))) = rot(j(x, t)) přičemž c = / ε 0 µ 0 3 0 8 m s je rychlost světla ve vakuu. Okrajové podmínky pro x Ω, dokonalý vodič: E(x, t) n(x) = 0 pro x Ω, nedokonalý vodič: H(x, t) n(x) (E(x, t) n(x)) n(x) = 0 σ(x) pro x Ω + počáteční podmínky na E(x, 0), E(x,0) t, H(x, 0) a H(x,0) t pro x Ω.

Elektromagnetické vlnění Rovnice Helmholtzova typu Předpokládejme harmonické budící proudy i výsledná pole s kmitočtem ω > 0: j(x, t) = Re {ĵ(x)e iωt}, E(x, t) = Re {Ê(x)e iωt}, pak ( ) t iω( ) a rot je aplikována na ĵ a Ê: ( )) rot rot (Ê(x) k 2 Ê(x) = iωµĵ(x) pro x Ω kde k 2 = ω 2 εµ + iωσ ω 2 /c 2 je vlnové číslo. Rovinné vlny Pro ĵ(x) = 0 v R3 je řešením Helmholtzovy elektrické rovnice např.: Ê(x) = E 0 e ik x, pro x R 3 kde E 0 R 3 je amplituda, k R 3 je směr šíření, k E 0 a k 2 je vlnové číslo.

Elektromagnetické vlnění Silver Müllerova radiační podmínka Vnější radiační úloha vyžaduje splnění podmínky, že se vlny v nekonečnu neodrážejí: ( ) x lim x rot(ê(x)) + ikê(x) = 0. x x

Modelová úloha 3d geometrie û i û s Ω Ω + PSfrag replacements û i + û s

Matematický model Modelová úloha Uvažujme rovinou vlnu ve vakuu, předpokládejme, že vlnová délka λ := 2π κ = 2π c ω je srovnatelná se šířkou štěrbiny. Hledejme aproximaci û := Êt : R 3 C splňující okrajovou podmínku û = 0. Předpokládáme rovinnou incidenční vlnu û i (x) := û i 0 e ık x. Hledáme rozptýlenou vlnu û s tak, že celkové záření û(x) := û i (x) + û s (x) splňuje û s (x) κ 2 û s (x) = û i (x) + κ 2 û i (x) = 0, x R 3 \ Ω, ( û s (x) ) = û i (x), x Ω, x û s (x) x x ıκûs (x) 0, x, kde Ω := Ω Ω + R 3 je oblast vodivých kvádrů a kde jsme Silver Müllerovu radiační podmínku nahradili tzv. Sommerfeldovou radiační podmínkou.

Metoda potenciálů Hraniční integrální formulace Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy û s (x) := w (y) g(x, y) ds(y) + w + (y) g(x, y) ds(y), x R 3 \ Ω, Γ Γ + kde x y eıκ g(x, y) := 4π x y je fundamentální řešení Helmholtzovy rovnice, Γ := Ω, Γ + := Ω + a w : Γ C, w + : Γ + C jsou neznámé hustoty potenciálů. Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w splňuje Γ w(y) g(x, y) dl(y) Helmholtzovu rovnici v R3 \ Ω a Sommerfeldovu radiační podmínku. Pro x Γ bod spojitosti w, v jehož okolí je Γ hladká, je potenciál jednoduché vrstvy spojitý.

Formulace Hraniční integrální formulace Pro x R 2, resp. x Γ r (až na rohy), zaved me operátory [V w](x) := w(y) g(x, y) ds(y), [V + w](x) := w(y) g(x, y) ds(y). Γ Γ + Zbývá splnit podmínku odrazu na Γ. Ta dává následující hraničně integrální formulaci { [V w ] (x) + [V + w + ] (x) = û i (x), x Γ, [V w ] (x) + [V + w + ] (x) = û i (x), x Γ +.

Metoda hraničních prvků Diskretizace hranic x3 0. 0. 0 0 x 2 2.5 0.5 x 0 0.5.5 2 PSfrag replacements

Diskretizace hranic Metoda hraničních prvků Diskretizujme Γ do disjunktních trojúhelníků m k= T k = Γ a m + k= T k + = Γ + a uvažujme po trojúhelnících konstantní bázové funkce f k a f k + tak, že f i (x) T j = δ ij pro i =,..., m, resp. f i +(x) T j + = δ ij pro i =,..., m +. Hledáme souřadnice neznámých hustot w R m a w + R m + w (x) := m k= w k f k (x), w + (x) := m + k= w + k f k +(x), přičemž hledané souřadnicové vektory označíme w := (w,..., w m ) a w + := (w +,..., w + m + ).

Kolokační metoda Metoda hraničních prvků Rovnice splníme pouze v těžištích trojúhelníkůx k T, k x k + T+. k To vede na soustavu m + m + lineárních rovnic o stejném počtu neznámých ( ) ( ) (ûi ) V-,- V -,+ w = V +,- V +,+ w + û i, + kde (V p,q ) i,j := T j q g(xi p, y) ds(y) a (û i p) i := û i (x i p) pro p, q {, +}.

Gaussova kvadratura na úsečce Metoda hraničních prvků V tabulce uvádíme Gaussovy kvadraturní body ξk N a příslušné váhy wn k N f(x) dx wk N f(ξk N ). 0 k= řád N 2 3 4 5 2 2 ± 2 3 2 2 ± 3 2 6/5 2 7 2 body ξk N 2 ± 3 2 5 2 ± 3+2 6/5 2 7 váhy w N k 2 4 9 5 8 8+ 30 72 8 30 72 2 ± 5+2 0/7 6 2 ± 5+2 0/7 6 64 225 322+3 70 800 322 3 70 800 pro aproximaci

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q regulární případ y 3 ŷ 2 η 2 x j q, T j q x j q,3 Sub. y 2 x 3 x 3 Sub. 2 x 0 x 2 0 x 2 x ŷ η x j q,2 y

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q regulární případ (pokrač.) Při sestavování matic (V p,q ) i,j, i j, použijeme ( ) Sub : ŷ := x j q,2 xj q,, xj q,3 xj q,2 y + x j q, }{{}, Sub 2: η := ŷ, η η 2 := ŷ 2 =:R j q a integrál se transformuje a aproximuje Gaussovou kvadraturou takto: e ıκ x i p y x ŷ (V p,q ) i,j = 4π x i p y Sub. e ıκ i p R j q ŷ x j q, ds(y) = 0 0 4π x i p R j q ŷ x j det R j Sub.2 q dŷ 2 dŷ = q, T j q Sub.2 = η 0 0 N α= β= e ıκ x i p η R j q (,η 2 ) x j q, 4π x i p η R j q (, η 2 ) x j det R j q dη 2 dη q, x e ıκ i p ξα N R j q (,ξβ N) xj q, N wα N wβ N ξα N 4π x i p ξα N R j q (, ξβ N) det R j q. xj q,

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ Pro (V p,q ) i,j, i = j, je kolokační bod x i p těžištěm Tq j. Ten rozložíme na T j q,, T j q,2 a T j q,3 se singularitami v rohu x i p. x j q,3 PSfrag replacements T j q,3 x i p T j q,2 T j q, x j q,2 x j q,

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ (pokrač.) Transformujeme singulární bod x i p na x := (0, 0) pomocí ( ) Sub 3: ŷ := x j q, xi p, x j q,2 xj q, y + x i p, Sub 4: ŷ := }{{} Sub 5: ŷ := =:R j q, ( ) x j q,3 xi p, x j q, xj q,3 y + x i p, }{{} =:R j q,3 ( ) x j q,2 xi p, x j q,3 xj q,2 y + x i p, }{{} =:R j q,2

Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ (pokrač.) Následně singularity odstraníme substitucí 2 a aproximujeme Gaussovou kvadraturou e ıκ x i p y 3 (V p,q ) i,j = 4π x i p y ds(y) = e ıκ x i p y 4π x i p y Sub.3,4,5 ds(y) = T j q Sub.3,4,5 = Sub.2 = 3 k= 3 k= 3 0 0 ŷ k= T j q,k x e ıκ i p R j q,k ŷ xi p 4π x i p R j q,k ŷ xi p k= 0 0 e ıκ η R j q,k (,η 2) N α= 4π R j q,k (, η 2) N wα N wβ N β= e ıκ ξn α R j q,k (,ξn β ) det R j q,k 4π R j q,k (, ξn β ) det R j q,k dη 2 dη det R j q,k Sub.2 dŷ 2 dŷ =, p = q a i = j.

Numerické řešení w +, w Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ :=.5. 6 4 2 x3 0. 0 0. 0 0.5 x 2 0 0.5 2.5 x 0.5 0 2 2.5 0.5 PSfrag replacements 4 6 8

Numerické řešení Re û i Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ :=.5. 2.5 2 0.8.5 0.6 0.4 x3 0.5 0 0.2 0 0.5 0.2 0.4.5 2 PSfrag replacements 0.6 0.8 2.5 x 3 2 0 2 3

Numerické řešení Re û s Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ :=.5. 2.5 2 0.8.5 0.6 0.4 x3 0.5 0 0.2 0 0.5 0.2 0.4.5 2 2.5 0.6 PSfrag replacements 0.8 x 3 2 0 2 3

Numerické řešení Re û Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ :=.5. 2.5 2 2.5.5 0.5 0.5 x3 0 0 0.5 0.5.5 2 PSfrag replacements.5 2.5 x 3 2 0 2 3 2