a diagnostika letadel

Transkript

1 Pythagorova věty, vyšší matematika a diagnostika letadel ŠKOMAM 28, 6. ledna Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB-TU Ostrava web: luk76 dalibor.lukas@vsb.cz

2 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

3 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

4 Pythagorova věta, Kosinová věta Kolmé (ortogonální) vektory c b Pythagorova věta a 2 +b 2 = c 2 c b Vektorový počet ( ) a a :=, b := ( ), c = a+b := b ( ) a+ +b = ( ) a b a a Velikost (norma) vektoru ( ) c := c = a := a b 2 +b 2

5 Pythagorova věta, Kosinová věta Nekolmé vektory c b Vektorový počet ( ) a a :=, b := a 2 ( b b 2 ), c = a+b := ( ) a +b a 2 +b 2 a c α a b Kvadrát velikosti vektoru, Kosinová věta ( ) c 2 = c 2 = a +b 2 = a 2 +b 2 = (a +b ) 2 +(a 2 +b 2 ) 2 = = (a ) 2 +(a 2 ) }{{} 2 +(b ) 2 +(b 2 ) 2 +2 (a }{{} b +a 2 b 2 ) }{{} = a 2 = b 2 = a 2 +b 2 +2 cos(α)ab =:a b=cos(α) a b α = π 2 a b = : Pythagorova Kosinová věta

6 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

7 Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na přímku u α p u b p b Dáno: přímka u se směrem u a bod b. Úloha: Tj. Hledáme p := xu : u (b p) u (b xu) = x = u b u u = cos(α) b u, což není překvapivé: p = xu = cos(α) b u u = cos(α) b.

8 Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na rovinu b u p ρ v Dáno: rovina ρ se směry u, v a bod b. Úloha: Hledáme p := xu+yv : u (b p) a v (b p) Tj. u (b xu yv) = a v (b xu yv) =. To je soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých: ( ) ( ) ( ) u u u v u b x +y =. v u v v v b

9 Projekce bodu na přímku, rovinu, met. nejm. čtverců Projekce (ortogonální) bodu na rovinu xu b yv u p ρ v Dáno: rovina ρ se směry u, v a bod b. Úloha: Hledáme p := xu+yv : u (b p) a v (b p) Tj. u (b xu yv) = a v (b xu yv) =. To je soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých: ( ) ( ) ( ) u u u v u b x +y =. v u v v v b u v: Projekce na ρ je součtem projekcí na u a v, p = u b }{{} u u =x u+ v b }{{} v v Řešení x,y minimalizuje funkci b xu yv 2 metoda nejmenších čtverců. =y v.

10 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

11 Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Fourierova řada Funkce(cos(kt)) k=,(sin(kt)) k= jsounavzájemkolmévzhledemkeskalárnímusoučinu 2π N ( ) ( ) 2π 2π 2π f g := f(t)g(t)dt f N j g N j N Rozumnou funkci b(t) můžeme nahradit částečným součtem Fourierovy řady n cos(kt) b(t) n sin(kt) b(t) b(t) b n (t) := cos(kt)+ sin(kt). cos(kt) 2 sin(kt) 2 k= Jedná se o projekci b(t) do podprostoru (roviny) harmonických funkcí. MP3-komprese Dáno: signál b(t) a práh ε (,). Úloha: Hledáme nejmenší n N a b n (t) : b(t) b n (t) ε b(t). Kolmost báze + strom. hierarchie = nlogn aritm. instukcí (vers. n 3 ) j= k=

12 Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese MP3-komprese: b(t) := sinc(2π(t )) b (t), b (t), b 2 (t), b 3 (t), b 4 (t), b 5 (t)

13 Fourierova r ada, MP3, JPEG, polynomia lnı regrese JPEG-komprese: Fourierova ba ze fjk (x, y) := eıω(jx+ky) Re f(x, y) Re f2(x, y) Re f2(x, y) Re f22(x, y) Re f3(x, y) Re f3(x, y) Re f32(x, y) Re f23(x, y)

14 Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese JPEG-komprese projekce do (hyper)roviny bitmapa 5%-komprese Fourierovou bází

15 Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Legendreovy polynomy L (t) :=, L (t) := t, L k+ (t) := 2k + k + tl k(t) k k + L k (t) pro k >, jsou kolmé vzhledem ke skal. součinu f g := f(t)g(t)dt Polynomiální regrese: b(t) b n (t) := n k= L k b L k 2 L k (t)

16 Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Polynomiální regrese: b(t) b (t), b 2 (t), b 4 (t), b 6 (t), b 8 (t), b (t)

17 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

18 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

19 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

20 Ultrazvuková defektoskopie draku (trup,...) letadla Spolupráce s Honeywell Brno piezo-aktuátor trhlina piezo-snímač

21 Elektromagnetické tváření plechů Spolupráce s Fraunhofer Chemnitz cívka (v Ω ext ): 3 závity, budicí proud: amplituda ka, půl peridoda sinu, frekvence 8.33 khz, vodič (Ω int ): hliníkový plech, tl. 2 mm thin, 2 mm nad cívkou Ω ext Ω int

22 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Osnova Pythagorova věta, Kosinová věta Projekce bodu na přímku, rovinu, metoda nejmenších čtverců Fourierova řada, MP3, JPEG, polynomiální regrese Přibližné řešení diferenciálních rovnic Dynamika soustavy tyčí, ultrazvuková diagnostika letadel,... Příklad do ŠKOMAM CUPu

23 Příklad do ŠKOMAM CUPu Řešení soustavy Cramer. pravidlem s řádk. rozvojem determinantů 2 2 x = 2 A = 2 = = (( ) ( )) = 4, 2 A = = 2 = =, A 2 = 2 = 2 2 = = 6, 2 A 3 = 2 = = = 9, x = A / A = /4, x 2 = A 2 / A = 3/2, x 3 = A 3 / A = 9/4,

24 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu?

25 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu? Závěr Na problém lze nahlížet z mnoha pohledů. Matematika nám pomáhá najít ten správný.

26 Pythagorova věta, vyšší matematika a diagnostika letadel Příklad do ŠKOMAM CUPu Jakou největší čtvercovou soustavu lineárních rovnic by vypočítal za hodinu nejlepší, viz počítač na světě, čínský Sunway TaihuLight, Kramerovým pravidlem s řádkovým rozvojem determinantů, uvažujeme-li pouze instrukce násobení, kterých provede 93 5 za sekundu? Závěr Na problém lze nahlížet z mnoha pohledů. Matematika nám pomáhá najít ten správný. Obor Výpočetní a aplik. matematika, FEI VŠB-TUO: Od (elektro)technického problému k řešení.