Matematické modelování elektromagnetických

Transkript

1 Matematické modelování elektromagnetických polí Dalibor Lukáš August 24, 2 Předmluva Budiž elektromagnetismus. A bylo světlo. (Richard P. Feynman) Cílem tohoto textu je uvést čtenáře do problematiky modelování elektromagnetických polí a jejich následného řešení moderními numerickými metodami. Čtenář by měl získat představu o základních fyzikálních zákonech v elektromagnetismu, o jejich kompaktní podobě ve formě Maxwellových rovnic, o matematické klasifikaci případů těchto rovnic, o nutnosti správné volby Sobolevových prostorů, o výhodách a nevýhodách metody konečných a hraničních prvků a o jejich efektivní implementaci na počítači. Je zřejmé, že není možné proniknout do hloubky všech vyjmenovaných oblastí. Věřím však, že je dobré zabývat se jimi současně, byť jen zprvu velmi povrchně, neboť moderní metody řešení, které maximálně využívají dostupné výpočetní techniky, jsou založeny právě na souladu fyziky, variačních metod, numerických metod, lineární algebry i programovacích technik. Úvod se sice píše až nakonec, přesto v tomto ranném stadiu naznačím strukturu skript. Budou sestávat ze 3 kapitol: elektrostatika, magnetostatika, elektromagnetické záření. V každé kapitole začnu fyzikou, pak formuluji modelovou úlohu, kterou ve zbytku kapitoly budeme řešit metodou konečných prvků a metodou hraničních prvků, případně jejich párováním. 2 lektrostatika 2. Fyzikální podstata lektrostatika popisuje časově neměnná silová pole nabitých těles. Základní veličinou je zde (elektrický) náboj, jehož fyzikální jednotkou je Coulomb [C].

2 q q 2 F F 2 q q 2 F F 2 Figure : Vzájemná interakce dvou opačných (vlevo) a stejných (vpravo) nábojů Silová interakce mezi dvěma náboji ve vakuu je popsána Coulombovým zákonem, viz Obr., q q 2 F = 4πε x 2 x 2 e 2 = F 2, kde q, q 2 R jsou náboje, x,x 2 R 3, x x 2, jsou jejich polohy, ε [Fm ] je permitivita vakua a kde e 2 := (x 2 x )/ x 2 x je jednotkový směrový vektor. Uvažujme n nábojů rozmístěných v R 3 a vložme na pozici x R 3 jednotkový náboj. Pak intenzita elektrického pole, jež se značí a má fyzikální jednotku Volt [V] na metr, je celková síla, kterou působí našich n nábojů na tento jednotkový náboj, přičemž platí princip superpozice sil. Uvažujme dále, že rozložení nábojů lze popsat funkcí hustoty rozložení náboje ρ(y), která je nulová mimo omezenou oblast R 3, pak intenzita elektrického pole je, viz též Obr. 2, (x) = ρ(y)(x y) 4πε x y 3 dy. () Poznamenejme, že integrál () je singulární pro x, je však většinou konečný, např. pro ρ(y) C < substituujeme y := x+r(sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ) a zvolme τ > tak, že B τ (x) := {y : x y τ}, pak (x) C 4πε (\B τ(x) τ π 2π + C 4πε ( τ 2 + 2π2 τ x y 2 dy ( sin θ cosϕ, sinθ sin ϕ, cosθ) r r ) 3 <, přičemž nejlepší odhad dává τ := 3 /π 2. Pro () platí Gaussův zákon (x) n(x)ds(x) = ε ω ω ) r 2 sinθ dϕdθ dr ρ(x)dx, (2) který říká, že tok elektrického pole přes povrch libovolné oblasti je určen náboji v této oblasti. Použijeme-li z matematiky Gaussovu větu (x) n(x)ds(x) = div((x)) dx, ω ω 2

3 Figure 2: Pole jednoho náboje (vlevo) a dvou nesouhlasných nábojů (vpravo) ρ r l ω ω S Figure 3: Pole nabité nekonečně dlouhé tyče pak např. pro ω := B τ (x) a spojitě diferencovatelnou funkci (x) dostáváme pro τ diferenciální tvar Gaussova zákona v elektrostatice pro vakuum: div((x)) = ρ(x) ε. (3) Příklad. Uvažujme nekonečně dlouhou tyč nabitou konstantní hustotou náboje ρ > o průřezu S, viz Obr. 3, a předpokládejme, že intenzita el. pole pak má pouze radiální složku, která je konstantní na povrchu souosých válců ω, tj. (r). Pak rovnice (2) má tvar (r)2π r l = ρ S l/ε a dostáváme elektrické pole ve tvaru (r) = ρ S/(2π r ε ). Příklad 2. Uvažujme rovinnou elektrodu nabitou konstantní povrchovou hustotou náboje σ >, viz Obr. 4 (vlevo, pouze levá deska), a předpokládejme, že intenzita el. pole pak má pouze horizontální složku, která je konstantní, označme +. Pak rovnice (2) má tvar 2 + S = σ S/ε a dostáváme elektrické pole ve tvaru + = σ/(2ε ). Umístěme poblíž rovinnou elektrodu nabitou povrchovou hustotou náboje σ, viz Obr. 4 (vlevo, obě desky). Pak z principu superpozice dostáváme pro celkové pole vzorec = 2 + = σ/ε. 3

4 σ σ σ σ P σ P σ ω Figure 4: Pole deskového kondenzátoru (vlevo), pole dvou vnořených deskových kondenzátorů (vpravo) Nakonec vložme do tohoto deskového kondenzátoru jiný opačně orientovaný deskový kondenzátor s povrchovou hustotou σ P, viz Obr. 4 (vpravo), pak z principu superpozice má výsledné pole velikost = P = (σ σ P )/ε. Výše zmíněný příklad dobře modeluje dielektrické materiály, v nichž se po vložení do elektrostatického pole natočí molekuly v souladu s vnějším polem podle Coulombova zákona. Označme ρ P (x) = div( P(x)) hustotu polarizovaného náboje v dielektriku, kde P je elektrostatická polarizace. Pak z (3) div((x)) = ρ(x) + ρ P(x) ε ( div(ε r (x)(x)) := div (x) + P(x) ) = ρ(x), ε ε kde ε r (x) := + P(x) /(ε (x) ) je relativní permitivita, předpokládámeli lineární závislost P(x) a (x). Zaveďme D(x) := ε ε r (x)(x) elektrickou indukci, pak diferenciální, resp. integrální tvar Gaussova zákona v dielektriku je div(d(x)) = ρ(x), D(x) n(x)ds(x) = ρ(x)dx. (4) ω lektrostatické pole je potenciální, tj. (x) = u(x), ω kde např. u(x) := /(4πε ) ρ(y)/ x y dx 4

5 Γ, σ Γ D D2 ε ε ε 2 k ε 2 n n 2 Figure 5: Podmínky přechodu na rozhraní dvou dielektrik v případě (). Všimněme si, že u(x) pro x. (5) V potenciálním poli práce, kterou pole vykoná při přemístění jednotkového náboje z polohy a R 3 do polohy b R 3, nezávisí na dráze W a b = (x)dl(x) = u(b) u(a) a b a tedy pro libovolnou uzavřenou křivku k (x)dl(x) =. (6) Použijeme-li z matematiky Stokesovu větu (x)dl(x) = rot((x)) n(x)ds(x), Σ pak pro Σ dostáváme k Σ rot((x)) =. (7) Rovnice (4 7) vyžadují diferencovatelné, resp. spojité funkce ε r (x) a (x). V případě rozhraní dvou různých materiálů, viz Obr. 5, dostáváme z integrálních tvarů rovnic (4) a (6) pro ω, resp. Σ, kde k := Σ, podmínky na rozhraní (D (x) D 2 (x)) n (x) = σ(x), (8) ( (x) 2 (x)) n (x) =, (9) kde σ je případný povrchový náboj na rozhraní. 2.2 Modelová úloha, redukce do R 2 Modelová úloha pro elektrostatiku je načrtnuta na Obr. 6 (vlevo). Budeme uvažovat dva materiály: vzduch (vakuum), v němž je vloženo v oblasti r 5

6 x 2 x 2 + r x r x + x 3 Figure 6: Modelová úloha elektrostatiky: deskový kondenzátor (vlevo), redukce do R 2 (vpravo) dielektrikum o relativní permitivitě ε r >. Oblastí zde rozumíme omezenou a otevřenou podmnožinu R d, kde d {2, 3}. Dále mějme ve vzduchu v oblastech + a vloženy dvě nabité desky, o nichž víme, že je na jejich povrchu konstantní potenciál U >, resp. U. Pole elektrostatického potenciálu pak popisuje následující systém u r (x) = x r, u (x) = x R d \ r +, u (x)/ n ε r u r (x)/ n = x r, u (x) u r (x) = x r, () u (x) = U x +, u (x) = U x, u (x) x, kde d := 3 je dimenze, první dvě rovnice plynou z (4), třetí z (8), čtvrtá z (9), další dvě z definice problému a poslední rovnice je vlastnost (5). Hledané potenciály u a u r jsou dvakrát spojitě diferencovatelné funkce na := R d \ r +, resp. na r, které navíc mají spojité derivace až do hranice, což značíme u C 2 ( ) C ( ), u r C 2 ( r ) C ( r ). V případě, že rozměry elektrod a dielektrika ve směru x 3 jsou dostatečné, lze úlohu () redukovat do R 2, a to tak, že budeme uvažovat typický řez x 3 := a předpokládat, že závislost veličin na souřadnici x 3 lze zanedbat. Formulace úlohy pak zůstává formálně shodná s () s rozdílem, že dimenze je d := 2, x R 2 a oblasti r, + a jsou znázorněny na Obr. 6 (vpravo). 6

7 2.3 Variační formulace Uvažujme úlohu () v libovolné dimenzi d {2, 3}. Data úlohy, tj. geometrii a konstanty ε r zahrňme do následující materiálové funkce { ε ε r, x r, ε(x) := ε, x R d \ r, Dále uvažujme dostatečně velkou oblast R d tak, že r, + = = a předpokládejme, že u je vně oblasti + zanedbatelně malá. Předpokládáme proto, že u(x) = pro x \ ( + ), čímž vnášíme do řešení chybu. Ta bude sice klesat se zvětšujícím se poloměrem (vepsané koule v) oblasti, bohužel ji však neumíme předem dobře odhadnout. Příbližné řešení úlohy () hledáme jako funkci u : R, která nahrazuje neznámé v () takto u r (x), x r, u (x), x := \ r +, u(x) = U, x +, () U, x,, x. Vezměme diferencovatelnou funkci v : R tak, že v(x) = pro x. Přenásobme první rovnici v () funkcí v a konstantou ε ε r a zintegrujme přes r. Dostáváme r ε ε r u r (x)v(x)dx =. Nyní použijeme z matematiky Greenovu větu q(x) v(x)dx = q(x) v(x) dx + x i x i ω ω ω q(x)v(x)n i (x)ds(x), (2) kde n i (x) značí i tou složku vnějšího normálového vektoru k ω v bodě x ω, a dostáváme u r (x) ε ε r u r (x) v(x)dx ε ε r v(x)ds(x) =. r r n(x) Podobně přenásobíme druhou rovnici v () funkcí v a konstantou ε, zintegrujeme přes, aplikujeme Greenovu formuli (2) a dostáváme u (x) ε u (x) v(x)dx ε v(x)ds(x) =. n(x) r ε Sečtení posledních dvou rovnic s využitím třetí rovnice v (), definic ε a v dává u (x) ε(x) u(x) v(x) dx ε n(x) v(x)ds(x)+ ( ) u (x) n(x) ε u r (x) r v(x)ds(x) = ε(x) u(x) v(x)dx =, n(x) 7

8 kde poslední rovnost je variační rovnice pro úlohu (). Nyní si řekneme v jaké množině funkcí budeme hledat řešení u a co mají splňovat testovací funkce v. Aby měla variační rovnice smysl, musí pro řešení u i testovací funkce v platit, že integrály w(x) 2 dx mají smysl a jsou konečné, že v jistém smyslu v(x) = pro x a že hraniční hodnoty u jsou jako v (). Z teorie variačních metod prvnímu požadavku vyhovuje Sobolevův prostor V := H () := {v(x) L 2 () : v(x) [L 2 ()] 3 }, kde L 2 () je prostor všech reálných funkcí, které jsou Lebesgueovsky integrovatelné s kvadrátem na a je zobecněný gradient. Tento vektorový prostor lze také definovat následujícím zúplněním prostoru nekonečně diferencovatelných funkcí v H () := C ( )., v := v(x) 2 + v(x) 2 dx, čímž rozumějme, že v H () jsou nejen všechny funkce z C ( ), ale i všechny jejich posloupnosti, které jsou Cauchyovské v normě.. Analogii této definice již dobře známe v případě reálných čísel, které obsahují nejen všechny racionální čísla, tj. celočíselné zlomky, ale i jejich Cauchyovské posloupnosti, jejichž neracionální limity, např. n k= v budeme vybírat ze Sobolevova prostoru k! e, nazýváme iracionální čísla. Testovací funkce V := H () := C ()., kde v C (), právě když v C () a suppv := {x : v(x) }. Konečně řešení u hledáme v prostoru V U := C U ()., kde C U () := {v C () : suppv +, v(x) = U na + a v(x) = U na }. Variační formulace úlohy () je tedy následující: Najdi u V U : ε(x) u(x) v(x)dx = v V. (3) Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie i materiálové funkce ε. K variační formulaci () lze dojít i fyzikálně srozumitelnějším způsobem, a to z principu minima funkcionálu elektrostatické potenciální energie úlohy () ϕ(v) := ε(x) v(x) 2 dx. 2 Totiž minimum ϕ může nastat pouze v bodě u V U, který je stacionární, tj. splňuje právě variační rovnicí ϕ (u, v) = v V, 8

9 .5 u P x x Figure 7: Příklad partikulárního řešení u P (x) okrajových hodnot variační formulace (3) pro d := 2 kde ϕ (u, v) je Fréchetova derivace ϕ v bodě u a ve směru v ϕ ϕ(u + tv) ϕ(u) (u, v) = lim = ε(x) u(x) v(x). t t Ve variační formulaci (3) je nepraktické to, že řešení je z jiného prostoru než testovací funkce. Ukážeme si tři způsoby, jak to napravit. Za prvé můžeme řešení rozložit na homogenní a partikulární u := u H + u P, kde u H V a u P V U, viz Obr. 7. Pak řešíme úlohu: Najdi u H V tak, že ε(x) u H (x) v(x)dx = ε(x) u P (x) v(x)dx v V. (4) Partikulární řešení u P však úzce souvisí s geometrií a už pro náš příklad jeho nalezení není triviální. Druhým a nejpoužívanějším způsobem je penalizovaná variační formulace: Hledáme u ρ V tak, že v V ε(x) u ρ (x) v(x)dx+ρ ρ u ρ (x)v(x)dl(x) = ρ Γ u ρ (x)v(x)dl(x)+ρ u ρ (x)v(x)dl(x)+ + U v(x)dl(x) ρ U v(x)dl(x), (5) + kde Γ := \ +, ρ je penalizační parametr, přičemž u ρ u pro ρ. 9

10 Třetí způsob je založen na minimalizaci energetického funkcionálu ϕ na prostoru V s lineárními rovnostními omezeními u(x) = U na +, u(x) = U na a u(x) = na Γ. Hledáme tedy vázaný extrém. Ten nastane ve stacionárním bodě Lagrangeovského funkcionálu L(u; λ +, λ ) := ϕ(u) + λ + (x)(u(x) U)dl(x)+ + λ (x)(u(x) + U)dl(x) + λ(x)u(x) dl(x) Γ a je řešením následující sedlo bodové formulace: Hledáme (u; λ +, λ, λ) V L 2 ( + ) L 2 ( ) L 2 (Γ) tak, že ε u v dx + λ + v dl(x) + λ v dl(x) + λv dl(x) = v V, + Γ u q + dl(x) = U q + dl(x) q + L 2 ( + ), + + u q dl(x) = U q dl(x) q L 2 ( ), u q dl(x) = q L 2 (Γ). Γ (6) Pozamenejme, že formulace (6) dává jednoznačné řešení u, které spojitě závisí na datech, tj., +, a U, ale Lagrangeovské multiplikátory λ +, λ a λ jsou nejednoznačné. 2.4 Uzlová metoda konečných prvků Je zřejmé, že žádnou z variačních formulací (3) (6) neumíme řešit analyticky, ale můžeme je diskretizovat a nahradit soustavami lineárních rovnic. To uděláme tak, že prostory V, V, či V U nahradíme vhodnými konečně dimenzionálními podprostory, což vede na Galerkinovu formulaci. Metoda konečných prvků je speciálním případem, kdy bázi konečně dimenzionálních podprostorů volíme tak, že výsledná soustava má řídkou matici, tj. většina prvků je v matici nulová. Uvažujme nyní redukovanou dimenzi d := 2. Prvním krokem v metodě konečných prvků je diskretizace, v našem případě do m trojúhelníků, jejichž vnitřky (otevřené oblasti) značíme T k, viz Obr. 8, m = T k, T i T j = pro i j, k= tak, že dva sousední trojúhelníky mají společnou pouze hranu nebo bod. Zároveň chceme, aby hranice trojúhelníků zahrnuly všechny hranice a rozhraní v geometrii, tj. m T k r. k=

11 x x Figure 8: Triangulace oblasti Konečně chceme, aby nejostřejší úhel, který trojúhelníky svírají, byl zdola omezený konstantou. Definujeme diskretizační parametr h > jako délku nejkratší hrany v diskretizaci. Nad každým uzlem diskretizace x i, i =, 2,...,n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e i (x) : R tak, že { i k : e i (x) T k = a i k + bi k x + c i k x 2 a e i (x j, i = j, ) = δ ij :=, i j, kde a i k, bi k, ci k R. Takto získáváme aproximaci V h := e (x),..., e n (x) prostoru V. Galerkinova aproximace variační formulace (5) je následující: n Hledáme u h ρ (x) := u i e i (x) V h : a ρ (u h ρ, ei ) = b ρ (e i ) i {, 2,..., n}, i= kde a ρ (u ρ, v) je bilineární forma na levé straně variační rovnice (5) a b ρ (v) je lineární forma na pravé straně. Galerkinova aproximace je ekvivaletní se soustavou n lineárních rovnic o n neznámých A ρ u ρ = b ρ, (7) kde u ρ := (u, u 2,..., u n ), (A ρ ) ij := a ρ (e j, e i ), (b ρ ) j = b ρ (e j ). Pro Galerkinovu aproximaci variační formulace (6) je třeba ještě aproximovat Sobolevovy prostory L 2 ( + ), L 2 ( ) a L 2 (Γ). Nechť naše diskretizace pokrývá hranici + úsečkami (segmenty) S k +, tj. m+ k= Sk + = +, podobně

12 pro hranici : m k= Sk = a pro hranici Γ: m k= Sk = Γ Definujme nad nimi po částech konstantní bázové funkce f+ i, fi, resp. fi tak, že f+(x) i S j = δ ij pro i, j =,...,m +, f (x) i + S j = δ ij pro i, j =,..., m a f i (x) S j = δ ij pro i, j =,...,m. Takto získáváme aproximaci Q h + := f +,..., fm+ + prostoru L2 ( + ), aproximaci Q h := f,...,f m prostoru L2 ( ) a aproximaci Q h := f,...,f m prostoru L 2 (Γ). Galerkinova aproximace (6) je pak ekvivalentní se soustavou n + m + + m + m lineárních rovnic o stejném počtu neznámých A B T + B T B T u B + B λ + λ = c + c, (8) B λ kde u := (u,...,u n ), u h (x) := n i= u i e i (x), λ + := (λ +,..., λ +m + ), λ h + (x) := m+ i= λ +i fi +(x), λ := (λ,..., λ m + ), λ h (x) := m i= λ i fi (x), λ := (λ,...,λ m ), λ h (x) := m i= λ i f i (x), (A) ij := ε ej e i dx, (B + ) ij := S e j dl(x), (B + i ) ij := S e j dl(x), (B) i ij := S e j dl(x), (c i + ) i := U S+ i a (c ) i := U S i, kde. značí délku úsečky. Pro efektivní sestavení matic A ρ, A a pravých stran b ρ není výhodné postupovat přes jednotlivé prvky matic a vektorů, neboť bychom pro každou bázovou funkci e i museli iterovat přes všechny trojúhelníky obsažené v jejím nosiči. Raději využijeme toho, že integraci přes lze rozdělit na součet integrací přes jednotlivé trojúhelníky, přičemž každý trojúhelník T k je vázán k právě třem bázovým funkcím s indexy k, k 2, k 3, kde x k, x k2 a x k3 jsou rohy trojúhelníka T k seřazeny proti směru hodinových ručiček. Budeme tedy iterovat přes trojúhelníky a sčítat lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. A = m m + m + G k (A k ), B + = G k +(B k +), c + = H+(c k k +), k= k= kde A k R 3 3, B k + R 2, c k + R, G k : R 3 3 R n n, G k + : R 2 R m+ n, zobrazují lokální matice na globální, H k + : R Rm+ zobrazuje lokální vektory na globální. Zbývá si odvodit lokální matice a vektory. Zvolme afinní substituci k= x := R k ( x) := R k x + x k, kde R k := ( x k2 x k,x k3 x k), která zobrazuje referenční trojúhelník T s vrcholy (, ), (, ) a (, ) na T k. Zaveďme referenční bázové funkce, viz Obr. 9, ê ( x) := x x 2, ê 2 ( x) := x, ê 3 ( x) := x 2, 2

13 v R k v ê ( x) e k (x) T x 2 T k x 2 x x Figure 9: Transformace referenčních tvarových funkcí přičemž ê i ( x) = e ki (R k ( x)) pro i =, 2, 3 a x T. Pak lze ukázat, že např. ( ) det(r A k := ε k (R k ) T k ), 2 kde ε k := ε(x) T k. Zbývající lokální matice a vektory pro úlohu (8) jsou např. B k + := (/2, /2) Sk +, ck + := U Sk +. Na Obr. je vykresleno řešení úlohy (8) pro volbu ε r := 2, U :=, := ( 7, 7) ( 5, 5), := ( 5, 3) ( 3, 3), + := (3, 5) ( 3, 3), r := (, ) 2, s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na n := 25, m + := m := 64, m := Hraniční integrální formulace úlohy na rozhraní Uvažujme opět modelovou úlohu elektrostatiky () redukovanou do d := 2 dimenzí. Řešení budeme nyní hledat pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y)g(x,y)dl(y), x r, Γ r u (x) := w (y)g(x,y)dl(y) + w + (y)g(x,y)dl(y)+ (9) Γ r Γ + w (y)g(x,y)dl(y), x, Γ kde Γ r := r, Γ + := +, Γ :=, g(x,y) := 2π ln x y je Greenova funkce nebo též fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde funkce w r, w : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou hustoty potenciálů. Takto zvolené řešení již splňuje první, druhý a poslední řádek z formulace (). Našim cílem bude najít w r, w, w + a w tak, aby byly splněny i ostatní rovnice v (). Poznamenejme, že hledané funkce mají fyzikální smysl jsou to povrchové hustoty náboje, které by vytvořily stejné pole jako v (). 3

14 x x Figure : Řešení u, := u úlohy (8) Jsou-li hustoty potenciálů spojité funkce, pak např. pro každý bod x Γ r, v jehož okolí je Γ hladká, tj. kromě rohů, platí, že pro r x x Γ r : w r (y)g( x,y)dl(y) w r (y)g(x,y)dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w r (y)g( x,y)dl(y) Γ r 2 w r(x) + w r (y) g(x,y) (2) dl(y). Γ r n(x) přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k r. Podobně platí pro x x Γ r : w (y)g( x,y)dl(y) w (y)g(x,y)dl(y), Γ r Γ r n r (x) ex w (y)g( x,y)dl(y) Γ r 2 w (x) + w (y) g(x,y) dl(y). Γ r n(x) Stejné vlastnosti, tj. spojitost a skok normálové derivace platí i pro zbývající dva potenciály jednoduché vrstvy, tj. členy s w + a w, přičemž / n(x) má pak význam derivace podle vnější jednotkové normály k +, resp. a skok 2 w(x) v normálové derivaci je s kladným znaménkem, jdeme-li k x z vnitřku a se záporným znaménkem, jdeme-li k x z vnějšku. Je zřejmé, že pokud bod x leží na jiné křivce než na té, přes níž se integruje, pak jsou v x příslušný potenciál i jeho normálová derivace spojité. Zaveďme následující operátory tak, že pro x Γ r Γ + Γ (až na příslušné 4

15 rohy): [V r w](x) := w(y)g(x,y)dl(y), [L r w](x) := w(y) g(x,y) dl(y), Γ r Γ r n(x) [V + w + ](x) := w + (y)g(x,y)dl(y), [L + w + ](x) := w + (y) g(x,y) Γ + Γ + n(x) dl(y), [V w ](x) := w (y)g(x,y)dl(y), [L w ](x) := w (y) g(x,y) dl(y). Γ Γ n(x) Pak třetí až šestá rovnice v () dávají následující hraničně integrální formulaci ε r ( 2 I + L r)w r + ( 2 I + L r)w + L + w + + L w =, x Γ r, V r w r + V r w + V + w + + V w =, x Γ r, V r w + V + w + + V w = U, x Γ +, V r w + V + w + + V w = U, x Γ, (2) kde I značí identické zobrazení. Otázkou zůstává, jaké prostory funkcí volit, aby (2) dalo jednoznačné řešení, které spojitě závisí na vstupních datech. Volba vhodných (Sobolevových zlomkových) prostorů a matematicky korektní Galerkinova formulace úlohy (2) však vyžaduje použití složitého matematického aparátu a je nad rámec záměru těchto skript. Přesto intuitivní pochopení formulace (2) a následná diskretizace metodou hraničních prvků má dobré využití. 2.6 Metoda hraničních prvků Podobně jako v (8) uvažujme diskretizaci hranic oblastí Γ r, Γ + a Γ do disjunktních otevřených úseček, tj. m r k= S k r = Γ r, m + k= S k + = Γ +, m k= S k = Γ a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r, f i + a f i tak, že fr i (x) Sr j = δ ij pro i, j =,...,m r, f+ i (x) S j = δ ij pro i, j =,...,m + + a f i (x) S j = δ ij pro i, j =,...,m. V lineárních obalech těchto bází hledejme neznámé hustoty poteciálů m r m r w r (x) := w rk fr(x), i w (x) := w k fr(x), i k= k= m + m w + (x) := w + k fi +(x), w (x) := w k fi (x), k= k= 5

16 přičemž hledané souřadnicové vektory označíme w r := (w r,..., w rm ), w := (w,..., w m ), w + := (w +,...,w +m + ) a w := (w,..., w m ). Poznamenejme, že jsme porušili předpoklad na spojitost. Vyhneme-li se však s body x krajním bodům úseček, pak vlastnosti (2) stále platí. Metoda hraničních prvků, resp. její kolokační verze, nyní spočívá v aproximaci formulace (2), a to tak, že vyžadujeme splnění rovnic (2) pouze ve středech úseček, které označíme x k r Sr k, x k + S+, k resp. x k S. k To vede na soustavu 2m + m + + m lineárních rovnic o stejném počtu neznámých ε r ( 2 I r + L r,r ) 2 I r + L r,r L r,+ L r, V r,r V r,r V r,+ V r, V +,r V +,+ V +, V,r V,+ V, w r w w + w = U + U, (22) kde I r R mr mr je jednotková matice a kde pro p, q {r, +, } definujeme vektory pravé strany U p := (U,...,U) R mp a prvky matic V p,q,l p,q R mp mq následovně: (V p,q ) ij := S j q g(xi p,y)dl(y), (L p,q ) ij := S j q xg(x i p,y) n i p dl(y), přičemž n i r, ni + a ni značí jednotkové normály k Si r, Si + a Si směřující ven z r, +, resp.. Zatímco velkou výhodou metody hraničních prvků proti metodě konečných prvků je to, že diskretizujeme pouze hranici a že se nedopouštíme chyby ořezáním výpočetní oblasti, jednou z jejích nevýhod je pracnost odvození integrálů. Sestavování matic V p,q zahrnuje následující integrály: ln x i p y dl(y) = b j q a j ( q ln b j q a j ) q ln 2 pro S i p = Sq, j S j q S j q ln x i p y dl(y) = b j q a j q ( b j q a j ) [( q x i p a j q pro S i p S j q, ([ x i p ( a j q b j ) q + a j q b j q] A ij pq + ) ln x i p a j q ( x i p b j q ) ln x i p b j q ]) kde uvažujeme parametrizaci S j q : y(t) := aj q + t ( b j q aj q), t,, kde A ij pq := arctg (b j q aj q ) (xi p aj q ) a j q (b j q x i p) + b j q x i p (b j q arctg aj q ) (xi p bj q ) a j q (b j q x i p) + b j q x i p a kde pro u,v R 2 definujeme součiny u v := u v + u 2 v 2 a u v := 6

17 .5.5 w x x Figure : Geometrie (černě) a řešení w r (modře), w, w +, w úlohy (22) (červeně) u v 2 u 2 v. Sestavování matic L p,q zahrnuje tyto integrály: x ln x i p y n i p dl(y) = pro Sp i = Sq, j S j q S j q x ln x i p y n i p dl(y) = b j q a j n i p ( b j q q) aj A ij pq + q n i p (a j q b j ) x i p q ln aj q x i p pro Sp i Sq. j bj q Na Obr. a 2 je vykresleno řešení úlohy (22) pro volbu ε r := 2, U :=, := ( 5, 3) ( 3, 3), + := (3, 5) ( 3, 3), r := (, ) 2, s diskretizačním parametrem h :=.25 vedoucím na m r := 32, m + := m := 64. Porovnáním Obr. a 2, můžeme vidět, že chyba která vznikla ořezáním výpočetní oblasti v metodě konečných prvků není malá. 3 Magnetostatika 3. Fyzikální podstata Magnetostatika popisuje silová pole vznikající mezi elektrickými náboji pohybující se v čase neměnnou rychlostí. Pak jsou magnetické síly také časově 7

18 x x Figure 2: Řešení u, := u úlohy (22) pomocí (9) neměnné. Základní budící veličinou je tok nábojů zvaný elektrický proud, jehož jednotkou je Ampér [A]. Magnetostatika tedy popisuje silové účinky ustálených proudů. Prostorovou hustotu elektrického proudu definujeme jako j(x) := ρ(x) v(x), kde v značí rychlostní pole nábojů o hustotě ρ. Platí zákon zachování elektrického náboje, tj. pro každou omezenou oblast R 3 je tok nábojů z povrchu roven jeho úbytku uvnitř: ρ(x)v(x) n(x)ds(x) = ρ(x) t Pomocí Gaussovy věty získáme diferenciální tvar tohoto zákona: div(j(x)) = ρ(x). t lektrický proud I v bodě x Σ je pak definován jako tok elektrického náboje trubicí o průřezu Σ takto: I(x) := j(y) n(y)ds(y). Σ Magnetická pole se popisují magnetickou indukcí B, jejíž jednotka je Tesla [T]. Magnetické pole B působí na náboj q pohybující se rychlostí v, Lorentzovou silou, viz Obr. 3 (vlevo), F = q v B, což je další složka k případné Coulombovské síle F = q. Podobně působí magnetické pole na vodič protékaný proudem I o proudové hustotě j silou F = j(x) B(y)dS(x)dl(y) = I(y) n(y) B(y) dl(y). (23) l Σ 8 l dx.

19 B B q v l j, I F Σ Figure 3: Lorentzova síla působící na pohybující se náboj (vlevo) a na proudovodič (vpravo) Pohybující se náboje vytváří také magnetické silové pole, které zpětně ovlivňuje vnější pole B, což však často zanedbáváme. Zbývá popsat zákony rozložení magnetického pole B(x) budících proudů j(x). První zákon říká, že neexistují zdroje ani nory magnetického pole, tj. neexistuje magnetický analog k elektrickému náboji. To lze pro omezenou oblast R 3 vyjádřit jako B(x) n(x)ds(x) =, (24) což s použitím Gaussovy věty dává diferenciální rovnici div(b(x)) =. (25) Druhý, Ampérův zákon, říká, že magnetické pole vzniká jako vír kolem proudovodičů a jeho velikost je úměrná elektrickému proudu procházejícímu tímto vírem B(x)dl(x) = µ j(x) n(x)ds(x), (26) Σ kde µ := 4π 7 [Hm ] je permeabilita vakua a platí, že ε µ = /c 2, kde c je rychlost světla ve vakuu. Aplikace Stokesovy věty na poslední rovnici dává diferenciální tvar Ampérova zákona Σ rot(b(x)) = µ j(x). (27) Příklad 3. Uvažujme tenký nekonečně dlouhý vodič protékaný proudem I, viz Obr. 4, a předpokládejme, že intenzita mag. pole má pouze angulární složku, která je funkcí poloměru, tj. B(r). Pak rovnice (26) má tvar B(r)2π r = µ I a dostáváme magnetické pole ve tvaru B(r) = µ I/(2π r). Příklad 4. Uvažujme dále, že rovnoběžně s vodičem z předchozího příkladu položíme do vzdálenosti r vodič tentokrát konečné délky l protékaný opět proudem I. Pak z předchozího příkladu a ze vzorce (23) plyne, že vodiče na sebe 9

20 B r B Σ I B B Figure 4: Pole tenkého nekonečně dlouhého vodiče B = Σ I, n B I, n Figure 5: Pole nekonečně dlouhé cívky navzájem působí magnetickou silou F = µ I 2 l/(2 π r). Tato síla je přitažlivá v případě stejného směru obou proudů a odpudivá při opačných směrech. To také vysvětluje, proč se závity v cívce k sobě přitahují. Příklad 5. Uvažujme nekonečně dlouhou válcovou cívku, na níž je s hustotou závitů n navinut vodič protékaný proudem I, viz Obr. 5. Předpokládejme, že intenzita mag. pole je nenulová pouze uvnitř cívky a má pouze konstantní axiální složku B. Pak rovnice (26) má tvar B l = µ n l I a dostáváme velikost magnetického pole B = µ n I. Zatím jsme uvažovali pouze proudovodiče ve vakuu. V feromagnetických materiálech se nacházejí domény náhodně orientovaných proudových smyček, dipólů. Po vložení do vnějšího magnetického pole je Lorentzova síla natáčí tak, aby magnetické pole zesílili, viy Obr. 6. Označme hustotu zmagnetizovaných dipólů j mag (x) = rot(m(x)), kde M(x) je magnetizace. Pak z (27) rot(b(x)) = µ (j(x) + j mag (x)) ( ) ( rot µ r (x) B(x) := rot B(x) M(x) ) = µ j(x), µ kde µ r (x) := { M(x) /(µ B(x) )} je relativní permeabilita, předpokládámeli lineární závislost M(x) a B(x). Zaveďme H(x) := µ µ r(x) B(x) magnetickou 2

21 B B Figure 6: Vnitřní struktura feromagnetika intenzitu, pak diferenciální, resp. integrální tvar Ampérova zákona ve feromagnetiku je rot(h(x)) = j(x), H(x)dl(x) = j(x) n(x)ds(x). (28) Σ Poznamenejme, že z hlediska teorie relativity je Lorentzova síla a magnetické pole pouze důsledkem Coulombovy síly a elektrického pole pohybujících se nábojů. Jelikož je magnetické pole solenoidální, viz (25), můžeme jej vyjádřit pomocí magnetického vektorového potenciálu u(x) Σ B = rot(u(x)). (29) Vektorový potenciál popisující pole B(x) je bohužel nejednoznačný, neboť rot(u(x)+ ϕ(x)) = rot(u(x)). Jednoznačnost můžeme vynutit např. Coulombovou kalibrační podmínkou div(u(x)) = (3) a podmínkou u(x) pro x. (3) Rovnice (24), (25), (28) vyžadují diferencovatelné, resp. spojité funkce µ r (x) a B(x). V případě rozhraní dvou různých materiálů, viz Obr. 7, dostáváme z integrálních tvarů rovnic (24) a (28) pro Σ podmínky na rozhraní (B (x) B 2 (x)) n (x) =, (32) (H (x) H 2 (x)) n (x) = j Γ (x), (33) kde j Γ je případný povrchová hustota proudu na rozhraní. 3.2 Modelová úloha Modelová úloha pro magnetostatiku je načrtnuta na Obr. 8. Budeme uvažovat dva materiály: vzduch (vakuum), v němž je vloženo v oblasti r feromagnetické 2

22 Γ Γ,j Γ B B2 µ µ µ 2 Σ µ 2 n n H H 2 Figure 7: Podmínky přechodu na rozhraní dvou feromagnetik Figure 8: Modelová úloha magnetostatiky jádro cívky o relativní permeabilitě µ r >. Oblastí zde rozumíme omezenou a otevřenou podmnožinu R 3. Dále mějme ve vzduchu oblast j která reprezentuje závity cívky tak, že v ní je po částech konstantní hustota elektrického proudu j. Pole magnetického vektorového potenciálu pak popisuje následující systém rot(rot(u k (x))) = x k, k {, r}, µ rot(rot(u j (x))) = j(x) x j, div(u k (x)) = x k, k {, j, r}, (u k (x) u l (x)) ) n k = x k l, k, l {, j, r} : k l, n r = x k r, k {, j}, ( rot(u k (x)) µ r rot(u r (x)) (rot(u (x)) rot(u j (x))) n j = x j, u (x) x, (34) kde první dva řádky plynou z (28) a (29), třetí z (3), čtvrtý souvisí s (32), pátý a šestý s (33) a poslední je vlastnost (3), přičemž n k značí jednotkovou vnější normálu k k a j(x) je definována, viz Obr.??, následovně: (, j, ), x left j, (,, j), x top j, j(x) := (, j, ), x right. j, (,, j), x bottom j. Hledané potenciály u, u j a u r jsou dvakrát spojitě diferencovatelné vektorové funkce na := R 3 \ r j, resp. j a r, které navíc mají spojité derivace až do hranice, což značíme u k C 2 ( k ) C ( k ) pro k {, j, r}. Poznamenejme, že pro dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci u takovou, že div(u) = platí, že rot(rot(u)) = u, což je Laplaceův operátor aplikovaný po složkách. V případě, že rozměry elektrod a dielektrika ve směru x 3 jsou dostatečné, lze úlohu () redukovat do R 2, a to tak, že budeme uvažovat typický řez x 3 := a předpokládat, že závislost veličin na souřadnici x 3 lze zanedbat. Formulace 22

23 úlohy pak zůstává formálně shodná s () s rozdílem, že dimenze je d := 2, x R 2 a oblasti r, + a jsou znázorněny na Obr. 6 (vpravo). 3.3 Variační formulace 3.4 Hranová metoda konečných prvků 3.5 Hraniční integrální formulace vnější úlohy 3.6 Párování metody konečných a hraničních prvků 4 lektromagnetické záření 4. Fyzikální podstata 4.2 Modelová úloha 4.3 Metoda konečných prvků s absorpční vrstvou 4.4 Hraniční integrální formulace 4.5 Metoda hraničních prvků 23