Parametrické rovnice křivek v E Příklad : Křivka K je dána parametrickými rovnicemi : x = ϕ (t) = + t, y = ϕ (t) = t 3 t3, t R. Proved te následující úkoly: ) Určete tečný vektor ke křivce K v bodě P, který je určen hodnotou parametru t 0 =, a napište parametrické rovnice tečny p ke křivce K, která se křivky dotýká v bodě P. Do jednoho obr. zakreslete křivku K a tečnu p. ) Určete tečný vektor ke křivce K v bodě Q, který je průsečíkem křivky K s osou x. Napište parametrické rovnice tečny q, která se dotýká křivky K v bodě Q. Nakonec do jednoho obr. zakreslete křivku K a tečnu q. 3) Rozhodněte, zda křivka K je grafem nějaké funkce y = f(x), případně zda je sjednocením grafů několika funkcí y = f i (x). Pokud ano, najděte její (jejich) funkční předpis(-y) a nakreslete graf této funkce y = f(x), resp. grafy těchto funkcí y = f i (x), a to do jednoho obr. Řešení: Nejprve zadáme parametrické rovnice křivky K, což lze v prostředí MAPLE provést následujícím příkazem : > x:=t->+t^; y:=t->t-/3*t^3; x := t + t
y := t t 3 t3 ad ) Souřadnice bodu dotyku P spočítáme takto: > x();y(); 3 Souřadnice tečného vektoru ke křivce K, který vychází z bodu P, jsou pořadě rovny hodnotám derivací funkcí x(t) a y(t) v bodě t 0 =, nebot tato hodnota parametru bod dotyku P charakterizuje. Jde tedy o vektor (x (), y ()). Jeho souřadnice lze v MAPLu spočítat takto: > D(x)();D(y)(); 0 Uvážíme-li, že tento vektor hraje roli směrového vektoru tečny p, a protože známe také jeden bod, kterým tato tečna prochází (tím je bod dotyku P ), můžeme již sestavit parametrické rovnice tečny p: x(s) = x() + s x () = + s, y(s) = y() + s y () = 3, s R, což v prostředí MAPLE provedeme takto: > x0:=s->+*s; y0:=s->/3; x0 := s + s
y0 := 3 Poslední dílčí úkol z úkolu ) lze v systému MAPLE splnit následujícím příkazem: > plot({[x(t),y(t),t=-..],[x0(s),y0(s),s=-5..5] >},x=-..5,y=-3..3,scaling=constrained); 3 y 0 x 3 4 5 3 ad ) Protože pro průsečík Q křivky K s osou x platí, že jeho y ová souřadnice je rovna nule, určíme hodnotu parametru t, která bod Q charakterizuje, z rovnice 0 = y(t). Tuto rovnici lze v MAPLu vyřešit příkazem: > solve(0=y(t),t);
0, 3, 3 Rovnice 0 = y(t) má tedy 3 řešení: t = 0, t = 3, t 3 = 3. Tyto hodnoty parametru nyní postupně dosadíme do funkce x(t) a tím dostaneme odpovídající x ové souřadnice jednotlivých průsečíků křivky K s osou x. V prostředí MAPLE to provedeme takto: > x(0); x(sqrt(3)); x(-sqrt(3)); 4 4 Je tedy jasné, že křivka K má průsečíky s osou x - bod Q = [0, 0], který je charakterizován hodnotou parametru t = 0 a bod Q = [3, 0], který je charakterizován hodnotami parametru t : t = 3 a t 3 = 3. Protože bod Q = [3, 0] je -násobným bodem křivky K, lze očekávat, že v bodě Q budou existovat různé tečné vektory ke křivce K : u Q = (x ( 3), y ( 3)) a u Q = (x ( 3), y ( 3)). Souřadnice tečných vektorů ke křivce K, které vycházejí z bodu Q, resp. Q, lze v MAPLu spočítat násl. způsobem : > D(x)(0); D(y)(0); 0 > D(x)(sqrt(3)); D(y)(sqrt(3)); 3
> D(x)(-sqrt(3)); D(y)(-sqrt(3)); 3 Tečným vektorem ke křivce K, který vychází z bodu Q, je tedy vektor u Q vychází různé tečné vektory ke křivce K : = (0; ). Z bodu Q pak u Q = ( 3; ) a u Q = ( 3; ). V bodě Q tudíž existují různé tečny ke křivce K. Nyní již můžeme (analogicky jako v rámci řešení úlohy ) ) sestavit parametrické rovnice tečny q ke křivce K v bodě Q a tečen q, q 3 ke křivce K v bodě Q : q : x(n) = x(0) + n x (0) =, y(n) = y(0) + n y (0) = n, n R, q : x(m) = x( 3) + m x ( 3) = 4 + m 3, y(m) = y( 3) + n y ( 3) = m, m R, q 3 : x(r) = x( 3) + r x ( 3) = 4 r 3, y(r) = y( 3) + r y ( 3) = r, r R, což v MAPLu provedeme takto: > x:=n->; y:=n->n; x := y := n n > x:=m->4+m**sqrt(3); y:=m->m*(-); x := m 4 + m 3
y := m m > x3:=r->4+r*(-)*sqrt(3); y3:=r->r*(-); x3 := r 4 r 3 y3 := r r Nyní již pomocí následujícího příkazu zakreslíme do jednoho obr. křivku K a tečny q, q, q 3 : > plot( >{[x(t),y(t),t=-..],[x(n),y(n),n=-5..5],[x(m),y(m),m=-5..5],[x3( > r),y3(r),r=-5..5]},x=-..5,y=-3..3,scaling=constrained); 3 y 0 x 3 4 5 3
ad 3) Postačující podmínkou k tomu, aby křivka K byla grafem nějaké funkce y = f(x), je, že existuje inverzní funkce k funkci x = ϕ (t), t I. Je-li tomu tak a podaří-li se nám navíc t z rovnice x = ϕ (t) vyjádřit (což není vždy možné, přestože je funkce x = ϕ (t) prostá), pak lze do.parametrické rovnice y = ϕ (t) za t dosadit, čímž dostaneme: y = ϕ (t) = ϕ (ϕ (x)) = ϕ ϕ (x), x H(ϕ ) = ϕ (I). Odtud pak plyne, že pro hledanou funkci f platí : f = ϕ ϕ. Není-li funkce x = ϕ (t) na daném intervalu I prostá, ale je prostá na každém z intervalů I i, i =,..., n, pro něž platí n i= I i = I, existují inverzní funkce k funkcím x = (ϕ Ii )(t), což jsou restrikce funkce x = ϕ (t) na jednotlivé intervaly I i, i =,.., n. Křivka K je pak sjednocením grafů funkcí: f i : y = ϕ (t) = ϕ ((ϕ Ii ) (x)) = ϕ (ϕ Ii ) (x), x H(ϕ Ii ), i =,..., n. Zda je x v našem případě prostou funkcí proměnné t, tj. zda lze t z rovnice x = + t jednoznačně vyjádřit jako funkci x, se pokusíme zjistit řešením rovnice x = + t, kde x nyní chápeme jako parametr a t jako neznámou. V MAPLu to lze provést příkazem: > solve(x=+t^,t); x, x Vidíme tedy, že uvedená rovnice má řešení. První z nich (tj. x ) lze zřejmě interpretovat jako funkční předpis inverzní funkce k funkci ϕ 0, ), druhé pak jako funkční předpis inverzní funkce k funkci ϕ (,0 ) (Zdůvodněte si podrobně sami a navíc si rozmyslete, že definičním oborem obou
zmíněných funkcí je interval, ). ) Zadefinujme si tedy v MAPLu tyto funkce: > t:=x->sqrt(x-); > t:=x->-sqrt(x-); t := x x t := x x Křivka K je tedy zřejmě sjednocením grafů funkcí f, f, které lze v MAPLu zadat následujícími příkazy: > f:=x->y(t(x)); > f:=x->y(t(x)); f := x y(t(x)) f := x y(t(x)) Konkrétní funkční předpisy funkcí f a f lze získat pomocí následujících příkazů: > f(x); x (x )(3/) 3 > f(x); x + (x )(3/) 3 Pomocí následujícího příkazu nyní zakreslíme do jednoho obr. grafy obou funkcí f (x) a f (x): > plot([f(x),f(x)],x=0..6,y=-..,scaling=constrained);
y 0 3 4 5 6 x